機(jī)密★啟用前

懷柔區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期高二質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.考生要認(rèn)真填寫姓名和考號.

2.本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），共150分.考試時間120分鐘.

3.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應(yīng)位置，在試卷上作答無效.第一部分必須用

2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答.

4.考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回.

第一部分選擇題（共40分）

一、選擇題（共10道小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合

題目要求的一項.）

1.已知直線的傾斜角為60°,且過點(diǎn)尸（°」）,

則直線的方程為（）

V3口6、

AA.y=——X-l1B.y=——X+1C.y=V3x—1D.y=V3x+1

33

2.拋物線一二4天的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（)

A.1B.2C.4D.8

3.已知等比數(shù)列{4},%=1,%=-8,則公比q等于（）

11

A----B.—C.-2D.2

■22

4.若直線x+.v-a=0是圓/+^2一2%+6了+1=0的一條對稱軸，則。值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.若直線4x+2y—1=0與直線4x+機(jī)y=0平行，則兩平行線間的距離（）

26B3加

~5~'To-

6.已知直線4的一個方向向量為3=（-2,1,3）,直線的一個方向向量為碗=（2,-1,7）,若4〃，2,貝1

值為（）

c53

A.-3B.1C.-D.-

35

7.雙曲線C：工-二=1的右焦點(diǎn)廠到其漸近線的距離為（）

169

「4Sn35

-------------L/.------------

55

8.“0<%<2”是“方程工+T—=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的（）

mm-4

A,充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，這是因?yàn)榻饎偸奶荚釉诳臻g中的排列方式?jīng)Q定的.如圖1,組成金

剛石的每一個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為

4個碳原子分布在一個所有棱長都相等的正三棱錐的4個頂點(diǎn)處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原

子距離都相等的位置，如圖2所示.即圖2中ZE==CE=,則NBEC的余弦值為（)

10.已知數(shù)列｛%｝的通項公式%="—2劭，則根據(jù)下列說法選出正確答案是（）

①若。=一』，貝?數(shù)歹u工]的前〃項和凡=i--—；

2[%J72+1

②若。=；,數(shù)列｛4｝的前〃項和為4,則7；是遞增數(shù)列;

③若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則

A.①②B.②③C,①③D.①②③

第二部分非選擇題（共110分）

二、填空題（共5道小題，每小題5分，共25分.）

11.以點(diǎn)/（2,1）為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為,，若4=—3,%+%=-3,則。“=；S”的最小值為

13.若雙曲線的離心率為近，寫出一個滿足條件的雙曲線方程.

2

14.已知橢圓E：(+/=1的左右焦點(diǎn)分別是乙，庫點(diǎn)尸在橢圓上，貝“尸國+|尸周=；若

兩?再40,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

15.邊長為1的正方體4BCD—4名G2中，E,F,G分別為CQ,4G的中點(diǎn)，〃為正方體

內(nèi)的一個動點(diǎn)(包含邊界)，且滿足5H=1,則下列選項中所有正確結(jié)論的序號是.

①線段BH與GF無交點(diǎn);

②平面EEG截正方體所得到的截面圖形面積為土；

4

71

③直線BH與平面EFG所成角為一；

3

④在平面EFG上存在點(diǎn)H,使得BH_L平面EFG.

三、解答題(共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

16.已知圓C：X2+(J-2)2=4,直線/：x+y—1=0.

(1)求過圓心且與直線/垂直的直線方程；

(2)直線/與圓C交于A,3兩點(diǎn)，求V48C的面積.

17.如圖，已知正方體48c。一邊長為2.

(1)證明：BDI4C；

(2)求二面角4一8。—C的余弦值.

18.己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為耳，且％+%=12,￡=25.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)數(shù)列但｝的前"項和為?；，且滿足4=2%,從下列三個條件中任選一個作為己知，求數(shù)列｛a｝的

通項公式及數(shù)列｛%+〃｝的前〃項和K”.

條件①“+1=3”；

條件②｛4｝的前"項和為Tn=3--1;

條件③log3g=4

19.己知拋物線C：/=2夕%(夕>0)的焦點(diǎn)為尸，且經(jīng)過點(diǎn)M。,—2).

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)/坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(2)拋物線C上一點(diǎn)N,若|NF|=6,求N點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)直線/：》=叼+1與拋物線C交于A、3兩點(diǎn)，若4力臺。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,求加值.

20.如圖，在四棱錐P—48”中，平面尸DC,平面48CQ,BC1DC,AB//DC,E為P4中點(diǎn)，

PD=DC=BC-1,PC=V2>AB=2.

p

C

B

（1）求證：。￡//平面PBC；

（2）求直線Z）E與平面尸48所成角的正弦值；

（3）在線段DP上是否存在點(diǎn)。，使得P5//平面NC。，若存在，求出器的值；若不存在，請說明理

由.

22

21.已知橢圓E：三+2=1（4〉6〉0），左右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)],上頂點(diǎn)為A,△/大巴為正三角形，點(diǎn)

在橢圓上，過片（與x軸不重合）的直線與橢圓￡交于M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程及離心率;

（2）在無軸上是否存在定點(diǎn)尸（與大不重合），使得點(diǎn)大到直線尸N的距離總相等，若存在，求

出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題（共10道小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合

題目要求的一項.）

1.已知直線的傾斜角為60°,且過點(diǎn)尸（°」），則直線的方程為（）

A.y=--x-1B.y—+1c.y=V3x—1D.y=V3x+1

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到直線的斜率，再由斜截式得到直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為60°,所以直線的斜率左=tan60。=0,

又直線過點(diǎn)尸（0,1）,所以直線的方程為y=A+l.

故選：D

2.拋物線爐=4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程得到。值，則得到焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

【詳解】2/?=4,p=2,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.

故選：B.

3.已知等比數(shù)列{?！皚,%=1,%=-8,則公比4等于（）

11

A.——B.-C.-2D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得.

【詳解】因?yàn)閝=1,%=-8,所以［'幺二一8,解得q=-2.

%

故選：C

4.若直線x+y-a=O是圓V+y?—2x+6y+l=0的一條對稱軸，則。值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心在直線上求出參數(shù)的值.

【詳解】圓f+j?—2x+6y+l=0,即（x—l『+（y+3）2=9,

所以圓心坐標(biāo)為（L-3）,依題意直線x+y-a=0過點(diǎn)（1,-3）,

所以1—3—a=0,解得a=—2.

故選：A

5.若直線4x+2y—1=0與直線4%+叩=0平行，則兩平行線間的距離（）

,2V5口36「石

510510

【答案】D

【解析】

【分析】由直線平行關(guān)系求加，根據(jù)平行直線距離公式求結(jié)論.

［詳解】因?yàn)橹本€4x+2y—1=0與直線4x+機(jī)了=0平行，

所以4x加=2x4,

所以加=2,

此時兩直線方程為4x+2y—l=0,4x+2j=0,兩直線平行，

直線4x+2y—1=0與直線4x+2y=0的距離為上上1=立.

V?TFio

故選：D.

6.已知直線4的一個方向向量為3=（—2,1,3）,直線4的一個方向向量為蔡=（2,-11）,若Mk，則/

值為（）

c53

A.-3B.1C.-D.-

35

【答案】A

【解析】

【分析】由己知可得比//萬，設(shè)施=4方，列方程求才.

【詳解】因?yàn)橹本€4的一個方向向量為為=（一2,1,3）,直線4的一個方向向量為比=（2,-1,。，乙〃/2,

所以成//萬，設(shè)應(yīng)=4為，

則2=—24,—]=X"=3X,

所以2=—1,t=—3.

故選：A.

22

7.雙曲線C：土—2=1的右焦點(diǎn)廠到其漸近線的距離為（

169

C4g

A.4B.3

55

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式計算可得.

【詳解】雙曲線C：]—。=1的右焦點(diǎn)廠（5,0）,

3

漸近線方程為y=±WX，即3x±4y=0,

|3x5l

所以右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離d=~^==3.

故選：B

22

8.“0<〃?<2”是“方程上+T—=1表示焦點(diǎn)在無軸上的雙曲線”的（）

……2A

A,充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

22

【分析】求“方程土+口^=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線”的等價條件，結(jié)合充要條件的定義判斷結(jié)

……2A

論.

22{m>0

【詳解】“方程x土+^v^=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線”等價于2,c，

mm2-4

即0<加<2,

22

所以“0〈加<2”是“方程上+1^=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充要條件.

……2A

故選：C.

9.金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，這是因?yàn)榻饎偸奶荚釉诳臻g中的排列方式?jīng)Q定的.如圖1,組成金

剛石的每一個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為

4個碳原子分布在一個所有棱長都相等的正三棱錐的4個頂點(diǎn)處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原

子距離都相等的位置，如圖2所示.即圖2中Z￡=8￡=C￡=D￡,則的余弦值為（）

A

圖1

1321

A.——B.——C.——D.—

161693

【答案】D

【解析】

【分析】將正三棱錐放入正方體中,利用余弦定理計算即可.

【詳解】將正三棱錐N-BCD放入正方體中,由題意E為正方體中心,如圖,

設(shè)正方體棱長為。，則￡8=EC=Ja，BC=6a，

2

3222

EB2+EC?-BC?_丁+-a-2a1

在中，由余弦定理可得cos/5EC=4

2EB-EC2屋與3

22

故選：D

10.已知數(shù)列｛%｝的通項公式4=/—2a〃，則根據(jù)下列說法選出正確答案是()

①若a=—L則數(shù)列用的前"項和與=1--—；

2Van)〃+1

②若a=萬，數(shù)列｛。,｝的前〃項和為北，則北是遞增數(shù)列；

③若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則ae(-co,1].

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】利用裂項相消法求和判斷①；根據(jù)〃+1—%=an+1=n(n+1)>0判斷②；根據(jù)an+l>an,即可

得到。<〃+；,從而求出。的取值范圍，即可判斷③.

_1,1111

【詳解】對于①：當(dāng)。二一一時，％=〃+〃，則J—=1—n=-------

2a”+n〃+1

所以-+—-—H----F-------=1，故①正確；

1223n〃+1〃+1

對于②：當(dāng)Q=g時，%="一〃—1),

則G九+Q九=(71+1)2—(71+1)—彥+九=2?1>0,所以｛。八｝單調(diào)遞增，

又7\+1-&=冊+1=九(幾+1)>0,所以北是遞增數(shù)列，故②正確；

對于③：若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則4+i>%,即(〃+1)2—2。(〃+1)〉/—2?！?，

所以2〃+1>2。，所以。—，

2

一一13(3、

因?yàn)椤╳N*,所以Q<1+5=5,即故③錯誤.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則6+1>《，再參變分離，求出參數(shù)。的取值范圍，

反之，若判斷北的單調(diào)性，只需作差得到J+1-7；>0即可.

第二部分非選擇題(共110分)

二、填空題(共5道小題，每小題5分，共25分.)

11.以點(diǎn)2(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-2)2+(y-1)2=1

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】以點(diǎn)4(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-l)2=1.

故答案為：(x-2)2+3-1)2=1

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為，若。2=-3,%+。4=-3,則4；s”的最小值為

【答案】①.n-5##-5+n②.-10

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)所給條件得到％、d的方程組，解得即可求出通項公式，再根

據(jù)求和公式及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

2=a1+d=—3%——4

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,貝卜G一力解得《

%+%=2。1+5u——3d=1

所以4=〃-5,所以S"=（4+；_=—9〃）=g

1-7

2

所以當(dāng)"=4或〃=5時S,取得最小值,且Sn的最小值為54=1（4-9x4）=-10；

故答案為：n—5；—10

13.若雙曲線的離心率為近，寫出一個滿足條件的雙曲線方程

【答案】x2-y2=\（答案不唯一，等軸雙曲線均符合題意）

【解析】

【分析】本題屬于開放性問題，所有等軸雙曲線均符合題意.

【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為啦，即e=￡1+—y=A/2>所以

aa

故所有等軸雙曲線均符合題意，不妨取1一/=1.

故答案為：X2-/=1（答案不唯一，等軸雙曲線均符合題意）

2

14.已知橢圓￡：/+/=1的左右焦點(diǎn)分別是片，埠點(diǎn)尸在橢圓上，則歸國+|”|=：若

PRPFQO,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

V6V6

【答案】①.2。②.HF

【解析】

【分析】由橢圓方程求“c,結(jié)合橢圓的定義求I尸團(tuán)+|尸6I，求點(diǎn)片，鳥的坐標(biāo)，設(shè)尸國,外）,由條

件列方程和不等式，化簡求解即可.

【詳解】設(shè)橢圓,+/=1的長半軸長為。，短半軸長為b,半焦距為C,

則a=V3，b=1,c=V2，

所以片卜血,0）,鳥（、歷,0）,

由橢圓的定義可得|尸國+|尸聞=2。=26，

設(shè)尸（為,%），則段+y：=i,PFX=（-42-x0,-y^,PF2=（V2-XO,-JO）,

___23

因?yàn)樗?麗40,所以x；—2+.詔<0,即x：—2+1—&<0，

32

解得一逅Wx〈逅，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是V6V6

202

故答案為：26；V6y/6

15.邊長為1的正方體ABCD-4與。12中，E,F,G分別為AA,,CCi,BtQ的中點(diǎn)，H為正方體

內(nèi)的一個動點(diǎn)（包含邊界），且滿足5〃=1,則下列選項中所有正確結(jié)論的序號是.

①線段與G尸無交點(diǎn)；

②平面EPG截正方體所得到的截面圖形面積為逆；

4

7T

③直線BH與平面EFG所成角為一；

3

④在平面EEG上存在點(diǎn)〃，使得平面EEG.

【答案】①②

【解析】

【分析】求點(diǎn)B到直線GE的距離，結(jié)合BH=1,判斷命題①，設(shè)分別為的中

點(diǎn)，證明E,M,N,乙G,〃'共面，再求六邊形瓦團(tuán)VFG8'面積判斷命題②，建立空間直角坐標(biāo)系，證明

西為平面EEG的法向量，利用向量方法求直線區(qū)以與平面EPG所成角，取特殊點(diǎn)判斷命題③錯誤，

假設(shè)存在8點(diǎn)滿足條件，結(jié)合條件推出矛盾，判斷命題④，由此可得結(jié)論.

【詳解】由已知BBi=BC=BlCl=CiC=l,NBCF=ABBfi=90°,

因?yàn)槭?，G分別為CG，AG的中點(diǎn)，

連接8T，T為GR的中點(diǎn)，則8TLGE,BT=

所以點(diǎn)B到直線GR的距離為逆，又BH=1,

4

所以線段58與G尸無交點(diǎn)，①正確,

連接G8',H'E,EM,MN,NF,",/,N分別為4綜2。,。。的中點(diǎn),

因?yàn)?TG//4G，A^J/EF,

所以H'G//EF,所以〃',G,E,廠四點(diǎn)共面，

所以點(diǎn)//'e平面EFG,

因?yàn)镕NIIC[D,CQIIB、A,B、AI/H'E,

斫以FNIIH'E,尸€平面￡/6,H'Eu平面EFG,

所以Ne平面EEG,

同理可證Me平面ENG,

所以E,MN,F,G,〃'共面,

V2

又EM=MN=NF=FG=GH'=H'E

2

6

所以平面MG截正方體所得到的截面圖形為正六邊形EMM4汨'，且邊長為注，

2

所以面EFG截正方體所得到的截面圖形面積為6x-x—X—,②正確,

2244

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA,BC,BBX為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則B(o,o,o),R(1」」)，￡「，0,￡|，

所以西=(1,1,1),=(-1,1,0),不=1°，)，一￡|，

—■—-—■—.11

所以8。］?￡￡=—1+1+0=0,5￡>1-GF=0+---=0,

所以西=(1,1,1)為平面EEG的一個法向量，

設(shè)X的坐標(biāo)為(。,仇。)，則5H=(a,"c),

0<a<l,0<Z><l,0<c<l,

因?yàn)?H=1,故J/+4+c2=1，

設(shè)直線與平面MG所成角為凡則

I——?----d|a+b+c|a+b+c

sin。=bosBH,BDA=」?==「/=

11^a2+b2+c2^a2+b2+c2

5/3V3V3I.AV3

取〃二—,b--,c=—，貝mIsm。=—j=—=1,

333V3xl

JTjr

又0,-,所以6=乙，

L2j2

7T

此時直線58與平面EFG所成角為一，③錯誤，

2

設(shè)平面EFG上存在點(diǎn)H,使得BH±平面EFG,

因?yàn)槟钙矫鍱PG,所以麗//西，

所以（a,4又而涯77=1，

所以a=叵,b=gc

333

所以“浮，

,EH=--—1,

3J3332J

因?yàn)槠矫鍱EG,

所以可設(shè)EH=xEF+yGF

1

所以-X=-l,x+y二9一v

3232-32

J3

所以—組,V|j__j_V3

X=1X+-5V-

3IV2-23

由第一個方程與第三個方程相加可得0引號漢1,與第二個方程矛盾,

3

所以滿足條件的點(diǎn)〃不存在，④錯誤;

故答案為：①②.

三、解答題（共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）

16.已知圓C：X2+（J-2）2=4,直線/：x+y-l=O.

（1）求過圓心且與直線/垂直的直線方程；

（2）直線/與圓。交于A,5兩點(diǎn)，求V48C的面積.

【答案】（1）x-y+2=Q

(2)T

【解析】

【分析】（1）由圓的方程求圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系求所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程;

（2）求出弦長后利用公式可求面積.

【小問1詳解】

圓必+?―2『=4的圓心坐標(biāo)為（0,2）,半徑外=2,

直線x+y-l=0的斜率為—1,

與直線/垂直的直線的斜率為1,

所以過圓心且與直線I垂直的直線方程為x-歹+2=0,

【小問2詳解】

|0+2-1|_|1|

圓心（0,2）到直線/距離d=

Vi2+i2

所以|48|=21戶—屋

1后

所以的面積S=L\AB\d=^.

入ABC2II2

17.如圖，己知正方體4BC?！?8]G2,邊長為2.

（1）證明：BD1AXC；

（2）求二面角4—8?！狢的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵一走

3

【解析】

【分析】方法「（1）證明NCIAD,AAX±BD,由線面垂直判定定理證明5。工平面，由此證

明結(jié)論；

（2）證明N4。。為二面角4-AD-C的平面角，解三角形求其余弦值；

方法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線8。,4c的方向向量，利用向量方法證明兩直線垂直；

（2）求平面BCD,48。的法向量，求兩向量的夾角余弦，結(jié)合圖形確定二面角4-AD-C的余弦值.

【小問1詳解】

方法一：連接NC,設(shè)NCn8Q=。，在正方形4BCD中，AC1BD,

在正方體ABCD-481GA中，平面ABCD,且RDu平面ABCD

AA1±BD,

?.?幺4（=平面2/。，ZCu平面N/C,且幺40幺。=幺，

.?.80人平面4幺。，又&Cu平面Z/C

BD14c

方法二：在正方體45CQ—481GA中，DD11AD,DDl1DC,ADVDC.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，方Z反,西為x,y,2軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,4（2,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

.?.麗=（2,2,0）,布=（—2,2,—2）,

vD5-4C=（2,2,0）-（-2,2,-2）=-4+4+0=0,

【小問2詳解】

方法一：連接4。,

?.?△5。中，BC=DC,。為AD的中點(diǎn),

COA.BD,

在正方體ABCD—4AGA,4。=&B,

在小A、BD中4?！繠D,

所以ZA.OC即為二面角的平面角,

?.?在△ZQC中，OC=a，AQ=5AXC=273

222

Afl+OC-AxC_V3

由余弦定理可cosZA^C=

2400c—T

二面角A.-BD-C的余弦值一巨

3

方法二：平面BCDLz軸，所以點(diǎn)=（0,0,1）為平面8c。的一個法向量,

設(shè)平面4臺。的法向量〃2=（x/，2）

因?yàn)辂?（2,0,2）,麗=（2,2,0）

-n2=2x+2z=0

n2=2x+2y=0

令ex=l,則y=-l,z=-l,

所以%=（1,—1,-1）為平面48。的一個法向量，

觀察圖形可得二面角A1-BD-C的平面角為鈍角，

所以二面角A「BD—C的余弦值一立.

3

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為耳，且%+%=12,艮=25.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）數(shù)列也｝的前"項和為北，且滿足4=2%,從下列三個條件中任選一個作為己知，求數(shù)列｛4｝的

通項公式及數(shù)列｛4+bn｝的前"項和K".

條件①4+1=34；

條件②｛4｝的前〃項和為（=3--1；

條件③log3-^=a?-n.

【答案】(1)an=2n-l

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和求和公式將條件轉(zhuǎn)化為的方程，解

方程求再求結(jié)論，

(2)選①，根據(jù)等比數(shù)列定義證明｛4｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求”,利用分組求和法結(jié)合等

比數(shù)列求和公式等差數(shù)列求和公式求結(jié)論；

選②，由北與”的關(guān)系，求乙，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式等差數(shù)列求和公式求結(jié)論；

選③，由(1)結(jié)合關(guān)系log3，=。，-"求數(shù)列｛4｝的通項公式，利用分組求和法結(jié)合等比數(shù)列求和公式

等差數(shù)列求和公式求結(jié)論；

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d，

因?yàn)?+。4=12,85=25,

E+%=2%+5(7=12

所以1軟，

—5%+1Oci—25

=1,d=2,

an=2?-1；

【小問2詳解】

由(1),4=24=2,

選條件①，；4+1=3b”,4=2,

所以2包=3,

所以數(shù)列也“｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)歹

.?也=2x3'i,

n

數(shù)列｛%+4｝的前項和Kn=%+4+%+旬+/+63T--卜勺+“

—(%+出+“3'------卜4)+('1+，2+'3'--------卜)

_(l+2I)〃2(1-3W)

=-2-

=r+3"—i,

選條件②，｛"｝的前"項和為1=3"-1,b、=T[=2,

當(dāng)“22時，bn=T”-T-[=(3"_1)_(3"T_1)=2X3"T,

又”=1時，4=2x=2,

所以〃=2X3"T,

數(shù)列｛%+，｝的前”項和

Kn=%+by+。2++。3+&+-----%+"

=(〃]+。2+%--------Q〃)+(b[+b?+&H----

_(l+2n-l)n2(1-3")

=-2-+^3-

=M2+3n-l

選條件③，因?yàn)閘og3g^。0-〃二〃-1

所以與=3"T,故”=2x3i,

數(shù)列｛%+4｝的前”項和

Kn=%+by+出++。3+4--------%+"

二(%+。2+“3--------Q”)+伍1++“3----------卜b〃)

_(1+2?-1)?2(1-3")

=-2-+^3-

=n2+3"-l

19.已知拋物線C：/=2夕x(夕＞0)的焦點(diǎn)為尸，且經(jīng)過點(diǎn)M。,—2).

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)F坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(2)拋物線C上一點(diǎn)N,若刊=6,求N點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)直線/：》=叼+1與拋物線C交于A、8兩點(diǎn)，若"BO(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,求加值.

【答案】⑴y2=4x,尸(LO),x=-l

(2)N(5,±26)

(3)加的值為指或-JL

【解析】

【分析】(1)將四。,-2)代入拋物線方程可求。，由此可求拋物線方程，再求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)由條件結(jié)合拋物線的定義求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再代入拋物線方程求其縱坐標(biāo)，由此可得結(jié)論；

(3)聯(lián)立方程組，結(jié)合設(shè)而不求法表示A4B。的面積，列方程求加.

【小問1詳解】

V拋物線/=2px經(jīng)過點(diǎn)

.,.4=2/7,故2=2,

...拋物線C的方程為/=4x,

???拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

【小問2詳解】

由N向準(zhǔn)線x=—1引垂線，垂足為N-

若|NF|=6,由拋物線定義可知：|A不|=|MVj=6,且準(zhǔn)線方程：x=-l,

點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為5，代入拋物線方程得到/=20.

y=+2^5,

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為卜,±2后).

【小問3詳解】

因?yàn)橹本€AB的方程為x^my+1,所以直線AB過點(diǎn)F(l,0),

y2=4x,

聯(lián)立《，消x可得>2—4紗—4=0,

x=my+1

方程j2-Amy—4=0的判別式A=16m2+16>0.

設(shè)4（再,％）,8（%2，%），

由己知必,％為方程/-4mv-4=0的兩根，

所以必+%=4機(jī)，％%=-4，

又以BO的面積S^AB0=S*AOF+S^B0F=1x|（9F|x|j1|+|x\OF\x|j2|=||j2-,

所以S.ABO=17（.^2+J71）2-4^1=2Vm2+l，

由己知，2,m2+1=4,解得m=+V3，

所以用的值為6或-G.

20.如圖，在四棱錐P—ZB”中，平面尸DC，平面Z5C。，BC1DC,AB//DC,E為P4中點(diǎn),

PD=DC=BC=1,PC=6，4B=2.

(1)求證：￡>￡//平面P8C；

(2)求直線DE與平面尸48所成角的正弦值；

(3)在線段DP上是否存在點(diǎn)。，使得PB//平面NCQ,若存在，求出咨的值；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)證明見解析

⑵—;

3

⑶存在，跑」

DP3

【解析】

【分析】(1)取P8的中點(diǎn)尸，證明?！辍‥C,根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線QE的方向向量與平面尸48法向量，利用向量夾角公式求兩向量的夾

角余弦，由此可得結(jié)論；

(3)假設(shè)線段QP上存在點(diǎn)。，使得PB//平面ZC0,求直線尸2的方向向量和平面NC。的法向量，由

假設(shè)可得兩向量垂直，列方程求出。的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論.

【小問1詳解】

取依的中點(diǎn)尸，連接￡尸，F(xiàn)C,

因?yàn)镋,尸分別為P4,網(wǎng)的中點(diǎn)，

所以△R48中，EF//AB,EF=-AB.

2

???底面Z5CD中，AB=2,DC=1,ABHDC,AB=-DC,

2

EF//DC,EF=DC,

???四邊形EEC。為平行四邊形，

■.DE//FC,

???ECu平面DSC,平面P8C,

.??￡)￡//平面P8C；

【小問2詳解】

取48的中點(diǎn)N,連接ON,

因?yàn)镹BI/DC,NB=DC,

所以四邊形NBCD為平行四邊形，

所以。N//8C,又BCA.DC,

所以

因?yàn)槠矫媸Ｆ矫?8C。，平面尸OCA平面48CO=Z)C,QNu平面48CD,

所以。N1平面P0C,尸￡>,DCu平面

所以。N_LPZ),DNLDC,

因?yàn)槭琙)=DC=1,PC=g，

所以尸￡>2+。。2=尸。2,所以尸0，。。，

所以￡>N,DC,￡)尸兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，而，反，赤為x，，2軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),2(1,-1,0),5(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,1),E

所以市=P2=(1,-1,-1),方=(0,2,0),

設(shè)平面尸48的法向量為萬=(x,y,z),

取x=l,則V=0,z=l.

所以方=(1,0,1)為平面尸4g的一個法向量,

——?一—xl+x0H—x1I—

--?.n92_V6

所以cosCD￡R〉=

DE-n；xJl+O+l3

設(shè)直線DE與平面PAB所成角為凡貝1Jsin8=—

3

所以直線。￡與平面尸48所成角的正弦值為45；

3

【小問3詳解】

設(shè)線段DP上是存在點(diǎn)。(0,0,c),使得「5//平面NCQ,0<c<l,

設(shè)平面/C0的法向量為應(yīng)=(M，%,zJ,

又衣=(-1,2,0),CQ=(O,-l,c),

AC-m=0f-x+2y,=0

貝|J一，即八，

CQm=0L%+CZ]=°

取Z]=1,則必=C,Xx=2c,

所以沅=（2c,c,l）為平面ZC0的一個法向量,

因?yàn)镻8//平面NCQ,

所以而,有，又而=（1,1,—1）,

所以PB-m=2c+c-l=0>

所以c=L

3

所以存在點(diǎn)。，使得尸5//平面NC0,此時也=」.

DP3

22

21.己知橢圓E：=+與=1（口〉6〉0），左右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,△4大耳為正三角形，點(diǎn)

ab

[1,-1]在橢圓上，過片（與X軸不重合）的直線與橢圓E交于N兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程及離心率；

（2）在無軸上是否存在定點(diǎn)尸（與大不重合），使得點(diǎn)大到直線尸PN的距離總相等，若存在，求

出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

V2y21

【答案】（1）土+匕=1,e=—

432

（2）存在，尸（—4,0）

【解析】

【分析】（1）依題意可得a=2c,即可求出離心率，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)，即可得到方程組，求出