專(zhuān)題13統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

目錄

題型一：統(tǒng)計(jì)

易錯(cuò)點(diǎn)01混淆總體與總體容量、樣本與樣本容量

易錯(cuò)點(diǎn)02求中位數(shù)、百分位數(shù)時(shí)忽略數(shù)據(jù)順序

易錯(cuò)點(diǎn)03對(duì)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)特征理解不透

題型二統(tǒng)計(jì)案例

易錯(cuò)點(diǎn)04混淆函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系而出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)05忽視回歸直線(xiàn)與回歸曲線(xiàn)方程的區(qū)別與聯(lián)系

易錯(cuò)點(diǎn)06求解獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題對(duì)K2的值理解不準(zhǔn)確

題型一：統(tǒng)計(jì)

易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆總體與總體容量'樣本與樣本容量

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）某校為了解高三年級(jí)學(xué)生體重情況，從該年級(jí)1000名學(xué)生中抽取125

名學(xué)生測(cè)量他們的體重進(jìn)行分析.在這項(xiàng)調(diào)查中，抽取的125名學(xué)生的體重是（）

A.總體B.樣本C.總體容量D.樣本容量

【答案】B

【分析】根據(jù)樣本的定義即可求解.

【詳解】抽取的125名學(xué)生的體重是樣本，故選：B

【易錯(cuò)剖析】

本題容易混淆樣本與樣本容量而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

抽樣調(diào)查

（1）總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱(chēng)為總體.

（2）個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體.

（3）樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個(gè)樣本，樣

本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

易錯(cuò)提醒：（1）總體是指考察對(duì)象的全體，而總體容量是指總體的個(gè)數(shù)；（2）樣本是指從總體中抽取的若干個(gè)

個(gè)體組成的集合，而樣本容量是指樣本個(gè)體的數(shù)目，要注意二者的區(qū)別.

舉一反三

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）為了了解某地參加計(jì)算機(jī)水平測(cè)試的5000名學(xué)生的成績(jī)，從中抽取了200

名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行調(diào)查分析，在這個(gè)問(wèn)題中，被抽取的200名學(xué)生的成績(jī)是（）

A.總體B.個(gè)體

C.樣本D.樣本量

2.（24-25高二上?安徽?階段練習(xí)）某中等職業(yè)學(xué)校為了了解高二年級(jí)1200名學(xué)生的視力情況，抽查了其中

200名學(xué)生的視力，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.下列敘述正確的是（）

A.上述調(diào)查屬于全面調(diào)查B.每名學(xué)生是總體的一個(gè)個(gè)體

C.200名學(xué)生的視力是總體的一個(gè)樣本D.1200名學(xué)生是總體

3.（24-25高三?甘肅蘭州?訓(xùn)練）為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1500名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取了150名運(yùn)動(dòng)

員的年齡進(jìn)行調(diào)查，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.1500名運(yùn)動(dòng)員的年齡是總體

B.抽取到的150名運(yùn)動(dòng)員是樣本

C.這個(gè)抽樣方法可以采取隨機(jī)數(shù)表法抽樣

D.每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會(huì)相等

能易錯(cuò)題通關(guān)一

1.（23-24高三?西藏日喀則?期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.100名學(xué)生是個(gè)體

B.樣本容量是100

C.每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本

D.1000名學(xué)生是樣本

2.（24-25高三上?福建福州?開(kāi)學(xué)考試）為檢查某校學(xué)生心理健康情況，市教委從該校1400名學(xué)生中隨機(jī)抽

查400名學(xué)生，檢查他們心理健康程度，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.1400名學(xué)生的心理健康情況是總體B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體

C.400名學(xué)生是總體的一個(gè)樣本D.400名學(xué)生為樣本容量

3.（23-24高一下?山西晉中?階段練習(xí)）為了了解某路口每天在學(xué)校放學(xué)時(shí)段的車(chē)流量，有下面幾個(gè)樣本,

統(tǒng)計(jì)該路口在學(xué)校放學(xué)時(shí)段的車(chē)流量，你認(rèn)為合適的是（）

A.抽取兩天作為一個(gè)樣本

B.春、夏、秋、冬每個(gè)季節(jié)各選兩周作為樣本

C.選取每周星期日作為樣本

D.以全年每一天作為樣本

4.（24-25高一上?全國(guó)?課堂例題）（多選）某市?？脊灿?0000多名學(xué)生參加，某校教科室為了了解本校

3390名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取300名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，下列說(shuō)法正確的是（）

A.3390名考生是總體的一個(gè)樣本B.3390名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體

C.樣本容量是300D.70000多名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體

.（23-24高一下?青海海東?階段練習(xí)）為了了解某社區(qū)60周歲以上老年人的體重，進(jìn)行如下調(diào)查：

調(diào)查一：對(duì)該社區(qū)所有60周歲以上老年人的體重進(jìn)行調(diào)查；

調(diào)查二：對(duì)該社區(qū)部分60周歲以上老年人（500名）的體重進(jìn)行調(diào)查.

關(guān)于上述調(diào)查，下列說(shuō)法正確的是（）

A.調(diào)查一是普查，調(diào)查二是抽樣調(diào)查

B.調(diào)查二中的總體是指該社區(qū)抽取的500名60周歲以上老年人的體重

C.調(diào)查二中的樣本量是500

D.檢測(cè)一批燈泡的壽命宜采用調(diào)查一的調(diào)查方式，以使收集的數(shù)據(jù)更精確

6.（23-24高二上?湖北武漢?期中）"知名雪糕31℃放1小時(shí)不化”事件曝光后，某市市場(chǎng)監(jiān)管局從所管轄十

五中、十七中、常青一中三校周邊超市在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行了檢查.在這

個(gè)問(wèn)題中，18是（）

A.總體B.個(gè)體C.樣本D.樣本量

易錯(cuò)點(diǎn)02：求中位數(shù)'百分位數(shù)時(shí)忽略數(shù)據(jù)順序

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)容易忽略講數(shù)據(jù)從小到大排列而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

（3）平均數(shù)：〃個(gè)樣本數(shù)據(jù)芯,％的平均數(shù)為嚏=乜土三土二七2，反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公

n

式變形：Ex：="X.

;=1

2.百分位數(shù)

（1）定義：一組數(shù)據(jù)的第,百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有0%的數(shù)據(jù)小于或等于

這個(gè)值，且至少有（100-P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

（2）計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的的第。百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算，=〃xp%.

③若i不是整數(shù)而大于，的比鄰整數(shù)j,則第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為

第，項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）四分位數(shù)：我們之前學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常

用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,

因此稱(chēng)為四分位數(shù).

易錯(cuò)提醒：在求數(shù)據(jù)的中位數(shù)、百分?jǐn)?shù)時(shí)，一定要先把數(shù)據(jù)從小到大排列，然后再根據(jù)中位數(shù)、百分?jǐn)?shù)的

定義進(jìn)行求解.

舉—反三

1.（2025高三上?四川眉山?階段練習(xí)）假設(shè)有一組數(shù)據(jù)為6,8,3,6,4,6,5,這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)

分別是（）

A.5,6B.6,4C.6,5D.6,6

2.（24-25高三上?天津和平?期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,〃1，7,10,11,若該組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差的則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.7

3.（24-25高三上?山東淄博?期末）某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位

評(píng)委對(duì)甲、乙的演講分別進(jìn)行打分（滿(mǎn)分10分），得到如圖所示的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，則（）

M數(shù)

9,------------a-7----------------

9&.a'Xjo-c7---?-a；9

&-二千,7工工8；6

7a

-8

7.*

2三一4―5―6評(píng)^&號(hào)

一甲-+乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)18,12,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位數(shù)是（）

A.10B.12C.4D.3

2.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習(xí)）四川耙耙柑以果肉飽滿(mǎn)圓潤(rùn)，晶瑩剔透等特點(diǎn)深受民眾喜愛(ài)，某耙

耙柑果園的質(zhì)檢員對(duì)剛采摘下來(lái)的耙耙柑采用隨機(jī)抽樣的方式對(duì)成筐的耙耙柑進(jìn)行質(zhì)檢，記錄下了8筐耙

耙柑中殘次品的個(gè)數(shù)為5,7,6,3,9,4,8,10,則該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

3.（24-25高三上?湖北十堰?期末）已知x>0,且x,x+l,/,2x的中位數(shù)為1,貝i]x=（）

123

A.-B.-C.1D.-

332

4.（24-25高三上?天津紅橋?期末）從某學(xué)校高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?yōu)?/p>

68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,設(shè)學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)分別為凡瓦c,則（）

A.a—b<cB.a<b=c

C.a<b<cD.b<a<c

5.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)從小到大依次為3,5,6,7,8,9,m,10,11,13,且眾數(shù)為

9,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.m=9B.中位數(shù)為8.5C.平均數(shù)為8D.極差為10

6.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)再,%,…,乙，其中占是最小值，%是最大值，則

（）

A.%,三,匕65的平均數(shù)等于占戶(hù)2,…戶(hù)6的平均數(shù)

B.的中位數(shù)等于網(wǎng)外,…,乙的中位數(shù)

C.X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占戶(hù)2,…,Z的標(biāo)準(zhǔn)差

D.苫233，匕65的極差不大于網(wǎng),々,…,X6的極差

7.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)1,2,3,5,7,8,9,a,下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為0,則a=5B.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a,則a=5

C.當(dāng)aV9時(shí)，該組數(shù)據(jù)的極差為8D.當(dāng)a=5時(shí)，該組數(shù)據(jù)的方差最小

8.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（多選）2024年10月央行再次下調(diào)人民幣存款利率，存款利率下調(diào)是為了

刺激經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、促進(jìn)投資和消費(fèi)而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來(lái)幾個(gè)時(shí)間發(fā)布的人民幣一年定

期存款利率:

時(shí)間2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月

利率

1.351.501.751.751.551.351.10

/%

關(guān)于表中的7個(gè)數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.極差為0.25B.平均數(shù)不大于1.5

C.20%分位數(shù)與30%分位數(shù)相等D.中位數(shù)為1.75

易錯(cuò)點(diǎn)03:對(duì)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)特征理解不透

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?廣東汕頭?期末）某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價(jià)格，隨機(jī)抽取100戶(hù)居民,

得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)信息，下列結(jié)論中正確的是（）

B.100戶(hù)居民的月均用水量低于16.21的用戶(hù)所占比例超過(guò)90%

C.100戶(hù)居民的月均用水量的極差介于211與27t之間

D.100戶(hù)居民的月均用水量的平均值介于16.21與22.21之間

【答案】C

【分析】首先根據(jù)頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形的面積和為1求出b的值，再分別求出100戶(hù)居民的月均

用水量的中位數(shù)，平均數(shù)，極差等即可判斷.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030+0.017+0.010+0.013+^)x3=1,

對(duì)于A,月均用水量在［1.2,4.2)的頻率為0.077x3=0.231<0.5,

月均用水量在［127.2)的頻率為0.231+0.107x3=0.231+0.321=0.552>0.5,

所以100戶(hù)居民的月均用水量的中位數(shù)在［4.2,7.2),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?00戶(hù)居民的月均用水量低于16.2t的用戶(hù)的頻率為

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)x3=0.861,

所以100戶(hù)居民的月均用水量低于16.2t的用戶(hù)所占比例為86.1%,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由圖知，極差的最大值為28.2-1.2=27,最小值為25.2-4.2=21,

所以100戶(hù)居民的月均用水量的極差介于21t與27t之間，故C正確；

對(duì)于D,100戶(hù)居民的月均用水量的平均值為

(0.077x2.7+0.107x5.7+0.043x8.7+0.030xll.7+0.030xl4.7

191

+0.017x17.7+0.010x20.7+0.013x23.7+------x26.7x3=8.907t,故D錯(cuò)誤.

3000J

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題在計(jì)算過(guò)程中容易對(duì)中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)估計(jì)值的計(jì)算公式理解不透徹而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1、畫(huà)頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的步驟：

(1)找出最值，計(jì)算極差；

(2)合理分組，確定區(qū)間；

(3)整理數(shù)據(jù)；

(4)作出相關(guān)圖示；

頻數(shù)分布直方圖縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形的高度與頻數(shù)成正比

頻率分布直方圖縱坐標(biāo)是頻率/組距，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，每個(gè)矩形的面積

等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，所有矩形的面積之和為1

2、頻率分布表與頻率分布直方圖的特點(diǎn)

頻數(shù)分布表反映具體數(shù)據(jù)在各個(gè)不同區(qū)間的取值頻率，但不直觀，數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢(shì)不明顯；頻率分布

直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的行狀態(tài)勢(shì)，但失去了原始數(shù)據(jù)。

3、頻數(shù)分布折線(xiàn)圖和頻率分布折線(xiàn)圖

把頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖中每個(gè)矩形上面一邊的中點(diǎn)用線(xiàn)段連接起來(lái)。

為了方便看圖，折線(xiàn)圖都畫(huà)成與橫軸相交，所以折線(xiàn)圖與橫軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)是沒(méi)有實(shí)際意義的。

4.頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”

根據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用

中點(diǎn)近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).

因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分

布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

易錯(cuò)提醒：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)，應(yīng)注意區(qū)分這三者.在頻率分

布直方圖中：

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

舉一反三

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某校高三年級(jí)共800名學(xué)生，將其期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)分組后，得

到頻率分布直方圖如圖所示.若要從這800人中按分?jǐn)?shù)從高到低錄取72人組成數(shù)學(xué)興趣小組，則錄取分?jǐn)?shù)

線(xiàn)估計(jì)為（）

C.110分D.112.5分

2.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）某校1000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試

成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中。的值為0.004

B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的平均數(shù)為76.5

C.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明

顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率頻率

組距組距

P40

40

0

3

O..O

6

^

S

3

0

3

4

.O

3

6

A

3

4

O.

.O

.O

-

----

----

---

-—

J--

0—

0.01

.........

2........

0.01

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一」…

」一」

匕」…

.002

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II

II

II

~~

1-r

0.002

指標(biāo)

0105

9510

90

8085

75

O70

標(biāo)

130指

0125

512

011

0011

1001

O95

者

未患病

患病者

人判

C的

等于

小于或

性，

定為陽(yáng)

的人判

于C

標(biāo)大

該指

C,將

界值

定臨

需要確

準(zhǔn)，

檢測(cè)標(biāo)

定一個(gè)

指標(biāo)制

利用該

為陽(yáng)

判定

病者

未患

是將