列方程問題

1．如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正

六邊形，求白皮、黑皮各多少塊？（提示：一塊白皮（六邊形）中，有三邊與黑皮（五邊形）

相連，因此白皮邊數(shù)是黑皮邊數(shù)的2倍）

2．一家公司購買了18臺設(shè)備，包括計(jì)算機(jī)、投影儀，共計(jì)76000元，其中每臺計(jì)算機(jī)價(jià)格

4000元，投影儀每臺6000元，求各臺設(shè)備購買的數(shù)量．

3．把自然數(shù)l，2，3，…，998，999分成3組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等，那么這3

個(gè)平均數(shù)的和是多少?

4．某次考試共有100道題，每題一分，做錯(cuò)不扣分，甲、乙、丙三位同學(xué)分別得90分、70

分、50分，其中3個(gè)人都做出來的題叫作“容易題”，只有1個(gè)人做出來的題目叫作“較難題”，

沒人做出來的題目叫作“特難題”，且“較難題”是“特難題”的3倍，又已知丙同學(xué)做出的題中

超過80%的是“容易題”，但又不全是“容易題”，請問：“特難題”共有多少道？

5．78只雞在田里捉青蟲吃,共吃掉138條青蟲，已知每只公雞吃4條青蟲，每只母雞吃3條

青蟲，兩只小雞吃一條，母雞比公雞多18只，問這群雞中公雞，母雞，小雞各有多少只？

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6．甲、乙兩人加工某種零件，甲先做了3分鐘，而后兩人又一起做了2分鐘，一共加工零件

610個(gè)．已知甲每分鐘比乙每分鐘多加工10個(gè)，那么，甲比乙多加工多少個(gè)零件？

7．有老師和甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在老師年齡恰為三個(gè)學(xué)生年齡之和；9年后，老師年齡

為甲、乙兩學(xué)生年齡之和；又過了3年，老師年齡為甲、丙學(xué)生年齡之和；再過3年，老師

年齡為乙、丙兩學(xué)生年齡之和，求現(xiàn)在各人的年齡．

8．三張卡片上分另標(biāo)有p、q、r數(shù)碼(整數(shù))且0<p<q<r，游戲時(shí)將三張卡片隨意分發(fā)給A、

B、C三個(gè)人，每人各一張，根據(jù)每個(gè)人得到卡片上的數(shù)碼數(shù)分別給他們記分，如此重復(fù)游

戲若干輪，結(jié)果A、B、C三人得分總數(shù)分別為20、10、9．已知B在最后一輪的得分是r，

那么⑴誰在第一輪得分是q；⑵p、q、r分別是多少？

9．購買3斤蘋果，2斤桔子需要6.90元；購買8斤蘋果，9斤桔子需要22.80元，那么蘋果、

桔子各買1斤需要多少元？

10．甲、乙兩種商品成本共200元。甲商品按30%的利潤定價(jià)，乙商品按20%的利潤定價(jià)。

后來兩種商品都按定價(jià)的90%出售，結(jié)果獲利潤27.7元。甲、乙兩種商品的成本各是多少

元？

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11．甲容器中有濃度為2%的鹽水180克，乙容器中有濃度為9%的鹽水若干克，從乙中取出

240克鹽水倒入甲，這時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器內(nèi)的食鹽量相等．乙容器中原有鹽水多少克？

12．已知哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和恰好是29歲，而弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡

差的4倍，那么試問哥哥今年多少歲？

13．新學(xué)期開始，有一批新的教科書要分發(fā)到各位學(xué)生手中，這批教科書必須由一個(gè)小組的

學(xué)生來搬，這批教科書如果由小組中的男生來搬，每人搬25本，那么還有15本沒人搬，如

果由小組中的女生來搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知這個(gè)小組的

學(xué)生一共有8人，求男、女生各有多少名？

14．大強(qiáng)參加6次測驗(yàn)，第三、四次的平均分比前兩次的平均分多2分，比后兩次的平均分

少2分．如果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？

15．蘋果和梨各有若干個(gè)，如果5個(gè)蘋果和3個(gè)梨裝一袋，那么還多4個(gè)蘋果，梨恰好裝完；

如果7個(gè)蘋果和3個(gè)梨裝一袋，那么蘋果恰好裝完，還多12個(gè)梨，那么蘋果和梨各有多少

個(gè)？

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16．一瓶農(nóng)藥700克，其中水比硫磺粉的6倍還多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，這

瓶農(nóng)藥里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？

17．射擊比賽多年來一直是奧運(yùn)首金的產(chǎn)生地，東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中，中國代

表團(tuán)攬入本屆奧運(yùn)會(huì)第一枚金牌。成功的背后是運(yùn)動(dòng)員刻苦訓(xùn)練的結(jié)果，一名射擊運(yùn)動(dòng)員統(tǒng)

計(jì)了近兩天的射擊成績，這名運(yùn)動(dòng)員兩天射擊的次數(shù)相同。若第一天射中十環(huán)及以上的次數(shù)

比十環(huán)以下的次數(shù)的4倍多2次，第二天射中十環(huán)及以上次數(shù)比第一天增加了8次，正好是

十環(huán)以下次數(shù)的6倍。這名運(yùn)動(dòng)員每天射擊多少次？

18．甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水．已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么

3人都澆過的花最少有多少盆？

19．有面值分別為拾元、伍元、貳元的車票27張，共108元，拾元的張數(shù)比伍元的張數(shù)少

7張，那么，三種面值的車票各有多少張？

20．在共有100匹馬跟100塊石頭，馬分3種，大型馬；中型馬跟小型馬．其中一匹大馬一

次可以馱3塊石頭，中型馬可以馱2塊，而小型馬2頭可以馱一塊石頭．問需要多少匹大馬，

中型馬跟小型馬？（問題的關(guān)鍵是剛好必須是用完100匹馬）

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21．張老師購買了一套教師住宅，原計(jì)劃采取分期付款方式．一種付款方式是開始第一年先

付7萬元，以后每年付款1萬元；另一種付款方式是前一半時(shí)間每年付款2萬元，后一半時(shí)

間，每年付款1萬5千元．兩種付款方式的付款總數(shù)和付款時(shí)間都相同．假如一次性付款，

可以少付房款1萬6千元．現(xiàn)在張老師決定采用一次性付款方式．問：張老師要付房款多少

萬元？

22．丁丁和玲玲兩人摘蘋果，丁丁說：“把我摘的蘋果給玲玲7個(gè)，玲玲摘的蘋果的個(gè)數(shù)就是

我的2倍．”玲玲說：“把我摘的蘋果給丁丁7個(gè)，他的蘋果個(gè)數(shù)就和我的一樣多了．”問丁丁

和玲玲各摘了多少個(gè)蘋果？

23．某車間男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍，若調(diào)走21個(gè)男工，那么女工人數(shù)是男工人數(shù)的2

倍．這個(gè)車間的女工有多少人？

24．有兩塊地共90公畝，第一塊地的和第二塊地的種茄子，兩塊地余下的共45公畝種

西紅柿．求第一塊地有多少公畝？

25．小龍、小虎、小方和小圓四個(gè)孩子共有45個(gè)球，但不知道每個(gè)人各有幾個(gè)球，如果變動(dòng)

一下，小龍的球減少2個(gè)，小虎的球增加2個(gè)，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那

么四個(gè)人球的個(gè)數(shù)就一樣多了．求原來每個(gè)人各有幾個(gè)球？

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26．如圖，甲、乙兩只蝸牛同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，甲沿長方形ABCD逆時(shí)針爬行，乙沿△AOD

逆時(shí)針爬行．若AB=10，BC=14，AO＝DO＝10，且兩只蝸牛的速度相同，則當(dāng)兩只蝸牛間

的距離第一次達(dá)到最大值時(shí)，它們所爬過的路程的和為多少？

27．小軍原有故事書的本數(shù)是小力的3倍，小軍又買來7本書，小力買來6本書后，小軍所

有的書是小力的2倍，兩人原來各有多少本書？

28．學(xué)校六年級競賽班有50人，共有三個(gè)科技興趣小組：天文、無線電和計(jì)算機(jī)，參加天文

組的有38人，參加無線電組的有35人，參加計(jì)算機(jī)組的有31人，既參加天文組又參加無線

電組的有29人，既參加天文組又參加計(jì)算機(jī)組的有28人，既參加無線電又參加計(jì)算機(jī)組的

有26人，三個(gè)小組都參加的有24人，試求三個(gè)小組都沒有參加的人數(shù)．

29．甲地有89噸貨物要運(yùn)送到乙地，大卡車的載重量是7噸，小卡車的載重量是4噸，大卡

車運(yùn)一趟耗油14升，小卡車運(yùn)一趟耗油9升，運(yùn)完這批貨物至少耗油多少升？

30．有甲、乙、丙三堆石子，從甲堆中取出8個(gè)給乙堆后，甲、乙兩堆的石子數(shù)就相等了；

再從乙堆中取出6個(gè)給丙堆，乙、丙兩堆的石子數(shù)也相等；此時(shí)又從丙堆中取2個(gè)給甲堆，

使甲堆石子數(shù)是丙堆石子數(shù)的2倍，問：原來甲堆有多少個(gè)石子？

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31．小淘氣乘正在下降的自動(dòng)扶梯下樓，如果他一級一級的走下去，從扶梯的上端走到下端

需要走36級．如果小淘氣沿原自動(dòng)扶梯從下端走到上端（很危險(xiǎn)哦，不要效仿!），用下樓時(shí)

5倍的速度需要走60級才能走到上端．請問這個(gè)自動(dòng)扶梯在靜止不動(dòng)時(shí)有多少級？

32．一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做4天，繼而甲、丙兩隊(duì)合做6天，剩下的工程甲隊(duì)又獨(dú)做9天

才全部完成．已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍．甲、乙、丙

三隊(duì)獨(dú)做，各需要多少天完成？

33．某班45名同學(xué)參加了體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、

跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者7人，跳高、百米均得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，

全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)到優(yōu)，請問：三項(xiàng)都是優(yōu)的有多少人？

34．一次考試，共15道題目，做對一題得8分，做錯(cuò)一題倒扣4分．小明共得72分，問他做對

了幾道題？

35．寒暑表上通常有兩個(gè)刻度，攝氏度(記為℃)和華氏度(記為。F)，它們之間的換算關(guān)系是：

9

攝氏度′+32=華氏度，那么在攝氏多少度時(shí)，華氏度的值恰好是攝氏度的5倍．

5

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36．學(xué)校里白色粉筆的盒數(shù)是彩粉筆的4倍，如果再增加白粉筆130盒，再增加彩粉筆50盒，

則白粉筆是彩粉筆的3倍．求白粉筆和彩粉筆原來各有多少盒？

37．甲種酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙種酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成

50％的酒精溶液7升，問兩種酒精溶液各需多少升？

38．兩年前，甲的年齡是乙的年齡的4倍；而現(xiàn)在，甲的年齡是乙的年齡的3倍，那么甲今

年多少歲？

39．有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中白子都占28％．小明從某一堆中拿走一

半棋子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32％．那么，共有棋子多

少堆?

40．整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快．已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就

得60天．如果要在96天內(nèi)把牧場的草吃完，那么有多少頭牛？

3

41．長江文具店運(yùn)來的毛筆比鋼筆多1000支，其中毛筆的和鋼筆的1相等，長江文具店共

72

運(yùn)來多少支筆？

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42．李校長向某課桌生產(chǎn)廠訂購了定價(jià)為100元的課桌80套．李校長對廠長說：“如果你肯

減價(jià)，那么每減價(jià)1元，我們就多訂購4套．”廠長聽后算了一下：若減價(jià)5%，則由于李校

長多訂購，所獲利潤反而比原來多100元．問這種課桌每套的成本價(jià)是多少元？

43．有三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上最大的數(shù)的三倍的和是

68，求這三個(gè)連續(xù)整數(shù)．

44．馬小哈同學(xué)使用計(jì)算器計(jì)算2000個(gè)數(shù)的平均數(shù)之后，不小心把所求出的平均數(shù)與原先的

2000個(gè)數(shù)混在一起．有趣的是，這2001個(gè)數(shù)的平均數(shù)恰好是2001．原來這2000個(gè)數(shù)的平均

數(shù)是多少？

45．修一條公路，未修的長度是已修長度的4倍。如果再修200m，未修的長度就是已修長

度的2倍。這條公路長多少米？

46．幾位裁判員為一位體操運(yùn)動(dòng)員評分，去掉一個(gè)最高分后，平均成績?yōu)?.82分．如果記入

最高分，平均成績?yōu)?.04分．已知這位運(yùn)動(dòng)員的最高分是9.70分，問：共有幾位裁判員？

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47．一個(gè)大人一餐能吃四個(gè)面包，四個(gè)幼兒一餐只吃一個(gè)面包，現(xiàn)有大人和幼兒共100人，

一餐剛好吃100個(gè)面包，這100人中，大人和幼兒各有多少人？

48．王新從教室去圖書館還書，如果每分鐘走70米，能在圖書館閉館前2分鐘到達(dá)，如果每

分鐘走50米，就要超過閉館時(shí)間2分鐘，求教室到圖書館的路程有多遠(yuǎn)？

49．小明讀一本書，第一天讀83頁，第二天讀74頁，第三天讀71頁，第四天讀64頁，第

五天讀的頁數(shù)比這五天中平均讀的頁數(shù)要多3.2頁．小明第五天讀了多少頁？

50．甲、乙二人由A地同時(shí)出發(fā)朝向B地前進(jìn)，A、B兩地之距離為36千米．甲步行之速度為

每小時(shí)4千米，乙步行之速度為每小時(shí)5千米．現(xiàn)有一輛自行車，甲騎車速度為每小時(shí)10千米，

乙騎車的速度為每小時(shí)8千米．出發(fā)時(shí)由甲先騎車，乙步行，為了要使兩人都盡快抵達(dá)目的地，

騎自行車在前面的人可以將自行車留置在途中供后面的人繼續(xù)騎．請問他們從出發(fā)到最后一

人抵達(dá)目的地最少需要多少小時(shí)？

51．六年級學(xué)生去秋游，要分成15個(gè)組，一部分由8人組成一個(gè)小組，另一部分由5個(gè)人組

成一個(gè)小組，8人組成小組的總?cè)藬?shù)比5人組成小組的總?cè)藬?shù)多3人，求六年級共有多少名

同學(xué)參加秋游？

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52．甲、乙、丙三位同學(xué)每人得到相同數(shù)目的果汁糖．甲花了若干天將糖吃完，乙每天吃3

塊，比甲晚1天吃完；丙每天吃4塊，比甲早2天吃完，問：他們每人得到多少果汁糖？

53．一艘船從甲港到乙港，逆水每小時(shí)行24千米，到乙港后又順?biāo)祷丶赘?，已知順?biāo)叫?/p>

比逆水航行少用5小時(shí)，水流速度為每小時(shí)3千米，甲、乙兩港相距多少千米？

54．甲、乙、丙共有100本課外書．甲的本數(shù)除以乙的本數(shù)，丙的本數(shù)除以甲的本數(shù)，商都

是5，而且余數(shù)也都是1．乙有書多少本？

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列方程問題

參考答案

1．黑皮有12塊，白皮有20塊

【分析】由題意可知，設(shè)足球上黑皮有x塊，則白皮有（32－x）塊，所以黑皮的邊數(shù)有5x

條，白皮的邊數(shù)有6×（32－x）條，根據(jù)等量關(guān)系式：白皮的邊數(shù)＝黑皮的邊數(shù)×2，據(jù)此列

方程即可。

【詳解】解：設(shè)足球上黑皮有x塊，則白皮有（32－x）塊。

2×5x＝6×（32－x）

10x＝192－6x

10x＋6x＝192

16x＝192

x＝192÷16

x＝12

32－12＝20（塊）

答：足球上黑皮有12塊，白皮有20塊。

【分析】本題考查用方程解決實(shí)際問題，明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

2．計(jì)算機(jī)、投影儀分別有16臺、2臺

【詳解】設(shè)計(jì)算機(jī)、投影儀購買數(shù)量分別為x、18-x，

由條件可得：4000x+600018-x=76000，解得x=16；

故計(jì)算機(jī)、投影儀分別有16臺、2臺．

3．1500

【詳解】若設(shè)每一組的平均分均為a，則總和為999a＝(1+999)×999÷2，所以a＝500，于是這

三組平均數(shù)的和為1500．

4．7道．

【詳解】試題分析：通過分析，可設(shè)特難題a道，較難題有3a道，容易題有b道，則有2人

做出的題有（100﹣4a﹣b）道，易知3a+2（100﹣4a﹣b）+3b=210，可知b=5a+10＞40，則有

a≥7，又a＜100﹣90=10，則有a≤9，所以a=7，8，9，解得a=7，b=45；a=8，b=50；a=9，

b=55，由于b＜50，所以只有a=7，b=45滿足條件，據(jù)此解答即可．

解：設(shè)特難題a道，較難題有3a道，容易題有b道，則有2人做出的題有（100﹣4a﹣b）道：

可得方程：3a+2（100﹣4a﹣b）+3b=210

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b=5a+10＞40

a≥7

又a＜100﹣90=10，則有a≤9

所以a=7，8，9

解得a=7，b=45；

a=8，b=50；

a=9，b=55．

由于b＜50，所以只有a=7，b=45滿足條件．

答：特難題共有7道．

分析：本題主要考查了容斥原理，正確確定解題思路，轉(zhuǎn)化為求列出數(shù)量關(guān)系式是解題的關(guān)

鍵．

5．公雞有9只，母雞27只，小雞42只

【詳解】解：設(shè)公雞有X只，則母雞有X+18只，小雞有78－X－X－18＝60－2X只．

依題意得方程：1

4X+3(X+18)+2(60-2X)=138

解得，X=9

母雞：9+18＝27只

小雞：60－2×9＝42只

答：這群雞中，公雞有9只，母雞27只，小雞42只．

6．290個(gè)

【詳解】解：設(shè)乙每分鐘做x個(gè)，則甲每分鐘做（x+10）個(gè)

3×（x+10）+(x+x+10)×2=610

解得，x=80

甲：80+10=90

甲一共做了：90×（2+3）=450（個(gè)）

乙一共做了：80×2=160（個(gè)）

甲比乙一共多做了：450-160=290（個(gè)）

答：甲比乙一共多做了290個(gè)．

7．現(xiàn)在老師的年齡是36歲，甲的年齡是15歲，乙的年齡是12歲，丙的年齡是9歲．

【詳解】試題分析：設(shè)現(xiàn)在甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生的年齡分別為x歲，y歲，z歲；則老師現(xiàn)在

的年齡是x+y+z（歲）；所以根據(jù)“9年后，老師年齡為甲、乙兩學(xué)生年齡之和”，得出

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x+y+z+9=x+y+9+9，由此求出丙的年齡；再根據(jù)又過了3年，老師年齡為甲、丙學(xué)生年齡之

和；得出x+y+z+9+3=x+z+9+3+9+3，由此求出乙的年齡；同理，再根據(jù)再過3年，老師年齡

為乙、丙兩學(xué)生年齡之和，求出甲的年齡．

解：設(shè)現(xiàn)在甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生的年齡分別為x歲，y歲，z歲；則老師現(xiàn)在的年齡是x+y+z

（歲）；

x+y+z+9=x+y+9+9

z=9

x+y+z+9+3=x+z+9+3+9+3

y=12

x+y+z+9+3+3=y+z+9+3+3+9+3+3

x=15

9+12+15=36（歲）

答：現(xiàn)在老師的年齡是36歲，甲的年齡是15歲，乙的年齡是12歲，丙的年齡是9歲．

分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，找出數(shù)量關(guān)系式，列出方程再解答．

8．⑴C⑵p=1，q=4，r=8

【詳解】三人總分為20+10+9=39=1′39=3′13．

如果游戲進(jìn)行了39或13輪，則p+q+r=1或3，與0<p<q<r矛盾；如果游戲只進(jìn)行了1輪，

則r=20，被A得到，與“B在最后一輪的得分是r”矛盾．所以游戲進(jìn)行了3輪，且

p+q+r=13．

⑴因?yàn)锽共得10分，且最后一次得r分，所以前兩次都得p分，否則三次至少得13分．因?yàn)?/p>

C三次總分比B少，所以C沒得過r分，前兩次都得q分，即第一輪得q分的是C．

⑵假設(shè)C三次都得q，由B得p+p+r=10和A得r+r+p=20，解得r=10，p=0，與p>0矛盾，

所以C前兩次得q，最后一次得p．

ìp+2q=9,

?

由í2p+r=10,解得p=1，q=4，r=8．

?

?2r+q=20,

9．2.7

【詳解】假設(shè)購買1斤蘋果、桔子分別需要x元、y元，則：

3x+2y=6.9

{，

8x+9y=22.8

兩式相加得，即x+y=2.7．

所以各買1斤需要2.7元．

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分析：從上面的過程可以看出，本題可以直接采用算術(shù)解法：買3+8=11斤蘋果和2+9=11斤

蘋果，須6.90+22.80=29.7元，所以各買1斤需要29.7?11=2.7元.

10．甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。

【分析】根據(jù)“兩種商品都按定價(jià)的90%出售，結(jié)果仍獲得27.7元的利潤”可知，兩種商品售

出后，共收入227.7元。由此可求出如果兩種商品按原來的定價(jià)出售，共應(yīng)該收入253元。

這樣，就可以求出兩種商品如果按原來的定價(jià)出售，共應(yīng)獲利53元。

我們可以假設(shè)兩種商品都按30%的利潤來定價(jià)。那么兩種商品出售后，共應(yīng)獲得利潤60元。

因?yàn)橐疑唐穼?shí)際是按20%的利潤來定價(jià)的，而我們卻假設(shè)它按30%的利潤來定價(jià)，因此比實(shí)

際多獲得利潤相當(dāng)于乙商品10%的利潤，這樣就可以求出乙商品的成本，進(jìn)而求出商品的成

本。

【詳解】解法一：若兩種商品都按原來的定價(jià)出售，一共應(yīng)該獲得利潤

（200＋27.7）÷90%－200

＝227.7÷90％

＝53（元）

假設(shè)兩種商品都按30%利潤出售，一共應(yīng)該得利潤200×30%＝60（元）

比實(shí)際多獲利潤60－53＝7（元）所以，乙商品的成本：

7÷（30%－20%）

＝7÷10%

＝70（元）。

甲商品的成本是：200－70＝130（元）

解法二：設(shè)甲商品的成本是x元，則乙商品的成本是（200－x）元。根據(jù)題意，列方程得：

[（1＋30%）x＋（1＋20%）×（200－x）]×90%＝200＋27.7

[1.3x＋1.2×（200－x）]×90%＝227.7

[1.3x＋240－1.2x]＝227.7÷90%

x＝130

所以，甲商品的成本是130元，乙商品的成本是200－130＝70（元）。

答：甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。

【分析】根據(jù)題目已知數(shù)學(xué)信息，分析各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，可用不同方法進(jìn)行解答，發(fā)

散思維，一題多解。

11．520克

【詳解】甲容器中原有食鹽180×2%=3.6（克），甲容器中現(xiàn)有食鹽3.6+240×9%=25.2（克），

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又知此時(shí)甲、乙兩容器內(nèi)食鹽量相等．乙容器的濃度為9%，設(shè)現(xiàn)有乙溶液x克，則列方程得

x·9%=25.2，解方程得x=280（克），所以乙容器中原有鹽水240+280=520（克）．

12．15

【詳解】設(shè)他們兩人的年齡差是x歲，那么弟弟現(xiàn)在是4x歲，而哥哥現(xiàn)在是4x+x=5x歲．

根據(jù)“哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和恰好是29歲”可以得方程(5x+5)+(4x-3）=29

解得x=3，所以兩個(gè)人的年齡差是3歲；

因此弟弟的年齡是3′4=12歲，哥哥的年齡是3′5=15歲．

13．男生3人，女生5人

【詳解】解：設(shè)這個(gè)小組中的男生的人數(shù)為x人，那么女生的人數(shù)為8?x人

根據(jù)題意列方程：

25x?15?20(8?x)?10

25x?15?150?20x

45x?135

x?3

所以這個(gè)小組中有男生3人，女生8?3?5人．

14．1分

【詳解】解：設(shè)第三次分?jǐn)?shù)是a分，第四次的分?jǐn)?shù)為（a+x）分，則前兩次的分?jǐn)?shù)之和（2a+x-4）

分，最后兩次的分?jǐn)?shù)之和（2a+x+4）分，有（2a+x+4）+（a+x）=（2a+x-4）+a+9，解得x=1，即

第四次比第三次多得1分．a(chǎn)作為一個(gè)輔助的未知數(shù)，能夠幫助我們理解題目從而順利地列

出方程，而在解的過程中a消去，也不用求a的值，這就是“設(shè)而不求法”.

15．蘋果84個(gè)，梨48個(gè)

【詳解】這也是一個(gè)盈虧問題．

方法一：設(shè)第一次裝了x袋，則第二次裝了x-12?3=x-4（袋），有5x+4=（7x-4），解得

x=16，所以原有蘋果5′16+4=84（個(gè)），原有梨3′16=48（個(gè)）．

方法二：設(shè)蘋果有x個(gè)，則根據(jù)兩種裝法梨的個(gè)數(shù)相等有

（x-4）?5′3=x?7′3+12

（x-4）?5=x?7+4

（x-4）?5′35=x?7′35+4′35

（x-4）′7=x′5+140

2x=168

x=84

有時(shí)候同一個(gè)題目設(shè)未知量可以有很多角度，但不同的設(shè)法可能會(huì)造成解方程難度上的差異，

如方法二中的方程顯然比方法一的方程難解，所以學(xué)會(huì)合理巧妙地設(shè)未知數(shù)很重要．

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16．水565千克，硫磺粉90千克，石灰粉45千克

【分析】這是道比較復(fù)雜的“和倍應(yīng)用題”，硫磺粉和水有直接關(guān)系，硫磺粉和石灰也有直接

關(guān)系，因此應(yīng)設(shè)未知數(shù)硫磺粉為x克．水的重量是硫磺的6倍還多25克，也就是（6x＋25）

1

克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是x克．

2

等量關(guān)系式表示為：水＋硫磺粉＋石灰＝農(nóng)藥重量

1

【詳解】解：設(shè)硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是6x＋25克，石灰重量是x克．根

2

據(jù)題意列方程：

1

6x+25+x+x=700

2

解得，x=90

6x＋25=565

1

x=45

2

答：這瓶農(nóng)藥里水565千克，硫磺粉90千克，石灰粉45千克．

17．147次

【分析】根據(jù)題干，設(shè)這名運(yùn)動(dòng)員射中十環(huán)以下的次數(shù)為x次，則射中射中十環(huán)及以上的次

數(shù)就是（4x＋2）個(gè)，又因?yàn)槊恳惶斓纳鋼舻拇螖?shù)相同，所以第二天射中十環(huán)及以上次數(shù)是

（4x＋2＋8＝4x＋10）次，那么沒射中的就是（x－8）個(gè)；根據(jù)等量關(guān)系：第二天射中十環(huán)

及以上次數(shù)＝射中十環(huán)以下次數(shù)的6倍；列出方程解決問題。

【詳解】設(shè)這名運(yùn)動(dòng)員射中十環(huán)以下的次數(shù)為x次，則射中射中十環(huán)及以上的次數(shù)就是（4x＋

2）個(gè)，根據(jù)題意可得方程：

4x＋2＋8＝6（x－8）

4x＋10＝6x－48

2x＝58

x＝29

29×4＋2＋29

＝116＋2＋29

＝147（個(gè)）

答：這名運(yùn)動(dòng)員每天射擊147次。

【分析】此題屬于含有兩個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，這類題用方程解答比較容易，關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量

間的相等關(guān)系，設(shè)一個(gè)未知數(shù)為x，另一個(gè)未知數(shù)用含x的式子來表示，進(jìn)而列并解方程即

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可。

18．4盆

【分析】此題屬于容斥原理與最值問題相結(jié)合題型，但是題目已知條件太少，公式中未知項(xiàng)

有5項(xiàng)，所以不好直接用方程法分析出最后答案．采用極端假設(shè)法進(jìn)行分析．

因?yàn)轭}目所求為3人都澆過的花最少為幾盤，那么意思就是我們應(yīng)該讓3人澆過的花盡量分

散，即每人盡量不要澆其他人澆過的花，采用極端假設(shè)法即假設(shè)每人都首先選擇澆其他人沒

澆過的花．

【詳解】解法一：首先考慮甲和乙，甲澆了78盆，沒澆100-78=22盆，那么乙應(yīng)該先澆甲沒

澆的22盆，剩下的只能選擇甲已經(jīng)澆過的68-22=46盆，這樣兩人都澆過的有46盆，只有一

人澆過的有100-46=54盆．

再考慮丙，

丙應(yīng)該先選擇澆只有一個(gè)人澆過的54盆，剩下的只能選擇兩人都澆過的58-54=4盆，這樣三

人都澆過的為4盆，其他盆均為至多兩人澆過的．所以，3人都澆過的花最少有4盆．

答：3人都澆過的花最少有4盆．

解法二：如果從整體考慮，三個(gè)人一共澆了78+68+58=204（盆）花，如果設(shè)被澆次數(shù)為1、

2、3次的花盆數(shù)分別為a、b、c，那么可以得到以下兩條等式：

ìa+b+c=100LLLLLLLLLLLLL①

í

?a+2b+3c=204LLLLLLLLLLLL②

②-①×2，得到：c=4+a．

因?yàn)閍30，所以c34，

所以被3個(gè)人都澆過的花至少有4盆．

【分析】1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設(shè)法．

2，運(yùn)用極端假設(shè)法時(shí)，必須隨時(shí)滿足題目要求的最值條件，這里應(yīng)該要強(qiáng)調(diào)掌握從反面角度

考慮問題的思路．不能怎么樣，那么我們就應(yīng)該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能怎么樣．

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3，滿足最值條件的假設(shè)結(jié)論即是我們要求的最值結(jié)論．

19．10元：3張5元：10張2元：14張

【詳解】解：設(shè)10元的有x張,5元的有x+7張,2元的有y張.

據(jù)題意列方程組：

ì10x+5x+7+2y=108

í

?x+x+7+y=27

ìx=3

解得，í

?y=14

x+7=3+7=10

答：10元的有3張,5元的有10張,2元的有14張.

20．6種結(jié)果

【詳解】6種結(jié)果

需要x匹大馬，y匹中型馬

3x+2y+?(100-x-y)=100

即5x+3y=100

0＜5x＜100

∴0＜x＜20

當(dāng)x=2時(shí)，y=30,100-x-y=68

當(dāng)x=5時(shí)，y=25,100-x-y=70

當(dāng)x=8時(shí)，y=20,100-x-y=72

當(dāng)x=11時(shí)，y=15,100-x-y=74

當(dāng)x=14時(shí)，y=10,100-x-y=76

當(dāng)x=17時(shí)，y=5,100-x-y=78

21．12.4

【詳解】設(shè)分期付款方式的付款時(shí)間為2x年，則：7+(2x-1)′1=2x+1.5x

2x+6=3.5x

1.5x=6

x=4．

將x的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款總數(shù)為2′4+1.5′4=14(萬元)．

所以，一次性付款的總數(shù)為14-1.6=12.4(萬元)．

22．丁丁摘了35個(gè)，玲玲摘了49個(gè)

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【詳解】設(shè)丁丁摘了x個(gè)蘋果，由題意得：x+7+7=2(x-7)-7，x+14=2x-21，x=35．即丁

丁摘了35個(gè)蘋果，而玲玲的蘋果個(gè)數(shù)為35+7+7=49(個(gè))．

23．14人

【詳解】解：設(shè)原來車間女工人數(shù)為x人，男工人數(shù)為2x人

2（2x-21）=x

解得，x=14

答：這個(gè)車間的女工有14人．

24．36公畝

【詳解】解：設(shè)第一塊地有x公畝，則第二塊地有（90-x）公畝，依題意可得：

答：第一塊地有36公畝．

25．分別有球12、8、5、20個(gè)

【詳解】設(shè)變動(dòng)后四個(gè)孩子都有球x個(gè)，則變動(dòng)前這四個(gè)孩子擁有的球數(shù)分別為x+2、x-2、

x?2、x′2；則可列方程得x-2+x+2+x?2+x′2=45，化簡為4.5x=45，解得x=10；因此，原

來這四個(gè)孩子分別有球12、8、5、20個(gè)．

26．788

【詳解】三角形周長是14+10+10=344，長方形的周長半是10+14=24,34=2×17，24=2×2×2×3,

所以34和24的最小公倍數(shù)是2×2×2×3×17=408，此時(shí)因?yàn)?08÷24=17是一個(gè)奇數(shù)，所以甲

在C點(diǎn)，乙在A點(diǎn)，那么兩只蝸牛所爬的路程之和是408×2=816,此時(shí)如果甲乙都少行14時(shí)，

那么就是第二種情況，甲在B點(diǎn)，乙在D點(diǎn)，兩只蝸牛所爬的路程之和是816-2×14=788.

答:當(dāng)兩只蝸牛間的距一次達(dá)到最大值時(shí)，它們所爬過的路程的和為788.

27．小力原有故事書5本，小軍原有故事書15本

【詳解】解：設(shè)小力原有故事書x本，則小軍原有故事書3x本

3x+7=（2x+6）

3x-2x=2′6-7

x=5

3′5=15（本）

28．5人

【分析】容斥原理基本題型，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形．

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【詳解】解法一：設(shè)三個(gè)小組都沒有參加的人數(shù)是X

（38+35+31-29-28-26+24）+x=50

解得x=5

解法二：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5（人）

答:三個(gè)小組都沒有參加的人數(shù)有5人．

29．181升

【詳解】解：設(shè)大卡車運(yùn)x趟，小卡車運(yùn)y趟．

由題意可列方程：7x+4y=89

3x-1ìx=3ìx=7ìx=11

則y=22-x-，（3x-1）是4的倍數(shù)，且y≥0，得í;í;í，相應(yīng)的耗油量分別

4?y=17?y=10?y=3

為14×3+9×17=195（升），14×7+9×10=188（升），14×11+9×3=181（升）．所以至少是181升．

答：運(yùn)完這批貨物至少耗油181升．

30．26

【詳解】解：設(shè)甲堆原來有x個(gè)石子，那么甲堆取出8個(gè)給乙堆后，甲乙兩堆都是（x-8）個(gè)石

子；再從乙

堆中取出6個(gè)給丙堆，乙、丙兩堆的石子數(shù)都變成（x-8-6）個(gè)石子；此時(shí)又從丙堆中取2

個(gè)給甲堆，那么甲堆石子數(shù)變成（x-8+2）個(gè)，丙堆石子數(shù)變成（x-8-6-2）個(gè)，有x-6=（2x-16），

解得x=26．題目中的變化過程比較多，在設(shè)立未知數(shù)后，一步步跟上分析，把每一步的變化

結(jié)果都用x的式子表示出來，最后建立等量關(guān)系．

31．54級

【詳解】小淘氣上樓走60級的時(shí)間，下樓只能走60÷5=12（級）．而下樓走了36級，所以下

樓用的時(shí)間是上樓時(shí)間的36÷12=3倍．

設(shè)小淘氣上樓的時(shí)間自動(dòng)扶梯走了x級，根據(jù)自動(dòng)扶梯的級數(shù)可列方程：36+3x=60-x

解得x=6

自動(dòng)扶梯有60-x=54（級）．

32．甲、乙、丙獨(dú)做分別需要30、24、18天

【分析】已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍，按“甲、乙、丙三

隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程”為等量關(guān)系列方程分別求出甲、乙、丙各完成全部工程的幾分之幾．然

后用甲、乙、丙完成任務(wù)的幾分之幾：即甲、乙、丙各自的工作量，分別除以各自的工作時(shí)

間，就可得到他們各自的工作效率，進(jìn)而求出甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做各需要多少天．

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【詳解】解：設(shè)甲隊(duì)完成了x，則乙隊(duì)完成了，丙隊(duì)完成了．

因此，甲隊(duì)獨(dú)做時(shí)間為：；

乙隊(duì)獨(dú)做時(shí)間為：；

丙隊(duì)獨(dú)做時(shí)間為：．

答：甲、乙、丙獨(dú)做分別需要30、24、18天．

33．5人

【詳解】解：設(shè)三項(xiàng)都達(dá)到優(yōu)的有x人，由逐步排除法有：

20+18+22-7-8-6+x+1=45

解得x=5

34．11

【詳解】設(shè)他做對了x道題，那么就做錯(cuò)了（15-x）道題，根據(jù)題意可得：

8x-4′15-x=72

x=11

所以小明做對了11道題．

35．?dāng)z氏10度

9

【詳解】設(shè)所求溫度是攝氏x度，由題意得：x+32=5x，x=10，答：在攝氏10度時(shí)，華氏

5

度的值恰好是攝氏度的5倍．

36．白粉筆80盒，彩粉筆20盒

【詳解】解：設(shè)彩色粉筆原來有x盒，則白粉筆的盒數(shù)是4x盒

4x+130=3(x+50)

解得，x=20

4x=80（盒）

答：白粉筆原來有80盒，彩粉筆原來有20盒．

37．甲種：5升乙種：2升

【詳解】解：設(shè)甲種酒精溶液需要x升，那么乙種酒精溶液需要7-x升，根據(jù)題意列方程：

69

x+×（7-x）=7×50%

6+99+3

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解得，x=5

乙種酒精溶液需要7-5=2（升）

答：甲種酒精溶液需要5升，乙種酒精溶液需要2升．

38．18

【詳解】設(shè)今年甲的年齡為3x歲，則乙的年齡為x歲，由兩年前的年齡關(guān)系列方程得

3x-2=4x-2，解得x=6，所以甲今年18歲．

39．4

【詳解】設(shè)每堆棋子為100個(gè)有x堆棋子，那么每堆中白子為28個(gè)，黑子為72個(gè)，那走一

半棋子且為黑子時(shí)，還剩白子為28x個(gè)，黑子為（72x—50）個(gè)，所以列方程為：

28x

=32%,解得x=4，所以有4堆．

100x-50

40．20頭

【分析】本題中牧場原有草量是多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這

三個(gè)量用參數(shù)a，b，c表示，再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x，則可列出三個(gè)方程．若能消去a，b，

c，便可解決問題．

【詳解】解：設(shè)整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x

頭牛在96天內(nèi)能把牧場上的草吃完，則有

ì24′70c=a+24b,①

?

í60′30c=a+60b,②

?

?96′xc=a+96b.③

②-①，得

36b=120C．④

③-②，得

96xc=1800c＋36b．⑤

將④代入⑤，得

96xc＝1800c+120c．

解得x=20．

答：有20頭牛．

41．13000支

3

【分析】設(shè)慶豐文具店共運(yùn)來x枝鋼筆，則毛筆為x+1000枝，根據(jù)等量關(guān)系：毛筆的枝數(shù)×

7

鋼筆的枝數(shù)1，列方程解答即可．

=×2

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【詳解】解：設(shè)慶豐文具店共運(yùn)來x枝鋼筆，則毛筆為x+1000枝，根據(jù)題意列方程：

3

（x+1000）×=1x

72

解得，x=6000

x+1000=6000+1000=7000（支）

7000+6000=13000（支）

答：長江文具店共運(yùn)來13000支筆．

42．70元

【詳解】設(shè)這種課桌每套成本是x元．減價(jià)5%就是每套減100×5%=5(元)，這樣李校長就多

訂購4×5=20(套)．由前、后獲利潤的情況，可列方程：(100－x)×80+100=(100－100×5%－

x)×[80+4×(100×5%)]．解這個(gè)方程得x=70，所以這種課桌每套的成本價(jià)為70元．

43．10、11、12

【詳解】解：設(shè)最小的那個(gè)數(shù)為x，那么中間的數(shù)和最大的數(shù)分別為x?1和x?2．

根據(jù)題意列方程：

x?2(x?1)?3(x?2)?68

6x?8?68

6x?60

x?10．

所以這三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為10、11、12．

44．2001

S

【詳解】設(shè)2000個(gè)數(shù)的和是S，平均數(shù)為=