熱點(diǎn)02基本不等式及其應(yīng)用

明考情.知方向——

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

不等關(guān)系與不等式、分式不等式，絕對(duì)值不等式的解分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用

法、一元二次不等式及其應(yīng)用、基本不等式及其應(yīng)用

熱點(diǎn)題型解讀

殖1不初的性質(zhì)

題型7基杯等西寸國(guó)雌應(yīng)用

壁2分式襁式

題型8基本不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

醒3絕對(duì)值不等式

避9基本不等式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用暨上警

——及其應(yīng)用

壁4一元二次不會(huì)

[睡1。基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用卜//\\

避5對(duì)數(shù)格式

談1曲哪融應(yīng)用

壁6基式用

題型1不等式的性質(zhì)

-4■■HI■■

1.比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

⑶作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

MIM?-MM-M-MM--MM?-I

L（2024?上海）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

2.（2024?上海楊浦?二模）已知實(shí)數(shù)。，b,c,d滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

3.（2024?上海閔行?三模）設(shè)a,b,。是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量自取值為。，b,c的概率都是:，隨

,門(mén)*日〃口/上、IQ+2023bb+2023c。+2023。4人皿丁士,?1,,,.、

機(jī)變量〃取值為，,的概率也都是鼻,則（z）

/UNT"乙U4NU/r*J

A.￡團(tuán)<引司，D[^]<D[rj]B.￡團(tuán)=劃〃],。團(tuán)>。團(tuán)

C.E[^]<E[rj],。團(tuán)叫〃]D.E[^]=E[TJ],。團(tuán)=。團(tuán)

4.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)a、6的四個(gè)不等式中，恒成立的是.（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的

序號(hào)）

①a+bWZ&J;②["7]Nab；（3）|a|-1|<|a-Z>|；@a1+b2>2b-\.

題型2分式不等式

00日卷

分式不等式的解法：

基本思路：應(yīng)用同號(hào)相乘（除）得正，異號(hào)同號(hào)相乘（除）得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式。在此過(guò)程

中，變形的等價(jià)性尤為重要。

基本方法：①通過(guò)移項(xiàng)，將分式不等式右邊化為零；②左邊進(jìn)行通分，化為形如△^的形式；

g（x）

③同解變形：皿〉00/（乃長(zhǎng)（幻〉0；3<0o/（x>g（x）<0；

gWg（x）

/（X）〉n。J/（x）.g（x）20/（X）[/（x）?g（x）<0

--------2U<^><；-----sU<；

g（x）—〔g（x）中0'g（x）一〔g（x）w0

2Y-1

L（2024?上海閔行,一模）不等式式[<0的解集為_(kāi)____.

x-1

2.（2023?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式￡20的解集是______.

X—1

題型3絕對(duì)值不等式

00日?qǐng)D

常見(jiàn)絕對(duì)值不等式的解法與結(jié)論：

①幾個(gè)基本不等式的解集

(1)\x\<a(a>0)^x2<a2^-a<x<a；(2)\x\>a(a>0)<^x2>a2^x>a,^x<-a;

(3)\x-m|<a(a>O)^>-a<x-m<a<=^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a(a>O)^>x-m>a,^lx-m<-a^x>m+a,^x<m-a.

②幾種主要的基本類型

⑴麻心尼⑺胃⑺^0乂平方法)；(2)|/(x)Ag(x)(g(x)>0)鈣/(x)>g(x),或/(x)<-g(x);

(3)|/(x)|<g(x)(g(x)>O)=-g(x)勺(x)<g(x);

(4)含兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法脫去絕對(duì)值符號(hào)求解.

1.(2023?上海)不等式|x-2|<l的解集為.

2.(2023?上海)不等式的解集為：.(結(jié)果用集合或區(qū)間表示)

3.(2024?上海靜安?一模)不等式|2x-l|<3的解集為_(kāi)______.

4.(2024?上海?三模)已知集合/=卜肛-1|<1},8=則/口8=.

5.(2022?上海.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X),甲變化：/(x)-/(*-?).乙變化：|/(x+t)-〃x)|,t>0.

⑴若"1,/(x)=2\〃x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若〃x)=x2,〃x)經(jīng)乙變化得到/7(x),求不等式以x)</(x)的解集；

⑶若“X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，將“X)先進(jìn)行甲變化得到"(X),再將“(X)進(jìn)行乙變化得到％(X)；將“X)

先進(jìn)行乙變化得到v(x),再將v(x)進(jìn)行甲變化得到似X),若對(duì)任意f>0,總存在4(x)=%(x)成立,求證:

/'(X)在R上單調(diào)遞增.

題型4一元二次不等式

!00日嫉

一元二次不等式在求解時(shí)應(yīng)當(dāng)注意事項(xiàng)

（1）化標(biāo)準(zhǔn)：通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正；

；（2）①因式分解；②判別式：對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；

I（3）求實(shí)根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根；

!（4）畫(huà)草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖；

（5）寫(xiě)解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集。

I___________________________________________________________________

1.（2024?上海徐匯?一模）不等式f-4x+3<0的解集為.

2.（2024?上海奉賢?一模）已知xeR,則不等式x?-x+2>0的解集為.

3.（2024?上海崇明?二模）不等式x（x-D<0的解為.

題型5對(duì)數(shù)不等式

1.（2024：上海圣F二橫5E就）>6>0,1血7)

A.a2>b2B.2。<2"

11log]a>log!b

c-廬D-

2.（2024?上海嘉定?一模）函數(shù)y=log2（x2-l）的定義域?yàn)?

題型6基本不等式及其應(yīng)用

!00國(guó)卷

!i.幾個(gè)重要的不等式的變形

!@a2+b2>2ab（a.6GR）.；②2+@N2（a、6同號(hào)）；］W聯(lián)+”（a、6GR）.

abI2J2

己知x>0,y>0,貝!!

!2.平均值不等式與最值

￡

\（1）若x+y=s（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積燈取得最大值I；

（2）若孫="（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2斤；

即：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值:

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。

1.（2024?上海靜安?一模）若用/替換命題"對(duì)于任意實(shí)數(shù)d,有屋20,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)d=0時(shí)成立"中的

d,即可推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)

正數(shù)相等時(shí)成立".則t=.

2.（2024?上海奉賢?三模）若a+b=l,則仍有最大值為.

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)服b滿足工+：=1,則2a+6的最小值為_(kāi)___.

ab

4.（2024?上海奉賢?二模）某商品的成本C與產(chǎn)量4之間滿足關(guān)系式。=。（4）,定義平均成本已=已（4）,其

中心=詈，假設(shè)C（q）=；/+100,當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí)，平均成本最少.

題型7基本不等式與幕指對(duì)函數(shù)的綜合應(yīng)用

一④1

1.（2024?上海普陀?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=log”（x+2）-1（。>0,且。片1）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)4若點(diǎn)/在直線

加x+即+2=0上，其中加>0,">0,則'+'的最小值為.

mn

2.（2024?上海嘉定?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=|1嗎乂，若.<6,且/（°）=/伍），則“+2/1的取值范圍是.

3.（2024?上海閔行?三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng),

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今

天大致相同.若2"+2=1，貝U（4"+l）（4ft+1）的最小值為.

題型8基本不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

1-（2024?上海金山?二模）已知平面向量“、b>c滿足：|a|=|g|=l,a-c=b-c=\>則0.6+°~的最小值

為.

2.（2024?上海?三模）空間中42兩點(diǎn)間的距離為8,設(shè)的面積為S,令即=|耳才?用用，若京2，，=3,

則S的取值范圍為.

題型9基本不等式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用

l."（2024-±WS^^）而函'「窠加百兩看二瓶花應(yīng)藏”苑:箕花疝■」而來(lái)7曲二汨萊，法五'-F

分別為CZ）的中點(diǎn)，左右兩個(gè)扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€(gè)扇形的圓心分別為A、B,半徑均為20米），其

余區(qū)域?yàn)椴萜?現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個(gè)三角形的兒童游樂(lè)區(qū)，且三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在線段所上，另外兩

個(gè)頂點(diǎn)在線段C。上，則該游樂(lè)區(qū)面積的最大值為平方米.（結(jié)果保留整數(shù)）

2.(2024?上海寶山?二模)在A/8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為4、b、c,已知

sin?/+sin2C=sin25+sirUsinC.

(1)求角8的大??；

⑵若AZBC的面積為向，求a+c的最小值，并判斷此時(shí)A/BC的形狀.

題型10基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

工一(弓&7王^贏三灌『巨疝晏藪;irn溫京;聯(lián);江三清/二裝品;而》的血宿專甬名:

2.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)“伍⑼，令S(X)=(X-4)2+(〃X)-6)2,若

尸(MJ伉))是s⑺取到最小值的點(diǎn)，則稱尸是M在〃x)的"最近點(diǎn)”.

⑴對(duì)于〃x)=L(x>0),求證：對(duì)于點(diǎn)M(0,0),存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)P是"在〃x)的“最近點(diǎn)”；

X

(2)對(duì)于〃無(wú))=e',〃(l,0),請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P,它是M在〃x)的“最近點(diǎn)"，且直線MP與y=〃x)

在點(diǎn)尸處的切線垂直；

(3)已知》=/?在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)/''(X)，且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正,設(shè)點(diǎn)陷(f-1J⑺-g⑺),

M(f+l,〃/)+g?)).若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)尸同時(shí)是M，弧在〃x)的“最近點(diǎn)"，試判斷〃無(wú))的單調(diào)

性.

3.（2023?上海寶山,二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程〉=履+1中，當(dāng)上取給定

的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)人在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)（0」）的直線族（不含了軸）.記直線族

2（a-2）x+4y-4a+/=0（其中a^R）為乎，直線族y=3/x-2/（其中f>0）為。.

⑴分別判斷點(diǎn)4（0,1）,3（1,2）是否在中的某條直線上，并說(shuō)明理由；

（2）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)/，點(diǎn)尸（%,%）不在。的任意一條直線上，求為的取值范圍（用/表示）；

⑶直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上

每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求。的包絡(luò)和平的包絡(luò).

題型11基本不等式與圓錐曲線的綜合應(yīng)用

———------―———一n

1.（2024?上海?三模）將離心率相等的所有橢圓稱為〃一簇橢圓系〃.已知橢圓￡:土+/=1的左、右頂點(diǎn)分

2

別為45,上頂點(diǎn)為。.

（1）若橢圓尸:二+片=1與橢圓￡在"一簇橢圓系"中，求常數(shù)s的值；

s2

⑵設(shè)橢圓G：y+/=2（O<2<1）,過(guò)A作斜率為K的直線4與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)D作斜率為

融的直線4與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)幾為何值時(shí)，同+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若橢圓與橢圓K在"一簇橢圓系"中，橢圓”上的任意一點(diǎn)記為C（x0,外）,試判斷

△4BC的垂心M是否都在橢圓E上，并說(shuō)明理由.

2.（2023?上海普陀?一模）設(shè)雙曲線「：，-/=1。>0）,點(diǎn)片是「的左焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若「的離心率為\上，求雙曲線「的焦距；

3

（2）過(guò)點(diǎn)片且一個(gè)法向量為的直線與「的一條漸近線相交于點(diǎn)若叉的4=；,求雙曲線「的方

程；

（3）若/=血，直線/：kx-y+m=Q（QO,meR）與「交于尸，。兩點(diǎn)，|赤+而|=4,求直線/的斜率左

的取值范圍.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2023?上海閔行?一模）下列不等式中，解集為卜卜1<》<1｝的是（）

A.x2-l<0B.|%|-1<0

C.7^~A-°D.

（x+l）（x-l）X+1

2.（2023?上海靜安?一模）若實(shí)數(shù)%/滿足/+4/-盯=3,則（）成立.

A.xy>\B.x2+4y2<4

C.x+2y>-V2D.x+2y<V2.

3.（23-24高三上?上海松江?期末）關(guān)于曲線〃：￡+，=i，有下述兩個(gè)結(jié)論：①曲線M上的點(diǎn)到坐標(biāo)原

點(diǎn)的距離最小值是與；②曲線M與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積不大于則下列說(shuō)法正確的是（）

A.①、②都正確B.①正確②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤②正確D.①、②都錯(cuò)誤

4.（23-24高三上?上海普陀?期中）已知｛為｝是等比數(shù)列，公比為4,若存在無(wú)窮多個(gè)不同的

滿足%+24%4%+一則下列選項(xiàng)之中，不可能成立的為（）

A.q>0B.q<0C.@<1D.|^|>1

二、填空題

5.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知xeR,則不等式一一2工-3<0的解集為

Y+2

6.（2024?上海楊浦?一模）不等式一7＜0的解集為_(kāi)______.

x-1

7.（23-24高三上?上海普陀?階段練習(xí)）若一元二次不等式a/+4x+2＞0的解集是則實(shí)數(shù)。

的值為.

8.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a、6滿足。+46=1,則湖的最大值為.

9.（2024高三下?上海?競(jìng)賽）若正實(shí)數(shù)6滿足仍=2a+6,貝~+2力的最小值是.

10.（23-24高二上?上海?期末）半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積（各側(cè)面面積之和）的最大值為.

11.（23-24高二上?上海?期末）已知直三棱柱中，AA{=A,ABLAC,過(guò)點(diǎn)4的平面a分別交

棱NC于點(diǎn)。，E,若直線與平面a所成角為60。，則截面三角形4小面積的最小值為.

12.（24-25高三上?上海?期中）拋物線j?=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,43是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

兀\MN\

NAFB=9設(shè)線段的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線/上的投影為N,則扁的最大值是.

3\AB\

13.（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）用鐵皮制作一個(gè)有底無(wú)蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為兀立方米，則至少需

要平方米鐵皮

14.（2024?上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)。，6滿足a-2b20,則2"+J的最小值為.

15.（24-25高三上,上海?期中）設(shè)a/e[0,l],記5=三+4+。-。）（1-〃），則它的最大值和最小值的差

1+b1+a

為.

16.（24-25高三上■上海?期中）已知實(shí)數(shù)X1、%、%、