第八章圓錐曲線方程軌跡和軌跡方程第講4（第二課時）題型3代入法求軌跡方程

求經(jīng)過定點A(1，2)，以x軸為準線，離心率為

的橢圓下方的頂點的軌跡方程.解：設(shè)橢圓下方的焦點為F(x0，y0)，

由定義知

所以|AF|=1，

故點F的軌跡方程為(x0-1)2+(y0-2)2=1.

又設(shè)橢圓下方頂點為P(x,y),則x0=x,y0=

y,所以點P的軌跡方程是(x-1)2+(

y-2)2=1.2.如右圖,P是拋物線C：上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ的中點M的軌跡方程.解：設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)，依題意知x1≠0，y1>0，y2>0.由①由①得y′=x,題型4參數(shù)法求軌跡方程所以過點P的切線的斜率k切=x1.所以直線l的斜率所以直線l的方程為②方法1：聯(lián)立①②消去y，得因為M為PQ的中點，所以消去x1，得所以PQ的中點M的軌跡方程為方法2：由得則所以將上式代入②式并整理，得所以PQ的中點M的軌跡方程為點評：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法.本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題.本題先設(shè)P，Q兩點的坐標(biāo)為參數(shù)，然后利用拋物線方程、切線方程等得出橫坐標(biāo)的關(guān)系及中點M的坐標(biāo)，再把所求點M的坐標(biāo)(x0，y0)轉(zhuǎn)化為所設(shè)參數(shù)x1的式子，然后通過消去所設(shè)參數(shù)，就得到x0,y0的方程，這就是參數(shù)法求軌跡方程.應(yīng)用參數(shù)法的關(guān)鍵是找到各參數(shù)之間的關(guān)系及如何代入或整體消參.

設(shè)橢圓方程為過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足點N的坐標(biāo)為當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求的最小值與最大值.解法1：直線l過點M(0,1),設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1，y1)，B(x2，y2).題型

軌跡思想的應(yīng)用由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2)①

是方程組的解,將①代入②并化簡,②

得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0.③當(dāng)k不存在時，線段AB的中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.所以又即所以所以當(dāng)時，當(dāng)x=時，|NP|min=.解法2：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y).因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上，所以④⑤由④-⑤得所以當(dāng)x1≠x2時,有⑥并且⑦

將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0.⑧

當(dāng)x1=x2時，點A、B的坐標(biāo)分別為(0，2)和(0，-2)，此時點P(0，0)也滿足⑧.

所以點P的軌跡方程是4x2+y2-y=0.

以下同解法1.1.求軌跡方程是解析幾何的基本內(nèi)容，必須理解各種方法在什么情況下使用.常用方法：定義法、直接法、代入法、參數(shù)法.在解題時考慮順序使用往往是尋求解題方法的思維程序.2.求軌跡方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則一般先求出方程，然后說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚.3.

某些最值問題常?；瘹w為軌跡問題來解決，即先研究動點的軌跡或軌跡方程，再在此基礎(chǔ)上求相關(guān)最值，這就是軌跡思想.4.

利用參數(shù)法求動點軌跡也是解決問題的常用方法，應(yīng)注意如下幾點：

(1)參數(shù)的選擇要合理，應(yīng)與動點坐標(biāo)x、y有直接關(guān)系，且易用參數(shù)表達.可供選擇作為參數(shù)的元素很多，有點參數(shù)、角參數(shù)、線段參數(shù)、斜率參數(shù)等.(2)消參數(shù)的方法有講究，基本方法有代入法，加減法，構(gòu)造公式法等，解題時應(yīng)注意積累.(3)對于所選的參數(shù)，要注意其取值范圍，并注意參數(shù)范圍對x、y的取值范圍的制約.1、字體安裝與設(shè)置如果您對PPT模板中的字體風(fēng)格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。232、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據(jù)需要替換這些圖片，下面