平面向量及其應(yīng)用（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

第一部分（選擇題共58分）

_、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.下列說(shuō)法：

①零向量是沒有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量與任意一個(gè)向量共線.

其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量

【分析】根據(jù)零向量的定義、性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤,

②③正確；

故選：C

2.在矩形"CD中，AB=3,4D=2,石為2C的中點(diǎn)，則麻+礪卜（）

A.VsB.VHC.713D.V15

【答案】C

【分析】利用阿+赤卜河+司=|畫可得答案.

【詳解】在矩形"CD中，AB=3,AD=2,E為"的中點(diǎn),

所以BE=EC,AC=NAB；AD?=而,貝U

^AE+BE\=^AE+EC\=TAC\=413

故選：c.

3.如圖所示，在正方形/BCD中，E為N8的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，則而=()

1—.—?3—?1—?

c.-AB+ADD-AB——AD

244

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算逐步表示即可得解.

【詳解】由題可知近=就，BE=^BA,CF=^CE,

貝|麗=就+而=詬+；元=詬+；(礪_麗=赤+詬］

=AD--AB--AD=-AD--AB

4224,

故選：B.

4.已知加工0,向量°=(加,〃),坂=(-2,〃?)，^\a+b\=\a-b\,則實(shí)數(shù)”=()

A.±V2B.V2C.-2D.2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示、已知模求參數(shù)

【分析】由3+年|"加，可得晨5=0,用坐標(biāo)表示數(shù)量積，即得解

【詳解】由F+沖”加

可得(〃+3)2=(。_楊2

—2-?—―2—2——-.2-?一

/.a+2a-b+b=a-2a-b+ba-b=0

a-b=—2m+mn=0,因?yàn)榧觲0,所以幾=2.

故選：D

5.已知人18。，點(diǎn)G、V滿足第+方+品=6,AG=3AM,則()

——?7—?1—>----?7—-2―?

A.BM=-BA+-BCBBM=-BA+-BC

9999

c~BM=-^A+-~BCDBM=--BA+-^C

3636

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的心、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】由已知可知G為△/水?的重心，然后結(jié)合向量的線性運(yùn)算及三角形重心的

性質(zhì)可求.

【詳解】G滿足第+方+品=6,.\G為A/BC的重心，

21—?―?1—-——?

：.AG=^^(AB+AC)=-(AB+AC),

yi"."AG=3AM,

BM=BA+AM=BA+-AG=BA+-x-(AB+AC)=BA--BA+-AC

33399

^BA+LIBC-BA^^BA+LBC

99、/99,

故選：A.

6.與向量》=(12,5)平行的單位向量是()

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】利用坐標(biāo)求向量的模、平行向量(共線向量)、零向量與單位向量

【分析】與向量，平行的單位向量是±』，即可求解.

【詳解】因?yàn)榕c向量)平行的單位向量是±』，同=標(biāo)要=13,

所以土京=士借》

故選：D

7.已知[=],-閨，|*1"「斗6’則力在5上的投影向量為()

A.-邑B.一1C.斗D.與

2222

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量

【分析】由"，可得問(wèn)=1,再由=兩邊平方可得力=1,由投影

向量計(jì)算公式即可得到“/在書上的投影向量.

【詳解】因?yàn)楹茫毫?，所??！?+卜寺=i，

又W=i,,-口=6,

所以'-4=a-2a-b+^b=3,得=

(a-b\-bKa-b-b2b3-

所以向量力在讓的投影向量為%二#/幺4=等.

HM\b\Pl2

故選:B.

8.在44BC中，點(diǎn)。在線段2c上，且滿足麗=g抗，過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線相、

NC于不同的兩點(diǎn)M、N,若加=冽刀，AN=nAC,則

A.〃+3加是定值，定值為4B.〃+2加是定值，定值為3

Cm.n是定值，定值為4Dmn.是定值，定值為3

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、向量減法的法則

【解析】由3。=；。?？傻?MD=tDN?AD=^-AB+-^—AC,根

J■iJ.IvJIIv

據(jù)平面向量基本定理可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎?:皮，所以近-在=:k-;赤，即石€在+;灰,

依題意設(shè)施=，而，貝U益-戒=，赤-看屈，

貝UND=+AM=mAB,AN=nAC?

所以心言方+2就，

m3

根據(jù)平面向量基本定理可得卜了:,消去何得機(jī)+3〃=4*即L2=4.

tn_1nm

j+7-4

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了平面想向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理，屬于中

檔題.

第二部分（非選擇題共92分）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.如圖，在四邊形中，若存=詼，則圖中相等的向量是（）

A.而與前B.無(wú)與歷C.衣與麗D.Jd與灰

【答案】AD

【分析】由京=就可得四邊形是平行四邊形，從而結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)

對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)A,由京=成，四邊形是平行四邊形，所以詼=數(shù)，選項(xiàng)A正確;

對(duì)BD,平行四邊形/BCD對(duì)角線4C與m互相平分，得痂=一而，Ad=OC,選項(xiàng)B

錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；

對(duì)C,顯然k與而相交，他們不是相等向量，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選：AD

10.如圖所示，四邊形/BCD為梯形，其中/8//CA,4B=2CD,M,N分別為相，CD

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

AMB

AAC=A15+-ABBMC=-AC+-BC

224

cMN=AD--ABD5C=AD+-345

42

【答案】AC

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：AC=AD+DC=AD+^AB,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：MC=MA+AC=^BA+AC=^^BC+CA^+AC=^AC+^BC,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：MN=MA+A15+DN^-^AB+Ai5+^AB^Ai5--AB,C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：BC=BA+AD+DC=^AB+AD+^AB=AD-^AB,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.U5C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量/滿足育=2入AC=2a+b,則下列

結(jié)論不正確的是（）

A.|4=1B.a±b

C.a-b=\D.（即+5），打

【答案】ABC

【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示、用定義求向量的數(shù)量積、向量的模

【分析】由前=太-萬(wàn)=2￡+否-2￡，可判斷A;計(jì)算a%=NWcosl20。的值可判斷B,

C錯(cuò)誤；計(jì)算（40+可灰=（4"3=4力+麻的值可判斷D.

【詳解】在△N8C中，由前=就一焉=2々+3-224,得|可=2,故A錯(cuò)誤；

又運(yùn)=2Z且畫=2,所以同=1,所以￡%=忖性0$120。=一1,故B,C錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?々+葉貳=（4￡+可%=4￡%+慟2=4x（—l）+4=0,所以（42+5），苑，故D正確.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量￡=(1,2),3=(0,4),則:在￡的方向上的數(shù)量投影為___.

【答案】塔/步

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】利用數(shù)量投影的定義可求答案.

【詳解】向量”(1,2),『0,4),否在。的方向上的數(shù)量投影為中*二號(hào)

故答案為：學(xué)

13.如圖，在正方形中，加=4,￡為DC上一點(diǎn)，且52=3無(wú)，則瓦.赤=,

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、用定義求向量的數(shù)量積

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】在正方形N88中，AB-AE=AB-(AD+DE^~AB-~AD+JB-DE,

又N￡>=4,￡為DC上一點(diǎn)，且無(wú)=3反，

AB-AE=AB-AD+AB-DE=0+4x3=12.

故答案為：12.

14.三國(guó)(220年?280年)是上承東漢下啟西晉的一段歷史時(shí)期，分為曹魏、蜀漢、

東吳三個(gè)政權(quán).元末明初的小說(shuō)家羅貫中依據(jù)這段歷史創(chuàng)作了《三國(guó)演義》全名

為《三國(guó)志通俗演義》，小說(shuō)中記載孫劉聯(lián)盟共同打擊曹魏，蜀吳兩國(guó)為了達(dá)成

合作經(jīng)常派使臣往來(lái)，古代出行以騎馬為主，假如一匹馬每個(gè)時(shí)辰能走3。公里,

一天最多能跑1。個(gè)小時(shí)，十天能到達(dá).如果吳國(guó)都城位于蜀國(guó)都城正東，魏國(guó)的

都城在蜀國(guó)都城的北偏東30。，相距約1000公里，那么吳國(guó)都城一叛徒要向魏國(guó)都

城告密大約需要（填整數(shù)）天能達(dá)到魏國(guó)都城.（行會(huì).65）

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形

【解析】將魏、蜀、吳三國(guó)的都城分別記為A、B、C,可得出48=1000公里,8c=1500

公里，ZABC=60\利用余弦定理求出/C,再除以150可得結(jié)果.

【詳解】將魏、蜀、吳三國(guó)的都城分別記為A、B、C,

由題意可知，48=1000公里，2C=1500公里，/ABC=60。，

由余弦定理可得NC=^AB2+BC2-2AB-BCCOSZABC=50077~1325公里,

???尉、8.8（天），故叛徒大約需要9天才能到達(dá)目的地.

1DX1U

故答案為：9.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

15.(13分)已知內(nèi)=分|=5,當(dāng)(1)a//b;(2)a-Lb;(3)7與5的夾角為60。時(shí),

分別求值與5的數(shù)量積.

【答案】(1)-30；(2)0；(3)15.

【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積

【分析】(1)就&與5同向或反向分類討論，結(jié)合數(shù)量積的定義可求兩者的數(shù)量

積.

(2)若打5,則兩向量的夾角為直角，從而可求兩者的數(shù)量積.

(3)利用數(shù)量積的定義可求兩者的數(shù)量積.

【詳解】設(shè)a與5的夾角為。.

(1)若方與5同向，貝(1=0。,a-b=\a^b\-cos00=6x5=30；

若萬(wàn)與5反向，則。=180。，a-b-\a\-\b\cos180°=-6x5=-30.

(2)若〃5,貝心與5夾角為90。，7g=|￡||g|cos9(F=0.

(3)萬(wàn)與5的夾角為60。，a-b=\a\\b\cos60°=6x5x^-=15.

16.(15分)已知向量。與B的夾角且忖=3,%2后.

(1)求2%,卜+q；

(2)求°與辦5的夾角的余弦值.

(3)若札(2,2),求“在B上的投影向量.

【答案】(1)a-b=-6,|<2+^|=A/5；(2)g;(3).

【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的幾何意義、向

量的模

【分析】（1）直接利用數(shù)理積公式求解2%即可，由于P++同斤=廬前后,

然后代值求解即可;

（2）利用向量的夾角公式直接求解即可;

（3）利用投影公式直接求解即可

【詳解】（1）由已知，得H=，H*OSO=3X2后x—-=一6,

,+++21.3+片=小?+2x（-6）+（2后）=45;

（2）設(shè)￡與入石的夾角為。，

++a-b_9-6_y[5

貝Ucosa====

\a[\a+b\^^3^5~

因此，z與Z+B的夾角的余弦值為g

(3)因?yàn)锽=(2,2),

所以Z在B上的投影向量為同cosdg=3x（一爭(zhēng)x（孚爭(zhēng)=（一I，一|）

17.（15分）在ZU5C中，內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

(sirk4+sinC)(sinC-sirk4)=sin5(sinC-sin8).

（1）求角力的大?。?/p>

（2）若6=2,A45C的面積是孚，求。的大小.

【答案】（1）N4=600;（2）a-y/1.

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、正弦定理邊角互化的

應(yīng)用

【分析】（1）本小題先運(yùn)用正弦定理角化邊，再運(yùn)用余弦定理求角4即可；

（2）本小題先運(yùn)用面積公式求。，再運(yùn)用余弦定理求。即可.

【詳解】解：⑴在ZUHC中，由正弦定理得：sin/=V，sin8=9sinC=1,

ZAZAZA

■:(sirL4+sinC)(sinC-sirk4)=sinS(sinC-sinB),

A2A+2A2A-2^-2A2A-2AJ整里倚：b+c~a=bc,

由余弦定理得：cos//,+、―=.=；,

2bc2bc2

???N4=60°

(2)???在中，b=2,A18C的面積是孚，

S=^bcsinA,解得：c=3

由余弦定理得：a2=〃+c2_26ccos/即/=22+32-2X2X3X；=7,

a-y/1

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理角化邊、面積公式、余弦定理求邊角，是基礎(chǔ)題.

18.(17分)如圖，在“8C中,角43,C所對(duì)的邊為+,6,c,已知csinC+lsinB=asin/+csin8,

。是邊5c上的點(diǎn)，滿足加=2麗，AD=2.

⑴求角A大?。?/p>

(2)求三角形面積s的最大值.

【答案】⑴方

⑵孚

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、數(shù)量積的運(yùn)算律、三角形面積公式及其應(yīng)

用、正弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)平面向量知識(shí)得到36-2bc=〃+4c2,再根據(jù)基本不等式求出A的最大值,

最后根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】（1）由csinC+6sinB=asin/+csin8及正弦定理可知,c2+b2=a2+bc,

由余弦定理知，又北（0㈤，力=1

2bc23

（2）因?yàn)楹?2麗，所以近-就=2（次-屈），

所以詼=；就+g而，又府|=2,

西丁，就+：刀］所以府就+：方［=1|IC|2+1|ZB|2+^|^C|.|A8|cos^,

即4=*+#+|歷,

36-26c=〃+4c2N2飛4bW=46c，解得6c",當(dāng)6=2c=26時(shí)等號(hào)成立,

:.S=-bcsinA<-x6x^-=373

222—

即三角形面積S的最大值為號(hào).

19.（17分）已知a,b,C分別為△N8C三個(gè)內(nèi)角A,BC的對(duì)邊，且

2b=c+2QCOSC.

⑴求角A；

（2）若cos3=*,求sin（25-/）的值；

⑶若UBC的面積為胃，。=3,求ZUBC的周長(zhǎng).

【答案】⑴三

ZQ\2V2+V3

（）-6-

（3）3+回

【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公

式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用內(nèi)角和定理與和角的正弦公式