圓和扇形

1．有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆(如圖)，此時橡皮筋的長度

是多少厘米？(π取3)

43

2．如圖，大小兩圓的相交部分(即陰影區(qū)域)的面積是大圓面積的，是小圓面積的．如果

155

量得小圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？

3．如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1，和為24厘米．圖中陰影甲的面

積比陰影乙的面積少多少？

4．如圖，邊長為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個頂點為圓心，12厘米為半徑作

圓弧，請問：中間陰影部分的周長是多少？(π=3.14)

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5．如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積．(取π=3)

6．如圖，在18′8的方格紙上，畫有1，9，9，8四個數(shù)字．那么，圖中的陰影面積占整個方

格紙面積的幾分之幾？

7．如圖，ABCD是一個長為4，寬為3，對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°，分別求出四邊掃過圖形的面積．

8．有5塊圓形的花圃，它們的直徑分別是3米、4米、5米、8米、9米；請將這5塊花圃分

成兩組，分別交給兩個班管理，使兩班所管理的面積盡可能接近．

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9．下圖中每一個小正方形的面積是1平方厘米，那么格線部分的面積是多少平方厘米？

10．用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個同樣大小的圓鋁板．問：所

余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？

11．圖中大正方形邊長為6，將其每條邊進行三等分，連出四條虛線，再將虛線的中點連出一

個正方形(如圖)，在這個正方形中畫出一個最大的圓，則圓的面積是多少？(π=3.14)

12．一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長是4m，求狗所能

到的地方的總面積．(圓周率按3.14計算)

第3頁共36頁

22

13．如圖，四分之一大圓的半徑為7，求陰影部分的面積，其中圓周率π取近似值．

7

14．計算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．

15．直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米．如下圖所示，

三角形由位置Ⅰ繞A點轉(zhuǎn)動，到達位置Ⅱ，此時B，C點分別到達B1，C1點；再繞B1點轉(zhuǎn)動，到

達位置Ⅲ，此時A，C1點分別到達A2，C2點．求C點經(jīng)C1到C2走過的路徑的長．

16．一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人．但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成

如圖所示尺寸的四塊．現(xiàn)甲取②、③兩塊，乙取①、④兩塊．如果這種金屬板每平方厘米

價值1000元，問：甲應(yīng)償付給乙多少元？

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17．如圖所示，三角形ABC為等腰直角三角形，∠ACB為直角，D是AB的中點，AB=10厘

米，圓弧DE、DF是分別為A、B為圓心所作，求圓中陰影部分的面積．

18．正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點再次落在這條直線

上，那么A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，

那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？(結(jié)果保留π)

19．求圖中的陰影部分的面積．（單位：厘米）

20．如圖，直角三角形的三條邊長度為6,8,10，它的內(nèi)部放了一個半圓，圖中陰影部分的面積

為多少？

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21．如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫半圓，求這四

個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．(π取3)

22．一只饑餓的猛虎緊緊地追趕著一只小狗．就在猛虎要抓住小狗的時候，小狗逃到了一個

圓形的池塘邊．小狗連忙縱身往水里一跳，猛虎抓了個空．猛虎舍不得這頓即將到口的美餐，

于是盯住小狗，在池邊跟著小狗跑動，打算在小狗爬上岸的時候再抓住它．已知猛虎奔跑的

速度是小狗游水速度的2.5倍．請問：小狗如何才能逃出虎口？

23．如圖所示，陰影部分的面積為多少？(圓周率取3)

24．在4×7的方格紙板上面有如陰影所示的”6”字，陰影邊緣是線段或圓?。畣栮幱懊娣e占紙

板面積的幾分之幾？

第6頁共36頁

25．如圖，在3′3方格表中，分別以A、E、F為圓心，半徑為3、2、1，圓心角都是90°的

三段圓弧與正方形ABCD的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比S1:S2=?

26．圖中陰影部分的面積是25cm2，求圓環(huán)的面積．

27．圖中是一個鐘表的圓面，圖中陰影部分甲與陰影部分乙的面積之比是多少？

28．如圖，ABCD是平行四邊形，AD=8cm，AB=10cm，DDAB=30°，高CH=4cm，弧BE、DF

分別以AB、CD為半徑，弧DM、BN分別以AD、CB為半徑，則陰影部分的面積為多少？(精

確到0.01)

第7頁共36頁

29．某學(xué)校舉行運動會，有3人參加了200米賽跑，其跑道如圖所示，左右兩邊是直道，上

邊是彎道，已知彎道是半圓形的，每道寬為1米．為了保證比賽的公正性，1、2、3跑道的

起點應(yīng)各相距多少米？

30．大圓半徑為R，小圓半徑為r，兩個同心圓構(gòu)成一個環(huán)形．以圓心O為頂點，半徑R為邊

長作一個正方形：再以O(shè)為頂點，以r為邊長作一個小正方形．圖中陰影部分的面積為50平方

厘米，求環(huán)形面積．(圓周率取3.14)

31．如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么

這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取3.14)

32．在桌面上放置3個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌

面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖中3個陰影部分的

第8頁共36頁

面積的和多少是平方厘米？

33．如下圖所示，曲線PRSQ和ROS是兩個半圓．RS平行于PQ．如果大半圓的半徑是1米，

那么陰影部分是多少平方米？(π取3.14)

34．如下圖，直角三角形ABC的兩條直角邊分別長6和7，分別以B,C為圓心，2為半徑畫圓，

已知圖中陰影部分的面積是17，那么角A是多少度(π=3)

35．如圖，陰影部分的面積是多少？

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36．如下圖，兩個大小相等的正方形內(nèi)分別排列著九個等圓和十六個等圓，試比較這兩個正

方形內(nèi)空隙的大?。?/p>

37．如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑都是1．求陰影部分

的面積．（π取3）

38．如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，是以C為圓心，AC為半徑

的圓?。箨幱安糠置娣e．

39．如圖所示，三個圓的半徑都是10厘米，三個圓兩兩相交于圓心．求三塊陰影部分的面積

之和．

40．圖中給出了兩個對齊擺放的正方形，并以小正方形中右上頂點為圓心，邊長為半徑作一

個扇形，按圖中所給長度陰影部分面積為多少？(π=3.14)

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41．如圖所示，試求圖中陰影部分的面積．

42．圓周上放有N枚棋子，如圖所示，小洪先拿走B點的一枚棋子，然后沿順時針方向每隔

一枚棋子拿走兩枚棋子，這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A，當(dāng)將要第10次越過A取走其它

子的時候，小洪停下來，發(fā)現(xiàn)圓周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍數(shù)，請精確地算

出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子。

43．如圖所示，兩條線段相互垂直，全長為30厘米．圓緊貼直線從一端滾動到另一端(沒有

離開也沒有滑動)．在圓周上設(shè)一個定點P，點P從圓開始滾動時是接觸直線的，當(dāng)圓停止?jié)L

動時也接觸到直線，而在圓滾動的全部過程中點P是不接觸直線的．那么，圓的半徑是多少

厘米？(設(shè)圓周率為3．14，除不盡時，請四舍五入保留小數(shù)點后兩位．如有多種答案請全部

寫出)

第11頁共36頁

44．如右圖，以O(shè)A為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以O(shè)點

為中心旋轉(zhuǎn)90°，問：三角形掃過的面積是多少？(π取3)

45．如下圖，將直徑AB為5cm的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，此時AB到達AC的位置，求陰

影部分的面積（計算結(jié)果保留p）

46．如圖中三個圓的半徑都是5cm，三個圓兩兩相交于圓心．求陰影部分的面積和．(圓周率

取3.14)

47．求圖中陰影部分的面積．

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48．如圖，已知扇形BAC的面積是半圓ADB面積的倍，則角CAB的度數(shù)是多少？

49．如圖所示，圖的半徑是15厘米，∠AOB＝90°，∠COD＝120°，CD＝26厘米，求陰影部

分的面積。

50．如圖，直角三角形ABC中，DB為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將DABC繞C

點順時針旋轉(zhuǎn)120°的過程中，AB邊掃過圖形的面積為多少．(π=3.14)

51．某仿古錢幣直徑為4厘米，錢幣內(nèi)孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧(如

圖)．求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？

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52．如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；兩個

陰影部分的面積相等．求扇形所在的圓面積。

53．如圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長為10厘米，DABC=60°，此時BC長5厘米．以

點B為中心，將DABC順時針旋轉(zhuǎn)120°，點A、C分別到達點E、D的位置．求AC邊掃過的圖

形即圖中陰影部分的面積．(π取3)

54．如下圖，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分面積占大圓面積的百分之

幾？

55．如下圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15厘米，AEB是以C為圓心，AC

為半徑的圓弧，求陰影部分面積．

56．圖中陰影部分的面積是多少．(π取3.14)

第14頁共36頁

57．有一個建筑物占地的形狀是邊長為8米的等邊三角形．有一只狗用10米長的蠅子拴在建

筑物的一個墻上（即等邊三角形的一個頂點），當(dāng)繩子拉緊時，狗運動所圍成土地的總面積是

多少？

58．如下圖，圓的直徑為8cm，求陰影部分的面積．

59．12個相同的硬幣可以排成下面的4種正多邊形(圓心的連線)．

用一個同樣大小的硬幣，分別沿著四個正多邊形的外圈無滑動地滾動一周．問：在哪個圖中

這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)最多，最多轉(zhuǎn)動了多少圈？

60．請計算圖中陰影部分的面積．

第15頁共36頁

圓和扇形

參考答案

1．45

【詳解】

由右圖知，繩長等于6個線段AB與6個BC弧長之和．

將圖中與BC弧相似的6個弧所對的圓心角平移拼補，可得到6個角的和是360°，

所以BC弧所對的圓心角是60°，6個BC弧合起來等于直徑5厘米的圓的周長．

而線段AB等于塑料管的直徑，

由此知繩長為：5′6+5π=45(厘米)．

2．7.5

3

【詳解】小圓的面積為π′52=25π，則大小圓相交部分面積為25π′=15π,那么大圓的面積為

5

42252251515

15π?=π，而=′，所以大圓半徑為7.5厘米．

154422

3．11.61平方厘米

1

【分析】甲+丙=半圓，乙+丙=梯形-大圓，求出半圓面積與乙+丙（不規(guī)則圖形）面積之差，

4

也就是求出了甲與乙的面積之差．

1

【詳解】上底：24×=6（厘米）

1+2+1

下底：6×2=12（厘米）

高：6×1=6（厘米）

梯形面積：（6+12）×6÷2=54（平方厘米）

1

扇形面積：3.14×62×=28.26（平方厘米）

4

?6?1

半圓面積：3.14×?÷2×=14.13（平方厘米）

è2?2

陰影乙-陰影甲：54-28.26-14.13=11.61（平方厘米）

4．12.56

第16頁共36頁

【詳解】

如圖，點C是在以B為中心的扇形上，所以AB=CB，同理CB=AC，則DABC是正三角形，同

理，有DCDE是正三角形．有DACB=DECD=60o，正五邊形的一個內(nèi)角是180o-360o?5=108o，

因此DECA=60o′2-108o=12o，也就是說圓弧AE的長度是半徑為12厘米的圓周的一部分，這

12o

樣相同的圓弧有5個，所以中間陰影部分的周長是2′3.14′12′′5=12.56cm．

360o

5．八分之五

【詳解】

方法一：兩個分割開的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那么我們把它們通過切割、

移動、補齊，使兩塊陰影部分連接在一起，這個時候我們再來考慮，可能會有新的發(fā)現(xiàn)．由

于對稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)，弓形BMF的面積和弓形BND的面積是相等的，因此，陰影部分

面積就等于不規(guī)則圖形BDWC的面積．因為ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，則有CD

=DE．那么四邊形BDEC為平行四邊形，且∠E=45°．我們再在平行四邊形BDEC中來討論，

可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則圖形BDWC和扇形WDE共同構(gòu)成這個平行四邊形，由此，我們可以知道陰

455

影部分面積=平行四邊形BDEC-扇形DEW=1′1-′π′12=．

3608

1

方法二：先看總的面積為的圓，加上一個正方形，加上一個等腰直角三角形，在則陰影面

4

1

積為總面積扣除一個等腰直角三角形，一個圓，一個45°的扇形．那么最終效果等于一個正

4

15

方形扣除一個45°的扇形．面積為1′1-′3′12=．

88

37

6．

72

【詳解】我們數(shù)出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54個，其中部分有

第17頁共36頁

6+6+8=20個，部分有6+6+8=20(個)，而1個和1個正好組成一個

完整的小正方形，所以陰影部分共包含54+20=74(個)完整小正方形，而整個方格紙包含8′18=

7437

144(個)完整小正方形．所以圖中陰影面積占整個方格紙面積的，即．

14472

9π

7．

4

1

【詳解】容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如圖：

4

9π

因此DC邊掃過圖形的面積為4π，BC邊掃過圖形的面積為．

4

2、研究AB邊的情況．

在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠的點是A點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該

介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：

下面來求這部分的面積．

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：

扇形ACA'面積＋三角形A'B'C面積－三角形ABC面積一扇形BCB'面積＝扇形ACA'面積一扇

52π32π

形BCB'面積=-=4π

44

3、研究AD邊掃過的圖形．

由于在整條線段上距離C點最遠的點是A，最近的點是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖

形，如圖陰影部分所示：

第18頁共36頁

用與前面同樣的方法可以求出面積為：

旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下”變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣

的加減次序得到的．先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚．最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)

要么直接告訴你，要么就”藏”在那兒，一定會有．

可以進一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解

決對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的．

8．把直徑4米和9米的兩個花圃交給一個班管理，其余三個花圃交給另一個班管理．

【詳解】我們知道，每個圓的面積等于直徑的平方乘（π/4）．現(xiàn)在要把5個圓分組，兩組的

總面積要盡可能接近，或者說；兩組總面積的比盡可能接近1.由于每個圓面積都有因子（π/

4）．而我們關(guān)心的只是面積的比，所以可把這個共同的因子都去掉，使問題簡化為：將5個

圓公成兩組，使兩組圓的直徑的平方和盡可能接近．

5個圓的直徑的平方分別是9，16，25,64，81.

這5個數(shù)的和是195.由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個數(shù)分成兩組，使它們的和相等.另

一方面，81十16＝97，9＋25＋64＝98，二者僅相差1.

因此，應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個花圃交給一個班管理，其余三個花圃交給另一個班管

理.

答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個花圃交給一個班管理，其余三個花圃交給另一個班管理．

9．36

【詳解】

割補法．如圖，格線部分的面積是36平方厘米．

10．8

【詳解】大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積∶大圓面積=πr2:πR2=1:9，

1

小圓面積=36′=4，7個小圓總面積=4′7=28，

9

邊角料面積=36-28=8(平方厘米)．

11．12.56

?11111?

【詳解】圓的直徑也就是外切正方形的邊長，它的長為：?′++′÷′6=4

è23323?

第19頁共36頁

2

?4?

∴圓的面積為：π?÷=12.56

è2?

12．43.96

【詳解】

如圖所示，羊活動的范圍是一個半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個半徑1m，圓心角120°的

扇形之和．所以答案是43.96m2．

13．14

【詳解】

原題圖中的左邊部分可以割補至如右上圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面積，再減

去其內(nèi)的等腰直角三角形面積即為所求．因為四分之一大圓的半徑為7，所以其面積為：

1122

′72′π?′72′=38.5．

447

1

四分之一大圓內(nèi)的等腰直角三角形ABC的面積為′7′7=24.5，所以陰影部分的面積為

2

38.5-24.5=14．

14．37.5

【詳解】

將右邊的扇形向左平移，如圖所示．兩個陰影部分拼成—個直角梯形．

5+10′5?2=75?2=37.5(平方分米)．

65

15．p

3

180°-30°5

【詳解】由于BC為AC的一半，所以DCAB=30°，則弧CC為大圓周長的=，弧CC

1360°1212

第20頁共36頁

1

為小圓周長的，而CC+CC即為C點經(jīng)C到C的路徑，所以C點經(jīng)C到C走過的路徑的長

41121212

515065

為2π′20′+2π′10′=π+5π=π(厘米)．

12433

16．5500

【詳解】

如右上圖所示，④的面積與Ⅰ的面積相等，①的面積等于②與Ⅱ的面積之和．可見甲比乙多拿

的部分為中間的長方形，所以甲比乙多拿的面積為：，而原本

應(yīng)是兩人平分，所以甲應(yīng)付給乙：(元)．

17．26.75平方厘米

【分析】看圖形可以知道要求出陰影部分的面積，必須用四分之一的圓的面積減去它所包含

的小三角形的面積，然而小三角形我們僅知其斜邊長是5厘米，無法求出它的面積．因此我

們考慮用旋轉(zhuǎn)變換，將下左圖變成右圖（即沿CD裁開，以D為軸旋轉(zhuǎn)，使AD邊與BD邊

重合）．此時陰影的面積就等于半圓的面積減去所含三角形AEF的面積．

【詳解】在分析圖中，因為三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，從而在

旋轉(zhuǎn)變換后的圖中，，所以三角形是直角三角形，并且

厘米，即，則

．

【分析】如何進行合適的割補，使不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，要靠仔細的觀察和對圖

形的熟悉．本題不通過旋轉(zhuǎn)，幾乎是無法解答的．

18．8π；24π+15

【詳解】如圖所示，A點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段120°的圓弧，所以路線的總長度為：

第21頁共36頁

120

2π′6′′2=8π厘米；

360

三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個120°的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為：

120

π′62′′2+15=24π+15平方厘米．

360

19．114平方厘米

【分析】由圖可知，陰影部分面積等于半圓的面積加上扇形的面積減去三角形的面積．

【詳解】20÷2=10（厘米）

半圓面積：21（平方厘米）

3.14×10×2=157

45o

扇形的面積：3.14×202×=157（平方厘米）

360o

陰影部分面積：1（平方厘米）

157+157-20×20×2=114

20．24-4.5π

【詳解】S陰影=S直角三角形-S半圓，

6′r10′r

設(shè)半圓半徑為r，直角三角形面積用r表示為：+=8r

22

1

又因為三角形直角邊都已知，所以它的面積為′6′8=24，

2

所以8r=24，r=3

1

所以S=24-′9π=24-4.5π

陰影2

p

21．（－1）a2

2

【詳解】

這道題目是很常見的面積計算問題．陰影部分是一個花瓣狀的不規(guī)則圖形，不能直接通過面

積公式求解，觀察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個對稱圖形，我們只需要在陰影部分的對稱軸上作兩條

輔助線就明了了．

如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個半圓減去三角形，我們可以求得，

S陰影=4′S半圓-S三角形

第22頁共36頁

2

é1?a?1aù

=4′ê′p′?÷-′a′ú

?ê2è2?22?ú

p

=（－1）a2

2

22．小狗只要在跳下池塘后就游向圓形池塘的圓心位置，到達圓心后，看準猛虎所在的位置，

立即沿著和猛虎連線的相反方向游去．當(dāng)猛虎跑到時，小狗已經(jīng)上了岸，并逃之夭夭了．

【分析】如果小狗在圓形池塘中沿著圓周游動，那么無論它游到哪里，都會被猛虎牢牢盯

死．而如果小狗跳下池塘后就沿著直徑筆直往前游，那么猛虎就要跑半個圓周．由于半圓周

長是直徑的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎還是能夠抓住小狗的．所

以，小狗要想逃出虎口，就必須利用猛虎沿著圓周跑這個特點．

【詳解】小狗只要在跳下池塘后就游向圓形池塘的圓心位置，到達圓心后，看準猛虎所在的

位置，立即沿著和猛虎連線的相反方向游去．這時，小狗只要游池塘的半徑長，而猛虎要跑

半個圓周長，也就是半徑的長，而猛虎的速度僅為小狗游水速度的2.5倍．在此當(dāng)

猛虎跑到時，小狗已經(jīng)上了岸，并逃之夭夭了．

．16

2327

【詳解】圖中A、B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的A、B的面積．

22927

所以SA+SB=1.5π-1.5′3?4+3π-3′3′2?8=?4+9?8=．

416

19

24．

28

1

【詳解】矩形紙板共28個小正方格，其中弧線都是圓周，非陰影部分有3個完整的小正方

4

形，其余部分可拼成6個小正方格．因此陰影部分共28－6－3=19個小正方格．所以，陰影

19

面積占紙板面積的．

28

25．5:3

【詳解】如右圖，仔細觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形S1的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊

三角形B1CD1的面積，而這兩個曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出．

所以，S1的面積；

同理可求得帶形S2的面積：

π

-??

帶形S2的面積=曲邊三角形B1CD1的面積曲邊三角形B2CD2的面積=3′?1-÷；

è4?

所以，S1:S2=5:3．

第23頁共36頁

26．157

R2r2

【詳解】設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，依題有-=25，即R2-r2=50．

22

則圓環(huán)面積為：πR2-πr2=π(R2-r2)=50π=157(cm2)．

27．1:1

【詳解】根據(jù)圖形特點，可以把陰影部分甲與乙分別從不同的角度進行分解：

陰影部分甲=120°的扇形-三角形-小弓形；

陰影部分乙=三角形+小弓形；

由于120°扇形的面積容易求得，所以問題的關(guān)鍵在于確定弓形與三角形的面積：

?11?1

綜上所述：陰影部分甲的面積=圓的面積的?-÷=圓的面積的．所以甲、乙面積之比為

è36?6

1:1．

28．5.83

【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，AD=8cm，AB=10cm，DDAB=30°，所以

230°252

S扇形EAB=S扇形FCD=10π′=πcm，

360°3

230°162

S扇形DAM=S扇形BCN=8π′=πcm．

360°3

cmS=10′4=40cm2

因為平行四邊形ABCD的高CH=4，所以YABCD．

由圖中可看出，扇形EAB與FCD的面積之和，減去平行四邊形ABCD的面積，等于曲邊四邊形

DFBE的面積；平行四邊形ABCD的面積減去扇形DAM與扇形BCN的面積，等于曲邊四邊形

DMBN的面積．則S陰影=S曲邊四邊形DFBE-S曲邊四邊形DMBN

=2S-S-S-2S

扇形EABYABCDYABCD扇形DAM

第24頁共36頁

=2′S+S-S

扇形EAB扇形DAMYABCD

?2516??41?2

=2′?π+π-40÷=2′?′3.14-40÷?5.83cm．

è33?è3?

29．把第二道的起點定在第一道的起點前3.14米，而第三道的起點定在第二道的起點前3.14

米．

【分析】首先應(yīng)該清楚：跑道的長度的差異體現(xiàn)在彎道處，而在直道處的長度是相等的．所

以不妨設(shè)最內(nèi)道的半圓半徑為r，來求出長度的差異．

【詳解】假設(shè)第一圈跑道所對應(yīng)的半圓半徑為r米，則第二圈跑道所對應(yīng)的跑道的半圓半徑

為r+1米，第三圈跑道所對應(yīng)的跑道的半圓半徑為r+2米．

從而第一圈與第二圈跑道相差（米），第二圈與第三圈跑道相差

（米）．所以要保證比賽的公正性，就應(yīng)把第二道的起點定在第一

道的起點前3.14米，而第三道的起點定在第二道的起點前3.14米．

30．157

【詳解】環(huán)形的面積應(yīng)該用大圓的面積減去小圓的面積，但分別求出兩個圓的面積顯然不可

能．題中已知陰影部分的面積，也就是R2-r2=50平方厘米，那么環(huán)形的面積為：

πR2-πr2=π(R2-r2)=π′50=157(平方厘米)．

31．57:100

【詳解】

如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來，這樣，空白部分就是一個圓的內(nèi)接

222

正方形．設(shè)大圓半徑為r，則S2=2r，S1=pr-2r，所以S1:S2=3.14-2:2=57:100．

移動圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系．

32．72

【詳解】根據(jù)容斥原理得100′3-S陰影-2′42=144，所以S陰影=100′3-144-2′42=72（平方厘米）

33．1.07

【詳解】如左下圖所示，弓形RS的面積等于扇形ORS的面積與三角形ORS的面積之差，為

第25頁共36頁

11π1

′π′12-′1′1=-(平方米)，

4242

2

1?RS?1OR2+OS2112+12π

半圓ROS的面積為′π′?÷=π′=π′=(平方米)，

2è2?24244

π1π1

所以陰影部分的面積為-+=′π-1=1.07(平方米)．

4242

34．60

1

【詳解】S=′6′7=21,

VABC2

三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4，

DB+DC

根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為′π′22=4,

360°

所以DB+DC=120°,DA=60°.

35．8

【詳解】首先觀察陰影部分，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分形如一個號角，但是我們并沒有學(xué)習(xí)過如何

求號角的面積，那么我們要怎么辦呢？陰影部分我們找不到出路，那么我們不妨考慮下除了

陰影部分之外的部分吧！觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分左側(cè)是一個扇形，而陰影部分右邊的空白部分

恰好與左邊的扇形構(gòu)成一個邊長為4的正方形，那么陰影部分的面積就等于大的矩形面積減

去正方形面積．則陰影部分面積(2+2+2)′4-(2+2)′4=8

36．兩圖的空隙相等

【分析】要比較兩個正方形內(nèi)空隙的大小，由于兩個正方形大小相等，所以只要比較兩個正

方形中的圓的總面積就可以了．由于正方形的邊長未知，因此必須假設(shè)正方形的邊長．同時，

我們也可以將圖1分成九個相同的小正方形，每個小正方形包含一個圓，將圖2分成十六個

相同的小正方形，分別求出每個小正方形中的空隙部分，再求總和．

【詳解】解法一：設(shè)正方形的邊長為a，則圖1中圓的半徑，其面積為

．圖2中圓的半徑為，其面積為，所以圖1、圖2中

第26頁共36頁

兩圖中圓的面積是相等的，從而這兩個正方形內(nèi)空隙的大小是相等的．

解法二：將圖1分成九個小正方形，每個小正方形內(nèi)包含一個圓，設(shè)大正方形邊長為a，則

小正方形邊長為，從而小正方形內(nèi)的空隙為，從而圖1中大正方形

內(nèi)的空隙為．

同理，將圖2分成十六個小正方形，每個小正方形內(nèi)包含一個圓，則小正方形的邊長為，

從而小正方形內(nèi)的空隙為，因此圖2中大正方形內(nèi)的空隙為

．

比較這兩個結(jié)果可知，圖1、圖2中大正方形內(nèi)的空隙是相等的．

37．2.5

【詳解】

由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來構(gòu)造新圖形．

11

由右圖可見，陰影部分面積等于大圓面積減去一個小圓面積，再加上120°的小扇形面積(即

63

12

小圓面積)，所以相當(dāng)于大圓面積減去小圓面積．而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面

63

?12?25

積為小圓的32=9倍，那么陰影部分面積為?′9-÷′π′1=π=2.5．

è63?6

38．225

【詳解】陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半

圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果．

1

半圓面積為′π′152，

2

11

三角形ABC面積為′15+15′15=152，又因為三角形面積也等于′AC2，

22

所以AC2=2′152，

901

那么扇形ACB的面積為′π′AC2=′π′2′152．

3604

陰影部分面積S陰影=S半圓+S三角形-S扇形

第27頁共36頁

11

=′π′152+152-′π′2′152

24

=225(平方厘米)

39．157平方厘米

【分析】陰影部分是由三塊面積相等的圖形組成的，但是每一塊都是不規(guī)則圖形，若用常規(guī)

思路分析比較難以計算．但是根據(jù)圖形的對稱性，利用分割和移補的方法，將之轉(zhuǎn)化為下圖，

這樣可以看出陰影部分被分割移補成一個規(guī)則的圖形——半圓形．

【詳解】經(jīng)過分割移補，陰影部分被拼成上圖的半圓形，所以陰影部分的面積是

答：陰影部分的面積是157平方厘米．

40．28.56

【詳解】

連接小正方形AC,有圖可見

S=S+S-S

陰影VACD扇形VABC

111

∵′AC2=′4′4

222

∴AC2=32

同理CE2=72，∴AC′CE=48

1

∴S=′48=24

VACD2

901

S=π′42=12.56，S=′4′4=8

扇形360VABC2

∴S陰影=24+12.56-8=28.56

41．114平方厘米

【分析】本題有常規(guī)解法和割法拼湊兩種解法，我們用這兩種方法來解，并比較哪種解法更

第28頁共36頁

簡單．

【詳解】解法一：

因此，此圖中陰影部分的面積是57+57=114（平方厘米）．

解法二：

由圓的對稱性，把下半圓到上半圓，如圖所示：

【分析】如何進

行合適的割補，使不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，要靠仔細的觀察和對圖形的熟悉．雖然

兩種方法均能導(dǎo)出最后的正確結(jié)果，但我們推崇第二種解法，不僅它使計算量大大縮小，而

且也顯示了解題的技巧．

42．23枚

【分析】設(shè)圓周上余m枚棋子，因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子，到第十次將要越過

A處棋子時，小洪拿走了2m枚棋子，所以在第九次將要越過A處棋子時，圓周上有：m＋

2m＝3m枚棋子；這樣在第八次將要越過A處棋子時，圓周上有32m枚棋子，…在第一次將

要越過A處棋子時有39m枚棋子，在第一次將要越過A處棋子之前，小洪拿走了2

（39m﹣1）＋1枚棋子，所以原來共有N＝2（39m﹣1）＋1＋32m＝310m﹣1枚。然后分情

況討論32m＝310m﹣1必須是14的倍數(shù)滿足的條件即可。

【詳解】解：設(shè)圓周上余m枚棋子，因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子，到第十次將要

越過A處棋子時，小李拿走了2m枚棋子，所以在第九次將要越過A處棋子時，圓周上有：

m＋2m＝3m枚棋子；這樣在第八次將要越過A處棋子時，圓周上有32m枚棋子，…在第一

次將要越過A處棋子時有39m枚棋子，在第一次將要越過A處棋子之前，小李拿走了2

（39m﹣1）＋1枚棋子，所以原來共有N＝2（39m﹣1）＋1＋32m＝310m﹣1枚。

如果N＝310m﹣1＝59049m﹣1是14（2×7）的倍數(shù)，那么m必須是奇數(shù)，而59049m﹣1＝

（7×8435＋4）m﹣1＝7×8435m＋4m﹣1是7的倍數(shù)，那么4m﹣1就必須是7的倍數(shù)，而m＝

第29頁共36頁

20多枚，所以m只能等于21，23，25，27，29，但是m＝21，25，27，29時4m﹣1都不是

7的倍數(shù)，只有m＝23時4m﹣1才是7的倍數(shù)，所以當(dāng)N是14的倍數(shù)，則圓周上還有23枚

棋子。

【分析】本題關(guān)鍵是根據(jù)每次取走的個數(shù)是余下的個數(shù)的2倍，得出總個數(shù)310m﹣1枚，難

點是分情況討論310m﹣1必須是14的倍數(shù)滿足的條件。

43．4.47或2.31

【詳解】如上圖：因為在圓滾動的全部過程中點P是不接觸直線的，所以這個圓的運動情況

有兩種可能．一種是圓滾動了不足一圈，根據(jù)P點的初始位置和終止位置，可知圓滾動了

270o．另一種是圓在第一條直線上滾動了將近一圈，在第二條直線上又滾動了將近一圈，根

據(jù)P點的初始位置和終止位置，可知圓滾動了270°+360°=630°．

因為兩條線段共長30厘米，所以270o的弧長或者630o的弧長再加上兩個半徑是30厘米．

270630

2πr′+2r=30(厘米)，或者2πr′+2r=30(厘米)，所以圓的半徑是4.47厘米或2.31厘米．

360360

44．99

【詳解】從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形

的面積與四分之一圓的面積之和．圓的半徑就是直角三角形的斜邊OA．

1

因此可以求得，三角形掃過的面積為：24+′π′10′10=24+25π=99(平方厘米)．

4

25

45．π平方厘米

6

【詳解】陰影部分的面積=以AC為直徑的半圓的面積+扇形ABC的面積-以AB為直徑的半圓

的面積=扇形ABC的面積．

52′π′6025

S==π（平方厘米）

陰影3606

25

答：陰影部分的面積是π平方厘米．

6

【分析】本題主要考查了扇形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積=以AC為直徑的半圓

的面積+扇形ABC的面積-以AB為直徑的半圓的面積=扇形ABC的面積是解題的關(guān)鍵．

46．39.25

【詳解】

第30頁共36頁

將原圖割補成如圖，陰影部分正好是一個半圓，面積為5′5′3.14?2=39.25(cm2)

47．36

【詳解】

11

如圖，連接BD，可知陰影部分的面積與三角形BCD的面積相等，即為′′12′12=36．

22

48．60

1ππ42π

【詳解】設(shè)半圓ADB的半徑為1，則半圓面積為π′12=，扇形BAC的面積為′=．因

22233