專題52統(tǒng)計案例

【題型歸納目錄】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

題型二：線性回歸

題型三：非線性回歸

題型四：獨立性檢驗

題型五：誤差分析

【考點預(yù)測】

知識點一、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于

相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收

集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，

而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點圖

將樣本中的n個數(shù)據(jù)點(x,,%)(i=1,2,)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點圖.根據(jù)散點圖

中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系.

(1)如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為正相關(guān)，如圖(1)所小；

(2)如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它

稱為負(fù)相關(guān)，如圖(2)所不.

y

???????

,??

,*

o5；o

(1)(2)

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量X的取值X,,變量y的觀測值為y(1<i<ri),則變量x與y的相關(guān)系數(shù)

n__

E(X]-x)(%-y)^x^-nxy

?2L，通常用廠來衡量x與y之間的線性關(guān)系的強弱，r

唇廠孩唇:-方

的范圍為一.

(1)當(dāng)r>0時，表示兩個變量正相關(guān)；當(dāng)廠<0時，表示兩個變量負(fù)相關(guān).

（2）W越接近1,表示兩個變量的線性相關(guān)性越強；H越接近0,表示兩個變量間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系.當(dāng)加=1時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上.

（3）通常當(dāng)|廠|>0.75時，認(rèn)為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

知識點二、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（尤1，yi）,（%2，J2），...，（X",y"），其回歸方程y=加+。的求法為

〃__“__

￡-尤）（yt-v）￡X：yt-nxy

b=^—^---------------------T--------------------

一彳了一屋

i=li=\

a=y-bx

其中，X=~txi,y=-tyi'（x，y）稱為樣本點的中心.

n/=in,=i

2、殘差分析

對于預(yù)報變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值y,通過回歸方程得到的y稱為預(yù)測值，觀測值減去

預(yù)測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點（七,y）的殘差，即有=殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘

差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分

析.

U）殘差圖

通過殘差分析，殘差點&,自）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣

的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=￡（?-%）2分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；

；=|

反之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

Z（y-y,-）2

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2=I--=1'".

Z（2）2

/=!

代越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識點三、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線

性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原

后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細(xì)心，避免計算錯誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

知識點四、獨立性檢驗

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛xl,尤2｝和｛yl,y2],其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱

為2x2列聯(lián)表）為

%為總計

%aba+b

x2Cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)‘二與工的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2、等高條形圖

（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示

列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，二與上相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨立性檢驗

（1）定義：利用獨立性假設(shè)、隨機變量K2來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法

稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

(2)公式：K2=---------------------------------，其中〃=a+O+c+d為樣本容量.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：

①計算隨機變量K?的觀測值%,查下表確定臨界值即:

2

P(K>k0)0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果左2%,就推斷“x與y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過/（片？％）；否則，就認(rèn)為在犯

錯誤的概率不超過°（片？片）的前提下不能推斷“乂與/有關(guān)系”.

（2）兩個分類變量X和y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：

統(tǒng)計學(xué)研究表明：

當(dāng)Q43.841時，認(rèn)為X與Y無關(guān);

當(dāng)3.841時，有95%的把握說X與Y有關(guān)；

當(dāng)片＞6.635時，有99%的把握說X與/有關(guān)；

當(dāng)片＞10.828時，有99.9%的把握說X與￥有關(guān).

【方法技巧與總結(jié)】

常見的非線性回歸模型

（1）指數(shù)函數(shù)型〉=。優(yōu)（。＞0且awl,c＞0）

兩邊取自然對數(shù)，Iny=In[cax）,即Iny=lnc+xlna,

令[y,'=lny,原方程變?yōu)閥=lnc+尤'Ina,然后按線性回歸模型求出In。，Inc.

[x=X

（2）對數(shù)函數(shù)型y=+a

令=y,原方程變?yōu)閥'=bx'+a,然后按線性回歸模型求出6,a.

[x=Inx

（3）塞函數(shù)型y=ax〃

兩邊取常用對數(shù)，lgy=lg（ax〃），即lgy=mgx+lga,

令，原方程變?yōu)閥'=nr'+lga,然后按線性回歸模型求出”，Iga.

[x=Igx

（4）二次函數(shù)型y=區(qū)2+。

令：，原方程變?yōu)閥'=6x'+a,然后按線性回歸模型求出6,?.

[X=X

（5）反比例函數(shù)型y=a+9型

y'=y

令，1,原方程變?yōu)閥'=6x'+“，然后按線性回歸模型求出6,a.

X=—

、X

【題型歸納目錄】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

題型二：線性回歸

題型三：非線性回歸

題型四：獨立性檢驗

題型五：誤差分析

【典例例題】

題型一：變量間的相關(guān)關(guān)系

例1.（2022?上海嘉定?高三階段練習(xí)）通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利

店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實沒有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)

致了疾??；丙認(rèn)為病人對冷飲會有特別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請判斷

哪位成員的意見最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

例2.（2022?四川?成都七中高三階段練習(xí)（理））某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的

散點圖.

35

30

25

20

15

10

5

V5101520253035

相關(guān)系數(shù)為八

35f-----------------------------

30-.

25-

20-

15-.,

io-.?

5-J*,

5101520253035

相關(guān)系數(shù)為「3相關(guān)系數(shù)為&

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是）

A.B.r2<r^<rx<r3C.D.

例3.（2022?上海交大附中高三階段練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有

所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽

樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（4%）?=1,2,…,20）,其中天和力分別表示第，個樣區(qū)的

2020

植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量（單位：頭），并計算得￡七=60,2%=1200,

Z=1Z=1

20_220_20

=80,X（X-y）2=9000,￡卜廠尤）（%-＞）=800.

z=li=\i=l

（1）估計該地區(qū)這種野生動物的數(shù)量；

⑵求樣本（%,%）?=1,2,…,20）的相關(guān)系數(shù).（精確到0.01）

變式1.（2022?陜西?寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））對兩個變量無，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，得線性

相關(guān)系數(shù)〃=0.8995,對兩個變量a,v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)-0.9568,則下列判斷正確

的是（）

A.變量x與y正相關(guān)，變量“與v負(fù)相關(guān)，變量尤與y的線性相關(guān)性較強

B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強

C.變量x與y正相關(guān)，變量〃與v負(fù)相關(guān)，變量〃與v的線性相關(guān)性較強

D.變量尤與y負(fù)相關(guān)，變量"與v正相關(guān)，變量"與v的線性相關(guān)性較強

變式2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對兩變量的線性相關(guān)性做試驗，分別求

得樣本相關(guān)系數(shù)/，如下表:

甲乙丙T

r0.20-0.95-0.120.85

則試驗結(jié)果中蒼丁兩變量有更強線性相關(guān)性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

變式3.（2022.江蘇.南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）某網(wǎng)絡(luò)電視劇已開播一段時間，其每日播放量有如下統(tǒng)

計表：

開播天數(shù)X（單

12345

位：天）

當(dāng)天播放量y

335910

（單位：百萬

次）

（1）請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（2）假設(shè)開播后的兩周內(nèi)（除前5天），當(dāng)天播放量y與開播天數(shù)尤服從（1）中的線性關(guān)系.若每百萬播放量

可為制作方帶來0.7萬元的收益，且每開播一天需支出1萬元的廣告費，估計制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得

的利潤.

參考公式：/，石二口七------------，a=y-bx.

歸x"歸y"自…

555_____

參考數(shù)據(jù)：^xiyi=110,2%；=55,=224,7110-10.5.

i=li=li=l

注：①一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認(rèn)為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱.

②利潤=收益一廣告費.

題型二：線性回歸

例4.（2022.重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）重慶位于北半球亞熱帶內(nèi)陸地區(qū)，其氣候特征恰如幾句俗諺：春

早氣溫不穩(wěn)定，夏長酷熱多伏旱，秋涼綿綿陰雨天，冬暖少雪云霧多.尤其是10月份，晝夜溫差很大，某

數(shù)學(xué)興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了2021

年10月某六天的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日期第一日第三日第五日第四日第二日第六日

晝夜溫差X（℃）47891214

就診人數(shù)y（個）%%%%)6

66_2

其中：％eN*,i=\,2,3,4,5,6,參考數(shù)據(jù)：=2658,=258,7258?16.

i=li=l'

（D根據(jù)散點圖可以認(rèn)為x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)r=三，請用最小二乘法求出線性回歸

方程y=6x+a（?，b用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第六日就診人數(shù)％=3。，第一日就診患者中有3個小孩，其他患者全是大人，現(xiàn)隨機的

Q

從第一日所有就診患者中選出2人，若2人中至少有一個小孩的概率為二；

①求%的值;

②若%<%<%<為，求%，為，>4，%的值（只寫結(jié)果，不要求過程）.

2（%-磯%

（參考公式：J————a=y-b'X，

Z"）

i=\

例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知龍，丁的取值如表:

X0134

ya4.34.86.7

若X,y具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為9=0.95x+2.6,則。=

例6.（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）已知一組樣本數(shù)據(jù)（多，yj,（々，坊），…，（%，％）"22,占，巧，...，

乙不相等），若這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為T,則在這組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，所有樣本點（4》）（1=1,

2,〃）所在的曲線可能是（）

A.y=-2x+3B.y=x+3C.y=-x1+3D.y=?+3

變式4.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））給出下列說法：①回歸直線夕=嬴+&恒過樣本點的中心丘,7）,

且至少過一個樣本點；②兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)⑺就越接近1；③將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加

一個相同的常數(shù)后，方差不變；④在回歸直線方程3=2-0.5x中，當(dāng)解釋變量x增加一個單位時，預(yù)報變量

亍平均減少0.5個單位.其中說法正確的是（）

A.①②④B.②③④C.①③④D.②④

變式5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）對于數(shù)據(jù)組（專切［=1,2,3,...,“），如果由線性回歸方程得到的對應(yīng)于自

變量者的估計值是力,那么將稱為相應(yīng)于點（乙,％）的殘差.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量無（噸）與

所需某種原材料丫噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)（x,y）如下表所示：

X3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出,關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+〃，據(jù)此計算出樣本點（4,3）處的殘差為一0.15,

則表中m的值為（）

A.3.3B.4.5C.5D.5.5

變式6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知兩個變量工和,之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù),

X34567

y3.52.41.1-0.2-1.3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得同歸方程亍=%+&，則下列說法正確的是（）

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

變式7.（2022.全國?高三專題練習(xí)）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗

數(shù)據(jù)：

天數(shù)X（天）3456

繁殖個數(shù)y（千個）2.5344.5

由最小二乘法得>與x的線性回歸方程為3=0.7x+&,則當(dāng)x=7時，繁殖個數(shù)》的預(yù)測值為（）

A.4.9B.5.25

C.5.95D.6.15

變式8.（2022?北京師大附中高三階段練習(xí)（文））為了規(guī)定工時定額，需要確定加工某種零件所需的時間，

為此進(jìn)行了5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)：（工,%）,（孫力），（毛，%），（%，%），（%，%），由最小二乘法求得回歸直線

方程為y=0.67x+54.9.若己知占+々+%+%+%=15°,則%+%+%+%+%=

A.75B.155.4C.375D.466.2

變式9.（2022?廣東?順德一中高三階段練習(xí)）據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（々,為），…，（%,%）,求得經(jīng)驗回歸

方程為a=L5x+0.5,且；=3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點（122.2）和（4.8,7.8）誤差較大，去除后

重新求得的經(jīng)驗回歸直線/的斜率為1.2,則（）

A.去除兩個誤差較大的樣本點后，丁的估計值增加速度變快

B.去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程一定過點（3,4）

C.去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程為a=L2x+L4

D.去除兩個誤差較大的樣本點后，相應(yīng)于樣本點（2,3.75）的殘差為0.05

變式10.（2022.全國?高三專題練習(xí)）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要

貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產(chǎn)品收益y（億元）3791011

（1）計算X,y的相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若|川>0.75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時產(chǎn)品的收益.

555

2

參考數(shù)據(jù)：￡（尤,-可2=10,E（x-y）=4o,^（x,-x）（z-y）=i9.

z=li=li=l

附：相關(guān)系數(shù)公式：r=「,回歸直線方程的斜率A=J-----------------,截距

Vi=lVz=li-l

d=y-bx.

變式11.（2022.全國?模擬預(yù)測（文））2020年，國慶“遇上”中秋，中國人把這個“超長黃金周”過出了年味.

假期期間，全國各大旅游景點、車站、機場人頭攢動的景象也吸引了世界的目光.外國媒體、專家和網(wǎng)友“實

名羨慕”，這一派熱鬧景象證明了抗疫的成功，也展示了中國經(jīng)濟復(fù)蘇的勁頭.抗疫的成功離不開國家強大的

醫(yī)療衛(wèi)生體系，下表是某省2013年至2019年醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)》（單位：萬個）：

年份2013201420152016201720182019

年份代號，1234567

醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)y4.24.34.54.74.84.84.9

（1）求y關(guān)于f的線性回歸方程、=命+&（a,3保留兩位小數(shù)）；

（2）規(guī)定若某年的實際醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)與估計值的差的絕對值不超過500個，則稱該年是“吻合”年.利用（1）

的結(jié)果，假設(shè)2020年該省醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)的估計值為實際值，現(xiàn)從2013年至2020年這8年中任選3年,

其中“吻合，，年的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

7

參考數(shù)據(jù)：工4%=1322,7=4.6.

Z=1

參考公式：線性回歸方程y=中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=「----------，

）

Ef=l"

a=y—bt.

變式12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在我國抗疫期間，素有“南抖音，北快手”之說的小視頻除了給人們帶

來生活中的快樂外，更在于傳遞了一種正能量，為抗疫起到了積極的作用，但一個優(yōu)秀的作品除了需要有

很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，某同學(xué)學(xué)習(xí)利用“快影”軟件將已拍攝的素材進(jìn)行制作，每次制作

分三個環(huán)節(jié)來進(jìn)行，其中每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為3:，三4，：2，只有當(dāng)每個環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為一

453

次成功制作，該小視頻視為合格作品.

（1）求該同學(xué)進(jìn)行3次制作，恰有一次合格作品的概率；

（2）若該同學(xué)制作10次，其中合格作品數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望與方差；

（3）該同學(xué)掌握技術(shù)后制作的小視頻被某廣告公司看中，聘其為公司做廣告宣傳，決定試用一段時間，每

天制作小視頻（注：每天可提供素材制作個數(shù)至多40個），其中前7天制作合格作品數(shù)》與時間f如下表：（第

f天用數(shù)字t表示）

時間（，）1234567

合格作品數(shù)（V）3434768

其中合格作品數(shù)（V）與時間"）具有線性相關(guān)關(guān)系，求,關(guān)于「的線性回歸方程（精確到0.01）,并估算第14天

能制作多少個合格作品（四舍五入取整）？

.￡占％一“

（參考公式》=號------=上———7^，6=3-威，參考數(shù)據(jù)：1^=163.）

七年-wx-一;=1

z=li=\

題型三：非線性回歸

例7.（2022.廣東.順德一中高三階段練習(xí)）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)

銷量高速增長.已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：

年份（年）20142015201620172018201920202021

年份代碼X12345678

保有量W千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70

888

參考數(shù)據(jù)：9=12.1]=2.1,￡x；=204,=613.7,￡必=92.4,,其中

z=li=lf=l

J=Iny,1g2P0.30,lg3?0.48,1gee0.43.

人力千輛

35

30

25

20

15

10

5

O12345678

（1）根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖（如圖），請判斷9=&與5；=e&+<5哪一個更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗

回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果建立y關(guān)于龍的經(jīng)驗回歸方程：

（2）假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相

同.若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預(yù)計到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.

試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,V/）,（%，嶺），…，（""M），其經(jīng)驗回歸直線￡=/"+&的斜率和截距的最小

Z(M;-M)(v;-V)Zujvi-nu-V

二乘估計公式分別為B=上匕--------=%---------，a=v-^u-,；

22

Z(w;-M)工uf-nu

1=1i=l

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國各地房價“跳水”嚴(yán)重，但某地

二手房交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年11月至2020年H月間，當(dāng)月在售二手房均價（單位：

萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1至13分別對應(yīng)2019年H月至2020年11月）（）

A當(dāng)月在手二手房

L°4-均儕....

1.02-???*

1.00-??

0.98-?*

0.96-

?

0.94-

°12345678910111213月份代碼x

根據(jù)散點圖選擇、=。+6?和'=。+〃111萬兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到的兩個回歸方程分別為

y=0.9369+0.0285石和y=0.9554+0.0306Inx，并得到以下一些統(tǒng)計量的值:

)=0.9369+0.0285&y=0.9554+0.03061nx

R20.9230.973

注：￡是樣本數(shù)據(jù)中關(guān)的平均數(shù)，亍是樣本數(shù)據(jù)中了的平均數(shù)，則于列說法不一定成立的是（）

A.當(dāng)月在售二手房均價y與月份代碼x呈正相關(guān)關(guān)系

B.根據(jù)>=0.9369+0.02856可以預(yù)測2021年2月在售二手房均價約為1.0509萬元/平方米

C.曲線y=0.9369+0.02854與y=0.9554+0.0306Inx的圖形經(jīng)過點（x,y）

D.y=0.9554+0.0306Inx回歸曲線的擬合效果好于_y=0.9369+0.0285Vx

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了6組觀測數(shù)據(jù)，y（單位：

個）與溫度x（單位：℃）得到樣本數(shù)據(jù)（8%）（i=l,2,3,4,5,6）,令z,=ln/,并將（4馬）繪制成

如圖所示的散點圖.若用方程y=ae"對y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（）

z八

4■

3-??

2-?,,

1-,

——I——I——I——I——I——I-

20212223242526x

A.a>l,b>0B.a>l,b<0

C.Ovavl,b>0D.0<a<l,b<0

變式13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）用模型y=a*M（a>0）擬合一組數(shù)據(jù)時，令z=lny,將其變換后得到

h

回歸直線方程z=2x+a,則一=（）

a

A.eB.—C.—D.2

e2

變式14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)（4丹），（巧，％），匕，（天，為）的散點圖中，若所有

7

樣本點（4%）（，=1,2,L,7）都在曲線y=aln（%-1895）+12.15附近波動，經(jīng)計算T895）=210.77,

z=i

77

=73.50,^ln（x,.-1895）=23.10,則實數(shù)。=（）

Z=1Z=1

A.一0.5B.0.5C.-iD.1

變式15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖是一組實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，以下函數(shù)中適合作為》與無的回

歸方程的類型是（）

2x

A.y=ax+bB.y=ax+cc.y=b\ogax+cD.y=ba+c

變式16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖是一組實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，以下函數(shù)中適合作為丫與x的回

歸方程的類型是（）

?

x

x

A.y=ax+bB.y=ax"+cC.y=b\ogax+cD.y=ba+c

變式17.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）在對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行回歸分析時，若兩個變量

不呈線性相關(guān)關(guān)系，可以建立含兩個待定參數(shù)的非線性模型，并引入中間變量將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再利

用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析.下列選項為四個同學(xué)根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點圖建立的非線性模型，且散

點圖的樣本點均位于第一象限，則其中可以根據(jù)上述方法進(jìn)行回歸分析的模型有（）

A.y-cxx+c2x

C.y=q+ln(x+c2)

變式18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十

四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了

解年研發(fā)資金投入額x（單位:億元）對年盈利額》（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)

劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額占和年盈利額%的數(shù)據(jù).通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①

y=a+歐;②y=其中a、夕、彳、t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).令%=X；,”=In%G=1,2,…,10）,

經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):

1010

XS(x-y)2u

Z=1Z=1

26215652680

10°101010

￡(x,.-x)(v,.-v)

V力％-7)ZU-7)2

?=1Z=1i=li=\

5.36112501302.612

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于尤的回歸方程；（系數(shù)精確到o.oi）

（3）若希望2021年盈利額y為250億元,請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額了為多少億元.（結(jié)果精確到0.01）

變式19.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的

前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實防控舉措的同時，推出了多款套票文

旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng).下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價位的旅游套票，每款的套票價

格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：

旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票

套票價格X（元）394958677786

購買數(shù)量y（萬人）16.718.720.622.524.125.6

在分析數(shù)據(jù)、描點繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點（匕，①集中在一條直線附近，其中”=1叫，co,.=lny;

6666

附：①可能用到的數(shù)據(jù)：?＞叫=753￡匕=246?＞產(chǎn)1832＞；=101.4.

i=\i=\i=\z=l

②對于一組數(shù)據(jù)（匕，sj，?，①2），…，3,3”），其回歸直線質(zhì)=加+＜5的斜率和截距的最小二乘估計值分別

￡vimi-rivm

^b=—..................,a=m-bv

”-怖2

,=i

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于龍的回歸方程；

ee

（2）按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價格x的比在區(qū)間-，-上時，該套票受消費者的歡迎

程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游.記

三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

變式20.（2022.全國?高三專題練習(xí)）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持

高速增長態(tài)勢，下表為2017—2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年—2021年對應(yīng)的

代碼依次為1—5.

年份代碼尤12345

市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36

參考數(shù)據(jù)：歹=5.16,V=1.68,^v,.y,.=45.10,其中匕=嘉.

1=1

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（qyj,（v2,%），…，（匕，%），其回歸直線5=加+力的斜率和截距的最小二乘

2匕%一〃藥

估計公式分別為3=嚀--------，a=y-bv.

2—2

匕一次

Zz=i

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型9=+d擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（6,g的值

精確到0.01）；

（2）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p,現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機抽

取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X,若P（X=3）=尸（X=4）,求X的分布列與期

望.

變式21.（2022?湖南.長沙市明德中學(xué)高三開學(xué)考試）近期國內(nèi)疫情反復(fù)，對我們的學(xué)習(xí)生活以及對各個行

業(yè)影響都比較大，某房地產(chǎn)開發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績，讓公司旗下的某個樓盤統(tǒng)一推出了為

期10天的優(yōu)惠活動，負(fù)責(zé)人記錄了推出活動以后售樓部到訪客戶的情況，根據(jù)記錄第一天到訪了12人次，

第二天到訪了22人次，第三天到訪了42人次，第四天到訪了68人次，第五天到訪了132人次，第六天到

訪了202人次，第七天到訪了392人次，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天來訪的人次，

繪制了以下散點圖.

八川人次）

400

350

300

250

200

150

100

50

O

⑴請根據(jù)散點圖判斷，以下兩個函數(shù)模型y=a+法與y=（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為

人次y關(guān)于活動推出天數(shù)元的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于元的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天售樓部來訪的入

17

次，參考數(shù)據(jù)：其中匕=lg、，v=-Xvz.

'z=l

7

￡%匕084

V1O

Z=1

1.8458.556.9

八z七/一〃孫

線性回歸方程：§=》%+金，其中B=t---------丁，金=丁一令％.

2X；-

i=l

（3）己知此樓盤第一天共有10套房源進(jìn)行銷售，其中6套正價房，4套特價房，設(shè)第一天賣出的4套房中特

價房的數(shù)量為久求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

題型四：獨立性檢驗

例10.（2022?江蘇?南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）某校為引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史，校黨委宣傳組織了黨史知識

競賽,對前來參賽的150名學(xué)生（男生100人，女生50人），成績不低于80分的學(xué)生為“黨史達(dá)人”，成績

低于80分的學(xué)生為“非黨史達(dá)人”，統(tǒng)計了他們的成績情況，結(jié)果如下：男生中有60人被評為“黨史達(dá)人”,

女生中有40人被評為“黨史達(dá)人”.

（1）完善列聯(lián)表，并判斷：是否有99%的把握認(rèn)為黨史成績優(yōu)秀與否與性別有關(guān)？

性別

黨史達(dá)人非黨史達(dá)人

是否為黨史達(dá)人

男生

女生

（2）如果用這150名學(xué)生中，男生和女生“黨史達(dá)人”的頻率分別代替該校男生和女生被評為“黨史達(dá)人”的概

率，且每位學(xué)生是否被評為“黨史達(dá)人”相互獨立，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機抽取3人（2男1女），設(shè)隨機變量X

表示“3人中黨史達(dá)人”的人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：K2=n=a+b+c+d

(a+/?)(c+d)(a+c)(6+d)'

P(K2>k]0.100.050.0250.010.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

例11.（2022?四川?樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（文））根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計算得至1」片=2.974.依

據(jù)下面給出的臨界值表，

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879

可知下列判斷中正確的是（）

A.有95%的把握認(rèn)為變量x與y獨立

B.有95%的把握認(rèn)為變量x與y不獨立

C.變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過10%

D.變量x與y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過10%

例12.（2022?浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實行的是7選3的3+3模式,

即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）

7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）

選物理不選物理總計

男生340110450

女生140210350

總計480320800

表一

選生物不選生物總計

男生150300450

女生150200