考點(diǎn)精煉--極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知函數(shù)/（XHlnr+l-依有兩個(gè)零點(diǎn)網(wǎng),尤2,且不〈尤2，則下列命題正確的是（）

2

A.a>\B.玉+尤2<一

a

C.西,工2<1D.兀2—%>-----1

a

2.己知函數(shù)/（x）=F，對(duì)于正實(shí)數(shù)小若關(guān)于f的方程“4=恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則

a的取值范圍是（）

A.（1,8）B.（ez,8）C.（8,+8）D.（e2,+?）

二、多選題

3.關(guān)于函數(shù)F（x）=±+lnx,下列說(shuō)法正確的是（）

X

A.x=2是/（x）的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/O）-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正整數(shù)左，使得〃x）>去恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)國(guó),超，且工產(chǎn)無(wú)2，若/（%）=/（%），則再+々>4

4.已知函數(shù)/（X）=尤-4]，則下面結(jié)論成立的是（）

A.當(dāng)0<。<!時(shí)，函數(shù)/。）=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

e

B.函數(shù)了。）=。只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，貝熊40

C.若函數(shù)〃尤）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根毛，尤2,則占+%>2

D.若函數(shù)/。）=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],%，則尤1+%>3

cosx,x<0

5.設(shè)函數(shù)/（元）=無(wú)八，下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

Lei-1

A.函數(shù)在（。,1）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有一個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)的值域?yàn)椴?,日

D.對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)占12,若〃為）=/（尤2），則%+苫2<2

6.已知函數(shù)/(尤)=二，下列說(shuō)法正確的是()

A.〃尤)=叱與g(x)=&吧的定義域不同

XX

B.的單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8)

C.若=a有三個(gè)不同的解，則

D.對(duì)任意兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)為,%，若/(&)=/(%)，則凡?尤2>不

三、填空題

/、[-2rex,x<0/、

7.已知函數(shù)〃x)=[1nXA。，若函數(shù)丁=〃力—6有四個(gè)不同的零點(diǎn)引、尤,、馬、X,，且

Xt<x2<x3<x4,則以下結(jié)論正確的是.

①尤;+x：>2；

?0<b<-；

e

(3)%+%2=—2；

④(石+々)毛X4〈―2.

四、解答題

8.已知函數(shù)/(x)=ln尤+’.

x

(1)求/(X)的最小值；

(2)若方程/(尤)=。有兩個(gè)根士,々(占<龍2)，證明：Xl+X2>2.

9.已知函數(shù)〃力=上回，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

ax

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程〃x)=l有兩個(gè)不同的根占,尤2.

(i)求”的取值范圍；

(ii)證明：>+學(xué)>2.

10.已知函數(shù)〃x)=xlnx.

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若方程/(尤)=2尤-1的兩個(gè)解為4、x2,求證：%I+x2>2e.

11.已知常數(shù)。>0,函數(shù)/(尤)=Jx?尤一2/lnx.

⑴若Vx>0,/(x)>-4/,求。的取值范圍；

⑵若4、%是/(x)的零點(diǎn)，且%二%,證明：髭+々>4。.

12.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(xT)-、：2).

⑴若0對(duì)Vxe[2,+co)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)已知方程的二D='有兩個(gè)不同的根耳、％,求證：士+%>6e+2,其中e=2.71828.為自然

x-13e

對(duì)數(shù)的底數(shù).

Y

13.已知函數(shù)〃x)=log“x-,(a>l).

⑴若〃無(wú))只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值；

⑵若/(無(wú))有兩個(gè)零點(diǎn)再，馬，證明：xl+x1>^~.

一Inn

14.已知函數(shù)/(x)=xlnx-at2-2x.

(1)若過(guò)點(diǎn)(1,0)可作曲線y=/(x)兩條切線，求。的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)占,々.

①求。的取值范圍；

②當(dāng)玉>4x2時(shí)，證明：>16e3.

參考答案

1.D

由/（元）=0可得°=上爰，令g（無(wú)）=四尸，其中無(wú)>0,

則直線y=a與函數(shù)g（尤）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，g〈x）=-學(xué)，

由g'（尤）>0可得O<X<1,即函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,

由?（無(wú)）<0可得彳>1,即函數(shù)g（無(wú)）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,+e）,

且當(dāng)0cxe，時(shí)，g（x）=llLr+1<o,當(dāng)時(shí)，g（x）=lnX+1>0,g（l）=l,

exe%

如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0<。<1時(shí)，直線>與函數(shù)g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

由圖可知，-<^<1<x,

e2

因?yàn)?（無(wú)）=!一。=匕竺，由/'（龍）>。可得0<x<L由/''（xH?？傻?/p>

XXdCl

所以，函數(shù)〃尤)的增區(qū)間為(0,"J,減區(qū)間為[‘,+RJ,則必有。<玉<,<%，

121

所以，。<玉<一,則—％]>一,

aaa

令&)="?一—『x]—a[2—x]—lnx+or,其中0<工〈工，

,(1Y

2a\x——

g<o,則函數(shù)可可在（。,￡|上單調(diào)遞減，

則h'(x)=----+2a=—3

xx\X—

a1a

所以，無(wú)（%）>?：）=0,即/（一三）一〃占：

)>o,gp/(%1)<,

又/5）=〃占）=0，可得/（々卜/、一xj

因?yàn)楹瘮?shù)〃元）的單調(diào)遞減區(qū)間為（：，+"，P22

111x>--x,即％+%>一，故B錯(cuò)誤；

2axa

[ax,=lux,+1ln(xx)+22

由_J兩式相加整理可得玉+々=12>,

1CUC-2—111^2十1aa

所以，In(卒2)>°，可得不，入2>1，故C錯(cuò)誤；

由圖可知—<$<1<%2，則—%>—1，又因?yàn)椋?>—，所以，x~x>---1,故D正確.

ea2ia

故選：D.

2.D

研究〃村=中的圖像可知，若/令芯=口=亍，則小六/㈤，且內(nèi)>1,可

以推出，再=/或再％=。，通過(guò)對(duì)數(shù)不等式寫出關(guān)于王々的不等式，即可求出。的范圍

因?yàn)椤▁)=g,〃%)=匕￡二令〃》)=匕空>0得：0<x<e；令〃刈=匕處>0得：X>e,

XXXX

所以/(X)在區(qū)間(o,e)單調(diào)遞增，在(e,y)單調(diào)遞減，且x->8時(shí)，〃力>0恒成立，的圖像

如下：

令尤1=/,%=，貝1〃西)=/(々)，且5,％>1

①當(dāng)％=馬時(shí)，/=//=夜，成立，所以而是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根

②當(dāng)玉w%時(shí)，由/(%)=/■(%)得：電工=電三，令"工=電三=加

fiwc,=InxInx-In羽Inx+Inx,

貝I」：<,}，兩式相減得：m=—!-----,兩式相加得：m=-----------

\mx2=lnx2xx-x2xl+x2

石-x石+x

所以：=J：：由對(duì)數(shù)均值不等式得:22

In再-Inx2In芯+Inx2In玉一Inx22

x+x9x,+Xr,、ac

所以：丁+h「丁，且斗.",所以mx/2>2,BP：t.-^a>e-

所以a>e?

故選：D

3.BD

7i_o

對(duì)于A,/(X)定義域?yàn)椤?8),/食)=一4+上=r一，

XXX

0<x<2時(shí)，尸(x)<0,尤>2時(shí)尸(x)>0,x=2是/(尤)的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤;

Y2—尤+2

對(duì)于B,令h(x)=/(x)-x,hr(x)=----------<0,

力⑴在(0,+8)上遞減，/i(l)=l>0,/i(2)=ln2-l<0,〃(%)有唯一零點(diǎn)，B正確;

。十一人/、f(%)2Inx，/、xlnx-x+4

對(duì)于c,+—,。(尤)=------3——,

Xx~XX

令F(x)=xlnx-x+4,F'(x)=Inx,xG(0,1)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,xe(1,+co)時(shí),F'(x)>0,

E(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，MF(x)min=F(l)=3>0,

夕(x)<o,°(x)在(0,+8)上遞減，°(x)圖象恒在x軸上方，

與無(wú)軸無(wú)限接近，不存在正實(shí)數(shù)左使得了(%)>丘恒成立，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由A選項(xiàng)知，/(X)在(0,2)上遞減，在(2,+00)上遞增，

由正實(shí)數(shù)%,尤2，且不>々，/(再)=/(9),得0<%<2<%，

當(dāng)0<x<2時(shí)，令g(x)=/(元)-/(4-x),

g'(x)=f'{x}+f(4-x)==-盧2=一學(xué)—?：<0,即g(x)在(0,2)上遞減，

X(x-4)2x2(x-4)2

于是有g(shù)(x)>g⑵=0,從而有/(%])=/U2)>/(4-X2),

又4-々>2,所以再>4一%，即再+%>4成立，D正確.

故選：BD

4.AC

XX

令/(%)=。參變分離可得Q=W，令/l(%)=F，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可得到函數(shù)"。)的函數(shù)圖

ee

象，從而判斷A、B,若函數(shù)/5)=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根毛，々，貝U廣“一八，即可得到

2

x2-ae=0

包9七二卻，再令，=玉-々>。，門⑺=3+1),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可

勺26ef-l

判斷C、D；

解：根據(jù)題意，令==0則〃=j令人(幻=三，貝所以當(dāng)工<]時(shí)，//(力>0,

eee

當(dāng)X>1時(shí)，〃(X)<O,即函數(shù)網(wǎng)力在(F,l)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，畫出函數(shù)人⑺圖象

如下:

11

函數(shù)的最大值在X=1處取得，最大值為-，所以選項(xiàng)A正確，當(dāng)或〃=-時(shí)函數(shù)/5)=。只有一

ee

個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B不正確，

xx+x2=a

若函數(shù)/(%)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根毛,超，貝小

%+*)=&rjef+1),令，=再一々>。，⑺」(.+1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得,

勺2),一巧―1ez-l

_2te'-1

g'?)=(’,令根⑺=e"-2*-1,則加(f)=[2e'—2(f+l)]e'>0恒成立，所以函數(shù)相⑺單調(diào)

遞增，又加(0)=0,所以〃()>。，所以gQ)在”0時(shí)單調(diào)遞增，g⑺的函數(shù)圖象如下所示:

可得g(，)>2,所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確.

故選：AC

5.AB

利用導(dǎo)數(shù)判斷尤>0時(shí)，y=/(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求值域，然后結(jié)合尤40時(shí)，f(x)=cosx,

從而可判斷選項(xiàng)A,C；首先利用導(dǎo)數(shù)判斷x40時(shí)，8(/=〃*)-尤=。。$*-”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；然后再利

用單調(diào)性判斷x>0時(shí)，g(尤)=〃x)-x=高-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可判斷選項(xiàng)B；不妨設(shè)0<不<1<%,

根據(jù)題意把要證明再+尤2>2,轉(zhuǎn)化為證明/(2-占)>/(芯)；然后構(gòu)造函數(shù)°(尤)=高-/(0<%<1),

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明，從而判斷選項(xiàng)D.

e'T-xei1-x

當(dāng)x>°時(shí),/)=自,所以八M

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，/(無(wú))>0,所以>=/(尤)在(CU)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>i時(shí),尸(功<0,所以y=/(x)在(1,+8)單調(diào)遞減.

且當(dāng)X-+8時(shí)一。，故x>0時(shí)，0</(x)Wf⑴=1,

又當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=cosx,所以-1V/(X)V1,

所以函數(shù)"X)在(0』)單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?U］,所以A正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)x<0時(shí)，令g(x)=/(x)_x=cosx_x,貝I］g'(x)=_sinx_lVO,

所以g(尤)=cos尤一x在(一8,0］單調(diào)遞減，所以當(dāng)尤40時(shí)，g(x)Ng(O)=l,

所以函數(shù)_v=/(x)-尤在(-8,0］上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)x>0時(shí)，令根(x)=/(x)一了=言一了=》［5—1),

所以只需求函數(shù)/7(x)=3-l在(0,+到上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

e

又因?yàn)榫?尤)=3-1在(0,+8)上單調(diào)遞減，且〃(1)=3-1=0,

ee

所以函數(shù)y=Ax)-x在(o,+s)上只有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)y=/O)-x有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以B正確；

當(dāng)x>0時(shí)，若/伍)=/(%)，因?yàn)楹瘮?shù)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))單調(diào)遞減,

所以不妨設(shè)0<%<1<尤2,貝1］1<2-%<2,

所以要證再+%>2,只需證2-玉<%,即只需證/(2-占)>/(%),

又因?yàn)?&)=〃％)，所以只需證〃2—玉)>/(可).

因?yàn)?-?—，

e1e1e1e1

x，一Y

所以令函數(shù)°(x)=F-——(0<x<l),

ee

l_^_(l-%)(e2-e2x)

則e'(x)=

?—r19—1

所以以無(wú))=等r一一;在(0,1)單調(diào)遞增,所以9(x)<。⑴=4T-￡TT-=O>

eeee

x，一Y

即9(X)=F--]<0(0<%<1)恒成立，所以。&)<0,

ee

即/(%)-〃2-%)=券一]<0,所以"2—)>〃不)，

從而芯+Xz>2成立，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

6.AD

利用定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且是奇函數(shù)，確定選項(xiàng)A；利用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)值小于0,解不等式，排除選

項(xiàng)B；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和自變量趨向于正、負(fù)無(wú)窮時(shí)的極限值來(lái)作出簡(jiǎn)圖，通過(guò)〃=。是不符合

題意，來(lái)排除選項(xiàng)C；利用極值點(diǎn)偏移法，構(gòu)造函數(shù)H(x)=/i(x)-/z(J)并進(jìn)行求導(dǎo)分析證明，確定

X

選項(xiàng)D.

對(duì)于A,由〃尤)=叱的定義域?yàn)閧無(wú)|戶0},而g(x)=&吧的定義域?yàn)楹吾?gt;0},所以選項(xiàng)A是正

XX

確的；

對(duì)于B,由函數(shù)定義域?yàn)閧x|xw0},因?yàn)閺V⑺=2?2，由尸⑴<0,得到mY>2=Ine?,解得x<-e

或x>e,

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-*-e),(e,+8),所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)槭?耳=三￡,由尸(x)=2-y>0,解得-e<x<e且xwO,

所以了(無(wú))的增區(qū)間為區(qū)間(-e,0),(O,e),

由選項(xiàng)B知，/(無(wú))的減區(qū)間為,(e,+oo),

22

又/(e)=—"(—e)=—,當(dāng)％--oo時(shí)，/(x)<0,且

ee

當(dāng)Xf+00時(shí)，/(x)>0,且

當(dāng)x<0且x—0時(shí)，/(x)^-K0,當(dāng)％>0且尤.0時(shí)，/(x)->-00,

其圖象如圖所示，

由圖知，〃x)=a有三個(gè)不同的解，則-1<"：且"0,所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由題知/(占)=2"=/(々)=也包，得到生豆=皿”,

xxx2芯x2

Inx02

由圖，不妨設(shè)0<玉<?<X2，設(shè)力(x)=，H(X)=h(x)-h(—),

%x

(1-Inx)(e2-x2)

當(dāng)0<x<e時(shí)，1一lnx>0,e2-x2>0,所以H'(x)>0,

2

即H(x)=h(x)-/z(—e)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，又“(e)=/z(e)-h(e)=0,

x

22

所以“(％)=e<0,得到用(%)=h(x)<%(一e),

再2再

又〃0)=上母，當(dāng)x>e時(shí)，〃(尤)<0,即/z(x)=UX在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞減，

XX

e262

又%>e,—>e,所以無(wú)2>一，得到無(wú)所以選項(xiàng)D是正確.

X]尤]

故選：AD.

7.①②④

設(shè)g(x)=-2xe，，其中xeR,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷②的正誤;

分析可知結(jié)合基本不等式可判斷①的正誤；構(gòu)造函數(shù)Mx)=g("-g(-2-力，利用導(dǎo)數(shù)分

X4

析函數(shù)/l(x)在(-1,+8)上的單調(diào)性，可判斷③④的正誤.

設(shè)g(x)=-2xe”,其中尤eR,貝i]g'(x)=-2(x+l)e",

當(dāng)尤<-1時(shí)，g\x)>0,此時(shí)函數(shù)g(無(wú))單調(diào)遞增，

當(dāng)x>-l時(shí)，<0,此時(shí)函數(shù)g(尤)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)g(x)的極大值為g(-l)=j且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)>0,

作出函數(shù)f(x)、6的圖象如下圖所示：

因?yàn)?小)=/(%),則，由圖可知。<苫3<1<匕，則In%=Tn%=lnJ,

所以，x；+x：=，+xj>2,2.xj=2,①對(duì)；

令/z(x)=g(x)—g(—2-x),其中x<T,由圖可知％<-1<々<。，

h'(無(wú))=-2(尤+1)e*+2(x+1)e-2T=-2(x+1)(-d2T+e*),

當(dāng)x<-l時(shí)，x+l<Q,-2-x>x,貝此時(shí)函數(shù)/z(x)單調(diào)遞減，

所以，/?(^)=g(^)-g(-2-%1)>/?(-1)=0,即g(-2-%)<g(西)=g(%2),

因?yàn)閤2>-1,且函數(shù)g(x)在(-1,+00)上單調(diào)遞減，

所以，-2-玉>尤2，則尤1+超<-2,故(占+々)毛4=占+2<—2,③錯(cuò)④對(duì).

故答案為：①②④.

8.(1)1；(2)證明見(jiàn)解析.

11r-1

(1)尸。)=——=-^-,(^>0),

XX7X

所以/(元)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故/(尤)的最小值為"1)=1.

(2)若方程/(無(wú))=。有兩個(gè)根%,無(wú)2(°<尤1<工2)，

貝I」In%1+—=Inx2+—,即~—=In三>0.

玉x2x1x2再

要證為+工2〉2,需證(工1+工2>“——>21n—,即證三一%>21n強(qiáng)，

一再入2X1玉X2xi

設(shè)土■二方?〉1),則2-%>21nX等價(jià)于.

%再x2%t

1191

令gQ)=”——21n/,則/⑺=1+7——=(1——)2〉o,

tttt

所以g?)在(1,+8)上單調(diào)遞增，g(t)>g(T)=0f即/」>21n/,故國(guó)+々>2.

t

9.(1)/(%)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+。)內(nèi)單調(diào)遞減；

⑵(i)(0,1)；(ii)證明見(jiàn)解析.

(1)求函數(shù)〃%)的導(dǎo)函數(shù)及其零點(diǎn)，分區(qū)間分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)區(qū)

間；

(2)方程〃力=1可化為上坦=〃，結(jié)合(1)確定函數(shù)儀力=上的的性質(zhì)，由條件確定，的取值

XX

范圍；

lux,+1lnx9+1

(3)設(shè)尤1<々，由(i)0<%j<1<X2,由已知一^—=—^—,法一：先證明尤2N2時(shí)結(jié)論成立，構(gòu)

造函數(shù)P(x)=g(x)—g(2—x),0<x<l,并證明p(x)<0,由此可得g(2—西)>g(()=g(w),結(jié)合

g(無(wú))的單調(diào)性證明2-玉<%,再結(jié)合基本不等式證明當(dāng)1<%<2時(shí)，結(jié)論成立；法二：構(gòu)造函數(shù)

〃(x)=g(x)-g1J,證明當(dāng)0<x<l時(shí)，/?(%)<0,由此可證g(9)<，結(jié)合g(x)的單調(diào)性證

明再%>1,再結(jié)合基本不等式證明結(jié)論.

(1)由題意得了(無(wú))=葉蛆X￡（0,+8）,貝陵)=-笥

由/''(xA。，解得x=l.

當(dāng)0<x<l時(shí),當(dāng)(x)>OJ(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)無(wú)>1時(shí)，尸(2<0,〃力單調(diào)遞減;

綜上，〃x)在區(qū)間(0』)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減;

/c、/?、小+ln%1"曰l+hu:

（2）（1）由-----=1,得-----=a,

axx

1+lnx

設(shè)g（x）=

x

由(1)得g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

又g]：j=o,g⑴=1,當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,且當(dāng)xf+8時(shí)，g(x)f0,

所以當(dāng)0<°<1時(shí)，方程上的=。有兩個(gè)不同的根，即方程上匹=1有兩個(gè)不同的根,

xax

故。的取值范圍是(0,1).

1叫+1lnx2+1

(ii)不妨設(shè)玉<工2，則。<玉且

法一:

當(dāng)％2?2,+8）時(shí),結(jié)合（i）知x；+考>考24>2,即#+%；>2；

當(dāng)%2￡（1,2）時(shí)，2-%2e（o,l）.

iS/?（^）=g（^）-g（2-x）=—+--ln^2,0<x<l,

xx2—x2—x

則—皿2-引1―ln（2.x）時(shí)一（..丁+1]

所以P（無(wú)）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

貝i]p(x)<p(l)=。，即g(尤)<g(2—尤)，

所以g(2-%)>g(M=g(X2),

又菁G(O,1),2-X[>1,彳2>l，g(x)在區(qū)間(1，+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以2—%<%，即+%2〉2,

又%R%,所以X：+X；>2%%，

故2石+2x&>芍+x；+2玉%=(%+x,)>4,所以無(wú);+%>2,得證.

法二：

^/?(x)=g(x)-g=1+^-x(1-ln.r),xe(0,+oo),

貝!J/?'(無(wú))=1："+lnx=Inx'",1>0,

所以立⑺在區(qū)間(O,+e)內(nèi)單調(diào)遞增,又秋1)=0,

所以MxJ=g(xJ-g~pQ^即g(xj<g]｝；

又g(x2)=g(±)，所以8優(yōu)卜8I,，

又無(wú)2>1,工>1,g(尤)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

玉

1

所以犬2>一，即石工2〉1，

%]

又所以%；+后>2玉入2>2,得證.

io.⑴減區(qū)間為H,』，增區(qū)間為g+j,極小值為U=T，無(wú)極大值;

(2)證明見(jiàn)解析

(1)解：函數(shù))(x)=xlnx的定義域?yàn)?0,+8),且-(x)=lnx+l,

令/'(x)=0可得尤=g,列表如下：

1

e1T

廣⑴—0+

減極小值增

所以，函數(shù)〃尤)的減區(qū)間為(0，1,增區(qū)間為m，極小值為/(X無(wú)極大值.

(2)解：設(shè)/2(x)=〃x)-2x+l=xlnx-2x+l,其中x>0,則〃(x)=lnx-l,

令〃(x)<0,可得0<x<e,此時(shí)，函數(shù)無(wú)(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,

令〃(力>0,可得x>e,此時(shí)，函數(shù)網(wǎng)力在(e,+oo)上單調(diào)遞增，

所以，％=e是函數(shù)M》)的極小值點(diǎn),

因?yàn)楹瘮?shù)M%)有兩個(gè)零點(diǎn)七、工2，設(shè)玉<%，則。〈玉<e<%2,

即%)=/z(%2)=°且。<%<ev%，要證玉+W>2e,即證尤2>2e—玉〉e,

因?yàn)楹瘮?shù)M》)在(e，+°°)上單調(diào)遞增，

所以，只需證明：/7(x2)>/?(2e-^),即證//(%)>/z(2e-%),

令/?(%)=/z(x)-/?(2e-x)=xlnx-(2e-x)ln(2e-x)-4x+4e,其中0<x<e,

貝ljpr(x)=lnx+ln(2e-x)-2=ln^2ex-x2)-2,

因?yàn)?<x<e,則2ex-x2=-(無(wú)一e)~+e。?((),4),

所以，pf(x)=ln(2ex-x2)-2<lne2-2=0,故函數(shù)p(x)在(0,e)上為減函數(shù),

又因?yàn)镻(e)=O,所以，p(x)>0對(duì)任意的x?O,e)恒成立,

貝!]〃(％)="(占)一/z(2e-%)>。,即"(%])>/z(2e-%),故成立.

IL⑴吟

(2)證明見(jiàn)解析

(1)由已知得知x)的定義域?yàn)閧x|x>0},

2a2_x2-ax-la2_(x-2a)(x+a)

且/(x)=x_Q_

xXX

a>0,

???當(dāng))￡(0,2a)時(shí),f(x)<0,即/(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減;

當(dāng)工￡(2〃,+oo)時(shí)，f(x)>0,即/(%)在(2〃,+8)上單調(diào)遞增.

所以““在％=2〃處取得極小值即最小值，

(4,=/(2。)=-2a2In(2i?),

Vx>0,/(x)>-4a2ofGL=-2/In(2〃)>-4a2<=>ln(2tz)<lne2,

e,2

;.0<a<—,即。的取值范圍為I。,三

22

(2)由(1)知，/(%)的定義域?yàn)?%>0},

/(%)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2〃,+8)上單調(diào)遞增，且1=2〃是/(此的極小值點(diǎn).

%、元2是/(%)的零點(diǎn)，且玉。工2，

???石、元2分別在(°，2。)、(2。,+8)上，不妨設(shè)0<再<2〃<元2，

設(shè)F(x)=/(%)-f(4a-x),

I,、(x-2a)(x+a)(2a-x)(5a-x)2a(x-2a)2

貝！JFM=------------+--------------=—；-

x4a-xx(x-4a)

當(dāng)了￡(0,2Q)時(shí)，尸(x)<0,尸(2Q)=0,即尸⑺在(0,2Q]上單調(diào)遞減

0<玉<2〃，

.?.尸(%)>尸(2a)=0,即%),

〃%)=〃%)=0,

再<2。，

/.4。一再>2a,

又.x2>2a,f(x)在(2a,+co)上單調(diào)遞增，

/.%2>4。-X],即+%>4。.

12.⑴(F,2]

(2)證明見(jiàn)解析

(1)解:由<(x)=ln(x-l)一比二得xln(x—l)i(x—2)N0.

令e(x)=xln(x-l)-左(x-2),xG[2,+oo),貝！|9'(尤)=ln(x_l)+^——k,

x—1

11x—2

令〃(尤)=0(x),貝”(無(wú))=口一^1^=^：^2°(尤22).

所以，函數(shù)。(無(wú))=ln(x-l)+告一人在[2,吩)上單增，故0(力之。⑵=2-h

①當(dāng)上42時(shí)，則。(x)N2-心0,所以0(x)在[2,4w)上單增,<p(x)><p(2)=0,

此時(shí)〃x)20對(duì)Vxe[2,+co)恒成立，符合題意；

②當(dāng)左>2時(shí)，"(2)=2—左<0,°，(芭+1)=^^>0,

故存在不?2,”)使得。(％)=0,

當(dāng)xe(2,Xo)時(shí)，0'(%)<0,則°(x)單調(diào)遞減，此時(shí)0(x)<°(2)=0,不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)上的取值范圍(f,2].

(2)證明：由(1)中結(jié)論，取左=2,有l(wèi)n(x_l)>2(—2)(x>2),即hu>"二

X

不妨設(shè)入2>玉>1,/=則In三〉，整理得手>]三一:.

xi%2lnx2-In西

(X]+-1),(七一1)一(占-1)_

%2一%=3e

于是2ln(x2-l)-ln(^-1廠-1)-(占-川

gp+x2>6e+2.

13.(l)e

(2)證明見(jiàn)解析

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，令最小值為。求得。的值;

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明/(%,)</學(xué)f)，設(shè)函數(shù)g(x)=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即

(2)

InaIna

可.

函數(shù)—(%)=，1。84-，=呸遇上」(尤>0),

(1)

xaax

令/''(MO得x=alog“e

當(dāng)xe(0,alog?e)時(shí)，f'(x)>O,/(x)在(O,alog“e)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(alogfle,+co)時(shí)，/(x)<0,f(x)在(?logae,+co)單調(diào)遞減;

所以函數(shù)/(尤)在尤=alog“e時(shí)取最大值,

當(dāng)x.0時(shí)，函數(shù)〃x)<0;當(dāng)xf+8時(shí)，函數(shù)/(%)<0;

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)最大值為0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),

alc>gae

易知/(<71ogae)=logfl(alog?e)-=0,

a

所以a=e；

(2)證明:

不妨設(shè)。<再<%2要證明：X+X>---,只需要證----%，易知?！从?-<%2

12Ina\naln〃

由⑴可知“X)在(0，F(xiàn))單調(diào)遞增，在(3,+與單調(diào)遞減;

inaIna

所以只要證明/(%2)<〃鄉(xiāng)一占)，即證/仁)<〃鄉(xiāng)-玉)，

InaIna

設(shè)函數(shù)g。)=/?-于目一X),而g(/-)=0,

inaIna

竹口尸BP-,,八a.1?，(x)=//(x)+/I----%=--------+--------

并且在區(qū)間(O,*；-)上)xlnoa(2a

\na'7(；-x)lna

ma

即g(x)在(0,二)單調(diào)遞增，所以g&)<g(R)=o

Inaina

從而g(%)=/(%)-/(三-無(wú)1)<0,所以/'(x,)<于(當(dāng)~-芯)

InaIna

所以X]+%>M

Ina

14.(1)(-8,-2)；

(2)①(0,二)；②證明見(jiàn)解析.

2e

(1)依題意，fr(x)=]nx-2ajc-l,

設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,。)的直線與曲線y=/(x)相切時(shí)的切點(diǎn)為(%，%),斜率左=11^-20X0-1,

切線方程為>-(叫叫)-axl-2/)=(1叫)-2ax0-l)(x-/)，而點(diǎn)。，°)在切線上,

則一XolnXo+QX；+2x0=(lnx0-2axQ-l)(l-x0),即有ax；-2ax0-x0+lnx0-1=0,

由過(guò)點(diǎn)(1,0)可作曲線y=/(%)兩條切線，得方程以；-2以。-％+lnx。-1=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

g(x)=ax2-2ax-x+\nx-l,則函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn),

分口/曰，/、八八112a%2_(2〃+1)%+1(2ax-l)(x-1)

求導(dǎo)得g(%)=2ax-2a-l+-=-------------——=-------——-，

XXX

①若〃>—,由g'(X)>。，得0<%<—或x>l,由g'(x)v。，得—<x<\,

22a2a

即函數(shù)g(x)在(0,[),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(1,1)上單調(diào)遞減，

2a2a

則當(dāng)尤=1時(shí)，g。)取得極大值；當(dāng)％=1時(shí)，g(x)取得極小值，

2a

又p(—)=a?(—)2—2a?-----+In———1=Tn2q——-——2<0,

la2alalala4Q

當(dāng)xWl時(shí)，g(%)<0恒成立，因此函數(shù)g(x)最多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

②若。=；,g'(x)20恒成立，函數(shù)g(乃在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)g(%)最多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

11I

③若0<。<—，由g'(%)>。，得0<%<1或x〉—，由g'(x)v。，得lvx<—,

22a2a

即函數(shù)g(x)在(0,1),(二,+8)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，

2a2a

則當(dāng)x=l時(shí)，g。)取得極大值；當(dāng)尤=，-時(shí)，g(x)取得極小值，又g⑴=-。-2<0,

2a

顯然當(dāng)了43時(shí)，gQ)<。恒成立，因此函數(shù)g(x)最多1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

④若。<0,顯然2依一1<0,當(dāng)0cx<1時(shí)