專題16相似三角形

考情聚焦

課標要求考點考向

1.了解相似三角形的判定定理:兩角分別相等的兩個三角形

考向一相似三角形的判定

相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例

的兩個三角形相似。*了解相似三角形判定定理的證明。相似考向二相似三角形的判定與綜合

2.了解相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應線段的比等三角

考向三相似三角形的性質(zhì)

于相似比;面積比等于相似比的平方。形

3.了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮

考向四相似三角形的實際應用

小。

4.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題?？枷蛞晃凰茍D形

5.利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA,位似

cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值?？枷蚨鴺讼蹬c位似圖形

,真題透視,

考點一相似三角形

A考向一相似三角形的判定

解題技巧/易錯易混

相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角

形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且

夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

1.(2024?廣西中考真題)如圖1,VN2C中，D2=90。，/5=6.的垂直平分線分別交NC,于

點。，CO平分入4C8.

ccc

A'

圖2

⑴求證：△ABCs^CBO;

（2）如圖2,將△/OC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到△HOC,旋轉(zhuǎn)角為研0。＜。＜360。）.連接4M,C'M

①求△4MU面積的最大值及此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并說明理由；

②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵①86,a=180°;②120°或240°

【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC,利用等邊對等角得出乙I=ZACO,結(jié)合角平分

線定義可得出乙（=4CO=NOC8,最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）先求出乙=4。。=/0。8=30°,然后利用含30°的直角三角開鄉(xiāng)，雌求出2。=2,AO=4,MO=2,

利用勾股定理求出聞1=26，AC=4拒，取HC'中點"，連接,作于N,由旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)知A/OC咨A?。。'，W為。”旋轉(zhuǎn)。所得線段，則。加」?a,A'C'=AC=4^3,OM，=OM=2,

根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短知MNVMAT,三角形三邊關系得出"VVQW+QVT,故當〃、0、M'三

點共線，且點。在線段W時，龍W取最大值，最大值為2+2=4,此時a=180。，最后根據(jù)三角形面積

公式求解即可；

②先利用三角形三邊關系判斷出MCZHU,M4'＜4C',則當為直角三角形時，只有“胚7=90。，

然后分/和C，重合，H和C重合，兩種情況討論即可.

【詳解】（1）證明：：MO垂直平分/C,

OA=OC,

：.AA=AACO,

?.?co平分N4C5

AZACO=ZOCB,

:?/A=/OCB,

又/B=/B；

:?△ABCsXCBO;

(2)解：①???DB=90。，

.??ZS4+ZACO+ZOCB=90°,

N4=ZACO=ZOCB=30°,

BO=-CO=-AO

22'

又4B=4O+BO=6,

：.BO=2,AO=4,

?.?MO垂直平分4。，

：.OM=-AO=2,AC=2AM,

2

AM=y/AO2-MO1=273,

/./C=4百,

取4c中點AT,連接OAT,MM',作MV_L4。于N,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A/OC也A/'OC',W為OW旋轉(zhuǎn)a所得線段，

OM'1A'C',A'C'=AC=4^l3,OM'=OM=2,

根據(jù)垂線段最短知MN<MM',

又MM'&OM+OM',

當M、。、M'三點共線,且點。在線段W時，MN取最大值,最大值為2+2=4,

此時。=180。，

△4MC'面積的最大值為gx4百x4=8百；

@\*MC,<MO+OC,=2+4=6,46-

C.MC^AC,

同理MTcWC

為直角三角形時，只有NHMC=90。，

當4和C重合時，如圖,

丁^AOC^A'OA

：.ZAf=ZCAO=30°,ZOAAf=ZOCA=30°,

：.ZAfOA=120°,

VZAMO=90°,

ZAOM=60°,

AZAfOA+ZAOM=1S00,

???/、。、河三點共線，

???△HMC為直角三角形，

此時旋轉(zhuǎn)角。=44'。4=120。;

當4和C重合時，如圖，

r

AZCOC=120°f

VAO=CO,ZAOM=60°

：.ZCOM=ZAOM=60°,

AZCOM+ZCOC=1SO°,

???c、。、M三點共線，

又N4Mo=90。

???△HMC為直角三角形，

此時旋轉(zhuǎn)角a=360°-4'CM=240°;

綜上,旋轉(zhuǎn)角e的度數(shù)為120。或240。時，△HMC為直角三角形.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，

明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關鍵.

2.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖，點E,尸分別在正方形的邊8C,CD上，BE=3,EC=6,

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.根據(jù)正

ABBE

方形的性質(zhì)，得出ZB=ZC=90°AB=CB=9，進而得出"=7^,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角

fACCr

形相似即可證明.

【詳解】解：■.-BE=3,EC=6,

四邊形是正方形，

AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AS93BE_3

'EC~1>~2'CF一2"

.ABBE

"~EC~~CF

又；/B=/C=90。，

“ABESAECF.

A考向二相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比;

相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的

面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三

角形面積的比等于相似比的平方.

3.（2024浙江中考真題）如圖，已知菱形/BCD的面積是24,E,尸分別是菱形/蛇。的邊3C,CD的中

點，連結(jié)NE，BF,AE與BF交于點G,貝?。軦BEG的面積為（）

AD

【答案】A

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵

是正確的作出輔助線，技巧性較強.

延長8尸交40延長線于點W，則/，證明VBEGsVM4G，即可得出BE:/M=GE:/G=1:4,

根據(jù)菱形ABCD的面積，求出dBE的面積，然后可得出BEG的面積.

【詳解】解：如圖，延長抄"交4D延長線于點W,

??,點尸是邊CD的中點，

:.DF=CF,

;四邊形438是菱形，

AD//BC,

：.ZFBC=ZM,ZC=ZFDM,

:.“DMF知CBF(AAS),

：.DM=BC=AD,

AD//BC,

：.VBEG^fMAG,

又.?.點E是BC中點，

:.BE:AM=GE:AG=1:4,

:.S、BGE：S-AB￡=EG:AE=1:5,

?.?菱形/BCD的面積為24,

AABE的面積為6,

.?.△BGE的面積為1,

故選：A.

4.（2024河南中考真題）如圖,在口48C。中，對角線/C,5。相交于點O，點E為OC的中點,EF//AB

交8c于點尸.若/2=4,則跖的長為（）

A.-B.1C,-D.2

23

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段

中點定義可得出C￡="/C，證明尸s4c/B，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：:四邊形是平行四邊形，

OC=-AC,

2

:點E為。C的中點，

CE=-OC=-AC,

24

EF//AB,

???ACEFs^CAB,

.EFCE口押1

..方=就，即=

：.EF=\,

故選：B.

5.（2024?湖南?中考真題）如圖，在VN2C中,點D,E分別為邊NC的中點.下列結(jié)論中，錯誤的是

（）

A.DE//BCB.￡\ADE^/\ABCC.BC=2DED.S△./IXD/jCE*=2~SA.BC

【答案】D

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C;

由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷B、D，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關

鍵.

【詳解】解:?點DE分別為邊NA/C的中點，

DE//BC,BC=2DE,故A、C正確；

DE//BC,

:.AADEsAABC,故B正確；

?；A4DES^ABC,

f組1缶11

"SAABC[BC)UJ4'

,"S"ADE=1S.ABC,故D錯誤；

故選：D.

6.（2024?陜西中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形N8CD的邊CD上,4F與DC交于點H,

若/5=6,CE=2,則的長為（）

58

D

3

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì).證明△尸G”,利用相似三角形的

性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】解：：正方形/2C。,AB=6,

：.AB=AD=CD=6,

:正方形CE尸G,CE=2,

:.CE=GF=CG=2,

/.DG=CD-CG=4,

由題意得ND〃GF,

AADHS^FGH,

.ADPH6PH

,,GF-GF，p即n4-ZW，

解得。H=3,

故選：B.

7.（2024?安徽中考真題）如圖，在RtA4BC中，N/BC=90°,AB=4,BC=2,3。是邊4C上的高.點

E,尸分別在邊NB,2。上（不與端點重合），且應,。P.設/E=x,四邊形。班廠的面積為了,貝打

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應用，過點E作而L/C

于點”，由勾股定理求出NC，根據(jù)等面積法求出AD，先證明A/BCSA/切，由相似三角形的性質(zhì)可得出

嚕,即可求出，再證明A/EDSAB即，由相似三角形的性質(zhì)可得出2=（己］,即可得出

4DABS.BFDVBD）

S"ED=4S、BFD1根據(jù)S四邊形0EBF=S^ABC~^AAED~~^e,BDF），代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自

變量的大小求出對應的函數(shù)值.

【詳解】解：過點E作EHL/C于點X,如下圖：

?*-AC=YJAB2+BC2=2V5,

???班是邊4。上的高.

：.-ABBC=-ACBD,

22

:.BD=-4^,

5

*.?ABAC=ZCAB,ZABC=ZADB=90°,

：.八ABCs△力。5,

.AB_AC

''AD~AB

解得：3,

oR

DC=AC-AD=2V5--=

5

?:/BDF+/BDE=/BDE+/EDA=90：ZCBD+ZDBA=ZDBA+ZA=90°,

：./DBC=乙4,ABDF=ZEDA,

"EDs^BFD,

?c—4c

,?2"ED2ABFD/

,,S四邊形DE8F=S^ABC-S&AED-(S^BOC-i^BDF)

=-AB-BC--AE-ADsmZA--DC-DB+-S

2224

V0<x<4,

???當x=0時，S四邊形OE時-1/

4

當X=4時,S四邊形OEBF=—.

故選：A.

8.（2024?海南?中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖,支柱。河經(jīng)過45的中點O,OM與地面C。垂直于點M,

OM=40cm,當蹺蹺板的一端/著地時,另一端5離地面的高度為cm.

【答案】80

【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).過點8作交4C的延長線于N,求得OM〃BNI

得到△/（Ws4/gN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過點8作交4C的延長線于N,

OM//BN,

AAOMS^ABN,

OMAO

~^N~AB，

AO=OB,OM=40cm,

40_1

BN~2,

BN=80cm,

另一端/離地面的高度為80cm.

故答案為：80.

9.（2024?遼寧?中考真題）如圖,AB〃CD,NO與BC相交于點。,且V/08與△DOC的面積比是1:4,

【答案】12

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

可得△/OBsaooc,再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：---AB//CD,

/\AOB^Z^DOC,

：.CD=12,

故答案為：12.

10.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形/BCD的對角線NG8。相交于點。,點￡是。4的中點，點F

FF

是。。上一點.連接斯.若/b￡0=45°，則）的值為.

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到/。/。=45°,

EFOE1

AD=BC,再證明所〃4。,進而可證明△。即，由相似三角形的性質(zhì)可得，即

ADOA2

EF_1

而一5,

【詳解】解：:正方形/BCD的對角線m相交于點O,

：.ZOAD=45°.AD=BC.

丁點E是。4的中點，

,OE

9,OA~2，

?.*/FEO=45"

：.EF//AD,

:,XOEFsMOAD,

.EFOE1—EF1

??==—/即——I

ADOA2BC2

故答案為：I.

A考向三相似三角形的性質(zhì)

11.（2024?重慶?中考真題）若兩個相似三角形的相似比是1：3,則這兩個相似三角形的面積比是（）

A.1:3B,1:4C,1:6D,1:9

【答案】D

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)”相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可.

【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是1：3,則這兩個相似三角形的面積比是1：9,

故選：D.

12.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知V/3C與與G相似,且相似比為1:3,貝與△4與G的周長

比為（）

A.1:1B.1:3C,1:6D.1:9

【答案】B

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長之比等于相似比是解題的關鍵.

【詳解】解：:V/BC與△48?相似，且相似比為1:3,

VABC與△&4G的周長比為1:3,

故選B.

13.（2024?江蘇鹽城?中考真題）兩個相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長的比為.

【答案】1：2/1

【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形

的性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：：兩個相似多邊形的相似比為1：2,

,它們的周長的比為1：2,

故答案為：1：2.

A考向四相似三角形的實際應用

14.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈

光下的影長8=3米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的應用舉例，設回過程中小杰身高為尸〃,連接4尸并延長交于點G,根

據(jù)題意得到C-//W，證明力CESADB4AGHFS.GB4，得到肉=而）=瓦，由2內(nèi)推

出累=粵，即可得出結(jié)論■

oL）KJD

【詳解】解：設回過程中小杰身高為打?，連接4尸并延長交8c于點G,

根據(jù)題意得到CE〃尸〃〃/8,

/,力CEs力BAQGHFs?BA,

.CECDFH_GH

'AB~BD'AB~GB'

??,CE=FH

.CDGH

"BD~~GB'

?/BD>GB,

CD>GH,

??,CQ=3米，

GH<3,

??返回過程中小杰在燈光下的影長可以是2.5米，

故選：D.

15.（2024.江蘇揚州.中考真題）物理課上學過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像

投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭（豎直放置）48經(jīng)小孔。在屏幕（豎直放置）上成像40.設4B=36cm,

45=24cm.小孔。到45的距離為30cm,則小孔。到的距離為cm.

前、、、、夕

BI?

|<—30cm—力

【答案】20

【分析】此題主要考查了相似三角形的應用，由題意得,^AOB^^A'OB',過。作OCLN3于

點C,C。交于點C：利用已知得出，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)是解題關鍵.

【詳解】由題意得：AB//A'B',

：.AAOB^^A'OB',

如圖，過。作OC，居于點C,C。交/?于點C,

|<-30cm->|<-?cm^

：.OC'LA'B',OC=30cm,

.A'B'OC24OC

..----=----，即Q—n=-----,

ABOC3630

OC=20（cm）,

即小孔。到4?的距離為20cm,

故答案為：20.

16.（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹NB的高度，經(jīng)過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹相距1。米，眼睛。處觀測樹N8的頂端A的仰角為32°：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹4B相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達點E,眼睛。在鏡子

C中恰好看到樹的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32°?0.64）

【分析】本題考查了相似三角形的實際應用題，解直角三角形的實際應用題.

方案一:作DEJ.AB,在RtA/DE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案一:作DE1AB,垂足為￡,

A

，OE=3C=10米,

在RtA4DE中，NADE=32°,

4E=D￡-tan32。a10x0.64=6.4（米）,

樹的高度為64+1.6=8米.

方案二：根據(jù)題意可得NNC8=NOC￡,

；ZB=ZE=90°,

AACBSADCE

ABBCQnAB10

??---=---,即----=一

DECE1.62

解得:45=8米,

答：樹的高度為8米.

考點二位似

A考向一位似圖形

17.（2024?四J11涼山?中考真題）如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為VN8C）平行于投影面時，

在點光源。的照射下形成的投影是△4與G,若。8：84=2：3,則與G的面積是（）

8

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【詳解】解：：一塊面積為60cm2的三角形硬紙板（記為V/BC）平行于投影面時，在點光源。的照射下

形成的投影是。反股=2:3,

OB_2

一5，

位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5,

三角形硬紙板的面積為60cm2,

邑,/2J4

"⑴25'

△/4G的面積為375cm2.

故選：D.

A考向二坐標系與位似圖形

解題技巧/易錯易混

位似圖形與坐標：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對

應點的坐標的比等于k或-k.

18.（2024浙江.市考黃題）如圖，在平面置餡坐標系市，V/2C后A/BC是位似圖形，位似吊心五點。若

點-3,1）的對應點為/'（-6,2）,則點8（-2,4）的對應點夕的坐標為（）

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點兒⑷的坐標可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換

的性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解:me與是位似圖形，點4-3,1）的對應點為H（-6,2）,

...AA'BC與AABC的位似比為2,

.?.點2(-2,4)的對應點夕的坐標為(-2x2,4x2),即(-4,8),

故選：A.

19.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，矩形0/8C各頂點的坐標分別為。(0,0),/(3,0),5(3,2),C(0,2),

以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比g縮小，則頂點5在第一象限對應點的坐標是()

A.(%4)B.(4,9)C.[1,|]D.[1,|]

【答案】D

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意3橫縱的坐標乘以;，即可求解.

【詳解】解：依題意，3(3,2),以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比;縮小，則頂點3在第一象限

對應點的坐標是1，：)

故選：D.

20.(2024?山西?中考真題)如圖，在平面直角坐標系的第一象限內(nèi),A/EC與V/5C關于原點。位似，

相似比為2：1,點N的坐標為(1,2),則點H的坐標為.

【答案】(2,4)

【分析】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形相似及相似比即可得出結(jié)果，熟練掌握位似圖形的

性質(zhì)是解題關鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，與"8C關于原點。位似，且相似比為2：1,

則CM'=2CM,

?，點/的坐標為（L2）,

則/的坐標為（2,4）

故答案為：（2,4）.

,新題特訓/

1.（2024?廣東?模擬預測）如圖，小明探究課本"綜合與實踐"板塊"制作視力表”的相關內(nèi)容：當測試距離為

5m時，標準視力表中最大的字高度為72.7mm,當測試距離為3m時，最大的"。字高度為（）

C

A.4.36mmB.27.26mmC.43.62mmD.12.17mm

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解.根據(jù)

條件可得萬s4/BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意可得：BC//DF,BC=72.7mm,AB=5m,4D=3m,

^XADFsAABC,

BC_AB

"DF~AD'

當測試距離為3m時，最大的"E"字高度為xmm,

5m=5000mm,3m=3000mm,

,72.75000

"3000'

解得：x=43.62,

,當測試距離為3m時，最大的字高度為43.62mm;

故選：C.

2.（2024?重慶?三模）如圖，VN8C與△N4G是以點。為位似中心的位似圖形，若。q=g。。，

的面積為1,則VABC的面積為（）

A.1B.2C.4D,8

【答案】C

【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的位似比等于相似比，面積比等于相似比的平方列式求

解即可.

【詳解】解：與是以點。為位似中心的位似圖形，

s.的UcJ4

S、ABC=4s”向G=4x1=4,

故選C.

3.（2024安徽?模擬預測）如圖，VNBC中，￡是13的中點，過點E炸ED//BC、交AC于點D,則

與四邊形BCDE的面積比是（）

【答案】C

【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì),證明△/助sA^BC并且根據(jù)相似三角形面積的比等于

相似比的平方求出與V/2C的面積比是解題的關鍵.設V42C的面積為沉,由四〃BC證明

△NEZ）s"BC，再由￡是48的中點證明△4ED與VABC的面積的比為；,再用含m的式子分別表示

△力￡。的面積與四邊形BCDE的面積，再求出它們的比即可得到問題的答案.

【詳解】解：如圖，設V45C的面積為加,

,.，E是4B的中點，

AE=BE=-AB,

2

.AE

\4B~2,

VED//BC,

:.公AEDs小4BC,

一S.ABC[AB]I2J4

.c_lc__L

-b"ED一~^^AABC_4m/

,Q_1_3

?.S四邊形BCDE一加一彳加一彳加/

1

—m

]_

?！鰽ED4

3

：.^AED與四邊形BCDE的面積比是1:3,

故選：C.

4.（2024云南昆明?二模）如圖，已知4=/2,添加下列條件后，能判斷A/BC^AADE的是（）

ABBCABAE

A-----=-----B.-----=-----

?ADDEADAC

C./B=/DD.N3=N2

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定，先根據(jù)Nl=/2求出=,再根據(jù)相似三角形的判定方

法解答即可，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法：兩角分別對應相等的兩個三角形相似；兩邊

成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.

【詳解】解：VZ1=Z2,

；.NDAE=NBAC,

AD

A、添加「節(jié)二六；，不能判定,此選項不符合題意；

ADDE

ARAT

B、添加”;二弁，不能判定△45CS44QE,此選項不符合題意；

ADAC

C、添加=，利用"兩角分別對應相等的兩個三角形相似"能判定，此選項符合題意；

D、添加/B=N2,不能判定,此選項不符合題意.

故選：C.

5.（2024?河北唐山?二模）將A/3C的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮1cm，得到,有以下結(jié)論：

IV/2C與9跖是相似三角形；

IIVABC與GEF是位似三角形.下列判斷正確的是（）

A

A.i,n都正確都不正確

c.i正確，II不正確D.i不正確，II正確

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換：兩個位似圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊

互相平行或共線.

先利用平行線的判定方法得到DE〃/3,EF//BC,DF//AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/即尸=4/C,

NDEF=AABC,從而可判斷△ABCs△。所；分別延長BE、CF,它們相交于一點，根據(jù)位似的

定義可判斷V/8C與9斯是位似三角形.

【詳解】解：的各邊按如圖所示的方式向內(nèi)等距縮1cm得到血節(jié),

DE//AB,EF//BC,DF//AC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

AEDF=ABAC,

同理可得：NDEF=NABC,

:AABCSADEF,所以I正確；

分別延長工。、BE、CF,它們相交于一點。，如圖，

.?.“8C與AZ組廠是位似三角形，所以II正確.

故選：A.

6.(2024?浙江?二模)如圖，點光源。射出的光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠片平

行的屏幕上，形成影像.已知NB=0.3(dm),點光源到膠片的距離OE長為6(dm),CD長為4.3(dm),

【答案】c

【分析】本題考查中心投影，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用相似三角形的性質(zhì)

AR°F

解決問題.證明，推出—==；，構建方程求出防即可.

CDOF

【詳解】解：-AB//CD,

:.AOABs^ocD,

vOF1CD,

/.OF1AB,

AB_OE

~CD~~OF

,0.36

"43"6+EF'

.?.￡F=80（dm）,

故選：C.

7.（2024?廣西?模擬預測）若兩個等邊三角形的邊長比是1：2,則它們的周長比是（）

A.2:1B,1:2C,1:3D.1:4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個等邊三角形的邊長比是1：2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算周長之比即可.本題考杳了三角

形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

【詳解】解：：兩個等邊三角形的邊長比是1：2,

.??兩個三角形三邊對應成比例，

,兩個等邊三角形相似，

???它們的周長比是1：2,

故選B.

8.（2024?云南?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，V/2C與血亦是以坐標原點。為位似中心的位

似圖形，若/（-2,0）。（3,0）,且/C=4,則線段。尸的長度為（）

【答案】A

【分析】本題考查坐標與位似，根據(jù)兩個位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，進行求解即可.

【詳解】解：???VN8C與血節(jié)是以坐標原點。為位似中心的位似圖形，

AQQA

:.AABCsADEF，且——二——

DFOD

?.?4（-2,0）,。（3,0）,

：.OA=2,OD=3,

.ACOA_2

…而一訪一H'

故選A.

9.（2024?山西?模擬預測）如圖，小明在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫了個〃x〃，與橫格線交于A,B,C,

D,。五點，若線段,B=4cm,則線段C。的長等于（）

AB

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，過點。作于點E,延長石。交C。于點尸,證明

ARCF

△ABOs雙DCO,根據(jù)相似三角形的相似比等于相似三角形高線的比可得許=，代入計算即可解答.

C1J（Jr

【詳解】解：如圖，過點。作于點E,延長EO交C。于點尸，

AEB

/?\

~~C~~F~~D

：.AAEO=90°,

???作業(yè)紙中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，

AZDFO=ZAEO=9（T,

：.OFCD,

vAB//CD,

:.AABOS立）CO,

.AB_OE4_2

..---=----.即—=—.

CDOF'1CD3'

解得：CD=6,

經(jīng)檢驗，C。=6是原方程的解且符合題意，

CZ）=6（cm）

故選：B.

k

10.（2024廣東模擬預測）如圖，在等腰V/O8中，,頂點/為反比例函數(shù)y=-（其中x>0）

X

圖像上的一點，點8在x軸正半軸上，過點8作BC，OB，交反比例函數(shù)y=-的圖像于點C，連接OC交AB

X

于點。，若=8,04=4&U,則△2CQ的面積為（）

【答案】C

48

【分析】過點/作/〃口軸于點“，/〃交OC于點￡進而求出加/=12,而求出反比例函數(shù)的解析y=一,

x

根據(jù)易證AO/ffisAOBCQ/DEsAmc,由相似三角形的性質(zhì)求出掰=3,/￡=9,設CD=2x,

則?！?3x,CE=0E=5x,0C=10x,進而求出面積即可.

【詳解】解：過點N作，無軸于點H,AH交OC于點E,

y

y

QOA=AB,AH±OB

，

qHBx

：.OH=BH=-OB=,

2

?.?OA=4A/10=>JOH2+AH2,

力〃=12,

，4（4,12）,

，A=4x12=48,

48

y--/

X

Q05=8,

，C（8,6）,

???ZH_Lx軸,BC_Lx軸,

AH//BC,

:AOHES八（JBCQADES小BDC,

*EH—OH—OE—\DEAE

''BC~OB~OC~2'CDBC1

0E=CE,

DFqA

EH=3,AE=AH—EH=12—3=9

CD62

設CZ）=2x,貝！J0￡=3xiCE=OE=3x,0C=\0xi

CD_1

,?,歷—

?q_1c_11Q24

??S.BCD=5S.BCO=-X-X8X6=—/

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與

性質(zhì)，熟練識記這些知識是解題的關鍵.

11.（2024?陜西西安二模）如圖，在以A/8C中，ZABC=90°,E、尸分別為/C、BC的中點，連接跖，H

為/￡的中點,過點*作物,交3c于點。，連接。E,則與V/2C相似（不含V/3C）的三角形個

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

由三角形中位線定理可得EF///B,可得△CEFsWB,由有兩組角對應相等的兩個三角形相似可證

◎BSACDH,可得結(jié)論.

【詳解】解：???￡、下分別為/C、BC的中點，

EF//AB,

:.△CEFSAC4B,

,/HDLAC,

：.ZDHC=ZABC=90°,

又：zc=zc,

:.ACABSACDH,

故選：B.

12.（2024?河北?二模）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候

常玩的游戲.在一次游戲中，小明距離墻壁2米，爸爸拿著的光源與小明的距離為4米，如圖2所示，若

在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應（）

A.增加1米B.減少1米C.增加2米D.減少2米

【答案】D

【分析】此題考查了中心投影，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對

應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答問題.根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)

構建方程求解即可.

【詳解】解：如圖，點。為光源，N2表示小明的手，CA表示小狗手影，貝（,過點。作,

延長交C。于尸，則O尸，。，

C

。?安三二匚旦----F

萬、'、、、

'山

：AB//CD,

AOAB=ZOCD,AOBA=ZODC,

"OBs小COD,

.AB_OE

^~CD~~OF'

???跖=2米，。區(qū)=4米，貝!9=6米，

.ABOE_2

^~CD~~OF~^'

AB=2k,CD=3k,

??,在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

c'

4/

7

c，/E口，

O、------------F

即48=2斤，CD'=6k,△AO'Bs^COD,

,ABO'E'1

CD'_O'F'_3，

則。?=2米，

二光源與小明的距離減少。E-O'E'=4-2=2（米），

故選：D.

二、填空題

13.（2024?廣東?模擬預測）學習相似三角形后，小紅利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如

圖，已知小紅的身高是L5米，他在路燈下的影長為2米，小紅距路燈燈桿的底部4米，則路燈燈泡距地面

的高度是_________米.

【答案】|9

【分析】此題主要考查了相似三角形的應用.根據(jù)已知得