邏輯歸類練

2025年高考數(shù)學二輪復習備考

一、單選題

1.設a，6是向量，貝+。)(a-。)=。"是"a=-6或a=的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知0、b是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“■〃皮’是“存在彳H0,使得|a+助|=|a|+"b|”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設｛4｝是公比為以42-1)的無窮等比數(shù)列，S,為其前〃項和，q>0,貝「q>0”是“S“存在最小

值”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分

也不必要條件

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,貝『工-2的<0”是“碼+i>("+l)S"”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.設牡〃是兩條不同的直線，名萬是兩個不同的平面，且機ua,a〃力，貝!_L尸”是““，根”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

6.已知直線/：y=Mx+l)與C:(x-l)2+r=4^A,B兩點，則"左=±1"是"VABC的面積取得最

大值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知命題。：3x0>0,x+a—l=0,若P為假命題，則a的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]

C.(1,-Ko)D.[l,+oo)

8.對于無窮數(shù)列｛%｝,定義用一4(〃=1,2,3,…)，則“｛%｝為遞增數(shù)列”是為遞增數(shù)列”

的)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

222

9.已知直線+左=0和圓O-.x+y=r（r>0）,貝產(chǎn)r=也”是“存在唯一左使得直線/與（Q

相切”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7C

10.設函數(shù)/(x)=2sinCDX----，-其-中0>0,0<x<2z,則“。=2”是“函數(shù)尸siwc圖象與y=/（x）圖象恰

6

有4個公共點”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.設/（%）=X+sinx,{4}為等差數(shù)列，S〃='/（"〃），貝「S2024=2。24兀”是“5024=2。24?！?/p>

Z=1Z=1

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.函數(shù)y=cosx在上,24的最大值為機，在［2r,34的最大值為小則以下命題為假命題的是（）

A.三方>0,機<0且〃<0B.三/>0,機>0且〃>0

C.三/〉0,相>0且〃<0D.三/>0,根<0且〃>0

二、填空題

13.命題P：“VxeR,的否定形式為；若P為真命題，則實數(shù)。的最大值為.

e

14.已知函數(shù)〃司=2廢2-辦-1,aeR.若命題“VxeR,不等式〃制<0恒成立"是假命題，則實

數(shù)。的取值范圍______.

15.已知P：設函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，若〃1）"（2）>0,則/（力

在區(qū)間（1,2）內(nèi)無零點.能說明P為假命題的一個函數(shù)的解析式是.

16.同學們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上

空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實上，這些曲線在數(shù)學上常常被

稱為懸鏈線.懸鏈線的相關理論在工程、航海、光學等方面有廣泛的應用.在恰當?shù)淖鴺讼抵?，這類函

數(shù)的表達式可以為〃x）=ae'+左t（其中是非零常數(shù)，無理數(shù)e=2.71828.）,對于函數(shù)以

下結論正確的是.

①4=6是函數(shù)"X）為偶函數(shù)的充要條件；

②。+6=0是函數(shù)〃尤）為奇函數(shù)的充要條件；

③如果仍<0,那么/（X）為增函數(shù)；

④如果而>0,那么函數(shù)存在極值.

17.已知私〃為空間中兩條不同的直線，a,分為兩個不同的平面，若"2uc,c/="，則相〃“是?

的條件（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個）

三、解答題

18.已知集合4={才彳=療-〃2,〃?,〃€2}

⑴分別判斷-1、0、1是否屬于集合A；

（2）寫出所有滿足集合A的不超過15的正偶數(shù)；

⑶已知集合3={x|x=2左+"eZ},證明：“xe3”是“xeA”的充分不必要條件.

19.已知正項有窮數(shù)列A:q,4,,aN（N>3）,^T=^x\x=^A<i<j<N^,記T的元素個數(shù)為

P⑺.

⑴若數(shù)列A:1,2,4,16,求集合T,并寫出尸（7）的值;

⑵若A是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證："尸（T）=NT”的充要條件是“A為等比數(shù)列”；

（3）若N=2〃+l,數(shù)列A由2,4,8,-,2",4"這"+1個數(shù)組成，且這”+1個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一

次，求尸（T）的取值個數(shù).

參考答案

1.B

因為(a+6)?a_6)=er=0,可得即同=例，

可知(0+6)?("》)=0等價于同=忖，

若a=b或a=-6,可得問=仰，即伍+孫僅一q=0,可知必要性成立；

若(0+4(”6)=0,即同=忖，無法得出或a=-b,

例如。=(l,O),b=(O,l),滿足|a|=W，但"B且"-6，可知充分性不成立；

綜上所述，“,+力?(°一。)=0"是"〃=_6或〃=匕''的必要不充分條件.

故選：B.

2.C

若￡〃6，則存在唯一的實數(shù)〃W0,使得a=〃6,

故|a+勸|=|+勸|=|〃+刈61,

而|a+助|=|1+"切=(|〃|+1X|)|加，

存在2W0使得1〃+21=1"+|2|成立，

所以“&〃/是“存在九二。使得|。+助|=|。|+|也|'的充分條件，

若4Ho且|a+X6=|a|+|Xb|,則a與"方向相同，

故此時a〃6,所以“a〃，是“存在存在/U0,使得|a+Xb|=|a|+|助I”的必要條件,

故“a〃?！笔恰按嬖?^0,使得|a+孫=|a|+1期”的充分必要條件.

故選：C.

3.A

n

若q>0,由%>0,則SM-S廣an+l=axq>0,

故s,必有最小值H=4,故“g>0”是“篦存在最小直，的充分條件；

當q=1,“=-1■時，有5“=2_2

3-3

則s.有最小值S2=|_|]_￡|

故道>0”不是“S”存在最小直，的必要條件;

即“>0”是"S”存在最小直，的充分而不必要條件

故選：A.

4.C

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由S2-2%<0得：q+%-2。2=4_，2=_dV0，d>09

w(n+l)

d-(n+1)nax+

22

n2(n+l)(?-l)^_?2+n

d>0,

222

.../S同>(〃+l)S“即S2—2%<。=>必用>(〃+l)S”充分性成立;

〃〃得：s>2S,Sj>即〃2>%,

由科+1>(+l)S2152-Sj,

S2-2a2=ax+a2-2%=q<0,

即曲用>(〃+l)S“nS2—2%<0,必要性成立；

“邑-2%<0”是“碼+]>(〃+l)S."的充分必要條件.

故選：C.

5.A

因為a/〃?，當〃J_4時，n_Laf又mua,所以〃_L機，即〃_L力可以推出〃J_m，

如圖，在正方體中，取平面ABCD為。平面，平面4月。12為夕平面，直線3c為直線機，直線G2

為直線〃，

顯然有根ua,a〃Q,〃，機，但〃u尸，即〃J_機推不出〃_L力，

所以“〃，尸”是“△””的充分不必要條件，

故選：A.

6.C

由C:(X-1)2+/=4,可得圓心。(LO),半徑r=2,

22

又sABC=||CA|-|CB|sinZACB<||CA|=1r=2,

當且僅當NAC2=90°時，等號成立，

此時\AB\=J|CA『+|CBj=2V2,

|C4|-|CB|4i-

由等面積可得點C到直線I的距離d=11=萬萬=應，

<2以后,

又點C到直線/的距離〃=

W+1

解得，k=±l,

因此“左=±1?是“VA5C的面積取得最大值”的充分必要條件.

故選：C.

7.D

由x+Q-l=0=x=l-a,

因為P為假命題，

所以說明方程無+，-1=0不存在正實數(shù)根，

于是有1—?<0=>d!>l,

故選：D

8.D

(??｝為遞增數(shù)列時，有dn=??+1-a?>0,不能得到｛d“｝為遞增數(shù)列，充分性不成立;

｛4｝為遞增數(shù)列時，不一定有4>。，即不能得到伍“｝為遞增數(shù)列，必要性不成立.

所以“｛與｝為遞增數(shù)列”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.A

r=應時，/：履-y+1-無=0到。：/+丁=2的距離為=V2,

故1-2上+左2=2+2左2,解得上=一1,

滿足存在唯一上使得直線/與CO相切”，充分性成立，

/:立_丫+1_左=0經(jīng)過定點”(1,1),

若/?=：［,eO:x2+y2=1,若左=0,此時直線/：>=1,

直線/：y=i與〔。相切，另一條切線斜率不存在,

故滿足存在唯一女使得直線/與。相切”，

當”(1,1)在O:x2+/=r2(r>0)±,滿足存在唯一上使得直線/與：。相切,

故產(chǎn)=1+1=2,

又廠>0,解得r=血，必要性不成立，

故“r=應”是“存在唯一上使得直線/與。相切”的充分不必要條件.

故選：A

10.A

因為函數(shù)/'(尤)=2$111］0尤-巳］,0>0,°<尤<2兀,

所以(X,所以4刃%V2G71—,

666

z~\、r,—rt兀/兀,23兀

①當刃=2時，——<CDX——<---,

666

又因為y=2sin(2x-《J的最小正周期T=g=n,是由y=sinx的圖像經(jīng)過如下變換得到，先使

y=sinx的圖像縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的J得到y(tǒng)=sin2x,再向右平移三單位得到

y=sinf2x-^l再將縱坐標伸長2倍得到y(tǒng)=，在同一坐標系中畫出圖像如圖：

所以由0=2可以推出)^=5皿尤與y=f(x)的圖像恰好有4個公共點；

②當y=sinx與y=/(*)的圖像恰好有4個公共點時，

7TTT7T

因為——<CDX——<2CO71——,

666

所以3兀<2@1—工兀工4兀，解得919二25

所以外的取值不一定是2,即由y=sinx與y=/(%)的圖像恰好有4個交點不能推出①=2,

所以“。=2”是“函數(shù)y=sinx與丫=/(%)的圖像恰好有4個公共點”的充分而不必要條件.

故選：A.

11.C

已知/(%)=x+sinx,xGR,

則/'(%)=l+cosx>0,故/(%)在R上單調(diào)遞增.

又由/(x)=x+sinx,得/(2兀一%)=2兀-x+sin(2兀一無)=2兀一兀一sinx,

故『(x)+/(27r-x)=27i,則函數(shù)/(無)的圖象關于點5,兀)中心對稱.

己知數(shù)列｛4“｝是等差數(shù)列，則%+。2024=。2+。2023==?1012+?1013.

①先證明充分性：

若S2024=2024兀，由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

可得邑g=2024(；+*)=2024兀,

貝I」%+02024=1+“2023==a1012+01013=2兀,

所以由函數(shù)/(X)的對稱性可知，

/(4)+/(g024)=2兀，/(a2)+/(a2023)=27i,L,/(a1012)+/(a1013)=2n,

2024

^024=^/(a,.)=1012X2TC=20247t,即“S2024=2°2471nlM24=2024?！钡米C.

4=1

因此，“邑。24=2024?！笔恰?M”=202471”的充分條件；

②再證明必要性：

下面用反證法證明:

假設%>24<2024兀，

己知數(shù)列(a?｝是等差數(shù)列，則202里「024)<20247T,

即4+。2024<2兀，由等差數(shù)列性質可得

a

“1+02024=02+“2023=…=\Q\2+01013<，

a-

所以4<2兀一^2024，2<2兀一。2023，"，"1012<2無~Glol3，，―一，°2024<2兀%,

由函數(shù)f(x)=x+sinx在R上單調(diào)遞增，

可得/(?1)<7(2兀-。2024)=2兀-/(°2024)，

/⑷</(2兀-“2023)=27r-/(a2023),

/(?2024)</(2^-?1)=2^-/(?1),

20242024

各式累加得，T2024=^/(?,)<2024x27t-^/(a,.)=2024x2n-7^4，

i=li=l

所以2G24<2024X2TI,即T2024<20247t,

這與已知7M24=2024兀矛盾，故假設錯誤；

同理，假設$2024>2。24兀，可證得心必>2024兀，也與已知7M?,=2024n矛盾，故假設也錯誤;

所以“7M24=2024%nS2024=2024TT”得證.

即“Sz°24=20247r”是“7M24=2024?！钡谋匾獥l件.

綜上所述，“，?必=2024無，，是，，友4=2024?！钡某湟獥l件.

12.A

A：若〃7<0,n<0,則0</<兀，得上2］曰。,2無］,

所以匕羽笆苧，故?吟,所以兀<2/4，,<3/吟,

得⑵,3打u［九,與］，⑵,3月u邑^］,所以:<力<大，矛盾，故A為假命題；

42242

B：當/=?時，函數(shù)y=cos%在K的最大值為無，在上的最大值為:，

61_63」2|_32」2

此時機=走，幾=!，故*>0,機>0且〃>0,故B為真命題；

22

rrjr2TL127rI

C：當時，函數(shù)y=cosx在的最大值為在—,K上的最大值為-:，

31_33」，1_3」2

此時加二;，〃=一:，故土〉0，相>0且〃vO,故C為真命題；

2元「2兀4?！?「4兀

D：當公與時，函數(shù)尸cos%在—的最大值為三，在半2兀上的最大值為1,

此時機=-,，n=l,故土>0,相<0且〃>0,故D為真命題.

2

故選：A.

64

13.「P：3XGR,工-aVO”0

ex

-nP：6<3xeR,二-。(0"，

e

二>〃恒成立，其中三￡(0,+8),故a?0,

即〃的最大值為0.

故答案為：—?尸：“玉:ER,——a<0,90

ef

14.(-oo,-8](0,+oo)

當/(x)=2辦2-依一1<0恒成立,

當時，a<0且△=〃2+8。<0,

解得：-8<〃<0,

當〃=0時,/(%)=—1<。成立，

所以-8<aW0,

命題“VXER,不等式"%)<。恒成立”是假命題

所以a的取值范圍為：〃<-8或。>0.

故答案為：8]U(0,+8)

15.f(x)=K(答案不唯一)

解析式為〃同=)-|[

函數(shù)的定義域為R,所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

因為〃1)=%"2)="，所以〃1)-〃2)>0,

又/(|)=。，"X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，

所以為假命題.

故答案為：/(x)=^-|j(答案不唯一).

16.①②④

對于①，函數(shù)/(x)=ae'+加一，定義域為R,

若。=匕,貝|〃引=4修+/)=。(b+0="-可，函數(shù)”力為偶函數(shù)；

若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則有/(^)=aer+be~x=/(-%)=ae~x+be",

則(q_6)e*=(。_6)右,即(q—1)=0,

又e2*-l不恒等于0,則。=人，

即。=6是函數(shù)/(力為偶函數(shù)的充要條件，①正確；

對于②，函數(shù)=ae'+be'定義域為R,

若。+方=0,則〃x)=a(e，—eT)=-4/—1)=—〃f),函數(shù)〃x)為奇函數(shù)；

若函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，則有〃x)=al+加-=—〃-x)=-恁―，—歷”，

則(a+b)e*=-(a+b)eT,又e'>0,b>0且二者不恒相等，則4+3=0,

即。+6=0是函數(shù)〃x)為奇函數(shù)的充要條件，②正確；

xx

對于③，f\x)=aQ-be,若“>0,6<。，貝|/'(x)=ae*—6eT>0,/'(x)在R上單調(diào)遞增;

若”0力>0,則廣⑺=ae一加一工<0,/(X)在R上單調(diào)遞減，故③錯誤；

對于④，/'(6=g'一加7=竺3,令尸(力=0可得x=gln2,

'/ex2a

若a>0,6>0,則/(x)在］一上「(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

在上/(》)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

此時/⑺有極小值；

若a<0,b<0,則/(x)在］上單調(diào)遞增，在\ln：,+j上單調(diào)遞減，

則函數(shù)f(x)存在極大值，④正確.

故答案為：①②④.

17.充要

充分性：因為znua,ac/?=n,mlIn,

所以〃z,〃共面，

又因為a,刀為兩個不同的平面，?<=;?,

所以機(Z#,

所以〃z〃〃，故充分性成立；

必要性：因為機ue,aB=n,所以“ua,

又因為小〃尸，所以〃〃/“，故必要性成立，

所以〃流〃是根//〃的充要條件.

故答案為：充要.

18.(1)-1,0、1都屬于集合A,理由見解析

(2)4、8、12

(3)證明見解析

(1)解：因為-1=()2—F,0=,1=I2—02,所以，—1、0、1都屬于集合A.

(2)解：集合4={%卜="--”2,m,〃eZ：,m2-n2=^ni-n)(rn+ri),

①若加、”同奇或同偶時，加+”、〃均為偶數(shù)，(m-")(7"+〃)為4的倍數(shù)；

②當機、”一奇一偶時，m+n,機-〃均為奇數(shù)，(加—〃)(〃2+〃)為奇數(shù)，

綜上，所有滿足集合A的偶數(shù)為4M左eZ).

因此，滿足集合A的不超過15的正偶數(shù)有4、8、12.

(3)證明：集合3={x|x=2左+1,左eZ},則恒有2左+1=(4+1'一左？，

所以，2k+leA,即一切奇數(shù)都屬于A,

又8eA,而8任8,

所以，“》65”是“工?4”的充分不必要條件.

19.(1)7={2,4,8.16},P(T)=4；

(2)證明見解析

(3)2〃

(1)因為％=1,?2=2,%=4,。4=16,

故”=2,包=4,&=16,%=2,幺=8,幺=4,

%%a2a2a3

所以7={2,4,8,16},P(T)=4；

(2)充分性：若A是等比數(shù)列，設公比為心

不妨考慮數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以4>1.

則當時，

4

所以7=加,八八應“},故P(T)=N-1,得證.

必要性：若P(T)=N-1.

因為A是遞增數(shù)列，所以，"<???<r

所以，,?了且互不相等，又P(T)=N-1,

所以r=[”，目…

[%4axJ

aaaa

yjh<4<N-\<N<N,

所以W，…T字且互不相等.

所以E