熱點(diǎn)01根的判別式

明考情.知方向

根的判別式是中考數(shù)學(xué)的?？伎键c(diǎn)，一般出現(xiàn)在北京中考的第4題，第5題。第6題，第10題等。選擇題

和填空題均有出現(xiàn)。以簡(jiǎn)單題為主，針對(duì)性的計(jì)算訓(xùn)練可提高解題速度和正確率，選擇題用排除法也可提

高解題速度。

熱點(diǎn)題型解讀

題型1判斷根的情況

題型2有兩個(gè)相等的實(shí)根

根的判別式題型3有兩個(gè)不相等的實(shí)根

題型4有實(shí)根

題型5無(wú)實(shí)根

【題型1判斷根的情況】

主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握爐—4川與一元二次方程根之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.即當(dāng)

b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程a/+5%+。=o（aH0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)爐-4ac=0時(shí)，一元

二次方程a/++。=o（a。0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)一4acV0時(shí)，一元二次方程QM+ft%+c=

0（aW0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

1.（2022年北京市朝陽(yáng)區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【詳解】Ea=1,b=5,c=3,

0A=b2—4ac=52-4x1x3=13>0,

回方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選：B.

2.（2023年北京市十一學(xué)校中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程/一（k+3）x+2k+1=0根的情況是（）

A.無(wú)實(shí)根B.有實(shí)根

C.有兩個(gè)不相等實(shí)根D.有兩個(gè)相等實(shí)根

【答案】C

【分析】先求出62-4ac,再根據(jù)結(jié)果判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，得爐-4ac=（k+3）2-4（2/c+1）=fc2+6/c+9-8fc-4=/c2-2fc+5=（fc-l）2+

4>4,

團(tuán)這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

3.（2024年北京市東城區(qū)北京二中教育集團(tuán)中考一模）關(guān)于x的一元二次方程/+2小久+62-i=o的根

的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由機(jī)的值確定

【答案】A

【詳解】解：0%2+2mx+m2—1—0

EA=d2-4ac=（2m）2—4x1x（m2-1）=4m2-4m2+4=4>0

故選：A

4.（2022年北京市東城區(qū)中考數(shù)學(xué)二模）關(guān)于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情況是（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【詳解】團(tuán)El=a2+4>0,國(guó)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選D.

5.（北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末）關(guān)于x的一元二次方程/+kx-2=。的根的情況

是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程a/+版+c=0（a力0）中，當(dāng)A>0時(shí),

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可.

22

【詳解】解：「EIMfc-4X1X（-2）=fc+8>0,

??.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

【題型2有兩個(gè)相等的實(shí)根】

考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.熟練掌握判別式等于0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

是解題的關(guān)鍵.

6.（2023年北京市豐臺(tái)區(qū)中考一模）若關(guān)于久的方程/-x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是

（）

A.-4B.4C.—D.—

44

【答案】D

【詳解】解：???關(guān)于x的方程/-尤+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

???（-1）2-4xlxa=0

1

a=-

4

故選：D.

7.（2024年北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)大興北校區(qū)中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程/+2x+m=0有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則小的值為（）

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式等于零，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回關(guān)于％的一元二次方程/+2x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

0Z?2-4ac=4—4m=0,

Em=1；

故選B.

8.（北京市海淀區(qū)人大附中2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)開(kāi)學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程i+6久+c=0有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）

A.-36B.36C.-9D.9

【答案】D

根據(jù)根的判別式=b2-4ac>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=b2-4ac=0,方程有兩個(gè)相等額實(shí)

數(shù)根；J=h2-4ac<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根〃，由此求參數(shù)即可.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程，+6%+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

021=62—4c=0,

解得，c=9,

故選：D.

9.（北京市密云區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末）若方程%2+4%+血=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m

的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系可得，A=42-4m=0,求解即可.

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于%的方程/+4%+血=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

0A=42-47n=0,即16—4m=0,

解得：m=4,

故選：C.

10.（2024?北京?中考真題）若關(guān)于％的一元二次方程%2—軌+c=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為

（）

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【詳解】回方程/—4%+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，a=lfb=—4,c=c,

回△=爐_4ac=（-4）2—4xlxc=0,

團(tuán)4c=16,

解得c=4.

故選C.

【題型3有兩個(gè)不相等的實(shí)根】

考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的情況與判別式的關(guān)系是解的關(guān)鍵.根據(jù)△>（）時(shí)，方程

ax?+bx+c=0（a*0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，建立不等式求解即可.

11.（北京市第十九中學(xué)2024—2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中）己知關(guān)于工的一元二次方程產(chǎn)+2x+m-l=0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）

A.m<2B.m>2C.m>2D.m<-2

【答案】A

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程/+2久+6-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

???△=22-4（m-1）>0,

解得：m<2；

故選：A.

12.（北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中）若關(guān)于x的一元二次方程a/+2x+1=0有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝b的取值范圍是（）

A.a>—1B.a<1

C.a>—1且aW0D.a<1且aH0

【答案】D

【詳解】解：團(tuán)一元二次方程a/+2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0A=22-4xlXa>O,

4—4a>0,

a<1,

13a片0,

0a<1且a中0,

故選：D.

13.（北京市西城區(qū)北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)九月）若關(guān)于x的一元二次

方程k/-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k>一1B.k>—1且k豐0

C.fc<1D.fc<1且k豐0

【答案】B

【詳解】解：國(guó)關(guān)于x的一元二次方程入2—2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0A=Z?2-4ac=（—2）2-4/cx（-1）>0,且k力0,

解得：k>一1且k*0.

故選：B.

14.（北京市順義牛欄山第一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)）若關(guān)于x的方程爪/+3x-1=

0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

99

A.m>——B.m>——且THH0

44

aa

C.m<——D.m<——且mW0

44

【答案】B

【詳解】解：由條件可知：尸32-4mX（-1）>o,

Em>—：且豐0,

故選：B

15.（北京市第四十三中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）若方程/一鈕+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則實(shí)數(shù)c的值可以是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【詳解】解：團(tuán)方程/一軌+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0A=/?2—4ac=16-4c>0,解得c<4,

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)D符合題意，

故選：D.

【題型4有實(shí)根】

0屯后W

考查了根的判別式、解一元一次不等式組等知識(shí)，對(duì)于一元二次方程aX2+bx+c=0（aKO）,則有

b2-4ac>00方程有兩實(shí)根，b2-4ac>0國(guó)方程有兩不等實(shí)根，b2-4ac=0回方程有兩相等實(shí)根，b2-4ac<00

方程沒(méi)有實(shí)根.也考查了一元二次方程的定義.解題關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式及一元二次方

程的定義.根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式可得k豐0且4=b2-4ac=（-2）2-4xkx1=4-

4k>0,解之得出k的范圍.

16.（北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開(kāi)學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程k/-6%+9=0

有實(shí)數(shù)根，則人的取值范圍是（）

A.fc<1B.fc<1C.k<1且kK0D.kW1且k片0

【答案】D

【詳解】解：回關(guān)于久的一元二次方程kF-6久+9=0有實(shí)數(shù)根，

△=爐―4ac=（-6>—4xkx9=36-36kN0,

解得：fc<1,

k是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,k豐0,

即k<1且，*0.

故選：D.

17.（北京市第十二中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月）若關(guān)于x的一元二次方程k/一3%—：=0有

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.k=0B.fc>一1且k大0C.k>-lD.fc>一1且k力0

【答案】B

【詳解】解：團(tuán)一元二次方程k一一3久一;=0有實(shí)數(shù)根，

0fc力0,且乙=(一3)2-4kx(一320,

解得k>一1且k豐0；

故選：B.

18.(西城區(qū)北京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考)關(guān)于久的方程(a-5)%2-4%-1=0

有實(shí)數(shù)根，貝Ua滿足().

A.a>1且a^5B.a>1C.a>1且aH5D.aW5

【答案】B

【詳解】解：①當(dāng)a-5=0時(shí)，原方程為一4萬(wàn)一1=0,

解得：x=—符合題意；

4

②當(dāng)a—5豐0時(shí)，

"4)2—4X(a-5)X(-1)>0,

解得：a>1且a豐5.

綜上，a的取值范圍為a2L

故選：B.

19.(2024年北京市燕山區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬)如果關(guān)于久的一元二次方程--2x+巾=0有實(shí)數(shù)根，那么小的

取值范圍是()

A.m>1B.m>1C.m<1D.m<1

【答案】D

【詳解】解：???關(guān)于％的一元二次方程%2-2%+?n=0有實(shí)數(shù)根，

△=(―2)2—4m=4—4m>0,

解得：m<1.

故選：D.

2

20.(北京市十一晉元中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期開(kāi)學(xué))已知關(guān)于久的一元二次方程/一2(/c-1)%+fc+2=

0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為()

1111

A.k>—B.kV—C.kN—D.kW—

2222

【答案】D

【詳解】解：,??關(guān)于久的方程/—2(k—1)久+1+2=。是一元二次方程，

A=b2-4ac>0,

[-2(fc-l)]2-4(/c2+2)>0,

整理得：4fc2-8fc+4-4/c2-8>0,

合并同類項(xiàng)得：一8左一420,

解得：k<—

故選：D.

【題型5無(wú)實(shí)根】

考查了根的判別式，熟練掌握判別式大于零，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；判別式等于零，方程有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根；判別式小于零，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

21.(海淀區(qū)北京理工大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué))下列所給方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是

()

A.x2+x—0B.5x2—2x—1=0

C.3*2—4x+1=0D.4x2—6x+3=0

【答案】D

【詳解】解：A、A=l—0=1>0,故A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

B、△=4-4X5X(-1)=24>0,故B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

C、A=16-4x3xl=4>0,故C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

D、△=36-4x4x3=-12<0,故D沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

故選：D

22.(清華大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)9月)下列所給方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的

是()

A.x2+x—0B.4/—+2=0

C.5%2—4%—1=0D.3%2—4x+1=0

【答案】B

【詳解】解：A、0A=12-4X1XO=1>O,

團(tuán)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

B、0A=(-5)2-4x4x2=-7<0,

團(tuán)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

C、EA=(-4)2-4x5x(-1)=36>0,

團(tuán)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

D、0A=(-4)2-4x3xl=4>0,

回一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

23.（北京市第八十中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考）在下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2+x=0B.X2—1=0C.X2—x+3—0D.x2+2x+1=0

【答案】C

【詳解】國(guó)方程/+久=0,a=l,b=l,c=0,

0A=fa2-4ac=1?_4xix0=1>0,

x2+x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

回方程*2—1=0,a—l,b—0,c——1,

回△=〃-4ac=。2_4x1x（-1）=4>0,

x2-l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

團(tuán)方程%+3=0,a—l,b——1,c—3,

0A=Z?2-4ac=（-1）2-4X1X3=-ll<0,

%2-x+3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

團(tuán)方程一+2久+1=0,a=1,b=2,c=1,

團(tuán)A=〃—4四=22—4x1x1=0,

/+2尤+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

故選C.

24.（朝陽(yáng)區(qū)人大附中朝陽(yáng)分校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考）若關(guān)于x的方程（尤+1產(chǎn)=1一左沒(méi)有實(shí)根,

則左的取值范圍是（）

A.k<lB.k<-lC.k>lD.k>l

【答案】D

【詳解】解：ffl（x+1）2=1/沒(méi)有實(shí)根，

Sl-k<0,

E^>1.

故選D.

25.（2024年北京市廣渠門(mén)中學(xué)中考二模）若關(guān)于久的方程--“一機(jī)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則根的值可以為（）.

A.-1B.--C.0D.1

4

【答案】A

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于久的方程/-“一加=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

團(tuán)團(tuán)=（-1）2—4X1x（—m）=1+4m<0,

解得：771<—

4

故選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)滿足，

故選A.

限時(shí)提升練

(建議用時(shí)：10分鐘)

一、單選題

1.一元二次方程2/-3久-|=0的根的情況是()

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法判斷

【答案】C

【分析】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)根的判別式公式，求該方

程的判別式，根據(jù)結(jié)果的正負(fù)情況即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：A=(—3)2-4X2X(―|)=9+12=21>0,

即該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

2.下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是()

A.2x2+4x+1=0B.2久2+4久+2=0

C.2x2+4x+3=0D.2%2+4%=0

【答案】B

【分析】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情

況之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A.2/+4x+1=0,

△=爐一4ac=42—4x2x1=16—8=8>0,

??.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選項(xiàng)A不符合題意；

B.2x2+4x+2=0,

△=_dac=4?—4x2x2=16—16=0,

???方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

故選項(xiàng)B符合題意；

C.2x2+4x+3=0,

△=爐-4ac=42—4x2x3=16-24=—8<0,

???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

故選項(xiàng)C不符合題意；

D.2%2+4%=0

△=爐一4ac=42—4x2x0=16—0=16>0,

??.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

3.已知關(guān)于久的方程(c—2)/一2%+1=0有實(shí)數(shù)根，貝心的取值范圍是()

A.c2—3且c42B.c#2C.c<3D.cW3且c72

【答案】C

【分析】本題主要考查一元二次方程的解得情況，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式的運(yùn)用.

根據(jù)一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，一元一次方程的根，分兩種情況討論即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)c—2力。時(shí)，則CK2,

由于關(guān)于x的方程(c-2)x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，

???△>0,即4-4(c-2)>0,

?1.c<3,

二c的取值范圍c<3且c豐2,

當(dāng)c=2時(shí)為一元一次方程，方程有一根.

綜上所知c的取值范圍為：cW3.

故選：C.

4.關(guān)于久的一元二次方程》2一(2-k)久-3k+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，貝也的值為()

A.k=—10B.k=2

C.k=-10或k=2D.fc=10或k=-2

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式列方程求解是解題的關(guān)鍵.因

為關(guān)于萬(wàn)的一元二次方程/一(2-k)x-3k+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=[-(2-fc)]2-4(-3/c+

6)=0,解方程即得答案.

【詳解】解：???關(guān)于久的一元二次方程產(chǎn)-(2-k)x—3k+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=[-(2-fc)]2-4(-3fc+6)=0,

解得k=一10或k=2.

故選：c.

5.已知關(guān)于x的一元二次方程k/+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝味的取值范圍是()

A.fc<1B.fc>1C.k<1且k力0D.kW1且k力0

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.在判斷一元二次方程根的情況的問(wèn)題中，必須滿足

下列條件：(1)二次項(xiàng)系數(shù)不為零；(2)在有不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，必須滿足乙=b2-4ac>0切記不要忽

略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.

【詳解】解：依題意可得，A=爐-4ac=2?-4k>0,解得k<1

???關(guān)于久的一元二次方程k/+2%+1=0,

k0

k<1且k*0.

故選：C.

二、填