專題12數(shù)學(xué)思考【十一大考點(diǎn)】

【考點(diǎn)一】周期問(wèn)題。.........................................................................9

【考點(diǎn)二】圖形規(guī)律。.......................................................................12

【考點(diǎn)三】數(shù)列規(guī)律。.......................................................................13

【考點(diǎn)四】算式規(guī)律。.......................................................................14

【考點(diǎn)五】數(shù)表規(guī)律。.......................................................................15

【考點(diǎn)六】實(shí)驗(yàn)與操作規(guī)律探索。...................................................16

【考點(diǎn)七】觀察與探究。...................................................................17

【考點(diǎn)八】材料與定義。...................................................................21

【考點(diǎn)九】搭配問(wèn)題。................................................................................24

【考點(diǎn)十】打電話。....................................................................................25

【考點(diǎn)十一】找次品。................................................................................28

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【考點(diǎn)一】周期問(wèn)題。

1．六（1）班同學(xué)畢業(yè)聯(lián)歡，按一紅、兩黃、三綠的順序?qū)馇蜻B起來(lái)裝飾教室，第128個(gè)

氣球是()色的。

2．△△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30個(gè)是()；△是12個(gè)時(shí)，其它三種圖形

（□☆★）一共是()個(gè)。

2

3．把化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2024位上的數(shù)字是()。

7

4．我國(guó)成功申辦了2008年的第29屆奧運(yùn)會(huì)，按每四年舉行一次，則2200年是第()

屆奧運(yùn)會(huì)。

5．夏至是一年中白晝最長(zhǎng)，黑夜最短的一天，這天某城市白晝與黑夜的時(shí)間比大約是7∶5，

那么夏至這天這個(gè)城市的白晝大約有()小時(shí)。今年夏至?xí)r間是6月21日星期二，由

此推算今年教師節(jié)是星期()。

【考點(diǎn)二】圖形規(guī)律。

1．如圖：一張正方形桌子能圍坐8人，兩張正方形桌子拼在一起能圍坐12人，三張正方形

桌子拼在一起能圍坐()人，n張正方形桌子拼在一起能圍坐()人。

2．找規(guī)律填空：

(1)如圖擺2個(gè)六邊形需要()根小棒，擺3個(gè)六邊形需要()根小棒。

(2)照這樣，擺n個(gè)六邊形需要()根小棒（用含有字母n的式子表示）。

【考點(diǎn)三】數(shù)列規(guī)律。

1．找規(guī)律填空。

1339

，，，，()，()。

2248

4101316

2．找規(guī)律、1、、、、…，這串?dāng)?shù)中第7個(gè)數(shù)是()。

3111519

【考點(diǎn)四】算式規(guī)律。

1．22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，則102－92＝()＋()。

2．?dāng)?shù)的計(jì)算中有一些有趣的對(duì)稱形式，如：12′231=132′21；23′352=253′32。現(xiàn)在有兩個(gè)

與此規(guī)律相同的等式，請(qǐng)完成填空。

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(1)45′594=()′()。

(2)63′3□6=〇′36，〇=()。

3．觀察下面的等式：第1個(gè)等式：（120×120）－（119×121）＝1，第2個(gè)等式：

（120×120）－（118×122）＝4，第3個(gè)等式：（120×120）－（117×123）＝9，第4個(gè)等式：

（120×120）－（116×124）＝16，按照以上規(guī)律，寫出第5個(gè)等式是()。

【考點(diǎn)五】數(shù)表規(guī)律。

1．觀察表一，尋找規(guī)律。表二、表三分別是從表一中截取的一部分，其中a＝()，b

＝()。

表一表二表三

2．將自然數(shù)按下圖的規(guī)律排列，則2011所在的位置是第()行第()列。

【考點(diǎn)六】實(shí)驗(yàn)與操作規(guī)律探索。

1．如圖，某種細(xì)胞在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘分裂一次（由1個(gè)變成2個(gè)），那么這種細(xì)胞

由1個(gè)分裂到16個(gè)一共需要()分鐘。

2．現(xiàn)有若干個(gè)圓環(huán)，它們的外直徑都是5厘米，環(huán)寬5毫米，將它們扣在一起（如圖所示）

拉緊后測(cè)量總長(zhǎng)度。

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圓環(huán)個(gè)數(shù)1234…

總長(zhǎng)度（cm）591317…

像這樣，10個(gè)圓環(huán)拉緊后的長(zhǎng)度是()厘米。如果圓環(huán)的個(gè)數(shù)為n，拉緊后總長(zhǎng)度是

()厘米。

【考點(diǎn)七】觀察與探究。

1．?dāng)?shù)學(xué)里有很多奧秘，需要我們探索、發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用。下面的問(wèn)題，讓我們都來(lái)研究吧。

問(wèn)題1：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相乘，積的末位數(shù)學(xué)有什么特征？

（1）探究：請(qǐng)你在下框中舉一些例子進(jìn)行觀察、比較。要從簡(jiǎn)單開始，有序思考尋找規(guī)律。

（2）發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相乘，積的末位數(shù)字的特征是()。

（3）應(yīng)用：①下面四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)()是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積。

A．62B．123C．756D．1416

②它是兩個(gè)相鄰自然數(shù)()和()的乘積。

問(wèn)題2：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相加或相乘，它們的和與積有什么聯(lián)系？

（4）再探究：請(qǐng)你在下表中進(jìn)行觀察、比較，尋找聯(lián)系。

相鄰自然數(shù)1與22與33與4…9與10n與n+1

和3571192n+1

積2612190n2+n

①再觀察：下圖大正方形是由四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼接而成，你能找到n與n+1的“和”、“積”

嗎？（在圖上標(biāo)出來(lái)）

②我發(fā)現(xiàn)，n與n+1的“和”、“積”的關(guān)系是：()。（可用含有字母的式子表示出來(lái)）

【反思】

當(dāng)你解決此題時(shí)，是不是覺得很神奇呢？原來(lái)復(fù)雜的問(wèn)題也可以通過(guò)畫圖、轉(zhuǎn)換等探索，而

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變得簡(jiǎn)單有趣。只要真正熱愛數(shù)學(xué)，你就能感受到學(xué)習(xí)的無(wú)窮魅力。

2．仔細(xì)觀察表3，完成下列問(wèn)題。

（1）小愛同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)由方格組成的圈數(shù)工具（如圖1所示），在數(shù)表里圈了兩組數(shù)（數(shù)

表中的陰影部分）。請(qǐng)你從中任選一組求這6個(gè)數(shù)的和。列式并寫出計(jì)算過(guò)程。

（2）如果小愛用這個(gè)圈數(shù)工具在數(shù)表中任意地圈數(shù)，請(qǐng)用含有字母a與b的等式表示這兩個(gè)

數(shù)之間的關(guān)系（a與b的位置如圖2）。

（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)新的圈數(shù)工具在上面數(shù)表中圈數(shù)（圈數(shù)工具的方格與方格之間必須有連接

的點(diǎn)或邊），使它圈出的5個(gè)數(shù)之和是其中一個(gè)數(shù)（a）的5倍。在下面的方格圖里畫圖表示，

每個(gè)工具都要在相應(yīng)的方格里寫上a。至少設(shè)計(jì)出6種圈數(shù)工具。（與圖例重復(fù)不得分。）

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【考點(diǎn)八】材料與定義。

1．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)

為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，

把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）。例如n＝123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到

213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位

數(shù)的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6。

（1）計(jì)算：F（243），F(xiàn)（617）；

（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整

F(s)

數(shù)），規(guī)定：k＝，當(dāng)F（s）＋F（t）＝18時(shí)，求k的最大值。

F(t)

ì1+tnn為偶數(shù)

?23

tt...tt=1t=t=m

2．設(shè)1，2，，n是有序的數(shù)，已知：1，ní1，若m，求的值。

?n為奇數(shù)7

??tn-1

【考點(diǎn)九】搭配問(wèn)題。

1．杭州亞運(yùn)會(huì)，12名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，如果每?jī)扇硕急荣愐粓?chǎng)，那么一共要比賽

多少場(chǎng)？

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2．往返于甲、乙兩地的客車，中途?？咳齻€(gè)車站。

（1）有多少種不同票價(jià)？

（2）有多少種車票？

3．有1張五元紙幣，2張兩元紙幣，8張1元紙幣，要拿出9元錢，有幾種情況？（用表格

形式列舉出來(lái)）

【考點(diǎn)十】打電話。

1．周末，王老師要盡快通知校合唱隊(duì)30名同學(xué)來(lái)學(xué)校參加活動(dòng)，如果用打電話的最佳方式，

每分鐘通知到1人，通知到所有同學(xué)至少要()分鐘。那么7分鐘最多能通知()

人。

2．春風(fēng)小學(xué)教導(dǎo)主任接到校長(zhǎng)的緊急通知，讓學(xué)校舞蹈隊(duì)參加一個(gè)演出。學(xué)校舞蹈隊(duì)共有

30人，如果一對(duì)一進(jìn)行傳達(dá)，每分鐘通知1人。教導(dǎo)主任怎樣才能盡快通知到所有人？

（1）教導(dǎo)主任一個(gè)一個(gè)地通知需要()分鐘。

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（2）小南設(shè)計(jì)了上面的分組法。

①請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里填出每個(gè)小組完成通知的時(shí)間。

②所有人接到通知，一共需要（）分鐘。

（3）小宇設(shè)計(jì)了如下方案（如圖），請(qǐng)把下表填寫完整。

第幾分鐘12345…n

新通知的人數(shù)12…

一共通知的人數(shù)13…

由上表可知，通知30人只需要()分鐘。

（4）小南和小宇的方案相比，()設(shè)計(jì)的方案更快，因?yàn)槊總€(gè)人都()，所以

用的時(shí)間最少。

【考點(diǎn)十一】找次品。

1．王師傅做了71個(gè)零件，其中有1個(gè)是次品（比正品略輕），如果用天平稱，至少稱()

次能保證找到次品。

2．學(xué)校食堂買回來(lái)23袋食鹽，其中22袋質(zhì)量相同，另一袋的質(zhì)量輕一些。如果用天平來(lái)稱，

至少要稱()次才能保證找到質(zhì)量較輕的那袋食鹽。

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專題12數(shù)學(xué)思考【十一大考點(diǎn)】

【考點(diǎn)一】周期問(wèn)題。.........................................................................9

【考點(diǎn)二】圖形規(guī)律。.......................................................................12

【考點(diǎn)三】數(shù)列規(guī)律。.......................................................................13

【考點(diǎn)四】算式規(guī)律。.......................................................................14

【考點(diǎn)五】數(shù)表規(guī)律。.......................................................................15

【考點(diǎn)六】實(shí)驗(yàn)與操作規(guī)律探索。...................................................16

【考點(diǎn)七】觀察與探究。...................................................................17

【考點(diǎn)八】材料與定義。...................................................................21

【考點(diǎn)九】搭配問(wèn)題。................................................................................24

【考點(diǎn)十】打電話。....................................................................................25

【考點(diǎn)十一】找次品。................................................................................28

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【考點(diǎn)一】周期問(wèn)題。

1．六（1）班同學(xué)畢業(yè)聯(lián)歡，按一紅、兩黃、三綠的順序?qū)馇蜻B起來(lái)裝飾教室，第128個(gè)

氣球是()色的。

【答案】黃

【分析】按一紅、兩黃、三綠的順序?qū)馇蜻B起來(lái)裝飾教室，可以把這六個(gè)氣球看作一組，

用除法計(jì)算128里包含幾個(gè)這樣的組，余數(shù)是幾，就在氣球組里數(shù)幾個(gè)，就能確定第128個(gè)

是什么顏色。

【詳解】128?1+2+3

=128?6

＝21（組）……2（個(gè)）

剩下的2個(gè)依次是紅色、黃色。

故第128個(gè)氣球是黃色。

2．△△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30個(gè)是()；△是12個(gè)時(shí)，其它三種圖形

（□☆★）一共是()個(gè)。

【答案】★15（答案不唯一）

【分析】把△△□☆★看作一個(gè)周期，每個(gè)周期中有5個(gè)圖形，前30個(gè)圖形剛好是6個(gè)周期，

所以第30個(gè)圖形就是周期中的最后一個(gè)圖形；△為12個(gè)時(shí)，可以是5個(gè)周期多2個(gè)△，每

個(gè)周期中□☆★有3個(gè)圖形，最后乘5求出圖形的總個(gè)數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】分析可知，△△□☆★一共有5個(gè)圖形。

30÷5＝6

所以，30個(gè)圖形是6個(gè)周期，左起第30個(gè)是★。

每個(gè)周期中有2個(gè)△。

2×5＋2

＝10＋2

＝12（個(gè)）

每個(gè)周期中□☆★一共有3個(gè)圖形。

3×5＝15（個(gè)）

所以，△是12個(gè)時(shí)，其它三種圖形（□☆★）一共是15個(gè)。（答案不唯一）

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【點(diǎn)睛】本題主要考查周期問(wèn)題，找出這組圖形排列的周期是解答題目的關(guān)鍵。

2

3．把化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2024位上的數(shù)字是()。

7

【答案】8

【分析】

分?jǐn)?shù)化小數(shù)，直接用分子÷分母，結(jié)果用循環(huán)小數(shù)表示，循環(huán)小數(shù)記數(shù)時(shí)，在第一個(gè)循環(huán)節(jié)的

第一個(gè)數(shù)字和最末一個(gè)數(shù)字上分別記上一個(gè)圓點(diǎn)（循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字的只記一個(gè)圓點(diǎn)）

“·”，表示這個(gè)循環(huán)小數(shù)的這幾個(gè)（或一個(gè)）數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)。

循環(huán)節(jié)即周期，確定周期后，用總量除以周期，如果正好是整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期的最后

一個(gè)；如果比整數(shù)格周期多n個(gè)，也就是余數(shù)是n，那么結(jié)果為下一個(gè)周期里的第n個(gè)。

2

【詳解】＝2÷7＝gg

70.285714

2024÷6＝337（組）……2（個(gè)）

2

把化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第2024位上的數(shù)字是8。

7

4．我國(guó)成功申辦了2008年的第29屆奧運(yùn)會(huì)，按每四年舉行一次，則2200年是第()

屆奧運(yùn)會(huì)。

【答案】77

【分析】根據(jù)題意，先用2200減去2008，求出第29屆奧運(yùn)會(huì)之后經(jīng)過(guò)的時(shí)間。每四年舉行

一次，用經(jīng)過(guò)的時(shí)間除以4，即可求出到2200年又舉行了多少屆奧運(yùn)會(huì)。最后用29加上又

舉辦奧運(yùn)會(huì)的屆數(shù)，即可求出2200年是第幾屆奧運(yùn)會(huì)。

【詳解】（2200－2008）÷4＋29

＝192÷4＋29

＝48＋29

＝77（屆）

則2200年是第77屆奧運(yùn)會(huì)。

5．夏至是一年中白晝最長(zhǎng)，黑夜最短的一天，這天某城市白晝與黑夜的時(shí)間比大約是7∶5，

那么夏至這天這個(gè)城市的白晝大約有()小時(shí)。今年夏至?xí)r間是6月21日星期二，由

此推算今年教師節(jié)是星期()。

【答案】14六

7

【分析】一天有24個(gè)小時(shí)，白晝占一天時(shí)間的，用分?jǐn)?shù)乘法求出白晝的時(shí)長(zhǎng)；教師節(jié)為

7+5

9月10日，先求出6月21日至9月10日一共有多少天，1星期有7天，把7天看作一個(gè)周

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期，用總天數(shù)除以7，如果可以整除，那么今年的教師節(jié)也是星期二；如果不可以整除，余

數(shù)是幾，就從星期二往后數(shù)幾天，據(jù)此解答。

【詳解】一天＝24小時(shí)

7

24×

7+5

7

＝24×

12

＝14（小時(shí)）

6月21日到9月10日的總天數(shù)為：30－21＋31＋31＋10

＝9＋31＋31＋10

＝31＋（9＋31＋10）

＝31＋50

＝81（天）

一周＝7天

81÷7＝11（周）……4（天）

星期二往后數(shù)4天是星期六。

所以，今年教師節(jié)是星期六。

【點(diǎn)睛】本題主要考查比的應(yīng)用以及經(jīng)過(guò)時(shí)間的計(jì)算，準(zhǔn)確求出經(jīng)過(guò)天數(shù)里面有幾周余幾天

是解答題目的關(guān)鍵。

【考點(diǎn)二】圖形規(guī)律。

1．如圖：一張正方形桌子能圍坐8人，兩張正方形桌子拼在一起能圍坐12人，三張正方形

桌子拼在一起能圍坐()人，n張正方形桌子拼在一起能圍坐()人。

【答案】164n+4

【分析】根據(jù)題意，1張桌子可以坐8人可以寫成1′4+4=8（人），2張桌子可以坐12人可

以寫成2′4+4=12（人），n張桌子就可以坐(4n+4)人，由此即可解決問(wèn)題。

【詳解】1張桌子可以坐8人可以寫成1′4+4=8（人），

2張桌子可以坐12人可以寫成2′4+4=12（人），

3張桌子可以坐16人可以寫成3′4+4=16（人），

??

則n張桌子就可以坐(4n+4)人，

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三張桌子拼在一起，能圍坐（16）人，如果n張桌子拼在一起，能圍坐(4n+4)人。

【點(diǎn)睛】此類規(guī)律題一定要注意結(jié)合圖形進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每多一張桌子，多坐4人，

從而得出n張桌子可以坐（4n＋4）人。

2．找規(guī)律填空：

(1)如圖擺2個(gè)六邊形需要()根小棒，擺3個(gè)六邊形需要()根小棒。

(2)照這樣，擺n個(gè)六邊形需要()根小棒（用含有字母n的式子表示）。

【答案】(1)1116

(2)5n＋1/1＋5n

【分析】看圖，擺1個(gè)六邊形需要（1＋5）根小棒，擺2個(gè)六邊形需要（1＋5×2）根小棒，

擺3個(gè)六邊形需要（1＋5×3）根小棒。每多擺1個(gè)六邊形就多需要5根小棒。那么，擺n個(gè)

六邊形需要（1＋5×n）根小棒。

【詳解】（1）1＋5×2

＝1＋10

＝11（根）

1＋5×3

＝1＋15

＝16（根）

所以，如圖擺2個(gè)六邊形需要11根小棒，擺3個(gè)六邊形需要16根小棒。

（2）照這樣，擺n個(gè)六邊形需要（5n＋1）根小棒。

【考點(diǎn)三】數(shù)列規(guī)律。

1．找規(guī)律填空。

1339

，，，，()，()。

2248

27243

【答案】

32256

33339

【分析】1×＝，×＝，據(jù)此可得：前兩個(gè)數(shù)相乘的積等于第三個(gè)數(shù)。據(jù)此解答。

224248

3927

【詳解】×＝

4832

927243

×＝

832256

243

則第一空是27，第二空是。

32256

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4101316

2．找規(guī)律、1、、、、…，這串?dāng)?shù)中第7個(gè)數(shù)是()。

3111519

【答案】19

23

101316410

【分析】根據(jù)、、可得相鄰兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子之差為3，分母之差為4，又因?yàn)楹?/p>

111519311

77

的分子之差為6，分母之差為8，即兩數(shù)之間應(yīng)該是，＝1。所以這串?dāng)?shù)中第7個(gè)數(shù)應(yīng)該

77

16

是的分子加上3，分母加上4之后所得的數(shù)。

19

【詳解】16＋3＝19

19＋4＝23

19

所以這串?dāng)?shù)中第7個(gè)數(shù)是23。

【考點(diǎn)四】算式規(guī)律。

1．22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，則102－92＝()＋()。

【答案】109

【分析】根據(jù)題意可知，兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方差等于這兩個(gè)自然數(shù)的和，即n2－（n－1）2

＝n＋（n－1），據(jù)此解答。

【詳解】根據(jù)分析可知，22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，則102－92＝10＋9。

2．?dāng)?shù)的計(jì)算中有一些有趣的對(duì)稱形式，如：12′231=132′21；23′352=253′32?，F(xiàn)在有兩個(gè)

與此規(guī)律相同的等式，請(qǐng)完成填空。

(1)45′594=()′()。

(2)63′3□6=〇′36，〇=()。

【答案】(1)49554

(2)693

【分析】觀察可得規(guī)律是，兩位數(shù)乘三位數(shù)，兩位數(shù)的十位數(shù)字和三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，

兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和三位數(shù)的百位數(shù)字相同，三位數(shù)的十位數(shù)字是它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字

的和。這樣的兩個(gè)數(shù)相乘等于把三位數(shù)的十位數(shù)字加進(jìn)兩位數(shù)的中間使兩位數(shù)成為三位數(shù)，

而三位數(shù)變成兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)相乘。

【詳解】根據(jù)12′231=132′21；23′352=253′32，可得，

（1）45′594=495′54

（2）6+3=9

63′396=693′36，〇=693。

3．觀察下面的等式：第1個(gè)等式：（120×120）－（119×121）＝1，第2個(gè)等式：

第14頁(yè)共29頁(yè)

（120×120）－（118×122）＝4，第3個(gè)等式：（120×120）－（117×123）＝9，第4個(gè)等式：

（120×120）－（116×124）＝16，按照以上規(guī)律，寫出第5個(gè)等式是()。

【答案】（120×120）－（115×125）＝25

【分析】每一個(gè)算式中的第一個(gè)積都是120×120，第二個(gè)積中的第一個(gè)因數(shù)依次減1，第二個(gè)

因數(shù)依次加1；每一個(gè)算式的結(jié)果都等于第二個(gè)算式中比120增加或減少的數(shù)的平方，據(jù)此

解答。

【詳解】根據(jù)分析可知，第5個(gè)等式是：（120×120）－[（120－5）×（120＋5）]＝52，即

（120×120）－（115×125）＝25。

【考點(diǎn)五】數(shù)表規(guī)律。

1．觀察表一，尋找規(guī)律。表二、表三分別是從表一中截取的一部分，其中a＝()，b

＝()。

表一表二表三

【答案】1830

【分析】表二反映到表一中為：3，6，9，12，15，a，所以可知下面的數(shù)比上面的數(shù)大3，

所以a為15＋3＝18；表三反映到表一中得5，10，15，20，25，所以可知下面的數(shù)比上面的

數(shù)大5，這一列右面的一列規(guī)律是下面的數(shù)比上面的大6，所以b為24＋6＝30；據(jù)此求解即

可。

【詳解】根據(jù)分析可知：

a為15＋3＝18；

b為24＋6＝30。

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)表中的找規(guī)律問(wèn)題，關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，找出表中每行每列數(shù)字的變化規(guī)

律。

2．將自然數(shù)按下圖的規(guī)律排列，則2011所在的位置是第()行第()列。

第15頁(yè)共29頁(yè)

【答案】1545

【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)列的第一行的數(shù)為所在列數(shù)的平方，然后向下每一行遞減一個(gè)

數(shù)至與列數(shù)相同的行止，偶數(shù)行的第一列的數(shù)是所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1至

與行數(shù)相同的列止，根據(jù)此規(guī)律求出與2011最接近的平方數(shù)，然后找出所在的列數(shù)與行數(shù)即

可。

【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)，第一行的第1、3、5列的數(shù)分別為1、9、25，為所在列數(shù)的平方，然后

向下每一行遞減1至與列數(shù)相同的行止，第一列的第2、4、6行的數(shù)分別為4、16、36，為

所在行數(shù)的平方，然后向右每一列遞減1至與行數(shù)相同的列止，因?yàn)?52＝2025，2025－2011

＋1＝15所以自然數(shù)2011在左起第45列，上起第15行。

【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出奇數(shù)列、偶數(shù)行的數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)

鍵。

【考點(diǎn)六】實(shí)驗(yàn)與操作規(guī)律探索。

1．如圖，某種細(xì)胞在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘分裂一次（由1個(gè)變成2個(gè)），那么這種細(xì)胞

由1個(gè)分裂到16個(gè)一共需要()分鐘。

【答案】80

【分析】分裂一次：1×2＝2（個(gè)），分裂2次：2×2＝4（個(gè)），分裂3次：4×2＝8（個(gè)），

分裂4次：8×2＝16（個(gè)），所以這種細(xì)胞由1個(gè)分裂到16個(gè)一共需要4次，每次20分鐘，

用“20×4”即可求解。

【詳解】由分析可知：

第16頁(yè)共29頁(yè)

1×2＝2（個(gè)）

2×2＝4（個(gè)）

4×2＝8（個(gè)）

8×2＝16（個(gè)）

一共分裂4次，需要時(shí)間：4×20＝80（分）

所以這種細(xì)胞由1個(gè)分裂到16個(gè)一共需要80分鐘。

【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)規(guī)律求需要多長(zhǎng)時(shí)間分裂，先算出分裂的次數(shù)是此題的解題關(guān)鍵。

2．現(xiàn)有若干個(gè)圓環(huán)，它們的外直徑都是5厘米，環(huán)寬5毫米，將它們扣在一起（如圖所示）

拉緊后測(cè)量總長(zhǎng)度。

圓環(huán)個(gè)數(shù)1234…

總長(zhǎng)度（cm）591317…

像這樣，10個(gè)圓環(huán)拉緊后的長(zhǎng)度是()厘米。如果圓環(huán)的個(gè)數(shù)為n，拉緊后總長(zhǎng)度是

()厘米。

【答案】41（4n＋1）

【分析】根據(jù)圖示可知：1個(gè)圓環(huán)的長(zhǎng)度是5厘米；2個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是5＋4＝9（厘米）；

3個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4（n－1）＝

（4n＋1）厘米。據(jù)此解答即可。

【詳解】10個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：

4×10＋1

＝40＋1

＝41（厘米）

n個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米

【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是從簡(jiǎn)單情形入手，找出圖形之間的聯(lián)系，數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)

律解決問(wèn)題。

【考點(diǎn)七】觀察與探究。

1．?dāng)?shù)學(xué)里有很多奧秘，需要我們探索、發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用。下面的問(wèn)題，讓我們都來(lái)研究吧。

問(wèn)題1：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相乘，積的末位數(shù)學(xué)有什么特征？

（1）探究：請(qǐng)你在下框中舉一些例子進(jìn)行觀察、比較。要從簡(jiǎn)單開始，有序思考尋找規(guī)律。

第17頁(yè)共29頁(yè)

（2）發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相乘，積的末位數(shù)字的特征是()。

（3）應(yīng)用：①下面四個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)()是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積。

A．62B．123C．756D．1416

②它是兩個(gè)相鄰自然數(shù)()和()的乘積。

問(wèn)題2：兩個(gè)相鄰自然數(shù)相加或相乘，它們的和與積有什么聯(lián)系？

（4）再探究：請(qǐng)你在下表中進(jìn)行觀察、比較，尋找聯(lián)系。

相鄰自然數(shù)1與22與33與4…9與10n與n+1

和3571192n+1

積2612190n2+n

①再觀察：下圖大正方形是由四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼接而成，你能找到n與n+1的“和”、“積”

嗎？（在圖上標(biāo)出來(lái)）

②我發(fā)現(xiàn)，n與n+1的“和”、“積”的關(guān)系是：()。（可用含有字母的式子表示出來(lái)）

【反思】

當(dāng)你解決此題時(shí)，是不是覺得很神奇呢？原來(lái)復(fù)雜的問(wèn)題也可以通過(guò)畫圖、轉(zhuǎn)換等探索，而

變得簡(jiǎn)單有趣。只要真正熱愛數(shù)學(xué)，你就能感受到學(xué)習(xí)的無(wú)窮魅力。

【答案】（1）見詳解；

（2）積的末位的數(shù)字是0或2或6；

（3）①C；

②27；28；

（4）①見詳解；

②(2n+1)2=4(n2+n)+1

【分析】（1）找一些相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，然后相乘，計(jì)算出乘法算式的結(jié)果即可；

（2）根據(jù)（1）里面計(jì)算出的結(jié)果，觀察積的末位數(shù)字，即可發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個(gè)自然數(shù)相乘

的結(jié)果，積的末位的數(shù)字是0或2或6。

第18頁(yè)共29頁(yè)

（3）①根據(jù)積的末位數(shù)字是0、2、6的特征，分別檢驗(yàn)4個(gè)選項(xiàng)里的數(shù)字，找出符合要求

的答案即可。

②通過(guò)計(jì)算，把這個(gè)數(shù)拆解成相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積，即可寫出這兩個(gè)相鄰的自然數(shù)是多少。

（4）①大正方形的邊長(zhǎng)＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n與n＋1的和是大正方形的邊長(zhǎng)。

小長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)是n＋1，寬是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n與n＋1的積

是小長(zhǎng)方形的面積。在圖上標(biāo)注即可。

②通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，(2n+1)2=4n2+4n+4=4(n2+n)+1，所以n與n＋1的和的平方等于n與

n＋1的積的4倍加1。據(jù)此解答。

【詳解】（1）例如：1×2＝2

2×3＝6

3×4＝12

5×6＝30

（2）通過(guò)舉例，我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相鄰自然數(shù)相乘，積的末位數(shù)字是0或2或6。

（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，顯然62不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積；

B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，顯然123不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積；

C．27×28＝756，顯然756是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積；

D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，顯然1416不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積；

故答案為：C

②27×28＝756，所以它是兩個(gè)相鄰自然數(shù)27和28的乘積。

（4）①根據(jù)分析得，n與n＋1的和是大正方形的邊長(zhǎng)；

n與n＋1的積是小長(zhǎng)方形的面積。

②我發(fā)現(xiàn)，n與n+1的“和”、“積”的關(guān)系是：(2n+1)2=4(n2+n)+1。

【點(diǎn)睛】此題綜合性較強(qiáng)，難度大，里面涉及到乘積的規(guī)律以及數(shù)與形的變換，找和與積之

第19頁(yè)共29頁(yè)

間的關(guān)系，解法有些超綱，運(yùn)用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。

2．仔細(xì)觀察表3，完成下列問(wèn)題。

（1）小愛同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)由方格組成的圈數(shù)工具（如圖1所示），在數(shù)表里圈了兩組數(shù)（數(shù)

表中的陰影部分）。請(qǐng)你從中任選一組求這6個(gè)數(shù)的和。列式并寫出計(jì)算過(guò)程。

（2）如果小愛用這個(gè)圈數(shù)工具在數(shù)表中任意地圈數(shù)，請(qǐng)用含有字母a與b的等式表示這兩個(gè)

數(shù)之間的關(guān)系（a與b的位置如圖2）。

（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)新的圈數(shù)工具在上面數(shù)表中圈數(shù)（圈數(shù)工具的方格與方格之間必須有連接

的點(diǎn)或邊），使它圈出的5個(gè)數(shù)之和是其中一個(gè)數(shù)（a）的5倍。在下面的方格圖里畫圖表示，

每個(gè)工具都要在相應(yīng)的方格里寫上a。至少設(shè)計(jì)出6種圈數(shù)工具。（與圖例重復(fù)不得分。）

【答案】（1）3＋12＋13＋21＋22＋23

＝28＋21＋22＋23

＝49＋22＋23

＝71＋23

第20頁(yè)共29頁(yè)

＝94

（2）b＝a＋11

（3）見詳解

【分析】（1）根據(jù)數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律以及圖1中所圈數(shù)的關(guān)系，如果最上層的這個(gè)數(shù)為

3，則第二層的數(shù)分別為：12、13，第三層的數(shù)為：21、22、23。求這5個(gè)數(shù)的和即可。

（2）根據(jù)數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律及a、b的位置關(guān)系可知：b＝a＋11。

（3）根據(jù)題意找到符合題意的圈數(shù)工具，完成作圖即可。

【詳解】（1）如果最上層的這個(gè)數(shù)為3，則第二層的數(shù)分別為：12、13，第三層的數(shù)為：

21、22、23，這6個(gè)數(shù)的和為：

3＋12＋13＋21＋22＋23

＝28＋21＋22＋23

＝49＋22＋23

＝71＋23

＝94

答：這六個(gè)數(shù)的和為94。（答案不唯一）

（2）圖2中b＝a＋11

（3）如圖所示：

（答案不唯一，合理即可。）

【點(diǎn)睛】本題注意考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律

做題。

【考點(diǎn)八】材料與定義。

1．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)

為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，

第21頁(yè)共29頁(yè)

把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F（n）。例如n＝123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到

213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位

數(shù)的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6。

（1）計(jì)算：F（243），F(xiàn)（617）；

（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整

F(s)

數(shù)），規(guī)定：k＝，當(dāng)F（s）＋F（t）＝18時(shí)，求k的最大值。

F(t)

5

【答案】（1）9；14（2）

4

【分析】（1）根據(jù)F（n）的定義式，分別將n＝243和n＝617代入F（n）中，即可求出結(jié)

論；

（2）由s＝100x＋32、t＝150＋y結(jié)合F（s）＋F（t）＝18，即可得出關(guān)于x、y的二元一次

方程，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)“相異數(shù)”的定義結(jié)合F（n）的定義式，即可求出F

F(s)

（s）、F（t）的值，將其代入k＝中，找出最大值即可。

F(t)

【詳解】（1）（423＋342＋234）÷111

＝（765＋234）÷11

＝999÷11

＝9

（167＋716＋671）÷111

＝（883＋671）÷111

＝1554÷111

＝14

（2）因?yàn)閟、t都是相異數(shù)，s＝100x＋32、t＝150＋y；

所以F（s）＝（302＋10x＋230＋x＋100x＋23）÷111

＝（302＋230＋23＋x＋100x＋10x）÷111

＝（555＋111x）÷111

＝x＋5

F（t）＝（510＋y＋100y＋51＋105＋10y）÷111

＝（510＋51＋105＋y＋100y＋10y）÷111

＝（666＋111y）÷111

＝y(tǒng)＋6

因?yàn)镕（s）＋F（t）＝18，則x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18；

第22頁(yè)共29頁(yè)

所以x＋y＝7

因?yàn)?≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)，

ìx=1ìx=2ìx=3ìx=4ìx=5ìx=6

所以í或í或í或í或í或í

?y=6?y=5?y=4?y=3?y=2?y=1

因?yàn)閟是相異數(shù)，所以x≠2，x≠3，；

因?yàn)閠是相異數(shù)，所以y≠1，y≠5；

ìx=1ìx=4ìx=5

所以í或í或í；

?y=6?y=3?y=2

ìF(xiàn)（s）=6ìF(xiàn)（s）=9ìF(xiàn)（s）=10

所以í或í或í；

?F（t）=12?F（t）=9?F（t）=8

F(s)F(s)F(s)5

所以k＝＝1或k＝＝1或k＝＝，

F(t)2F(t)F(t)4

5

＞1＞1

42

5

答：k的最大值是。

4

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是（1）根據(jù)F（n）的定義式，求出F

（243），F(xiàn)（617）的值；（2）根據(jù)s＝100x＋32、t＝150＋y結(jié)合F（s）＋F（t）＝18，即

可得出關(guān)于x、y的二元一次方程。

ì1+tnn為偶數(shù)

?23

tt...tt=1t=t=m

2．設(shè)1，2，，n是有序的數(shù)，已知：1，ní1，若m，求的值。

?n為奇數(shù)7

??tn-1

【答案】21

【分析】由題意可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，t2=t1+1，t4=t2+1，t6=t3+1，t8=t4+1，t10=t5+1，…

1111

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，t1=1，t3=，t5=，t7=，t9=，…，根據(jù)規(guī)律按順序?qū)懗鲞@個(gè)數(shù)列，即

t2t4t6t8

可求得m的值。

11132

【詳解】分析可知，t=1，t=1+1=2，t=，t=2+1=3，t=，t=+1=，t=，

123245362273

1143352253

t=3+1=4，t=，t=+1=，t=，t=+1=，t=，t=+1=，t=，

894103311412221351433155

1154473

t16=4+1=5，t=，t=+1=，t=，t=+1=，t=，…

17518441952033217

綜上所述，m的值為21。

【點(diǎn)睛】把n的值代入求出對(duì)應(yīng)的值，再根據(jù)求出的結(jié)果判斷m的值是解答題目的關(guān)鍵。

第23頁(yè)共29頁(yè)

【考點(diǎn)九】搭配問(wèn)題。

1．杭州亞運(yùn)會(huì)，12名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，如果每?jī)扇硕急荣愐粓?chǎng)，那么一共要比賽

多少場(chǎng)？

【答案】66場(chǎng)

【分析】第一人和其他11名運(yùn)動(dòng)員比賽11場(chǎng)，第二個(gè)人因?yàn)楹偷谝粋€(gè)人比賽過(guò)，所以只需

要和其他10名運(yùn)動(dòng)員比賽10場(chǎng)……依次類推，總共需要比賽11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

場(chǎng)，據(jù)此解答。

【詳解】11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

=11+1+10+2+9+3+8+4+7+5+6

=12+12+12+12+12+6

=12′5+6

=60+6

=66（場(chǎng)）

答：一共要比賽66場(chǎng)。

2．往返于甲、乙兩地的客車，中途?？咳齻€(gè)車站。

（1）有多少種不同票價(jià)？

（2）有多少種車票？

【答案】（1）10種

（2）20種

【分析】（1）甲乙兩地之間有三個(gè)停靠車站，再加上甲、乙兩個(gè)站，一共有3＋2＝5個(gè)站，

每一個(gè)站都和其他4個(gè)站組成一種不同的票價(jià)，一共有5×4＝20種，去掉重復(fù)的，一共有20÷2

＝10種票價(jià)，據(jù)此解答。

（2）車票與出發(fā)地和終點(diǎn)地的不同而不同，因此，在兩個(gè)站點(diǎn)之間也會(huì)有兩種不同的車票，

即車票種類為票價(jià)×2，即可解答。

【詳解】（1）站點(diǎn)：3＋2＝5（站）

5×（5－1）÷2

＝5×4÷2

＝20÷2

＝10（種）

答：有10種不同的票價(jià)。

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（2）10×2＝20（種）

答：有20種車票。

【點(diǎn)睛】本題主要考查搭配問(wèn)題的解決方法，注意車票不要重復(fù)；車票的票價(jià)和車票的種類

不同。

3．有1張五元紙幣，2張兩元紙幣，8張1元紙幣，要拿出9元錢，有幾種情況？（用表格

形式列舉出來(lái)）

【答案】5種，表格見詳解

【分析】要求有幾種拿法，就是考查9的組成；結(jié)合題意：9＝5＋2＋2，9＝5＋2＋1＋1，9＝

5＋1＋1＋1＋1，9＝2＋2＋1＋1＋1＋1＋1，9＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，據(jù)此解答即可。

【詳解】如圖：

5元2元1元合計(jì)

張數(shù)1209元

張數(shù)1129元

張數(shù)1049元

張數(shù)0259元

張數(shù)0179元

答：有1張五元紙幣，2張兩元紙幣，8張1元紙幣，要拿出9元錢，有5種情況。

【點(diǎn)睛】此題屬于排列組合問(wèn)題，解答時(shí)用列舉法，注意按一定的順序進(jìn)行，避免遺漏。

【考點(diǎn)十】打電話。

1．周末，王老師要盡快通知校合唱隊(duì)30名同學(xué)來(lái)學(xué)校參加活動(dòng)，如果用打電話的最佳方式，

每分鐘通知到1人，通知到所有同學(xué)至少要()分鐘。那么7分鐘最多能通知()

人。

【答案】5127

【分析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)每分鐘通知1人，接到通知的人又可以通知下一個(gè)人，這樣最節(jié)省

時(shí)間。

第1分鐘通知1人；1＝21－1；

第2分鐘通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；

第3分鐘通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；

……

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第n分鐘接到通知的一共有：（2n－1）人；

據(jù)此找到規(guī)律，按規(guī)律解答。

【詳解】規(guī)律：第n分鐘接到通知的一共有：（2n－1）人；

2n－1＝30

2n＝30＋1

2n＝31

因?yàn)?4＝16，25＝32，16＜31＜32，所以n＝5。

當(dāng)n＝7時(shí)

2n－1

＝27－1

＝128－1

＝127（人）

每分鐘通知到1人，通知到所有同學(xué)至少要5分鐘。那么7分鐘最多能通知127人。

2．春風(fēng)小學(xué)教導(dǎo)主任接到校長(zhǎng)的緊急通知