河南省鄭州中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合/={引/<3},8={-1,0,1,2,3},則/口8=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-(l+2i)|=0,其中i是虛數(shù)單位，則忖=()

A.5B.V5C.1D.2

3.已知向量獲滿足卜+同=2百〃心-町,且1=0,1),則由=()

A.V3B.2C.V5D.3

4.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線氏/=2加(2>0)的焦點(diǎn)，A為￡上的一點(diǎn)，/尸垂直

于V軸，8為V軸上一點(diǎn)，且N氏40=90°,若恒卻=4百，則。=()

A.V3B.2垂)C.473D.8也

a

5.已知銳角。滿足3sina+4cosa=4,貝！Jtan—=()

2

43125

A.—B.-C.—D.——

34512

6.已知〃》)=個(gè)卜05』也苞則曲線了=/(尤)在x=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積為()

A7—4V3口7+4■’01

A.----------D.----------C.T~D.2

222

10

7.若(1+=%+%(1+尤)+%(1+x)~4-----Fa10(l+x),(tz;eR,z=0,1,2…10)，則出=()

A.180B.-180C.-90D.90

8.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形

式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形/BCD為矩形，EF//AB,

AB=2EF=2,V4DE與V8C廠都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)4B,C,D,E,尸都

在球O的球面上，則球。的表面積為()

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù)

=弊美?某地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共40000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果(單位：分)近似服從正

均值

態(tài)分布，且平均分為57.4,離散系數(shù)為0.36,則下列說法正確是()

(附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N3b2),尸匕-4<b卜0.68.)

A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為57.4x0.36=20.664

B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(57.4,0.36z)

C.約有20000名學(xué)生的成績(jī)低于58分

D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為78

10.已知函數(shù)/卜)=/_愀2-3|-沉，則()

A./(x)只有1個(gè)極小值點(diǎn)

B.曲線y=/(x)在點(diǎn)(3,〃3))處的切線斜率為9

C.當(dāng)/(無)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，機(jī)的取值范圍為(-3,1)

D.當(dāng)〃x)只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，機(jī)的取值范圍為(-叫-3川(1,+⑹

11.如果定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)不，x2,都有

國(guó)/(石)+%2/(%2)>再/(%2)+//(%)，則稱函數(shù)"X)為'歸函數(shù)下列函數(shù)是'歸函數(shù)''的有

()

A.y=e|x|+1B.y=3x+2(sinx-cosx)

A°flnx,x>0

C.y=x—3x+3x+3D.y=<

I<0

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.已知直線/：y-l=Nx-l)被圓C:(x-2)2+e-2)2=/(r>o)截得的最短弦長(zhǎng)為20,

則'=.

13.在某次國(guó)際商貿(mào)交流會(huì)展期間，舉辦城市為了提升安保級(jí)別，在平時(shí)正常安保的基礎(chǔ)上

再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，若每個(gè)特警只能分

配去1個(gè)路口且每個(gè)路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率

是.

14.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜

想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長(zhǎng)躲在銀行

保險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢(shì)待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)

001111111

^(5)=^/r=-+—+—+l丁白勺口B^3乖口--2s~S'

〃=i123123n

知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，且滿足邑=:1+，］,則!+?+…+一一=

(其中卜］表示不超過X的最大整數(shù)).

四、解答題

15.在V/8C中，角N,B,。所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知c-a=l,6=在'，內(nèi)角4B,

C成等差數(shù)列.

(1)求。的值及VN8C的面積；

(2)求tan(24+5)的值.

16.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=］,S“=2%+「3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=(〃+1)%,求數(shù)列低｝的前”項(xiàng)和Tn；

YL2+V!

(3)若％=,求使C?取得最大值時(shí)的n的值.

a?

17.如圖，在三棱柱/8C-44cl中，AB±AC,AB=y/3AC=3,AD=2DB,。為BC的中

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

點(diǎn)，4。_L平面48c.

(2)若必=2百，求二面角8-/4-。的余弦值.

22

18.已知橢圓氏=+:=1(。＞6＞0),兩焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正三角形.

ab

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)直線小y=6+加與橢圓E相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,不過原點(diǎn)。且平行于A的直線12

與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C.記直線。尸的斜率為勺，

直線BC的斜率為網(wǎng).

k,

①求言的值；

K2

②若。，P,B,C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，求乎建的值.

19.設(shè)函數(shù)工(工”式+起1(其中。是非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底)，記

Z,(x)=/；T(x)(M22,weN*).

⑴求對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有〃尤)=力_I(x)成立的最小整數(shù)〃的值僅＞2,?eN*)；

⑵設(shè)函數(shù)g“(x)=/；(x)+力(x)+…+力(無)，若對(duì)任意“23,〃eN*,y=g,(x)都存在極值點(diǎn)

x=t?,求證：點(diǎn)4(%g”色?(〃23,〃eN*)在一定直線上，并求出該直線方程；

⑶是否存在正整數(shù)左依士2)和實(shí)數(shù)尤°,使￡(%)=4_"%)=0且對(duì)于任意〃eN*,工(x)至多

有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的左和%,若不存在，說明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《河南省鄭州中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CBDBBAADACDBCD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】先求得集合/=卜1-右〈x<6},再根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算即可求解.

【詳解】??-^={x|x2<3)={r|^],B=卜,0,1,2,3},/fl8={-1,0,1}.

故選：C.

2.B

【分析】求出復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得目的值.

【詳解】因?yàn)閨z-(l+2i)|=0,貝i]z=l+2i,故目=&②+為=6.

故選：B.

3.D

【分析】由題意可得丁=2標(biāo)，片=2,又|Z+q=2氐可得7+2標(biāo)+7=20,可求14

【詳解】因?yàn)闊o)，所以卷0-喇)=0,所以/_2￡；=0,所以/=2￡名，

又因?yàn)锽+B|=2石，所以7+2ZB+^=20,又否=。，1)，所以片=1+1=2，

所以2/+2=20,所以7=9,所以口=3.

故選：D.

4.B

【分析】利用數(shù)形結(jié)合，通過三角形相似找到尸「=|。川忸下|的關(guān)系，建立關(guān)于。的等式,

進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意作下圖：

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

y/

5

\\/JL//?.?加。=90。，

or

:.ZOAF+ZBAF=90°f

???4F垂直于歹軸,

/.ZAFO=ZBFA=90°,

:.ZAOF+ZOAF=90°,

ZBAF=ZAOF,

；AAFOSABFA,

.AFOF

:.\AF^=\OF\\BF\,

又???|O9|二g|//|二夕，

p2=yX4A/3,

解得p=2V3,

故選：B.

5.B

【分析】整理齊次式方程，利用同角平方式整理方程，根據(jù)二倍角公式，結(jié)合角的取值范圍,

可得答案.

【詳解】由3sina+4cosa=4,則（3sin"+4cos。）=42,

sin267+COS2a

—rz9tan2a+24tana+16”

可得H--------.----------=16,

tana+1

24

化簡(jiǎn)可得7tan2a-24tana=0,由角。為銳角，貝！Jtana=~y,

2tan：

由tana=-------j整理可得12tai?—+7tan—―12=0,

1-tan2^22

2

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

分解因式可得°ta吟+4j14ta吟-3卜0,

a(y3

由角f■為銳角，解得tan￡=：

故選：B.

6.A

【分析】首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合賦值法求解原函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，求出切線

和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，最后得到三角形面積即可.

【詳解】因?yàn)?(工)=/〔300$》+5汨苫，所以/'(x)=-/'1|Jsinx+cosx,

人71,口Tt兀、兀1.兀71

令x=4,得到/(1)=一1|w卜m、+cos、，

化簡(jiǎn)得/'(j)=一/[＞孚+!,解得/■(g)=2-^3,

代入回原函數(shù)得到小)=(2-6卜。sx+sinx,

而/(0)=2-6，故切點(diǎn)為(0,2-6),

而/''(X)=-(2-6卜inx+cosx,/'(0)=1,

設(shè)曲線了=/(x)在x=0處的切線斜率為左，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得左=r(o)=1,

故切線方程為y-(2-G)=x,化簡(jiǎn)得y=x+2-G，

令x=0,得到y(tǒng)=2-百，所以與了軸交點(diǎn)為(0,2-6)，

令P=0,得至！]X=百-2,所以與x軸交點(diǎn)為(百-2,0),

且設(shè)三角形面積為S,故S=gx|2-G卜|6-2卜上手，故A正確.

故選：A

7.A

【分析】由(1+2x)i°=[2(1+尤)-仃°寫出其通項(xiàng)公式，依題意對(duì)，,賦值即可求得出.

【詳解】因(1+=[2(1+x—,其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：

&=C；0[2(l+x)產(chǎn)'(-1)'=(-1丫嚴(yán)C；°(l+x嚴(yán)/=0,1,-,10,

而出是電(l+x)2的系數(shù)，故只需取廠=8,得7；=22C：0(1+X)2=180(1+X)2,

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

即a2=180.

故選：A.

8.D

【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面/BCQ,根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得

MO、，尸0且=包，分類討論當(dāng)0在線段上和O在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)2種情

2

況，結(jié)合球的性質(zhì)和表面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】如圖，連接/C,BD,設(shè)4CcBD=O-

因?yàn)樗倪呅?BCD為矩形，所以Q為矩形/BCD外接圓的圓心.連接。Q,

則OQ_L平面ABCD,分別取ERAD,8c的中點(diǎn)M,P,Q,

根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線交EF于點(diǎn)M.

連接尸。，則尸0〃48,且a為尸0的中點(diǎn)，因?yàn)轷拧ㄋ訮Q〃EF,

連接￡尸，F(xiàn)Q,在V4DE與V5CF中，易知EP=FQ=1叫咚

所以梯形斯QP為等腰梯形，所以尸Q,且

設(shè)。a=能，球。的半徑為R,連接?！?OA,

當(dāng)O在線段。也上時(shí)，由球的性質(zhì)可知片=OE2=OA2,

易俗。/=[+[=7則[2一修+UT2]

+m2,此時(shí)無解.

當(dāng)0在線段血口的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，

—+m2=（—+m]+W,解得俏=正，所以爐=T，

12）（2J⑴4

11JT

所以球。的表面積5=4成2=

2

故選：D.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

【點(diǎn)睛】求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)一是球心到球

面上各點(diǎn)的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.由此出發(fā)，利

用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置.

9.ACD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)離散系數(shù)求出標(biāo)準(zhǔn)差；對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)分布公式

判斷B；對(duì)于C,求出低于58分概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)，得到低于58分人數(shù)，判斷C；對(duì)于D,

利用正態(tài)分布曲線性質(zhì)和百分位數(shù)的定義判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)離散系數(shù)="鬟，平均分為57.4,離散系數(shù)為0.36,可得標(biāo)準(zhǔn)差

均值

為57.4x0.36=20.664,故A正確；

對(duì)于B,測(cè)試結(jié)果(單位：分)近似服從正態(tài)分布，則學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布

N(57.4,20.664?),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平均分為57.4,所以成績(jī)低于58分得概率約為0.5,所以約有40000x0.5=20000名

學(xué)生的成績(jī)低于58分，故C正確；

對(duì)于D,又因?yàn)?4%=0.5+等，且尸(|Z-“<b)、0.68,所以全體學(xué)生成績(jī)的第84百分

位數(shù)約為n+<7=57.4+20.664^78,故D正確；

故選：ACD.

10.BCD

【分析】分xWl或xWT、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出

函數(shù)的極值點(diǎn)，即可判斷A、B,根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到不等式組，即可判斷C、D.

【詳解】因?yàn)椤?/一|3--31加，

當(dāng)xNl或時(shí)/(X)=X3-3X2+3-m,貝!!/'(x)=3x?-6x=3x(x-2),

所以當(dāng)x>2或時(shí)/'(x)>0,當(dāng)14x<2時(shí)/'(x)<0,

所以/'(x)在(-*T］，(2,+s)上單調(diào)遞增，在［1,2)上單調(diào)遞減；

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)-1<X<1時(shí)f(x)=x3+3x2-3-m,貝Uf'(x)=3x2+6x=3x(x+2),

所以當(dāng)0<x<1時(shí)/'(x)>0,當(dāng)-1<x<0時(shí)/''(x)<0,

所以/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(TO)上單調(diào)遞減；

則/(x)在x=0、x=2處取得極小值，故/(無)有2個(gè)極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?'(3)=3X32-6X3=9,所以曲線>=〃x)在點(diǎn)(3,”3))處的切線斜率為9,故B正確;

令g(x)=x3-*-3|,

則g(x)的圖象如下所示：

其中“尤)的圖象是由g(x)的圖象向下(〃?>0)或向上(加<0)平移網(wǎng)個(gè)單位得到；

因?yàn)?(-1)=一1一/，f(0)=-3-m,/⑴=1一%，f(2)=-l-m,

要使/(X)有3個(gè)零點(diǎn)，則[雋：：或匕(竟:或"T)="2)=0,

f1—m>0f—1—m>0

即Vi八或｛「或一1—冽=°，解得-1<加<1或—3<加<—1或冽=一1，

\-\-m<0[-3-m<0

綜上可得〃?的取值范圍為(-3,1),故C正確；

要使/(無)只有1個(gè)零點(diǎn)，則/⑴<0或/(0)>0,即i<0或-3-7>0,

解得加>1或加<-3,即"?的取值范圍為3)U(l,+°°),故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而畫出8口)=苫3-|3/-3|

的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題.

11.BC

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】新定義變形為函數(shù)是增函數(shù)，因此只要確定函數(shù)是不是增函數(shù)即可得.

【詳解】因?yàn)閄1/(網(wǎng))+x2/(x2)>X1/(X2)+X2/(X1),所以(X[-％(王)一/(X2)]>0,

即石>》2時(shí)，/區(qū))>/(》2)恒成立，因此/(X)是增函數(shù)，

/(幻=泌+1時(shí)，-幻=尸+1=陰+1=/0)為偶函數(shù)，在定義域內(nèi)不可能是增函數(shù)，A

不滿足新定義；

/(x)=3x+2(sinx-cosx),則f'(x)=3+2(cosx+sinx)=3+2A/2sin(x+—)>0恒成立，所以

4

〃x)是R上的增函數(shù)，滿足新定義；

〃x)=/-3/+3x+3,/'(x)=3/-6x+3=3(x-l)2W0恒成立，/(x)是R上的增函數(shù)，滿

足新定義；

「inx,x>01

〃X)=；時(shí)，/(-1)=/(-)=-1,“X)不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，不滿足新定義.

[<0e

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，通過變形新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，

然后通過導(dǎo)數(shù)或單調(diào)性定義確定函數(shù)在定義域內(nèi)是否為增函數(shù)即可得.

12.2

【分析】根據(jù)定點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進(jìn)而結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式,

2

得到弦長(zhǎng)l^=2dr-drJ，計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意，圓C:(x-2)2+(y-2)2=/21>0),可得圓心C(2,2),半徑r,

/可一1=人0一1)過定點(diǎn)(1,1)

則圓心到直線Z：y-l=-t(x-l)的距離為41ax=J(l-2丫+(1-2)2=V2,

可得截得弦長(zhǎng)為襦=2b-“2=2折三=2V2，

弦長(zhǎng)取得最小值2亞時(shí)，r=2.

故答案為：2.

C11

13.—

13

【分析】根據(jù)給定條件，利用分組分配求出試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出甲乙安排在同一路

口的事件含有的基本事件數(shù)，然后用對(duì)立事件概率公式計(jì)算即得.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】6名特警分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，不同安排方法數(shù)為

02「2

?+//)A：

區(qū)2

甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個(gè)人，5個(gè)人安排到4個(gè)路口的安排數(shù)為C；A：,

C；A：_10_2

因此甲和乙安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是??CC)A「花=瓦

A；

211

所以甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是1-百=行.

故答案為：—

14.38

【分析】根據(jù)已知結(jié)合前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系，可得｛S；｝為等差數(shù)列，進(jìn)而求出再

利用2(力+1-6)＜不9,以及當(dāng)〃〉1時(shí)，＜2(VH-VH-1),求出不+不+…+三一的

范圍，

即可求出結(jié)論.

1(1)1

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，=51=—。1+—，4=—，42=1,?.?%>0,.?.%=S[=1,

21。"4

]

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_x,/.2Sn=Sn-Sn_x+—――,S〃+S〃T

，一1

.?.5；-見=1,，囚｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

a?>0,/.S?>0,：.Sn=4n,2(力+1-而)=~^==—^=<,即—>2(J>+1-G),

22___]___

又”>1時(shí)，露<赤[^^<2(五一病F，即限<2函一府H),

S>2[(V40i-V400)+(V400-V399)+---+(V2-l)]=2(V40i-l]>38,

S<2^(7400-V399)+(V399-V398)+---+(V2-lj]+l=2(V400-1)+1=39,

即38<S<39,從而[S]=38.

故答案為：38

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、數(shù)列前

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

”項(xiàng)和的范圍，構(gòu)造新的等差數(shù)列｛S；｝以及用放縮法求數(shù)列和是解題的關(guān)鍵，注意常見的裂

項(xiàng)相消法求和的模型.

15.(l)a=4；5A/3;

⑵一%

【分析】（1）由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得8=],利用余弦定理即可出

。的值，再由三角形面積公式即可求解；

（2）利用正弦定理求出sin/=空，根據(jù)同角三角函數(shù)的商關(guān)系求出tan/,然后根據(jù)二

7

倍角公式即可得出tan2^,最后根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

【詳解】（1）由角/,B,C成等差數(shù)列，可得28=N+C,

結(jié)合三角形內(nèi)角和定理4+C+B=兀，可得5=3，

由余弦定理/=/+02-2accos5,代入已知條件得：

21=42+([+1)2_,化簡(jiǎn)得，Q?+Q—20=0

解得Q=4,或〃=-5（舍去），所以。=4,

又因?yàn)閏—4=1,所以C=Q+1=5,

由三角形面積公式S=[acsinB,得：5=-x4x5x—=573.

222

b

（2）利用正弦定理一；可得sm/二?出

sinAsin5

b

a=4(5=b，則角4為銳角,

所以cosA=71-sin2A=,

7

2V7

sin/

所以tan/=uz

cosAV21

-4拒+班

tan(24+B)—

1十4@X6

16.(l)a?=2

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

⑵7；=3+2(1)

⑶〃=4或〃=5

【分析】（1）根據(jù)〃的關(guān)系，作差可得T-2,即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解;

（2）由（1）求得+,利用錯(cuò)位相減法可求（；

C2（題+1）,、

（3）根據(jù)W一昔>1,可得〃<5；從而判斷｛的｝的單調(diào)性，即可求解.

*3（1）

39

【詳解】（1）因?yàn)槎?2出一3且耳=%=；,所以出

由S,=2%+「3,可得:5?_1=2??-3（?>2）,

兩式相減得：a?=S?-S“_|=2a?+1-2a?,

因?yàn)?。“HO,所以"22,T=|，

a、3、凡占3

又」=不，綜上，n>\,3=

q2an2

所以｛%｝是首項(xiàng)和公比均為|的等比數(shù)歹U.

3

(2)由題意，bn=[n+1)

2

3n

33i+4x33

小2x+3x+…+Q+iy①

2222

234nA-

33333

~Tn=2x+3x+4x+…+R+1)<②

2〃2222

①-②得

23n+\

3333

++…+〃+1)

2222

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

93n-1

—x1-

43n+\

=3+——-5+1）

+1

393n+l

------1——x

222

3n+1

：.Tn=3+2（n-l）

（3）由（1）可得，所以的

2（n2+n）2（T?+1）

〃22時(shí)，由?一=〉1,可得〃<5；

Cn-\3（/_幾）3（n-1）

當(dāng)〃<5時(shí),。1<。2<。3<。4，當(dāng)〃>5時(shí)，…，

當(dāng)〃=4時(shí),

當(dāng)〃=5時(shí),

所以。4=。5

所以9<Q<心<。4=。5〉。6〉。7〉…，

綜上，〃=4或〃=5時(shí)，。〃取得最大值3關(guān)20.

O1

17.（1）證明見解析；

⑵獨(dú)I

13

【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得再利用線

面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

（2）由（1）的信息以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）在三棱柱力3?！?與。］中，AB工AC,AB=jAC=3,則

ZACB=60°,CM=-BC=6

2

由45=3,40=208,得DB=1,在△08。中，/DBO=30°,DB=\,OB=C，

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

222

由余弦定理O。？=仔+（如）2-2x1x6xcos3（J=1,得。。=1,OA+OD=4=AD,

于是由40,平面4BC,ODu平面/3C,得

而/。n4。=。4。u平面/。4,因此，平面/。4,又u平面，

所以

(2)由(1)知，。4。。。4兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，直線。4。。。4分別為x/,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系中z,

由AAX=2A/3,AO=V3,得4。—3,則/(6,0,0),4(0,0,3),3(-苧10)，

于是9=（曰,_|,3）屈=（孚，-■1,0)，設(shè)加=(x,y,z)為平面484的一個(gè)法向量，

-x--y+3z=0

則22,取》=百，得五=(6,3,1),顯然3=(0,1,0)為平面AOA.的一個(gè)法向

3V33

---x——y=0n

122,

量，

rn,,/---\m-n33c

Hittcos（m.n）=———=—?==---顯然二面角3-工4-。的大小為銳角，

m77Vf313

所以二面角8-O的余弦值為巫.

13

]ZAC1

22

18.⑴*1

⑵①2；②沁弓或1

K2'&PAB3

【分析】(1)根據(jù)已知條件確定“、C,即可求解

(2)①根據(jù)直線4與橢圓E相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸,求出左，再根據(jù)iJh，設(shè)出4的方程，

一1

表示出3、C的坐標(biāo)，得到BC的斜率左2，由此可求]②根據(jù)已知條件與平行關(guān)系確定

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

，由平行四邊形確定4加2后=（4左2+3了,再結(jié)合/=止+3,

S&PABS&QABQNm—n

得加=±2〃，分兩種情況求解即可.

【詳解】（1）由題意。=2。=2,從而。=2,c=1fb=A/3

22

所以橢圓方程為土+匕=1.

43

N

y=kx+m

①由，X2V消y得（正+3）x2+Skmx+4m2-12=0（*）,

——+—=1

143

由A=（8M2-4（4」+3）（W-12）=0,得蘇=4/+3,

此時(shí)方程（*）可化為：加2/+8同為+]6后2=0,

解得：x=-"（由條件可知：k,m異號(hào)）,

m

m2-4k23

設(shè)P（x°,%）,則/=，y（）=h。+m=k,

因?yàn)椤ā?，所以可設(shè)直線4：>=丘+。冽），

y=kx+n

X2y2_消了得（4r+3）x2+8knx+An2-12=0,

——+—=1'

[43

當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

設(shè)/（XQJ,川乙，%），則西+3誓],=~

14；?+34左

因?yàn)?,C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C（-X],-%）,所以,

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

72?77小、33

_y2+y\_kx2+n+kxx+n2i

左2—；—；=k+---=k+―—~=k-----=

4

x2+項(xiàng)x2+項(xiàng)x2+x1~~8kn

4r+3

所以《=^=,=1

k2

②設(shè)直線4與歹軸交于點(diǎn)。，直線4與y軸交于點(diǎn)N,則SA.=SM/B,

干口

S.0ABs：ONn

叢於S.QABQNm-n

由①可知：OP//BC,若。，P,B,C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形,

則還需|。尸|=|BC|,BP|OP|2=|5C|2,

由①可知：尸,竺,3],所以口可="丁.

<mmJ11m

又8卜2,%),。(一再,一切)，

2j4/06/+9)

所以|BC「=(X]+尤2)2+(M+%『=-8kn6n

4r+3I+4r+3(4尸+3『

由IOP『=|8C|2可得：4病"2=(4左2+3),

又/=4斤2+3,所以加2=4*,即m=±2n,

ONn

當(dāng)加=2〃時(shí)，芍遜°AOAB二1

、4PAB□AQABQNm-n

ONn1

當(dāng)用=-2〃時(shí)，薩坦QA(MB

-3

、△PABS4QABQNm—n

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去或了),

建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，

建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，

強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，

重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題.

19.(1)5；

(2)證明見解析，>=2x；

2

⑶存在左=3,。=—-滿足條件.

e

答案第14頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】(1)按照給定定義，依次求導(dǎo)，再觀察規(guī)律即可判斷作答.

(2)由(1)求出函數(shù)g<x),求出g"(x)的導(dǎo)數(shù)，再利用已知結(jié)合極值點(diǎn)的意義推理作答.

(3)由(1)結(jié)合已知，確定左=3或左=2,再分類討論極值點(diǎn)的情況作答.

2xxx