晉中市2025年1月高一年級期末調(diào)研測試試卷

數(shù)學

考生注意：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1cosl230°=()

A.BB.一心

22

C—D--

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)誘導公式化簡求值即可.

【詳解1cos1230°=cos(3X3600+150°)=cos150°=-cos30°-

故選：B

2.若集合2=卜€(wěn)兇04X<5},5={x|(x-4)(x-l)=0},則38=()

A.{2,3}B.{1,2,3)

C.{0,2,3}D.{2,3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A、B,利用補集的定義可得出集合丹8.

【詳解】因為Z={xeN|0Wx<5}={0』,2,3,4},5={x|(x-4)(x-l)=o}={1,4},

故{0,2,3}.

故選：C.

3.已知函數(shù)/(x)=x+/一，xe(1,+ao),則/(x)的最小值為()

X-L

A.5B.4

C.3D.272

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式可求得函數(shù)/(x)的最小值.

44I4

【詳解】當x>l時，x-l>0,則/(x)=x+——=('—1)+——+1>2(x-1)----+1=5,

x1x1Vx1

4

當且僅當X—1=—時，即當x=3時，等號成立，

因此，函數(shù)/(x)的最小值為5.

故選：A.

4.在2h內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血

液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.下面能反映血液中藥物含量0隨時間/變化的圖象是()

【解析】

【分析】根據(jù)血液藥物含量變化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性變化可判斷.

【詳解】在2〃內(nèi)，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A,D,停止

注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，排除C.能反映血液中藥物含量。隨時間t變化的圖象是B.

故選：B.

5.以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三

角形就是勒洛三角形，如圖.已知某勒洛三角形的三段圓弧的總長度為2兀，則該勒洛三角形的面積為（）

B.47T-2V3

C.2K-V3D.2兀-

【答案】D

【解析】

【分析】利用弧長公式與扇形面積公式計算即可.

【詳解】設等邊三角形的邊長為。，

7T

所以3x—a=2兀，可得。=2,

3

Io1JT27r

因此等邊三角形的面積為9x2?=G，扇形面積為一x—x22=;

4233

2兀/~

則對應的弓形面積為一-V3,

3

所以該勒洛三角形的面積為+V3=271-273.

故選：D

/、1/、1tana

6.已知sm(a+〃)=一，sin(a—尸)=—,則-----=()

v73v76tan.

￡

A.B.4

4

J_

C.D.3

3

【答案】D

【解析】

【分析】利用和差角的正弦公式，結(jié)合同角公式計算得解.

【詳解】依題意，sinacos/?+cosasin。=一，sinacos分一cosasin",

36

聯(lián)立解得sinacos尸=了cosccsin=—,

tanasinacosB

所以-----=---------匕=3.

tan/3cosasin/3

故選：D

7.已知。=log43,b=log23,則下列判斷錯誤的是()

A.b>aB.ab>2

3

C.—<b<2D,a+b>2

2

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AC選項；求出。、b的范圍，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷B選

項；利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為對數(shù)函數(shù)歹=10g4X在(0,+8)上為增函數(shù)，

2

貝ija=log43<log49=log223=log23=6,A對；

對于B選項，因為對數(shù)函數(shù)y=log2x在(o,+oo)上為增函數(shù)，

則0=log41<log43=a<log44=1,1=log22<log23=b<log24=2,

即0<a<l,l<b<2,所以，0<ab<2,B錯；

33

對于C選項，—=log22V2<log23=b<log24=2,即C對；

對于D選項，a+b=log43+log23=log43+log49=log427>log416=2,D對.

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)=e*+i+e—i+asin最有唯一零點，貝Ua=()

3

A.1B.一

2

C.2D.e

【答案】C

【解析】

【分析】分析函數(shù)/(x)的對稱性，可得出/(-1)=0,即可得出實數(shù)。的值.

【詳解】因為函數(shù)/（X）的定義域為R,

71_x_1?x+1

f(-2-x)=e-2-+1+e>2T+asin=e+e+asin1-7i-

2

-x-1x+1

二e+e+Qsin￡=/(x),

所以，函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,

因為函數(shù)/(x)=e'M+e-i+asin號有唯一零點，則/(—1)=2+asin[—=2-°=0，解得a=2.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知a>6>c>0,則下列說法正確的是（）

11a+ca

A.—<-B.------->-

abb+cb

.a-c八

C.1g-->0D.a+c>2b

b-c

【答案】AC

【解析】

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項；利用作差法可判斷B選項；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷

C選項；利用特殊值法可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為a>3>c>0,在不等式。>6的兩邊同時除以可得!〈工，A對;

ab

.a+ca力(a+c)-a(b+c)c(b-a^

對于B選項，--------<0,則----<-,B錯;

b+cbb(b+c)b(b+c)b+cb

a—c

對于C選項，因為a〉b〉c>0,則〃一。>6-。>0,則---->1,

b-c

因為對數(shù)函數(shù)V=lgx為（0,+8）上的增函數(shù)，則1g幺t>lgl=0,C對；

b-c

對于D選項，取a=3,b=2,c=l,貝ija+c=26,D錯.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/（x）=log05（加2x—3）,rneR,則下列說法正確的是（）

A,若加>0,則/（x）的圖象為軸對稱圖形

B.若/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞減，則機的取值范圍是［L+S)

C.若/(X)的值域為R,則根的取值范圍是［0,+8)

D.若關(guān)于x的方程|/(x)|=l有且僅有3個實數(shù)解，則加=-；

【答案】ACD

【解析】

【分析】設g(x)=m：2—2x-3.對于A：根據(jù)二次函數(shù)對稱性分析判斷；對于B：可知y=g(x)在區(qū)間

［1,+8)上單調(diào)遞增，且g(x)〉0在區(qū)間［1,+8)上恒成立，進而列式求解即可；對于C：可知〉=g(x)的

值域包含(0,+"),進而列式求解；對于D：分析可知〉=8(%)與了=^、y=2共有3個交點，進而分析

求解.

【詳解】設g(x)=加工2—2%一3,

對于選項A：若加>0,可知〉=g(x)的圖象為軸對稱圖形，

所以/(x)的圖象為軸對稱圖形，故A正確；

對于選項B：因為/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞減，且y=logo^x在定義域(0，+")內(nèi)單調(diào)遞減，

可知歹=g(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，且g(x)>0在區(qū)間［L+8)上恒成立，

顯然加V0不合題意，則加〉0,

,—<1,

可得<m,解得加>5,

g⑴=m-5>0

所以加的取值范圍是(5,+8),故B錯誤；

若/(x)的值域為R,可知y=g(x)的值域包含(0,+“)，

若加=0,g(x)=—2x—3的值域為R,符合題意；

m〉0

若加。0,則〈，解得m>0,

綜上所述：加的取值范圍是［0,+8),故C正確；

對于選項D：因為|/3|=陲0.5g(X)=l,可得8(力=；或8卜)=2,

可知〉=g(x)與了=g、y=2共有3個交點，

可知〉=g(x)的最值為為?；?,且g(0)=-3<0,

m<0

則《1。/解得冽=—，故D正確;

------3=25

m

故選：ACD.

11.已知函數(shù)f(x)=4sin(3x+s)(A>0,d)>0,|^|<|)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是

Aa)=—

4

77r

B.f(x)的圖象關(guān)于直線》=芋對稱

C./(x)在區(qū)間［-兀，兀］上有且只有2個零點

D.若/(再)=/(》2)=_1(%7%),則上一馬,2二兀

【答案】BCD

【解析】

【分析】由函數(shù)圖象求出/(x)的解析式，再根據(jù)特殊點的三角函數(shù)值計算可得A錯誤，由對稱性可判斷B

正確，利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得正確,由周期性可得當/(XJ=/(X2)=T，則|再一々=兀正確，

CLmin

即D正確.

7兀

【詳解】根據(jù)圖象可知2=2,又易知圖象過點(0,6)

即/⑼=2sine=6,即sin°=立，又時可得0=^；

223

n7兀7

由對稱性可知函數(shù)/(x)的對稱軸為5J，即/(x)的圖象關(guān)于直線X=?對稱，即B正確;

2--44

2兀7兀7兀

由圖可知周期為了=——￡,,可得

COTT77

又/[T]=2smNT+￡|=6,所以等+f)=%

7/7)717197124

結(jié)合圖象可得L^+2=」+2E#eZ,解得。=一+—左，左eZ

233217

24142

因此當左=1時，符合題意，即。=一+—=—=—,所以A錯誤；

217213

所以/(x)=2sin[gx+g],令/(x)=0,可得gx+三=左兀,左￡Z,

TT3

即x=-----\--kn.k€Z,

22

又xej-匹兀],可得左=0,1時，則-],兀€[-兀，可，即/(x)在區(qū)間[-匹句上有且只有2個零點，可得C

正確；

27C7C27L57c

若f(七)=f(%2)=一](X]W/)，則一項——....F2k[Tl,—%-------F2左2兀#i，%2Z；

336336

因此卜一%|=|兀+3(左一左2)兀|尢，左2￡Z,顯然當左1一左2二0時，|七一12,由二兀，即D正確；

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用函數(shù)圖象由對稱性以及周期范圍求得解析式，再由正弦函數(shù)性質(zhì)

判斷可得結(jié)論.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

cos(兀+a)cos—+a

12.化簡：------7——4~2=_________.

smg-a

【答案】-sina

【解析】

【分析】利用誘導公式可化簡所求代數(shù)式.

cos(7i+tz)cos=+a

(一cosa)?(-sina)

［詳解】---------7——---------------------=-sma.

.［兀-cosa

sin------a

I2

故答案為：-sina.

13.已知Iog2a-21oga4=3(a>l),則4=.

【答案】16

【解析】

4

【分析】換元令/=log2a>0,可得/-7=3,運算求解即可.

【詳解】因為Iog2"21oga4=log2a-41og°2=3,且a〉l,

令t=log2a〉0,貝ijlog“2=；,

4

可得/——=3,整理可得/—3f—4=0,解得/=4或/=—1(舍去)，

t

即log2a=4,所以a=16.

故答案為：16.

14.高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基人之一.設xeR,用符號[可表示不大于x的最大整數(shù)，如

[2.1]=2,[-1.2]=-2,稱函數(shù)/(x)=[x]為高斯函數(shù)，在自然科學、社會科學以及工程學等領(lǐng)域都能看

到它的身影，則函數(shù)g(x)=/-2卜]-3的零點有個.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)新定義得x—結(jié)合方程得2x-1求x范圍，然后對x的范圍進

行分類討論，求出[可的值，然后解方程g(x)=0即可.

【詳解】由題意[x]?x<[x]+l,貝!]X—1<[X]KX,

所以2x+l<2[x]+3<2x+3,

令g(x)=f—2[x]—3=0,貝ijf=2[x]+3,所以2x+l<x2W2x+3，

由x?>2x+l可得--2x—l>0,解得x<1-0或x>1+及，

由》242》+3可得x2-2x-340，解得-l<x<3，

所以，—1<X<1—血或l+VI<x<3，

當一—時，國=一1,此時,g(x)=x2-1,

由g(x)=0可得x=-l或x=l(舍去)；

當l+0<x<3時，國=2,此時，g(x)=x2-7,

由g(x)=?？傻脁=J7或苫=-J7(舍去)；

又因為g⑶=3?-2x3-3=0,

綜上所述，函數(shù)g（x）=f—2區(qū)-3的零點有3個.

故答案為：3.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)x-得出關(guān)于x的范圍，再結(jié)合龍的范圍得出[x]

的可能取值，結(jié)合代數(shù)法求解即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知非空集合/={x|a—2WxV3a+l},5=「卜<2工<32}.

（1）若。=1,求ZcB,/UB；

（2）若xeZ是的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）Ar>B=|x|3<x<4},ZuB={x|-l<x<5}

’4'

（2）<tz<5>

3J

【解析】

【分析】（1）代入。=1,再由交集、并集的運算可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可知BA,限定出不等式關(guān)系解不等式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

若a=l,可得/={x|—lWxV4},

又3=3<x<5},

所以Zc8={可3<xW4},A'UB=卜卜1<x<5j.

【小問2詳解】

若xeZ是xeB的必要不充分條件，貝Ij5A,

a>--

ra-2<3?+12

4

所以<a-2W3,解得<aW5,即一

3

3o+1>5、4

ia>—

[3

f4'

所以a的取值范圍為<a-<a<5>.

16.為衡量房屋的采光效果，行業(yè)一般采用窗地面積比（房間窗洞口面積與該房間地面面積的比值）作為標

準，民用住宅的窗地面積比應不小于10%,且不超過50%,而且這個比值越大，采光效果越好.設某住宅的

窗洞口面積與地面面積分別為am?，6mL

(1)若這所住宅的地面面積為100n?,求這所住宅的窗洞口面積的范圍；

(2)若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎(chǔ)上都增加了xn?，判斷這所住宅的采光效果是否變好了，并說

明理由.

【答案】(1)[10,50]m2

(2)變好，理由見解析

【解析】

【分析】(1)依題意得出不等關(guān)系，解不等式即可得出結(jié)果；

(2)利用作差法計算比較出大小，可得結(jié)論.

【小問1詳解】

因為3=100,所以10%W—W50%,

100

解得10WaW50,

所以這所住宅的窗洞口面積的范圍為[10,50]m2.

【小問2詳解】

由題意得0<a<b,x>0,

原來的窗地面積比為g,現(xiàn)在的窗地面積比為史三

bb+x

a+xaab+bx-ab-axx(b-a\

則T77=77；----r.

b+xb\b+x)\7bb[b+x)

因為0<a<b,x>0,所以.b(b+x)〉O,x(b—Q)〉0

廣…Q+Xa八口-Q+xa

所以-------->0,即----->-.

b+cbb+cb

所以窗洞口和地面同時增加了相等的面積，住宅的采光效果變好了.

17.已知函數(shù)/(x)=a+—金一(仍NO)是奇函數(shù)，且/(x)的圖象經(jīng)過點[1,；

(1)求實數(shù)a、b的值；

(2)求關(guān)于X的不等式八5百工)+/(005%一1)<0的解集.

【答案】(1)(7=3,b=-6

兀C,3兀2,

(2)—F2左兀,---F2Ml,左￡Z

(22)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得出/(0)=0,=求出。、b的值，結(jié)合題意檢驗即可；

(2)證明出函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出

cos2x-COSX>0，求出COSX的取值范圍，即可得出尤的取值范圍.

【小問1詳解】

對任意的xeR,3'+1>0,則/(X)的定義域為R，

因為/(x)為奇函數(shù)，所以/@=a+g=0,①

又/⑴=a+g=|"，②

aH—二0

2a=3

聯(lián)立①②，得《彳-解得〈

b=-6

經(jīng)檢驗，當。=3,6=-6時，/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以a=3,b=-6.

【小問2詳解】

因為/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(sin2x)+/(cosx-l)<0等價于f(sin2x)<-/(cosx-1)=/(1-cosx).

由(1)知，/(x)=3—3F],任取為、/eR且西＜》2，

616______66(3X'-3X2)

則/(苞)-/(%)=3一^^：

3-+11—3工2+[.3為+]―(31+1)(3-+1)

由王＜X2，可矢口3沏〉3西〉0，則3西+1〉0，3》2+1〉0，3百一3次＜0，

6(3』-3*)

所以/(西)―/(%)=(3』+1)(3*+1)＜0'即/(為)＜/(々).

所以/(x)=3-在R上是增函數(shù).

所以/(sin?x)</(1-cosx)等價于sin2x<l-cosx?

由sin2x+cos2x=1，得上述不等式等價于1-cos2x<l-cosx，

即(Wx—COSX〉。，解得COSX<0或COSX>1，

又cosxVl,所以COSX<0,

(兀3JI、

則x￡—2防i,---2kli,左￡Z,

(22)

所以原不等式的解集為1]+2E,￡+2E],左eZ.

18.已知函數(shù)/(x)=sin4x+4sin^2x+^-cos4x-6cos2x+1.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將/(x)的圖象向左平移百個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間-上的最值;

663_

(3)在(2)的條件下，若對任意再￡—,都存在々<2,4],使得g(M)-上一4+3。W。，求

實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)—7+左兀,不+左兀，keZ

L63J

(2)g(x).=—4,g(x)=2

r

(3)\aa<—>

2,

【解析】

【分析】(1)由三角恒等變換化簡后，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間；

(2)求出平移后函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)的值域、最值的求法求解；

(3)由題意轉(zhuǎn)化為g(xJW|x2-分別求不等式兩邊函數(shù)的最大值即可得解.

【小問1詳解】

f(x)=sin4x+4sin[2x+￡)-cos4x-6cos2x+1

=sin2x-cos2x+4Hsin2x+』cos2x

-3(1+cos2x)+1

(22J

=2百sin2x-2cos2x-2

=4sin^2x--^j-2.

令----F2/CTIV2x<—F2/CJI9左￡Z，得---卜ku幺xW—i-ku,keZ

26263

jrjr

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一石+赤,§+E,keZ.

【小問2詳解】

根據(jù)⑴知，g(x)=/|x+-^|=4sin|2%+^1-2.

.C?！柏Ｘ「兀5兀

令，=2xH--,當---,一時，tG---,--.

6L63J66_

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，當/=-四，即x=-二時，sin,取得最小值-,，此時g（x）取得最小值-4;

662

當/=巴，即》='時，sinf取得最大值1,此時g（x）取得最大值2.

26

所以gOin=一4,gGLx=2.

【小問3詳解】

不等式g（西）—民—4+3aW0等價于g（下）W|x2-a|-3a.

令函數(shù)〃（X）=R—3a,根據(jù)題意，有g(shù)（x）maxWMx）max?

由（2）得g（x）111ax=2，由絕對值的幾何意義可知，

當a?3時，〃（x）max=場（4）=|4—4―3a=4-4。，由2<4—4a,解得aW；,故

當a>3時，〃（工入所=〃。）=23a=-2a-2,由2W-2a-2,解得a<-2,無解.

綜上，實數(shù)°的取值范圍為

2

19.如果函數(shù)/（X）在其定義域內(nèi)存在實數(shù)/，使得/（%+外=〃%）+〃4）（2〉0）成立，那么稱飛

是函數(shù)/（x）的“彳一階梯點

(1)判斷函數(shù)/(x)=2是否有“2—階梯點”，并說明理由；

JC

(2)證明：函數(shù)/3=2*+/—%有唯一的“1—階梯點”；

(3)已知a<0,設函數(shù)/(x)=lg"(:在(0,+力)上不存在“1-階梯點”,求實數(shù)°的取值范圍.

【答案】(1)否，理由見解析

(2)證明見解析(3){a|-3<a<0}

【解析】

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【分析】(1)根據(jù)題意可知與是方程----------1=0的解，運算求解即可；

x+2x

(2)可知X。是方程口向+(X+1)2—(x+1)]—(2*+Y—X)—2=0的解，結(jié)合零點存在性定理分析證明;

(3)可知方程/(x+l)=/(x)+/(l)在(0,+8)上無解，變形構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)有零點分類討論運算

求解.

【小