專題09尺規(guī)作圖+補(bǔ)全證明過(guò)程

(5類基本尺規(guī)作圖50道)

目錄

【題型1作已知線段相等線段1.....................................................................................................1

【題型2角平分線】............................................................................16

【題型3垂直平分線】..........................................................................31

【題型4過(guò)點(diǎn)作已知直線的垂線】...............................................................48

【題型5作已知角相等角】.....................................................................63

【題型1作已知線段相等線段】

1.如圖，AD||BC,47平分NB4D,請(qǐng)完成下面的作圖和填空.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在線段BC上截取BE=4。，連接DE,交4c于點(diǎn)F；

(2)已知：AB+NBED=180。，求證：=ZC.請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：

證明：?.明IBC,

???z.2=z■①,

???AC平分NBA。，

???②.

???zl=zC.

???NB+NBED=180°,

???③.

???Z1=4④.

Z.CFE=Z.C.

【答案】①見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答

本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)已知線段作線段即可；

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：如圖所示即為所求；

???z.2=Z.C,

???4C平分NB40,

z.2=zl.

???zl=Z.C.

???乙B+(BED=180°,

ABWED.

Z1=乙CFE.

Z.CFE=Z.C.

2.如圖，DE、4”分別平分NADC、乙BAD,^EDC=36°,AB\\CD.

（1）尺規(guī)作圖：在射線力B上作4F=4D,并連接HF；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，已知乙4HF=36。，

求證:ADWHF.

證明：???DE平分NADC,NEDC=36。，（已知）

■■^ADC=①=72。（角平分線的定義），

■.■ABWCD,（己知）

：.^ADC=^BAD(②),

又?.?力”平分NBA。，（已知）

???③（角平分線的定義）

又：乙針/尸二36。，（已知）

??.（4）（等量代換）

.-.ADWHF（⑤）.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①2/EDC；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③④乙DAH=UHF；⑤內(nèi)錯(cuò)角相

等，兩直線平行

【分析】（1）以A為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑畫弧交4B于F,連接HF即可得到答案；

（2）先由角平分線的定義得到乙WC=72。，再由平行線的性質(zhì)得到N4DC=乙BAD=72。，即可利用角平分

線的定義得到N￡MH=36。，進(jìn)一步證明=即可證明4D||HF.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：???DE平分N&DC,Z.EDC=36°,（已知）

.?2DC=2NEDC=72°（角平分線的定義），

■：AB\\CD,（已知）

.?.乙40C=4艮4。=72。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

又,??4”平分NBAD,（已知）

1

.?2￡MH=5?D=36°（角平分線的定義）

又?.24HF=36。，（己知）

.-.ADAH=AAHF（等量代換）

.?.4。舊尸（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：①2NEDC；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③ND4H=184。=36。；④4DAH=UHF；⑤

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，線段的尺規(guī)作圖，畫線段等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

3.如圖，在△4BC中，4D是△4BC的角平分線，E為4B邊上一點(diǎn)，連接DE.

⑴尺規(guī)作圖：作線段CF使CF=C4交4D延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法及結(jié)論）

（2）在（1）問(wèn)的條件下，若乙4CB+/CDE=180。，Z.FCB=Z5=40°,^CFA=30°,求NBDE的度數(shù).請(qǐng)補(bǔ)

全下面解答過(guò)程.

解：???ZFCB=Z.B（己知）

???CFII—①—（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

.-./.FAB=/-CFA（_②_）

■.■^CFA=30°（已知）

.?2兄48=30。（等量代換）

?./D是△A8C的角平分線（已知）

■■^CAB=—③—=60。（角平分線的定義）

■:^ACB+/.CDE=180°（已知）

.-.ACWDE（_?_）

??2DEB=Na4B=60。（兩直線平行，同位角相等）

在△BDE中，=40。（已知），Z.DEB=60°（已證）

乙B+乙BDE+乙DEB=180°（_⑤_）.

"BDE=180。-NB—NDEB=80°（等式的性質(zhì)）

【答案】（1）見(jiàn)解析

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2乙FAB；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；三角形的內(nèi)角和為180。

【分析】（1）延長(zhǎng)2。，以點(diǎn)C為圓心，的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交4。的延長(zhǎng)于「貝。CF為所求的線段；

（2）由題意可得CFIIAB,則有=凡4,從而可求得4cAB=2NF4B=60。，再由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩

直線平行得4CIIDE,有NDEB=NC4B=60。，貝U可求NBDE的度數(shù).

【詳解】（1）解：延長(zhǎng)4。，以點(diǎn)。為圓心，乙4的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交4。的延長(zhǎng)于尸，貝UCF為所求的線段,

如圖所示：

CF即為所求；

⑵,:乙FCB=LB（已知），

.-.CFWAB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

乙FAB=4CFA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

???ZCFX-30°（已知），

.?Z凡4B=30°（等量代換），

??/D是△ABC的角平分線（已知），

.?288=24凡43=60。（角平分線的定義），

■.■/LACB+/.CDE=180°（已知），

.■.ACWDE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），

.?2DEB=Na4B=60。（兩直線平行，同位角相等），

在△BDE中，

?.28=40。（已知），4DEB=6。。（已證），

乙B+乙BDE+乙DEB=180°（三角形的內(nèi)角和為180。），

：/BDE=18O°-ZB-ZDEB=80°（等式的性質(zhì)）.

故答案為：AB；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2ZFXB；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；三角形的內(nèi)角和為

180°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角與

各邊的關(guān)系.

4.如圖，點(diǎn)。、E、尸分別是線段BC、AC,AB上的點(diǎn)，連接DE、EF.

A

⑴尺規(guī)作圖：在射線4F上作4G=ED,并連接DG.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，^AB||ED,AAEF=A.BDG,乙DEF=^B,求證：CA||DG.

證明：MB||ED（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

"DEF=①（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）

又“DEF=LB（已知）

.?.乙4FE=NB（等量代換）

：.EF||CB（②）

:.^AEF=ZC（③）

又?：乙AEF=ABDG（已知）

.?.ZC=@（等量代換）

■■CA||DG（同位角相等，兩直線平行）.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）乙4FE；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；乙BDG

【分析】（1）以4為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫弧，交力B于G,連接DG,即可得到答案；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到NC=4BDG,再根據(jù)平行線的判定即可推出。IIIDG.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

（2）證明：?MB||ED（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）,

??ZDEF=N4FE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

又MDEF=KB（已知），

...乙AFE=4B（等量代換），

■■EF||CB（同位角相等，兩直線平行），

.?Z4EF=NC(兩直線平行，同位角相等),

又.：4AEF=4BDG(已知)，

：.乙C=ABDG(等量代換)，

■■CA||DG(同位角相等，兩直線平行)，

故答案為：乙4FE；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；4BDG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD||BC,BE1AC于點(diǎn)E.

⑴尺規(guī)作圖：在邊4。上截取4F=BC,過(guò)點(diǎn)F作對(duì)角線4C的垂線，交4c于點(diǎn)G.(要求：保留作圖痕跡，不

寫做法)

⑵連接CF,證明△4BE三△CFG.將下面的過(guò)程補(bǔ)充完整.

證明：???(1),AF=BC

???四邊形2BCF是平行四邊形

AB||CF,(2)_______________

(3)_______________

BE1AC,FG1AC

：./.AEB=乙CGF=90°

AXSWACFG43

((4)________

乙BAE=乙FCG

IAB=CF

.?.△ABE三△CFG(AAS)

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)AD||BC-乙BAE=AFCG；4BAE=4FCG,乙AEB=LCGF

【分析】(1)先在線段AD上截取4F=BC,再利用垂線的尺規(guī)作圖方法作出FGL4C于G即可；

(2)先證明四邊形4BCF是平行四邊形，得到AB||CF,4B=CF,再根據(jù)垂直的定義得到N4EB=NCGF=90。,

由此可利用AAS證明△ABE^△CFG.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求;

（2）證明：???AD||BC,AF=BC,

???四邊形4BCF是平行四邊形，

：.AB||CF,AB=CF,

Z.BAE=Z.FCG,

vBEVAC,FGVAC,

Z-AEB=乙CGF=90°,

在△/BE和△CFG中

（乙AEB=乙CGF

（^BAE=ZFCG,

（AB=CF

??.△ABE=△CFG（AAS），

故答案為：AD||BC；AB=CF-^BAE=Z.FCG,Z.AEB=Z.CGF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖一一作線段和作垂

線等等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，ABWCD,射線4E與CD交于點(diǎn)尸，射線CG與4E交于點(diǎn)H.若力。是4B4E的角平分線，且

+NAHG=180°.

⑴尺規(guī)作圖：在射線2B上作=并連接DM（不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵試說(shuō)明=請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程，即在橫線處填上結(jié)論或理由.

證明：ABWCD（已知）

4BAD=（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

???力D是NB4E的角平分線（已知）

.-.ZSXD=^DAE（）

KD=（等量代換）

???4DAE+UHG：=180°（已知）

（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

ZC—zD（）

^DAE=ZC（等量代換）

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵ND；角平分線的定義；Z.DAE,ADWCG；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與

靈活運(yùn)用.

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)等進(jìn)行作答即可.

【詳解】（1）解：DM如圖所示，

（2）證明：?MB||（已知）

.-.ABAD=Z.D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?"1。是NB4E的角平分線（已知）

.-.^BAD=^DAE（角平分線的定義）

??ZD=ACME（等量代換）

■,■Z.DAE+AAHG=180°（已知）

.■.ADWCG（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

：/C=4D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

.-.^DAE-ZC（等量代換）

故答案為：乙D；角平分線的定義；ADAE；ADWCG；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

7.在學(xué)習(xí)旋形的判定時(shí)，小明思考怎么在平行四邊形4BCDQ4D>AB）里面剪出一個(gè)菱形，小明的思路是:

先作NBCD的角平分線CE交2D于E,在CB上截取CF=CD,然后連接EF.通過(guò)鄰邊相等的平行四邊形得菱

形EFCD,請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：作NBCD的角平分線CE交4D于點(diǎn)￡,在CB上截取CF=CD.（保留作圖痕跡,

不寫作法、結(jié)論）

（2）證明：?.?四邊形2BCD為平行四邊形，

■■.Z-FCE=/.DEC,

???CE平分NBCD,

"DEC=Z.DCE,

?:CF=CD,

四邊形EFCD是平行四邊形；

又,；_，

???四邊形EFCD是菱形.

【答案】⑴見(jiàn)詳解；

（2）見(jiàn)詳解

【分析】本題考查尺規(guī)作角平分線，作相等線段，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定：

（1）利用尺規(guī)作圖作角平分線，根據(jù)圓的半徑相等作線段即可得到答案；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4DIIBC,從而得到NFCE=NDEC,結(jié)合角平分線得到/DEC=ADCE,從

而得到DE=OC,即可得到=進(jìn)而即可得到證明

【詳解】（1）解：由題意可得，如圖所示，

以點(diǎn)C為圓心畫圓弧交兩邊于兩點(diǎn)，再分別以兩點(diǎn)為圓心畫圓弧交于一點(diǎn)，連接C與該點(diǎn)交力。于一點(diǎn)即為E

點(diǎn)，以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BC于一點(diǎn)即為F點(diǎn),

(2)證明：???四邊形48CD為平行四邊形,

.-.AD||BC,

:/FCE=乙DEC,

?；CE平分乙BCD,

：.Z-FCE=Z.DCE,

"DEC=乙DCE,

.,.DE=DC,

???CF=CD,

.-.DE=CF,

???四邊形EFCD是平行四邊形；

又?:DE=DC,

???四邊形EFCD是菱形.

8.如圖，N1=N2,點(diǎn)F在射線CB上.

D

⑴尺規(guī)作圖：在射線C8上作=并連接D4；(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，已知=

求證：4ADB=LE.

證明：zl=Z2(已知)，

■.BD||CE(①)

N3=②(③)

XVZ-DAB=Z-EBC（已知）

BE||AD（④）

z.3=⑤（⑥）

^ADB=ZE（等量代換）

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；乙E,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；乙4DB,兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等

【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意進(jìn)行作圖即可；

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)補(bǔ)全證明過(guò)程即可.

【詳解】（1）解：如圖，

D

Z3=ZE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

X???Z.DAB=Z.EBC（已知）

BE||AD（同位角相等，兩直線平行）

Z3=AADB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

/.ADB=ZF（等量代換）

故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；乙E,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；UDB,

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB<BC.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：作NB4D的平分線交BC于點(diǎn)E,在04上截取OF,使DF=CE（保留作圖痕跡,

不寫作法）；

⑵在（1）所作的圖形中，連接EF,求證：四邊形力BEF是菱形.請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程.

證明：???四邊形48C。為平行四邊形，.MDIIBC且AD=BC,

■.-DF=CE,.-.AD-DF=BC-CE,

四邊形2BEF是平行四邊形，

??,HE平分NB/IF,,

：./-BEA=Z-BAE.

??.,二四邊形4BEF是菱形.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）BE=AF；匕BEA=Z.EAF；Z-BAE=Z.EAF；AB=BE

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作出角平分線，以及線段，即可;

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定方法求證即可.

【詳解】（1）解：如圖所示：

(2)證明「?四邊形為平行四邊形，MDUBC且=

-DF=CE,

???AD-DF=BC-CE,

：,BE=AF.

??.四邊形是平行四邊形,

-ADWBC,=/.EAF.

'：AE^^Z.BAFf：.Z-BAE=Z.EAF,

：?Z.BEA=Z.BAE.

=.??四邊形4BEF是菱形.

BE,C

A1~~D

故答案為：BE=AF；NB￡;4=NEAF；/.BAE/.EAF-,AB=BE

【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖一角平分線、線段，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定方法.

10.在平行四邊形48a>中，AD>AB,

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取使得4E=4B,連接3E；過(guò)C作2E的垂線CH,垂足為

H；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)小組討論發(fā)現(xiàn)平分乙88,并給出以下證明，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：

證明：?./E=4B

??/ABE=_________

,?,四邊形ABCD為平行四邊形

：.AD\\BCfABWCD

：.Z-AEB=Z.CBE

"ABE=_________

-CH1BE

"CHB=90°

"CBE+Z-BCH=90°

-ABWCD

即：乙ABE+Z,CBE+乙BCH+乙DCH=180°

+乙DCH=90°

又“BE+乙BCH=90。且Z71BE=乙CBE

:?CH平分乙BCD

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵乙CEB,UBC+乙BCD=180°,乙DCH二乙BCH,

【分析】(1)如圖，以點(diǎn)4為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)、E,連接BE,以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)

的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線BE于點(diǎn)點(diǎn)N,分別以點(diǎn)點(diǎn)N為圓心，以大于長(zhǎng)的一半為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)尸，作射線。尸，交射線于點(diǎn)則點(diǎn)7/即為所求；

(2)根據(jù)=可得乙ABE=UEB,再由平行四邊形的性質(zhì)可得乙=4?！瓯仍俑鶕?jù)可

得4+=然后根據(jù)ZBIICO,可得乙4BE+NOCH=90。，從而得到乙DC4二4BC7/,即可求證.

【詳解】(1)解：如圖，ZE和S即為所求；

(2)證明：ME=48,

.\Z-ABE=UEB,

???四邊形/5CQ為平行四邊形，

：.AD\\BC,AB\\CDf

：.Z-AEB=乙CBE,

：.Z.ABE=乙CEB,

-CH1BE,

"CHB=90°,

.-.ZCBE+ZBCH=9O°,

-ABWCD,

.-.zS4^C+z5CD=180°,

即：Z.ABE+乙CBE+乙BCH+乙DCH=180°,

：.Z.ABE+乙DCH=90°,

又MCBE+乙BCH=90°且NABE=乙CBE,

■■.ADCH=ABCH,

;.CH平分4BCD.

【題型2角平分線】

11.已知：如圖，△力8c中，Z.BAC=90°,AB=AC,。為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn),AFIBD^E.

⑴尺規(guī)作圖：作N84C的角平分線交BD于G.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)中所作的圖形中，求證：AG=CF.補(bǔ)全下列證明過(guò)程：

證明：-■?ABAC=90。，AB=AC,

???4G平分NB4C,

zS4G=|zBXC=45°,

,

AF1BD,

??.AAEB=90°=ABAC,

??.ZFXD+ZBT4E=90°,+=

??.AACF=ABAG(),

??.AG=CF.

【答案】①作圖見(jiàn)解析

(2)N4BC=/C=45。；^BAG=zC；AFAD=ADBA；ASA.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的畫法作圖即可；

(2)根據(jù)題意完成證明過(guò)程即可；

本題考查了角平分線的畫法和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確

畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖所示，射線4G即為所求；

(2)證明：???ZFXC=9O°,AB=AC,

：.乙4BC=NC=45°,

???AG平分NBAC,

NB4G=/B4C=45。，

乙BAG=Z-C,

AF1BD,

???AAEB=90°=ABAC,

???乙凡40+乙&4E=90。，ND區(qū)4+乙44￡=90。,

???乙FAD=Z-DBA,

???AACF^ABAG(ASA),

??.AG=CF.

故答案為：Z^C=ZC=45°；/.BAG=ZC；Z-FAD=/.DBA；ASA.

12.如圖，在△ABC中，ZC=9O°,點(diǎn)。在邊AB上，BD=BC.

（1）作NB的平分線，交AC于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）;

⑵在（1）的條件下，連接CD,DE.求證：BE垂直平分CD.

證明：ME為乙4BC的平分線，

???Z-CBE=,

vBD=BC,BE=BE,

在△8DE和△BCE中

BD=BC

BE=BE

BDE=ABCE(),

兩點(diǎn)都在CD的垂直平分線上，

??.BE垂直平分CD.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)角的平分線的基本作圖，規(guī)范解答即可；

（2）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定界點(diǎn)值即可.

本題考查了角的平分線基本作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握作圖，三

角形全等的證明是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：

則點(diǎn)E即為所求.

(2)證明：???BE為N4BC的平分線，

???乙CBE=Z-DBE,

,:BD=BC,BE=BE,

在和△BCE中

(BD=BC

Z.DBE=Z.CBE

IBE=BE

???△BDE=△BCE(SAS)，

??.ED=EC.

:?B、E兩點(diǎn)都在CD的垂直平分線上，

??.BE垂直平分CD.

故答案為：4DBE,乙DBE=SAS,ED=EC,B、E.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)E在4D的延長(zhǎng)線上.

A

⑴尺規(guī)作圖：作NACB的平分線交4。于點(diǎn)F（按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵填空：在（1）的條件下，若2乙EBD=cABC,試說(shuō)明OE=D尺

證明：-AB=AC,ADLBC,

;.BD=Z-ABC=

?：2（EBD=乙ABC,

：2乙EBD=

又???CF平分乙4CB,

/.2_=Z-ACB,

"EBD=

（乙EBD=Z.FCD

在△BED和中，\BD=CD,

i^BDE=乙CDF

△BED=△CFD（ASA），

：.DE=DF.

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，以小于BC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)、N,再分別以點(diǎn)M,N為圓

心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線CP,交4D于點(diǎn)廠；

（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD,AABC=AACB,結(jié)合已知條件得24EBD=4CB,再根據(jù)角平

分線定義可得NEB。=40CF,然后根據(jù)"ASA"證明△BED三△CFD,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】（1）解：如圖所示.

A

(2)-AB=AC,ADLBC,

;.BD=CD,Z-ABC=Z-ACB.

?；2乙EBD=乙ABC,

工2乙EBD=Z-ACB.

???CF平分NZCB,

：.2/-BCF=乙ACB,

.,.Z.EBD=Z-DCF.

在△BEO和△CF。中，

(乙EBD=乙DCF

]BD=CD,

JBDE=乙CDF

ABED=△CFD(ASA),

??,DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的定

義等，證明線段相等的常用方法是證明兩個(gè)三角形全等.

14.尺規(guī)作圖并完成證明.如圖，點(diǎn)。、點(diǎn)尸在△4BC外，連接4F、AD,BD,且AFUBC,

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：

作乙4BC的平分線BE交力F于點(diǎn)￡,連接CE(保留作圖痕跡，不寫作法);

（2）根據(jù)（1）中作圖，求證：AD=CE-請(qǐng)完善下面的證明過(guò)程.

證明：母平分N4BC,

"CBE=,

-AFWBC.

"CBE=.

.'.Z-ABE=Z-AEB.

在和△8D4中，

(AE=AB

^LABD=Z.CAF

.'.AACE=ABDA.

【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)基本作圖作已知角平分線的作法作出BE,再連接CE即可；

（2）先由角平分線定義與平行線的性質(zhì)證得NABE=ZTIEB,從而得到48=AE,然后利用SAS證

△2CE三△BD4則全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

Z.CBE=Z.ABE.

???AFWBC.

???Z.CBE=Z-AEB.

Z.ABE=Z.AEB.

???AB=AE.

在△?!(?￡1和△8ZM中,

(AE=AB

乙ABD=ACAF

(AC=BD

■.AACE^ABDA.

AD-CE.

【點(diǎn)睛】本是考查尺規(guī)基本作圖-作已知角的平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判

定與性質(zhì)，證得4B=4E是解題的關(guān)鍵.

15.我們知道，如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.證明

這種文字性命題一般思路為：畫草圖，寫出已知求證并證明.按以上思路完成下面的作圖與填空.

已矢口：如圖，NCAE是△ABC的夕卜角，4D平分NG4E,AD\\BC.

求證：AB=AC.

證明：用直尺和圓規(guī)作NC4E的平分線4D.(只保留作圖痕跡)

■:AD||BC,

?MD平分NC4E,

.-.AB=AC(_).

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，先根據(jù)角

平分線的尺規(guī)作圖方法作圖，再由平行線的性質(zhì)得到NB=NE4D,4：=乙CAD,進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義

推出乙8="，即可證明=

【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)作NC4E的平分線4D.(只保留作圖痕跡)

-■AD||BC,

.,.Z.B=Z-EAD,Z-C=Z-CAD,

???/D平分4C4E,

.\Z-EAD=Z.CAD,

:/B=zC,

?.AB=AC（等角對(duì)等邊）.

⑴使用尺規(guī)完成作圖：作ABAC的角平分線交BD于G.（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）

（2）填空：求證：AG=CF.

證明：ZSXC=9O°,AB=AC

.-.^ABC=ZC=一①。

?MG平分NBAC

1

?"AG="BAC=45。

：.z_BAG=Z-C

,：AF1BD

???乙AEB=90°=

.?21+NB/E=90。，Z2+^BAE=90°

???一③

△ACF^_@

：.AG=CF

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①45；②BAC；③N1=N2；（4）ABAG

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì).

（1）根據(jù)尺規(guī)作圖一作角平分線的方法和步驟進(jìn)行作圖即可；

（2）通過(guò)證明AACFmaBaG,即可求證AG=CF.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：^BAC=90°,AB=AC,

.?23。="=45。，

???AG平分NBAC,

1

?"4G=#B4C=45。，

：.Z-BAG=Z-C,

?：AFLBD,

??.Z.AEB=90°=乙BAC,

/.Zl+Z.^E=90°,42+N8AE=90。,

.,.zl=z2,

:AACF三ABAG,

"G=CF.

17.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小慶進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組對(duì)邊與同一條對(duì)角線

所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對(duì)角線所得的線段被對(duì)角線的交點(diǎn)平分.其解決思路是

通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NCB。的平分線，交AC于點(diǎn)足（只保留作圖痕跡）

己知：如圖，在口4BCD中，AC,BD交于點(diǎn)O,DE平分NADB交4C于點(diǎn)E,BF平分NCBD交"于點(diǎn)尸.

求證：0E=0F.

AD

E

證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

:.AD\\BC,?！?=①，

：.Z-ADB=Z-CBD.

又???DE平分BF平分乙CBD,

"EDO=^ADB,⑵=g乙CBD.

：.Z.EDO=Z.FBO.

又MEOD=⑶,0D=0B,

AEOD=AFOB(ASA).

.-.OE=OF.

小慶再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線截另一對(duì)角線所

得的線段均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)作兩條平行線，這兩條平行線截另一對(duì)角線所得的線段⑷.

【答案】①。8,②乙FBO,③NF08

【分析】本題考查尺規(guī)作圖以及全等三角形的性質(zhì).根據(jù)要求做出圖形，證明△EOD=△FOB,推出。E=OF

即可得出答案.

【詳解】解：圖形如圖所示：

證明：,??四邊形4BCD是平行四邊形，

:.AD||BC.OD=①0B,

：.Z-ADB=Z-CBD,

又???0E平分NADB,BF平分乙CBD,

"EDO=^ADB,@AFBO=jzCBD.

"EDO=Z-FBO.

又?"。。=③NFOB,OD=OB

/\EOD=^FOB{ASA）,

：.OE=OF.

故答案為：①。8,②乙FBO,③4FOB.

18.在學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)，小西和小北進(jìn)行了拓展探究.如圖，在口48?！辏┲?，點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn),

且力B=BE.

（1）作N4BC的平分線BF交2。于點(diǎn)R連接EF（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；

⑵根據(jù)（1）中作圖，小西猜測(cè)四邊形力BEF是菱形，小北寫出了如下不完整的證明思路，請(qǐng)你幫助她們把

證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

證明：「BF平分乙4BC,

???①.

?.?在口4BCD中，ADWBC,

???②，

：.Z-ABF=Z.AFB,

'：AB=BE,

■,■BEWAF,

四邊形A8EF是平行四邊形，

又vAB=BE,

.??四邊形4BEF是菱形.

小西和小北經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，4E與8尸互相垂直，并且與CMBCD的內(nèi)角無(wú)關(guān).

請(qǐng)你依照題意完成下面的命題：

平行四邊形的任意一組內(nèi)角的平分線X5I.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析

（2）①乙4BF=NEBF；②4EBF=4AFB；（3）AB=AF；@BE=AF；⑤互相垂直

【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌

握平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)畫角平分線的方法即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義得乙4BF=NEBF,平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得2DIIBC,由

UBF=UFB得4EBF=N4FB可得4B=AF,進(jìn)而得到BE=AF,然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形可判定四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖：即為所求；

(2)證明：???BF平分乙4BC,

■■.Z-ABF=Z.EBF.

?.?在口中，ADWBC,

.-.Z.EBF=Z.AFB,

:./.ABF=/.AFB,

:.AB^AF.

■.■AB=BE,

：.BE=AF.

■:BE\\AF,

四邊形4BEF是平行四邊形，

又「AB=BE,

四邊形ABEF是菱形.

平行四邊形的任意一組鄰角的平分線：相互垂直,

理由如下：

■.■aABCD,

：.AD\\BC,

:./.ABC+Z.BAD=180°,

???BF平分入4BC,2E平分NBA。,

11

.?ZABF=^LBAE=-ABAD,

1

■■/.ABF+乙BAE=-(ABAD+AABC)=90°,

■■.AE1BF,即平行四邊形的任意一組鄰角的平分線相互垂直.

故答案為：①N4BF=/EBF；②乙EBF=AAFB；(3)AB=AF；@BE=AF；⑤互相垂直.

19.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小慶進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一組對(duì)邊與同一條對(duì)角線

所組成的角的平分線，那么這兩條角平分線截另一對(duì)角線所得的線段被對(duì)角線的交點(diǎn)平分.其解決思路是

通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作NCBD的平分線，交4c于點(diǎn)F(只保留作圖痕跡)

己知：如圖，在口4BCD中，4&BD交于點(diǎn)O,DE平分乙4DB交4c于點(diǎn)E,BF平分NCBD交力C于點(diǎn)尸

求證：OE=OF

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形

■.ADWBC,OD=

：.Z.ADB=Z-CBD

又???DE平分“DB,BF平分乙CBD

:.乙EDO=W^ADB,②="CBD

22

"EDO=Z-FBO

又;NEOD=③OD=OB,

△EOD=△FOB(ASA)，

：.OE=OF.

【答案】圖形見(jiàn)解析；①。出②乙FBO；③NBOF

【分析】本題考查命題與定理，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)要求畫出圖形,

證明△EOD三/XFOB,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，8F即為所求；

AD

E

…c

???四邊形/BCD是平行四邊形

：.AD\\BCfOD=OB,

：.Z.ADB=Z-CBD,

又???0E平分乙408,BF平分乙CBD

1i

-.AEDO=^ADB,乙FBO=萬(wàn)乙CBD

"EDO=Z-FBO

又?：乙E0D=幺B0F,0D=0B,

△E0D=△FOB(ASA)，

：,OE=OF.

20.如圖，在四邊形力BCD中，AD\\BC92BZC=90°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).

(1)尺規(guī)作圖：作“EC的平分線EF,與力D交于點(diǎn)F,連接CF.

⑵求證：四邊形2ECF是菱形，請(qǐng)根據(jù)以下思路完成填空.

???EF平分N4EC,

???①一，

vADWBC,

：.Z-AFE=乙CEF,

???②一，

：.AE=AF.

???ABAC=90°,點(diǎn)E是8C中點(diǎn)，

：.AE=^BC,CE=^BC,

：.AE=CE,

：.AF=CE,

-：AF||CE,

.,.③

又raE=CE,

.,.CZMECF是菱形（④_）.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①N4EF=NCEF；②N4EF=2FE；③四邊形力ECF為平行四邊形；④一組鄰邊相等的平行四邊形是

菱形

【分析】本題主要考查了菱形的判定，作一個(gè)角平分線，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形

的判定方法.

（1）按照作一個(gè)內(nèi)角平分線的方法，進(jìn)行作圖即可；

（2）先證明=得出力E=4F,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出力E=?BC,

CE=^BC,得出4E=CE,證明4F=CE,得出四邊形4ECF為平行四邊形，再證明口AECF是菱形.

【詳解】（1）解：如圖，EF即為所求作的角平分線.

(2)證明：rEF平分N4EC,

①乙4EF=NCEF,

■：AD\\BC,

：.Z-AFE=Z.CEF,

.-.@^AEF=AAFE,

：.AE=AF,

?■?ZFXC=9O°,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),

：.AE=|fiC,CE=迦,

：.AE=CE,

：.AF=CE,

-：AF||CE,

.?.③四邊形AECF為平行四邊形，

又以入CE,

.?.□4ECF是菱形（④一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

【題型3垂直平分線】

21.如圖，在△力BC中，CD為△NBC的角平分線.

（1）（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作線段CD的垂直平分線EF,分別交AC、BC于點(diǎn)E、F,垂足為。.連接

DE、DF.（保留作圖痕跡）

⑵小明利用（1）所作的圖形，證明四邊形DECF是菱形.請(qǐng)根據(jù)他的思路完成下面的填空.

證明：「CD平分乙4CB,

???①，

???EF垂直平分CD,

.??②，

：.Z-ACD=乙EDC,

二，

：.DE||BC,

???同理，DFWAC,

???④,

■:EC=ED

二平行四邊形。ECF是菱形

小明通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)任意三角形的一條角平分線到對(duì)邊的交點(diǎn)，同該角平分線的垂直平分線與該角兩邊的

交點(diǎn)，和這個(gè)角頂點(diǎn)都能圍成一個(gè)四邊形，那么⑤.

【答案】①見(jiàn)解析

（2）^ACD=ABCD；EC=ED-Z-BCD=AEDC-四邊形DECF為平行四邊形；這個(gè)四邊形是菱形

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形

的判定可得答案.

【詳解】（1）解：所作圖形如圖所示.

(2)證明：TCD平分

???Z-ACD=Z.BCD,

??,EF垂直平分CD,

EC=ED,

???Z-ACD=乙EDC,

Z-BCD=乙EDC,

??.DE||BC,

???同理,DFWAC,

四邊形DECF為平行四邊形，

■：EC=ED,

二平行四邊形OECF是菱形.

小明通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)任意三角形的一條角平分線到對(duì)邊的交點(diǎn)，同該角平分線的垂直平分線與該角兩邊的

交點(diǎn)，和這個(gè)角頂點(diǎn)都能圍成一個(gè)四邊形，那么這個(gè)四邊形是菱形.

故答案為：乙ACD=4BCD；EC=ED；乙BCD=LEDC；四邊形DECF為平行四邊形；這個(gè)四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、

菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

22.如圖，在△力BC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，連接2D.

⑴請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成基本作圖：作力。的垂直平分線EF交2D于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,連接DE、

DF；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）

⑵求證：AE=DF.（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）.

證明：???AB=4C,。為BC中點(diǎn)，

???Z.1=.

???EF為/。的垂直平分線，

^AOE=AAOF=90°,AF=DF

又???Zl+^AOE+/-AEF=180°,z2+^AOF+Z.AFE=180°,

/.Z.AEF=.

AE=,

AE=DF,()

【答案】(1)見(jiàn)詳解

(2)Z2,Z.AFE,DF

【分析】(1)根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖求解即可；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等量代換求解即可.

【詳解】(1)解：直線EF即為所求，

(2)證明：如圖,

BDC-.-AB=AC,D為BC中點(diǎn),

??.z.1=Z2,

???EF為的垂直平分線，

???44?！?4/。9=90。，AF=DF.

又vzl+Z.AOE+Z.AEF=180°,z2+Z,AOF+/.AFE=180°,

AZ.AEF=Z-AFE,

:.AE=AF,

：.AE=DF.

故答案為：42,^AFE,DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖一基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定.

23.如圖，在△ABC中，AB=AC>BC.

⑴求作ZB邊的垂直平分線DE,交2B于點(diǎn)E,交4c于點(diǎn)D,連接BD.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作

痕跡）

⑵若4D=BC,求NA的度數(shù)，請(qǐng)根據(jù)以下的思路完成下列填空.

解：?.FB=4C,

???①_（等邊對(duì)等角）

又「DE是4B的垂直平分線

.?.②_（中垂線的性質(zhì)）

.,?乙4=乙DBA

-AD=BC

二③一（等量代換）

.*.Z.C=Z.BDC

?叱BDC=+乙DBA=244

.,.Z.C=Z-ABC=2/.A

“A+NC+④_=5乙4=180°（三角形的內(nèi)角和為180。）

.?.乙4=36°

由上述證明可得：在等腰三角形（腰長(zhǎng)大于底邊長(zhǎng)）中，作一條腰的中垂線交另一腰于一點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)與此

等腰三角形頂點(diǎn)的距離與底邊長(zhǎng)度相等時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為⑤一度，人們稱具有此特征的等腰三

角形為“黃金三角形

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）ZC=^ABC；AD=BD；BC=BD；4ABC；36

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定

理等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)尺規(guī)作線段垂直平分線的作法，作出力8邊的垂直平分線DE,交AB于點(diǎn)E,交4C于點(diǎn)。，連接8。

即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角，推出NC=N4BC=2N4結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。，得出

4力+NC+乙48c=5乙4=180。，求出乙4的度數(shù)，根據(jù)證明得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）解：如圖，即為所求，

（2）解：???4B=4C,

.-.ZC=/.ABC（等邊對(duì)等角），

又「DE是的垂直平分線，

：.AD=BD（中垂線的性質(zhì)），

■■-Z-A=4DBA,

■.■AD=BC,

：.BC=BD（等量代換），

.-.Z.C—Z.BDC,

?:乙BDC=z.A+/.DBA=2Z.A,

:.乙C=乙ABC=2z.X,

：./-A+NC+乙ABC=5zX=180°（三角形的內(nèi)角和為180。），

=36。，

由上述證明可得：在等腰三角形（腰長(zhǎng)大于底邊長(zhǎng)）中，作一條腰的中垂線交另一腰于一點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)與此

等腰三角形頂點(diǎn)的距離與底邊長(zhǎng)度相等時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為36度，人們稱具有此特征的等腰三

角形為“黃金三角形

故答案為：NC="BC；AD=BD；BC=BD；N4BC；36.

24.已知：如圖，在矩形4BCD中，連接AC.

（1）尺規(guī)作圖：作4C的垂直平分線，交CD于點(diǎn)、E,交力B于點(diǎn)尸，交4C于點(diǎn)0,連接AE,CF（只保留作圖痕

跡）；

⑵在（1）的條件下，為了證明四邊形2ECF為菱形，小南同學(xué)的想法為：先證明aa。尸三△C0E,再利用

菱形的判定，得到結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)小南同學(xué)的想法完成下面填空.

證明：???四邊形4BCD是矩形，

：.Z.0AF=Z.0CE.

???EF垂直平分/C,

：.EF1AC,OA=OC.

在△A0F與△C0E中,

^OAF=乙OCE

^AOF=乙COE

△A0F=△COE(ASA).

又?.?ZF||CE,

.?.四邊形AECF是平行四邊形.

■：EF1AC,

二平行四邊形4ECF是菱形（）.

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）AD||BC,OA=OC,AF=CE,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形

【分析】（1）分別以力、C為圓心，以大于4C一半的長(zhǎng)度畫圓弧，兩弧分別交于兩點(diǎn)，再作過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)

的直線，直線交CD于點(diǎn)交AB于點(diǎn)P,交4C于點(diǎn)。，問(wèn)題隨之得解；

（2）按照題干思路，利用菱形的判定定理判斷作答即可.

【詳解】(1)解：作圖如下:

(2)證明：???四邊形/BCD是矩形,

.-.AD||BC.

：.Z-OAF=Z.OCE.

???EF垂直平分/C,

.,.EFLAC,0A=0C.

在440?與△C0E中,

^OAF=AOCE

OA=OC

^AOF=乙COE

AAOF=△COE(ASA).

：,AF=CE

又?:AF||CE,

.?.四邊形AECF是平行四邊形.

■：EF1AC,

???平行四邊形4ECF是菱形(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).

故答案為：AD||BC,0A-OC,AF-CE,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出圖形，是解答本題的關(guān)鍵.

25.如圖，在△4BC中，AB=AC,D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

⑴用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作線段8。的垂直平分線，與邊4C,BC分別交于點(diǎn)E,F,在線段4B上

截取4H,使得=連接EH；（保留作圖痕跡，不寫作法和結(jié)論）

⑵在（1）所作圖形中，連接BE,DE,求證：HE=CD.（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）

證明：---AB^AC,AH=AE,

■,AB-AH=AC-AE,

???①.

???EF是BD的垂直平分線，

;/EBD=Z.EDC.

-AB=AC,

???③.

在△EC。中，/.CED=Z-ACB-Z.EDC,/.HBE=/.ABC-/.EBD,

."CED=AHBE.

（BH=EC（已證）

在△EBH和△DEC中，\⑷

（BE=ED（已證）

△EBH=△DFC（SAS）.

.-.HE=CD.

【答案】①作圖見(jiàn)解析

（2）BH=CE；BE=DE；乙48C=乙4CB；NHBE=NCED（已證）

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法可得直線EF,再以點(diǎn)力為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，交4B于

點(diǎn)H,連接EH即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)填空即可.

【詳解】⑴解：如圖所示.

：.BH=CE.

??,ER是BO的垂直平分線，

：.BE=DE,

"EBD=Z.EDC.

-AB=AC,

：.Z-ABC=Z-ACB.

在△E