第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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學(xué)會(huì)利用幾何法求空間角及空間距離.

||詢基礎(chǔ)知識(shí)1

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1、異面直線所成的角

(1)定義：已知6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)。作直線a'〃a,把“與〃所成的角叫

做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍:(o,2_.

注：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直

線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.

2、直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。.

三一

(2)范圍：［0,2..

3、二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OG/；@OAca,OBup；③。4_U,OBU,則二面角a—/一P的平面角是NAOB.

(3)二面角的平面角a的范圍：0°<a<180°.

4、點(diǎn)到平面的距離

已知點(diǎn)尸是平面a外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。垂足為A，則PA唯一，則PA是點(diǎn)P到平面。

的距離。即：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離)

結(jié)論：連結(jié)平面a外一點(diǎn)P與。內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段PA最短.

1國解題策燈!

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1、求異面直線所成的角的方法和步驟

（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平

移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

（2）求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求

①平移：經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異

面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角.

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是（0,、，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異

面直線所成的角.

2、求直線與平面所成的角的方法和步驟

（1）垂線法求線面角：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A,過點(diǎn)A向平面1做垂線，確

定垂足O；

②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

（2）平移法求線面角

是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線面角

問題時(shí)，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動(dòng)位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件

關(guān)聯(lián)起來，以便將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來求解.

（3）等體積法求線面角

通過換底求體積求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖，已知平面a與

PO

斜線AP,POJ_a，則P0線面角為/PAO,sinNPAO=——，要求線面角，關(guān)鍵是求垂線段PO的長度，而垂

AP

線段PO的長度可看作點(diǎn)P到平面a的距離，在平面a內(nèi)找一個(gè)三角形（點(diǎn)A是其中一個(gè)頂點(diǎn)）與點(diǎn)P構(gòu)成三

棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達(dá)到簡便求解線面角的目的.

3、求二面角的平面角的方法和步驟

（1）求二面角大小的步驟是：

①作：找出這個(gè)平面角；

②證：證明這個(gè)角是二面角的平面角；

③求：將作出的角放在三角形中，解這個(gè)三角形，計(jì)算出平面角的大小.

（2）確定二面角的平面角的方法

①定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律

在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線.

如：“三線合一型”、“全等型”

②三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）一一最常用

自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足

和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

③等體積法

利用三棱錐等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d,如圖，點(diǎn)A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為

h（即APAB中PB邊上的高），則二面角人，8-（2的正弦值為5也。=4.

③垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）

過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。

④射影面積法

已知平面a內(nèi)的平面圖形r的面積為5,它在平面6內(nèi)的射影F的面積為大設(shè)平面a與平面b所成二面角的

平面角為8,則當(dāng)Ge陪］時(shí),煙8=爐￡c（|同時(shí),cos”-方

4、求解點(diǎn)面距的方法和步驟

（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；

（2）等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；

（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離.

Q考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：直接平移法求異面直線所成的角

1.（2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┰谡襟wABCD-ABC。中,瓦尸分

別為A民AD的中點(diǎn)，則異面直線20與E尸所成角的大小為（）

A.30°B.45。C.60°D.90°

變式1.（2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A耳0■中,

AB=AD=l,AAl=2,且￡為?！ǖ闹悬c(diǎn)，則直線8,與AE所成角的大小為（）

變式2.（2023春.江蘇南京.高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑A8與母線AD相等,

E是弧48的中點(diǎn)，則AE與8。所成的角為（）

考點(diǎn)二：中位線平移法求異面直線所成的角

例2.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐S-ABCD中，SA，平面ABC。，AS=AS=2,底面

ABCD是菱形，ZABC=60°,E,F,G分別是胡，SB,2C的中點(diǎn)，則異面直線OE與FG所成角的余弦

值為（）

顯

3

-^6710

—

變式1.（2023春?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐O-ABC中，AC=y/3BD,

且AC1BD,E,歹分別是棱DC,A3的中點(diǎn)，則跳'和AC所成的角等于.

變式2.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐尸-ABCD中，所有側(cè)棱

長都為4及，底面是邊長為2m的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線

OP與BM所成角為

變式3.（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AB=0正方形ADEF

的邊長為1,且平面ABC。/平面ADEF,則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（）

E

變式4.(2023春?上海寶山?高一上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正

方形，PA_L底面ABC。，AP=AB=AD=2,E是側(cè)棱網(wǎng)的中點(diǎn).

(1)證明AE_L平面尸8c.

(2)求異面直線AE與尸。所成的角；

變式5.(2023春?甘肅定西?高一甘肅省臨跳中學(xué)?？计谥?如圖，四棱錐P-ABCD中，24,平面A3CD,

底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=AD,E為R4的中點(diǎn)，尸為ED的中點(diǎn).

(1)求證："'_1平面尸￡>(?；

(2)求異面直線BE與尸￡)所成角的余弦值.

考點(diǎn)三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角

(2023春.上海奉賢.高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在長方體4BCO-44G。中,

AB=AD=4,CG=5,M、N分別是￡，、AC的中點(diǎn)，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為()

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌十中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱柱4BC-A笈G中，2BB,=3AB,D

是棱8c的中點(diǎn)，E在棱CG上，且CG=3CE,則異面直線與與E所成角的余弦值是（）

A.漁B.旦C.--D.顯

6442

變式2.（2023春?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱A3C-48?中，AC=AA,=2,BC=],

ZACB=120°,E是8月的中點(diǎn)，則異面直線CE與AG所成的角的余弦值是（）

考點(diǎn)四：補(bǔ)形法求異面直線所成的角

（2023?全國?高一專題練習(xí)）在長方體ABC。-A4GA中，A0=oc=2,AAi=2-^,則異

面直線8G與。與所成角的正弦值為（）

A\/5cD.@

-I~5~.T2

變式1.（2023春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正三棱臺(tái)ABC-A耳G中，底面ABC是邊長

為4的正三角形，且相=4￡=2.

⑴證明：AAXLBC.

（2）求異面直線40、8（所成角的余弦值.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在正方體ABCD-A4c.中，E為AQ的中點(diǎn)，平面AG^與平面CE^

的交線為1,貝也與AB所成角的余弦值為（）

「耶

3D-T

考點(diǎn)五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°

（2023春?廣東廣州.高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體A3CD中，M是8c的中

點(diǎn)，P是線段A"上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DP和BC所成角的大小（）

A

A.一定為90°B.一定為60°C.一定為45°D.與尸的位置有關(guān)

變式1.（2023秋?河南鶴壁?高一鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）三棱錐S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,\ABC

是斜邊至=。的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：

S

〃（??、??????少4

①異面直線S3與AC所成的角為90。；②直線S3,平面ABC；

③平面SBC_L平面&4C；④點(diǎn)C到平面的距離是1a.

2

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體ABCD-ABIGR中，A8的中點(diǎn)為M,的中點(diǎn)為N,則

異面直線B,M與CN所成角的大小為

C.60°D.90°

變式3.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱A8C-A4G中，底

面三角形A與G是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）

E

B

4

A.直線CG與直線相交

B.CG與AE共面

C.AE與AG是異面直線但不垂直

D.平面垂直于平面CBB[C]

考點(diǎn)六：由異面直線所成的角求其他量

6.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長方體ABC。-4瓦。1烏中，耳Z）與

CG和GR所成的角均為60。，則下面說法正確的是（）

A.AB=s[lAAiB.AD=AB

C.AC=—BCD.ACJ=—BD

313

變式1.（2023?高一單元測試）在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是A3,BC,CD,的中

點(diǎn).若AC=BO=2,且AC與2D所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1B.行C.1或若D.五或拒

變式2.（2023春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形ABCD中，AB=CD,E,尸分別為BC,AD的

中點(diǎn)，若48與8所成的角為40。，則EF與A3所成角的大小為（）

A.20°B.70°

C.20。或70°D.40。或140。

變式3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐。一45c中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=M,AB=3,

且直線AB與DC所成角的余弦值為色，則該三棱錐的外接球的體積為（）

19

75/C125乃D.等

2~1~,6

考點(diǎn)七：垂線法求直線與平面所成的角

7.（2023春?海南?高一海南華僑中學(xué)校考期末）如圖所示，四棱錐S-MC。的底面為正方形，SD1.

平面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

B.AB//平面SCD

C.直線SA與平面S3。所成的角等于30。

D.直線SA與平面S3。所成的角等于直線SC與平面S2D所成的角.

變式1.（2023春?山西?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2,高為4,AB為底面

圓。的直徑，C為上更靠近A的三等分點(diǎn)，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）

A?雪「V15D,巫

B.叵

1055

變式2.（2023?高一單元測試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐,

A/5-I

已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為,則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值

2

約為（）

.-A/2RA/5—1?5/5+1口y/10+A/2

2222

變式3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體A8C。-A耳6"中，E,F分別是AA-A片的中點(diǎn)，則直

線所與對角面AGCA所成角的大小是（）

C.60°D.150°

變式4.（2023春?江蘇宿遷?高一泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直三棱柱ABC-ABIG中,

AB=AC=AAt,AB1AC,則A4與平面BCC4所成的角為（）

71_71_71一兀

A.—B.-C.—D.一

6432

變式5.（2023春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為矩形，PAL

平面ABC。，E為PD的中點(diǎn).

P

（1）證明：PB〃平面AEC;

（2）設(shè)直線尸B與底面ABCD所成角的正切值為g,AP=1,AD=y/3,求直線PC與平面P⑦所成角的正弦

值.

變式6.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PA±

平面ABCD,底面是棱長為1的菱形，ZADC=60°，PA=2,M■是尸。的中點(diǎn).

⑴求證：PBHACM；

（2）求直線CM與平面上4￡）所成角的正弦值.

變式7.（2023春?湖南長沙?高一長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，多面體ABCDE產(chǎn)中，四邊形ABCD為矩形,

二面角A—CD—P的大小為45。，DE//CF,CD1DE,AD=2,DC=3.

⑴求證：3/〃平面ADE；

（2）求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

考點(diǎn)八：等體積法求直線與平面所成的角

8.（2023春?北京朝陽?高一清華附中朝陽學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是邊長為a的正方形，PAJL平面A3CD.若PA=a,則直線尸3與平面PCD所成的角的大小為（）

一兀

A.-B.-D.-

642

變式1.（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱ABC-A瓦G中，耳為等邊三角形，AB=BC=2,

CA=CBt,CAI.CBt.

⑴證明：平面CA4JL平面ABB,A；

(2)求直線B片和平面ABC所成角的正弦值.

變式2.(2023春?浙江杭州?高一?？计谥?如圖，四棱錐P-ABCD中，PC，平面ABCD,PC=1,底面

ABCD是矩形，且=AD=43.

⑴求證：ADL平面PCD；

(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值;

考點(diǎn)九：平移法求直線與平面所成的角

(2023?江蘇?高一專題練習(xí))如圖，邊長是6的等邊三角形6BC和矩形現(xiàn)以BC為軸

將面A3C進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐A-BCDE,。是等邊三角形AABC的中心，M,N分別是8C,DE

的中點(diǎn)，且A2=2ON,OF//面BCDE,交于廠.

7

(1)求證O/,面A1MN

(2)求DF和面AMN所成角的正弦值.

變式1.(2023春?天津和平?高一天津一中校考期中)如圖，已知44]_L平面ABC,BBJ!AAX,AB=AC=3,

BC=2小,心=々，3=2々，點(diǎn)E和歹分別為BC和AC的中點(diǎn).

(1)求證：AEJ_平面BUBI；

(2)求直線A片與平面BCBi所成角的大小.

考點(diǎn)十：由線面角求其他量

(2023春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-45co中，底面ABCD為矩形，PAA.

平面ABC。，E為線段P￡＞上一點(diǎn)，P3〃平面AEC.

⑴證明：E為PD的中點(diǎn)；

(2)若直線CE與平面所成的角為45。，且AP=AD=1,求三棱錐E-ACD的體積.

變式1.(2023春?福建泉州?高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，三棱臺(tái)ABC-EFG中，應(yīng)底面ABC,

ZACB=9Q),AB=2EF.

E

R

(1)證明：AAFG是直角三角形；

(2)若AC=BC,空=彳，問X為何值時(shí)，直線所與平面AR9所成角的正弦值為土？

AC5

變式2.(2023春?高一單元測試)如圖，在AABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC,AO=2OC=2ABAO

4。折起，使B點(diǎn)移至圖中B點(diǎn)位置.

(1)求證：AO_L平面3'OC；

(2)當(dāng)三棱錐B'-AOC的體積取最大時(shí)，求二面角A-B'C-O的余弦值；

(3)在(2)的條件下，試問在線段EA上是否存在一點(diǎn)P,使CP與平面&Q4所成的角的正弦值為止？證

3

明你的結(jié)論，并求AP的長.

變式3.(2023春?吉林延邊?高一延邊第一中學(xué)?？计谥?如圖，A3是。。的直徑，PA垂直于。。所在的

平面，C是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：3c是直角三角形；

(2)若24=AB=2,且直線PC與平面ABC所成角的正切值為0,

①求AC的長；

②求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

考點(diǎn)十一：定義法求二面角的平面角

di3例11.(2023春?河北石家莊?高一?？计谥?如圖，在四棱錐"CD中，底面ABCD

為正方形，平面上位＞，平面ABC。，°為棱尸。的中點(diǎn)，PA1.AD,PA=AB=2.

⑴求證：PA_L平面A3CD；

(2)求二面角尸-CD-A平面角的大小.

變式1.(2023春.吉林?高一校聯(lián)考期中)如圖，四棱柱的底面ABCD是菱形，，平面

ABCD,鉆=1,M=2,/EW=60。，點(diǎn)尸為的中點(diǎn).

(1)求證：直線32〃平面PAC；

(2)求二面角B.-AC-P的余弦值.

變式2.(2023春?天津?qū)氎?高一天津市寶城區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，邊長為4的正方形A3CD中,

點(diǎn)E,F分別為AB,5C的中點(diǎn).將AAED,ABEF,ADCF分別沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P.

⑴求證：PDLEF；

(2)求三棱錐P-EFD的體積；

(3)求二面角P-EF-D的余弦值.

變式3.(2023春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在多面體ABCDE產(chǎn)中，平面E鉆，平面ABCD,平面

EAD，平面ABCD,ABCD是菱形，ZABC=6Q0,AB=2,FC//EA,EA=3,FC=1.

(1)證明：EC，平面ABC。；

(2)求二面角3-EF-D的平面角的余弦值.

考點(diǎn)十二：三垂線法求二面角的平面角

(2023春?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學(xué)?？计谀?如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底

⑴若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：P3〃平面ACE；

(2)若上4=尸￡>=">,NBA￡>=120。，且平面PAD_L平面A5cD,求二面角尸-AC-O的正切值.

變式1.(2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知正三棱柱ABC-ABG中,

Afi=4,D為AC邊的中點(diǎn)，Aq1g.

⑴求側(cè)棱長；

⑵求三棱錐D-8CG的體積;

(3)求二面角。-8C「C的大小.

變式2.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在四棱臺(tái)ABCD-POSH中，底

面ABCD是正方形，側(cè)面上位燈，底面ABCDqPAD是正三角形，N是底面ABCD的中心，/是線段上

的點(diǎn).

⑴當(dāng)初V//平面PABQ時(shí)，求證：平面PCD；

⑵求二面角尸-3C-A的余弦值.

變式3.(2023春?江蘇蘇州?高一校考階段練習(xí))四棱錐P-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD為

菱形，NADC=60。，PA=AD=2,E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面R4B；

(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值;

(3)求二面角A-PD-C的正弦值.

考點(diǎn)十三：等體積法求二面角的平面角

>］例13.(2023春?江蘇常州?高一常州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖,△ACD和ABCD都是邊長為2的

等邊三角形，AB=巫,￡B_L平面BCD

E

二

C

⑴證明：￡B〃平面AC。；

(2)若點(diǎn)E到平面ABC的距離為百，求二面角E-CD-B的正切值.

)0。，AB=BC=^AD=y[2,0

變式1.(2023?高一單元測試)已知四邊形ABCD中，ZABC=ZCAD=^

2

是AC的中點(diǎn)，將AASC沿AC翻折至△APC.

AD---------------------

(1)若尸。=",證明：PO1平面ACD；

(2)若D到平面PAC的距離為6,求平面PAC與平面ACD夾角的大小.

考點(diǎn)十四：垂面法求二面角

例14.(2023?全國?高一專題練習(xí))如圖，已知上PBL/3,垂足為A、B,若NAP3=60。，

則二面角。-/的大小是_____.

變式1.（2023秋?山東日照?高二?？茧A段練習(xí)）若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8,兩垂足間

的距離為7,則這個(gè)二面角的大小是.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知P是二面角-4內(nèi)的一點(diǎn)，上4垂直于a于垂直于夕于

B,AB=8j3,PA=PB=S,則二面角々一/一月的大小為

變式3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面a,P,且々口夕=/，尸CJ_a,PD1/3,C,。為垂足.

（1）試判斷直線/與CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)直線/與平面PCD交于點(diǎn)A,點(diǎn)Be/,若二面角0-/-/的大小為120。，且PC=PD=AB=2,求

平面PCB與平面PCA所成的銳二面角的大小.

考點(diǎn)十五：射影面積法求二面角

（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖445c與△BCD所在平面垂直，S.AB=BC=BD,

NABC=ZDBC=120°,則二面角A-3D-C的余弦值為.

D

變式1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形,

平面PAD_L底面ABCD.

⑴證明：AB_L平面PAD；

（2）求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值.

變式2.（2023?浙江?模擬預(yù)測）如圖所示，正方形汨平鋪在水平面上，先將矩形皿7G

沿AD折起，使二面角E-AD-3為30。，再將正方形AFGTf沿AT折起，使二面角方’?一A/一。為30。,

則平面A尸G7T與平面A3CD所成的銳二面角的正切值是（）

A.@B.立C.-D.邁

4342

考點(diǎn)十六：由二面角大小求其他量

（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D1,在平行四邊形ABCD中,

ZA=60°,A￡>=2,A5=4,將△ABD沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,如圖2.

⑴證明：平面3co_L平面PAD；

（2）當(dāng)二面角。-叢-5的平面角的正切值為幾時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值.

變式1.（2023春?廣東佛山?高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正

方形，SAL底面ABCD,E是SC上一點(diǎn).

E

⑴求證：平面EBD_L平面S4C;

⑵當(dāng)工有的值為多少時(shí)，二面角5-SC-。的大小為120。.

AB

變式2.(2023春?河南安陽?高一安陽一中?？茧A段練習(xí))如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB=2BC=86,ZDAB=^,E為邊AB的中點(diǎn)，將VADE沿直線DE翻折為AADE,若F為線段AC的

中點(diǎn).在VADE翻折過程中,

(2)若二面角A'-DE-C=6O°,求AC與面所成角的正弦值.

TT

變式3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在RtaABC中，B=~,AB=2BC=2,且E,尸分別為AB,AC

的中點(diǎn).現(xiàn)將尸沿所折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)。的位置，連接30,CD,M為CO的中點(diǎn)，連接叱.

(1)證明：A/R_L平面BCD；

(2)若二面角/-C的余弦值為-走，求四棱錐O-E3CF的體積.

3

考點(diǎn)十七：直接法求點(diǎn)面距

（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABC。-A4GA中，己知AB=4,BC=2,BB}=3,

則點(diǎn)B到上底面A4GR的距離為（）

C.20D.3

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四棱錐P-ABCD的底面ABCD

為直角梯形，PA=AB=BC=1,ZABC=90°,XPAB=120°,AB//DC,DC=PC=2,則點(diǎn)P到平面

ABCD的距離為（）

變式2.（2023春?山西晉中?高一?？茧A段練習(xí)）已知金。是面積為量［的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球0

4

的球面上，若球。的體積為方32乃，則。到平面A3。的距離為（）

A.上B.-C.1D.立

22

考點(diǎn)十八：轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)面距

（2023?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱柱ABC-A4G中，\~ABC

是棱長為2的正四面體，則點(diǎn)A到平面BCQ耳的距離為（）

A.76B.GC.0D.1

變式1.（2023?江西?江西師大附中校考三模）已知四棱錐尸-ABCD的底面是正方形,

ACCBD=O,PA=PD=&PO=6A。=2,E是棱PC上任一點(diǎn).

(1)求證：平面平面PAC；

(2)若PE=2EC,求點(diǎn)A到平面的距離.

考點(diǎn)十九：等體積法求點(diǎn)面距

、1例19.(2023春?貴州貴陽?高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖在棱長為2的正方體

ABCO-ABCA中，E是。2上一點(diǎn)，且82〃平面ACE.

⑴求證：E為?！ǖ闹悬c(diǎn)；

(2)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

變式1.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谥?如圖，RtAAOB,OA=\,OB=2,

點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，^AOB繞0B所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)0A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至0D時(shí),旋轉(zhuǎn)角為，，6e[0,兀).

(1)求AASC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；

2兀

(2)當(dāng)，=(時(shí)，求點(diǎn)O到平面ABD的距離.

變式2.(2023春?廣東江門?高一江門市第一中學(xué)?？计谥?如圖，在四棱錐尸-ABC。中，。是邊長為4

的正方形ABCD的中心，平面ABC。，M,E分別為A3,3c的中點(diǎn).

⑵若PE=3,求點(diǎn)B到平面的距離；

(3)若PE=3,求直線PB與平面尸￡做所成角的余弦值.

變式3.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖①，在梯形ABCD中，

AB//CD,AB=2,ZA=60°,?ABD90?,/CBD=45。，將△ABD沿邊80翻折至AA'BD,使得AC=2A/7,

如圖②，過點(diǎn)B作一平面與AC垂直，分別交AQA'C于點(diǎn)瓦尸.

圖①圖②

(1)求證：3E_L平面A'C￡＞；

(2)求點(diǎn)F到平面ABD的距離.

［域真題演練［|

IIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII----------------------

1.【多選】(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,AB為底面直徑，ZAPS=120°,

上4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角尸—AC—O為45。，貝IJ().

A.該圓錐的體積為無B.該圓錐的側(cè)面積為4扃

C.AC=2A/2D.aPAC的面積為G

2.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩

個(gè)面是全等的等腰三角形.若48=2501,80=40=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面A3CD的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

C.117mD.125m

3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面

角C-AB-O為150。，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.巫C.立D.-

5555

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，AC_L底面ABC,NACB=90。,/切=2,

A到平面3CG4的距離為1.

（2）已知AA與BB｝的距離為2,求A與與平面BCM所成角的正弦值.

5.（2023.天津?統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)ABC-A4G中，若AA，面^C,ABYAC,AB=AC=AAi=2,AQ=1,

MN分別是8C,8A中點(diǎn).

⑴求證：A"http://平面GMA;

(2)求平面QMA與平面ACQA所成夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)C到平面QMA的距離.

6.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2近，PB=PC=5

BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=^[5DO,點(diǎn)F在AC上，BFLAO.

(1)證明：所〃平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

|]營過關(guān)檢測門I

-------------------llllllllllllllillllllllllllllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.(2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學(xué)校考階段練習(xí))點(diǎn)尸為平面ABC外的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱BC上

的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，記異面直線PM與所成角為a,直線PM與平面ABC所成角為夕，則()

A.a>/3B.a</3C.a>(3D.a</3

2.(2023春?全國?高一專題練習(xí))如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,

CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90。，則MN=()

A

A.3B.4

C.5D.6

3.（2023秋?北京海淀?高二?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一

為陽馬，一為鱉膈.陽馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉麝三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣.”文中“陽

馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬尸-ABCD中，側(cè)棱R4,底面ABCD,且

PA=1,AB=AD=2,則點(diǎn)A到平面依。的距離為（）

AA/2口A/6rV6n/

3323

4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）平面的一條斜線和這個(gè)平面所成的角夕的范圍是（）

A.0°<6><180°B.0°<6^<90°C.0。<"90。D.0°<6><90°

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD-AiBiCiDi,則DiA與平面ABCD所成的角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，尸平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,

PA=AB=1,E、F為線段尸。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿足班=正，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

2

（1）AC±EF；

（2）依〃平面MC；

（3）二面角石-5。-。的大小為定值；

（4）四面體ACE廠的體積為定值.

B

C

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

7.（2019秋?廣東佛山?高二佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué)校考期中）已知正方體棱長為2,則點(diǎn)C

到平面3D24的距離為（）

A.1B.&C.2及D.2x/3

8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，四邊形ABCD為矩形，BC=及,

PC與平面所成的角為30°,則該四棱錐外接球的體積為（）

A.述兀B,4島C,還兀D,亞兀

333

9.（2023?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）己知平面a與平面夕所成二面角的平面角為

110。，球。與平面5夕相切于點(diǎn)A8,則過球心。與平面d力均成30。的直線