蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第7章銳角函數(shù)單元達(dá)標(biāo)測(cè)試卷

一、單選題

1.如果sinA=—，那么銳角NA的度數(shù)為（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，則NA的正切值

是（）

R而

D.-----------

5

3.如圖，已知在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,AABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)

4.如圖，已知RtaABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=一，則BC的長(zhǎng)是（）

2

5.一cos30°的值是（）

3

A.-B.—C.正

666

6.在正方形網(wǎng)格中，AABC的位置如圖所示，則cosB的值為（）

A.-B.—C.—D.立

2223

4

7.如圖，中，ZC=90°，點(diǎn)D在NC上，ZDBC=ZA.若/C=4,cosA=-,則的長(zhǎng)

度為（）

8.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AD是BC邊上的中線，如果AD=BC,那么tan/B的值是（）

V2「D.好

A.1B.V3

222

9.銳角Z_A滿足cosA——,利用計(jì)算器求ZA時(shí)，依次按鍵2ndFcos-1即|目2|加=|，則計(jì)算

2

器上顯示的結(jié)果是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3

10.在4ABC中，ZC=90°,AC=6,cosA=,則BC的長(zhǎng)為（）

5

A.6B.8C.10D.9

二'填空題

11.如圖所示，已知。O的半徑為5cm,弦AB的長(zhǎng)為8cm,P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2cm,則tanNOPA

等于_________.

12.如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD外接圓上任意一點(diǎn)，且不與四邊形頂點(diǎn)重合，若AD是。。的直徑,

AB=BC=CD.連接PA,PB,PC,若PA=a,則點(diǎn)A到PB和PC的距離之和AE+AF=

B

13.如圖，在RtAZBC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)、D、￡分別在邊48、8c上.將△/￡）￡

沿著?！晁诘闹本€翻折，使點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠落在邊8C的延長(zhǎng)線上.如果ED平分NEE8,那么40的長(zhǎng)

度為.

14.矩形紙片ABCD中，BC=2AB,將紙片對(duì)折，使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，得折痕EF,將紙片展開鋪平

后再進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，得折痕MN,展開鋪平后如圖所示.若折痕EF與MN較小的夾

角記為0,貝Using.

ME

三'計(jì)算題

15.計(jì)算：2cos30°xtan30°+^2sin450-tan60°.

四、解答題

16.北大壺滑雪場(chǎng)是我國(guó)重要的滑雪基地，擁有國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)雪道19條，其中青云大道某段坡長(zhǎng)45為800米,

坡角NBZC=25。，求垂直落差3C的高度.

（結(jié)果保留整數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sz力25。土0.423,cos25°?0.906,勿〃25°=0.466）

17.有一款如圖（1）所示的健身器材，可通過調(diào)節(jié)AB的長(zhǎng)度來調(diào)節(jié)椅子的高度，其平面示意圖如圖（2）

所示，經(jīng)測(cè)量，AD與DE的夾角為75。，AC與AD的夾角為45。，且DE〃AB.現(xiàn)調(diào)整AB的長(zhǎng)度，當(dāng)

ZBCA為75。時(shí)測(cè)得點(diǎn)C到地面的距離為25cm.請(qǐng)求出此時(shí)AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.

圖1圖2

18.某次臺(tái)風(fēng)來襲時(shí)，一棵筆直大樹樹干（假定樹干N5垂直于水平地面）被刮傾斜7。（即NA4E=7。）

后折斷倒在地上,樹的頂部恰好接觸到地面。處,測(cè)得/。。/=37。,/。=5米,求這棵大樹45的高度.（結(jié)

果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin37M.6,cos37=0.8,tan37~0.75）

19.如圖，河流兩岸PQ,MN互相平行，C、D是河岸PQ上間隔50m的兩個(gè)電線桿，某人在河岸MN上

的A處測(cè)得NDAB=3O。，然后沿河岸走了100m到達(dá)B處，測(cè)得NCBF=70。，求河流的寬度（結(jié)果精確

到個(gè)位，V3=1.73,sin70°=0.94,cos70°=0.34,tan700=2.75）

彳彳彳孑

P____________D_____C。

」’30。，仇。：______

MABFN

五'綜合題

20.如圖，在菱形ABCD中，4840=120°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

（2）若BC=2也，求四邊形ECFD的面積.

21.如圖，AB、CD為兩個(gè)建筑物，建筑物AB的高度為60米，從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD

的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角ZEAC為30°,測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角ZEAD為45°.

R

（1）求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度;

（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

22.如圖，已知在A/BC中，AB=AC=6,BC=4,點(diǎn)E、尸分別是48、ZC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD||48

交￡廠的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接40.

（1）求N8的正弦值;

（2）求線段40的長(zhǎng).

23.如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。0,AB=AD,ZC為直徑，E為介上一動(dòng)點(diǎn)，連接交/C于點(diǎn)

G,交40于點(diǎn)F,連接

（1）設(shè)NE為a,請(qǐng)用a表示/氏4C的度數(shù).

（2）如圖1,當(dāng)時(shí)，

①求證：DE=BG.

3

②當(dāng)tan乙4BE=—,BG=5時(shí)，求半徑的長(zhǎng).

4

BF

（3）如圖2,當(dāng)過圓心0時(shí)，設(shè)tcm/ABE=x,=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意得，sin60°=旦

2

故NA=60。.

所以C選項(xiàng)是正確的.

【分析】根據(jù)sin6(r=1即可得出NA的度數(shù).

2

2.【答案】D

【解析】【解答】解：連接BD,

則BD=41，AD=2V2，

BDV2

則tanA=-----=

AD2V22

故答案為：D.

【分析】連接BD,先求出BD化為AD的長(zhǎng)，再利用正切的定義求解即可。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：：/序=32+42=25，5C2=12+22=5，AC2=22+42=20，

???BC2+AC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，且NACB=90。,

/c.cZCV202V5

貝！JcosNCAB==,——=------

AB4255

故答案為：B.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖的特征用勾股定理求出AB?、BC\AC?的值，再觀察是否滿足a2+b2=c2,然后根據(jù)勾

Ar

股定理的逆定理可判斷^ABC是直角三角形，由銳角三角函數(shù)cosNCAB=——可求解.

AB

4.【答案】A

【解析】【解答】解：???tanA：-=—,AC=4,

2AC

，BC=2,

故選：A.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出tanA=三,代入求出即可.

A.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：-cos30°==?

3326

故答案為：C.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則AB=4V2，BD=4,

4V2

cosNB=

4V2V

故選B.

【分析】先設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,然后找個(gè)與/B有關(guān)的Rt^ABD,算出AB的長(zhǎng)，再求出BD的長(zhǎng),

即可求出余弦值.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：VZC=90°,

AB

4

AC=4,cosA=—

5

，AB=5,

根據(jù)勾股定理可得BC^^AB2-AC2=3,

ZDBC=N4,

4

/.cosz.DBC=cosA=—,

5

BC4即a4

/.cosNDBC==—

BD55

15

???BD=—,

4

故答案為：C.

4

【分析】先求出AB=5,再求出cosNDBC=cosA=1,最后計(jì)算求解即可。

8.【答案】C

【解析】【解答】解：:2口是BC邊上的中線,

.?.設(shè)BD=CD=x,

則AD=BC=2x,

在RCACD中，AC=yjAD2-CD2=J(2x>-。=百x,

eACy/3x

則tanNB=-----

BC2x2

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC與AD的關(guān)系，得到tanNB的值.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可知，cos^=-,由特殊角的三角函數(shù)值可知NZ=60。

2

依次按鍵，顯示的是cos-1-的值，即NA的度數(shù)為60°.

2

故答案為：C.

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得cosA=1,然后結(jié)合按鍵順序進(jìn)行解答.

2

10.【答案】B

3

【解析】【解答】解：?在AABC中，ZC=90°,AC=6,cosA=-,

.\AB=10,

?■-BC=y/AB2-AC2=V102-62=8.

故答案為：B.

【分析】先求出cosA=再利用勾股定理計(jì)算求解即可。

AB5

11.【答案】-

2

【解析】【解答】解：作OMLAB于M,如圖所示:

PB

則AM=BM=-AB=4cm,0M=yjoA2-AM2=A/52-42=3(cm),

,.?PM=PB+BM=6cm,

OM31

tanZOPA=-----=—=一；

PM62

故答案為：—O

2

【分析】作OMLAB于M,如圖所示：根據(jù)垂徑定理得出AM=BM=-AB=4cm,根據(jù)勾股定理算出

2

OM的長(zhǎng)，由PM=PB+BM算出PM的長(zhǎng)，進(jìn)而即可根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得出答案。

12.【答案】S5a

【解析】【解答】解：如圖，連接OB、OC.

：AD是直徑，AB=BC=CD,

-AB=BC=cb^

：.ZAOB=ZBOC=ZCOD=60°,

11

Z.ZAPB=-NAOB=30°,ZAPC=-ZAOC=60°,

22

在RtAAPE中，ZAEP=90°,

1

.,.AE=AP?sin30°=-a,

2

在RtAAPF中，：NAFP=90。，

?\AF=AP?sin60°=——a,

2

.\AE+AF=a.

2

故答案為土目a.

2

【分析】如圖，連接OB、OC.首先證明NAOB=NBOC=NCOD=60。，推出NAPB=ZAOB=30°,

ZAPC=-ZAOC=60°,根據(jù)AE=AP?sin30。，AF=AP?sin60°,即可解決問題.

2

20

13.【答案】—

7

【解析】【解答】解：作DHLBC于〃，

在RtaABC紙片中，AC=4,BC=3,

AB=飛AC?+BC?=5，

由翻折可得，AD=DF,Z_A=/DFE,

:FD平分/EFB,

/.ZEFD=ZDFB,

，ZA=ZDFB,

…DHDH3K

設(shè)DH=3x,則sinZDFBsinZA3

5

NBDH?ABAC,

BDDH5-5x3x

:.——=---,即a-n-----

ABAC5T

4

解得：x=-,

AD=5x=——

7

20

故答案為:

7

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和角平分線的定義得44=必，利用銳角三角函數(shù)，結(jié)合相似三角形的判

定和性質(zhì)計(jì)算。

4

14.【答案】一

5

【解析】【解答】解：如圖，連接AC、BM、DN、CE,過點(diǎn)M作MGLAC于點(diǎn)G,

由折疊可知：EFLAC,AO=CO,

MB=MD,AE=CE,

：.MG//OE,

.MGAGAM

?..四邊形ABCD是矩形，

AD=BC,AB=CD,

ZABC=ZBAM=ZADC=90°,

設(shè)AM=x，AB=a,

BC=AD=2a,MB=MD=2a—x,

；?AC=dAB~BC?=荷+（2a）2=氐

/八10也a

AO=—AC=-----

22

AM2+AB2=BM2

??x+〃=（2〃—x）

.3。

??x——,

4

3a

???AM=—

4

設(shè)AE=y,則CE=yDE=2a-y,

,/CD2+DE2=CE2

a2+（2a-v）2=/,

5a

??y——

4

亞a

%

4一

AG

=%一

4一

3君

。3亞a

ACr=------

2010

-/Sa

/.sin=AGMO=空r__4

OMJ5a5

丁

,/ZMGA=ZEOA=90°,

J.MG//OE,

/.ZGMO=AMOE=d,

,八4

??sin0——

5

_4

故答案為：一.

5

【分析】連接AC、BM、DN、CE,過點(diǎn)M作MGLAC于點(diǎn)G,由折疊的性質(zhì)得EFLAC,AO=CO,

MB=MD,AE=CE,則MG〃OE,由矩形性質(zhì)得AD=BC,AB=CD,ZABC=ZBAM=ZADC=90°,

設(shè)AM=x,AB=a,則BC=AD=2a,MB=MD=2a-x,根據(jù)勾股定理表示出AC,然后在RdABM中，根

據(jù)勾股定理可得x,設(shè)AE=y,則CE=y,DE=2a-y,根據(jù)勾股定理表示出y,進(jìn)而可得OE、MG、AG、

OG、OMo利用三角函數(shù)的概念求出sinZGMO,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NGMO=NMOE=0,據(jù)此計(jì)算.

15.【答案】解：2cos30°xtan30°+夜sin45°-tan60°

=1+1-V3

=2-V3?

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可。

16.【答案】解：在MAZBC中，NC=90°,ABAC=25°,28=800米，

???sinZBAC=—,

AB

BC=AB-sinZBAC-800x0.423它338（米），

答：垂直落差8C的高度約為338米.

【解析】【分析】結(jié)合圖形以及ZC=90°,NBAC=25。,48=800米，利用銳角三角函數(shù)求出BC的

值即可。

17.【答案】解：

圖2

由已知可得,

NEDA=75°,ZBCA=75°,NCAG=45°,CG=25cm,

CG*25亞

AAC=sin45°

2

VDE^AB,

.\ZEDA+ZBAD=180°,

.\ZBAD=105o,

.,.ZCAF=60°,

,?ZCFA=90°,AC=25正，

/.ZACF=30°,

.".AF=,CF=,

22

VZACB=75°,NACF=30°,ZCFB=90°,CF=,

2

.".ZBCF=45°,

/.BF=CF=至區(qū)，

2

.ARA?25后257625V2+25V6

??AB=AF+BF=---------1---------=--------------------

222

答:此時(shí)AB的長(zhǎng)度是25?+25瓜cm.

2

【解析】【分析】作CGXAD于點(diǎn)G,作CFXAB于點(diǎn)F,通過解直角三角形求得AF,BF的長(zhǎng)度，本題

得以解決.

AD5AD5

；.AE=3,在Rt^AEC中，VZCAE=90°-NACE=90°-60°=30°,；.CE=—AE=

3

V3，AAC=2CE=2百，，AB=AC+CE+ED=2百+百+4=3百+4(米).答:這棵大

樹AB原來的高度是(3V3+4)米.

【解析】【分析】過點(diǎn)/作于點(diǎn)E,解Rt4/m,求出。E及/￡的長(zhǎng)度，再解RtZUEC,得出

CE及/C的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

19.【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CE〃AD,交AB于點(diǎn)E,

彳彳彳彳

PDCQ

//1

」30?！拱?0。■________

MAEBFN

VCD/7AE,CE〃AD,

???四邊形AECD是平行四邊形,

VCD=50m,AB=100m,

??.AE=CD=5Om,EB=AB-AE=50m,ZCEF=ZDAB=3O°.

CF

在RtZXECF中，EF=-----------=J3CF,

tan30°

VZCBF=70%

CF

.".在Rt/XBCF中,BF=

tan70°

VEF-BF=50m,

CF

AV3CF-=50,

tan70°

，CFk37m.

答：河流的寬度CF的值約為37nl.

【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE〃AD,交AB于點(diǎn)E,則四邊形AECD是平行四邊形，利用平行四邊形的

性質(zhì)可得出AE、EB及NCEF的值，通過解直角三角形可得出EF,BF的長(zhǎng)，結(jié)合EF-BF=50m,即可

求出CF的長(zhǎng).

20.【答案】（1）證明：?/四邊形ABCD是菱形，

BC=DC,ABAD=ABCD=120°

???NECN=120。

ABCD=ZECF

ZBCE=ZDCF

有旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：CE=CF

在ABEC和ADFC中

BC=DC

乙BCE=乙DCF

CE=CF

:.ABEC=ADFC（SAS）

（2）?/ABEC=ADFC

一S四邊形ECFD=S\BCD

過點(diǎn)/作于〃，

由于ABAD=120Q，故Z.ABC=60°

AH=AB-sin60°=2員二=3

2

S菱形WQ二2百x3二6出

S四邊形CEFQ-S\BCD=/S菱形/BQ)=3百.

【解析】【分析】(1)根據(jù)菱形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證/^BEC=ADFC(SAS)；

(2)由ABEC二皿①？，得S四邊形漢如二，過點(diǎn)力作4/7,5C于〃，結(jié)合三角函數(shù),

由s四邊形反加=&5cz)=萬s菱形/5co可求得結(jié)果，

21.【答案】(1)解：根據(jù)題意得：BD〃AE,

???NADB=NEAD=45。，

,?NABD=90。，

JNBAD=NADB=45。，

???BD=AB=60,

??.兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米

(2)解：延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F,

根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形，

???AF=BD=DF=60,

在Rt^AFC中，NFAC=30。，

反

.??CF=AF?tanNFAC=60xH=20退，

3

又,.?FD=60,

/.CD=60-20

二建筑物CD的高度為(60-20V3)米

【解析】【分析】由題意得：BD〃AE,從而得到NBAD=/ADB=45。，再由BD=AB=60,求得兩建筑物底

部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米；小題2：延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F,根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方

形，根據(jù)AF=BD=DF=60,在RtAAFC中利用NFAC=30。求得CF=AF?tanZFAC,然后即可求得CD的長(zhǎng).

22.【答案】(1)解：過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)M,

\'AB=AC=6,BC=4,

BM=CM=-BC=2

2

,,AM=VAB2—BM2=yl6。-2?=4>/2>

..nAM442242

AB63

(2)解：過點(diǎn)C作CNLAB于點(diǎn)N,連接CE

...2V221M，

?sinBD=-----，cosB7=5—=—，BC=4，

363

8瓶4

CN=BCsmB=-^—,BN=BCcosB=—，

33

VAB=AC=6，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

45

Z.BE=3,EN=EB—BN=3——=-,

33

22

?*.EC=4EN+CN=A+f—=V17，

Z13J

VCDIMS,

.AFEF

??瓦—訪‘

■：F是AC的中點(diǎn)，

AF=FC,

:.EF=FD,

...四邊形ADCE是平行四邊形，

AAD=EC=y/17.

【解析】【分析】(1)過點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)M,先利用勾股定理求出AM的長(zhǎng)，再利用正弦的定義

可得sm八也=^=迪；

AB63

(2)過點(diǎn)C作CN1AB于點(diǎn)N,連接CE,先利用勾股定理求出

EC=^EN2+CN2=浮=后,再證出四邊形ADCE是平行四邊形，可得

AD=EC=yfH。

23.【答案】(1)解：?.?ZC為直徑,

NABC=ZADC=90°,

又?；AB=AD,AC=AC,

：.AABC'ADC.

ABAC=ZCAD=-/BAD,

2

,**/E-/BAD-ot,

n

：.ZBAC=-

2

（2）解：①連接DG.

AB=AD,/BAG=NDAG,AG=AG,

AABGAADG,

:.BG=DG,ZABG=ZADG.

?：NABG=ZEDF,

ZADG=EDF,

又?：EG：LDF,DF=DF,

：.&DFG—DFE,

DE=DG,GF=EF,

DE=BG.

②過點(diǎn)O作。ND,垂足為H.

3

???tanZABE=-,BG=5,ZABE=ZFDE

4

tanAFDE=—,DE=5,

4

EF=FG=3,FD=4,

:.BF=BG+GF=8.

3

/.由tanZABE=—,得AF=6.