第03講函數(shù)的概念

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、函數(shù)的概念

設(shè)集合48是非空的數(shù)集，對(duì)集合A中任意實(shí)數(shù)尤按照確定的法則/集合B中都有唯一確

定的實(shí)數(shù)值y與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A到集合B上的一個(gè)函數(shù)記作了=/（尤）

xGA其中x叫做自變量，其取值范圍（數(shù)集A）叫做該函數(shù)的定義域，如果自變量取值°,

則由法則/確定的值y稱(chēng)為函數(shù)在。處的函數(shù)值，記作y=/（a）或y|x=2,所有函數(shù)值構(gòu)成

的集合C=｛y|y=/（x）,xeA｝叫做該函數(shù)的值域，可見(jiàn)集合c是集合B的子集.

注函數(shù)即非空數(shù)集之間的映射

注構(gòu)成函數(shù)的三要素

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，所

以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則一致，就稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)，定義域和

對(duì)應(yīng)法則中只要有一個(gè)不同，就是不同的函數(shù).

二、函數(shù)的定義域

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：

（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次幕或負(fù)指數(shù)次塞的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切丁=10!11的定義域是｛%1%€尺,且》7+ezj；

（6）已知/（%）的定義域求解/'[g（x）]的定義域，或已知/[g（x）]的定義域求/（龍）的

定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子

的范圍相同；

（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的

定義域.

三、函數(shù)的值域

求解函數(shù)值域主要有以下十種方法：

（1）觀察法；（2）配方法；（3）圖像法；（4）基本不等式法，（5）換元法；（6）分離常數(shù)

法；（7）判別式法；（8）單調(diào)性法，（9）有界性法；（10）導(dǎo)數(shù)法.

需要指出的是，定義域或值域的結(jié)果必須寫(xiě)成區(qū)間或集合的形式.

四、函數(shù)的解析式

求函數(shù)的解析式，常用的方法有：（1）待定系數(shù)法：已知函數(shù)類(lèi)型，可用待定系數(shù)法求解,

先設(shè)出/（x），再利用題目中給的已知條件，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，進(jìn)而求出待定的

系數(shù)；

（2）換元法：主要用于解決已知復(fù)合函數(shù)/[g（x）]的表達(dá)式求/（x）的解析式的問(wèn)題，令

g（x）=f,解出心然后代入/[g（x）]中即可求得了⑺，從而求得〃x）,要注意新元的取

值范圍；

（3）配湊法：配湊法是將/[g（x）]右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于g（尤）的形式，進(jìn)而求出的

解析式；

（4）構(gòu)造方程組法（消元法）：主要解決已知抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問(wèn)題.方法

是根據(jù)不同的變量之間的關(guān)系，利用變換形式構(gòu)造不同的等式，通過(guò)解方程組求解.

【典型例題】

例1.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/'⑴在定義域R上單調(diào)，且尤e（0,+s）時(shí)均有

/（/（x）+2x）=l,則〃-2）的值為（）

A.3B.1C.0D.-1

例2.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足f0=于（a-1）,

則，

A.2B.4C.6D.8

例3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的y=/-爐-6》-5值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+oo)B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

（多選題）例4.（2022?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）

A.式子y=+■可表示自變量為無(wú)、因變量為y的函數(shù)

B.函數(shù)y=/（x）的圖象與直線(xiàn)X=1的交點(diǎn)最多有1個(gè)

C.若=此則中（外1

D.=與g（f）=d—2/是同一函數(shù)

例5.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合尸={x|03*},Q={y\0<y<2},下列從P到。的

各對(duì)應(yīng)關(guān)系了不是函數(shù)的是.（填序號(hào)）

①f：X—y=；x；?f：x—y=:尤；?f：x—yu'x；@f：x—y=&.

例6.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)/（x）=ln（l-57）的定義域?yàn)?

例7.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知y=/（x）的定義域?yàn)?1],求函數(shù)y=/（尤2+1）的

定義域；

（2）已知y=/（2x-i）的定義域?yàn)閇0,1],求>=/（無(wú)）的定義域；

（3）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椤?],求函數(shù)g（x）=！0?的定義域.

2x-l

例8.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式:

(1)已知+i)=x+2?；

(2)若危)對(duì)于任意實(shí)數(shù)%恒有次r)—/(—x)=3x+l；

(3)已知火0)=1,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y者R有八%一y)=/(x)—y(2x—y+D.

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))以下從M到N的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是()

A.M—R,N={y\y>0],f：x一y=|x|

B.M={x\x>2,xGW},N={y|y20,y￡V},f：x—>y=x2-2x+2

C.M=[^x>0],N=R,/：%一y=±?

D.M=R,N=R,f：x^y=—

x

2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)(理))下列函數(shù)中，不滿(mǎn)足:/(2x)=2/(%)的是

A.f(x)=\j(\B./(x)=x-|x|C.f(x)=x+lD./(x)=-x

3.(2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=12-Tog2無(wú)的定義域是()

A.(0,4]B.(—,4]C.(0,+a)D.(0,1).

4.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=J*+x+6+工的定義域?yàn)?)

x-1

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]

C.(-oo,-2]U[3,+oo)D.(-2,1)U(1,3)

、/、「1/(3x-2)

5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?2,1],則函數(shù)y=；](]_“'的定

義域?yàn)?)

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

6.(2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)f(x+l)的定義域?yàn)閇0,1],則/(Igx)的定義域?yàn)?)

A.[10,100]B.[1,2]C.[0,1]D.

[0,lg2]

7.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/[三￡|=二，則”X)的解析式為()

A-小)=自7("-1)B-/(同=一言7("_1)

c-〃龍）=^7（XWT）D.“同二一^^尤W-I）

8.（2021?黑龍江?牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））下列各組函數(shù)中，表示同一函

數(shù)的是（）

A.y—l,y—^B.y=x°,y=lC.y=y=D.y=|x|,y=>/x^

9.（2021?天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是

（）

A./(x)=x-l和g(x)=、^B./(x)=x°^g(x)=l

C.〃力=12和鼠%)=(%+1)2D.〃x)="1和g(x)=jr^y

10.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)“X）滿(mǎn)足〃X）-2/[￡|=X+2,則〃2）=（）

A.0B.2C.3D.-3

y/x+1,-1<x<。，若實(shí)數(shù)。滿(mǎn)足（）（）

11.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)〃x）=/a=/aT,

2x,x>0

則?。ǎ?/p>

A.2B.4C.6D.8

2X—x2,x>5

12.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知負(fù)x）=<則共4)切?4)=()

/(x+3),x<5

A.63B.83C.86D.91

f(3a-l)x+4a,x<l

13.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（無(wú)）=\logax,x21的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.(0,1)B.C.[。，351,+℃)D.；,ju(l,+co)

ax,x<0

14.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(九)=「八,”，滿(mǎn)足對(duì)任意％#必都

^a-2)x+3a,x>(J

有/仿)-/(*)<0成立，則a的取值范圍是()

X]-x2

313

A.〃￡(0,1)B.a^[—,1)C.(2^(0,—]D.〃￡[“2)

,/、\2x+a,x<X

5（2。22?全國(guó)攝三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)"。，函數(shù)小）=「ya'若

“1-a)=〃l+a),則〃的值為()

、3「3c.△D-

A.—B.—

4455

16.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)aW1,函數(shù)〃x）=若"

|N，4<■?U

則”的值為（）

A.-B-1

3

2Tr<0

17.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)?。?貝嗨足如+DCg）的x的取

值范圍是（）

A.(-oo,-l]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(-oo,0)

18.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=卜。，則不等式

I—x+2羽x<（J,

y（3x+2）</a—4）的解集為（）

A.(-<?,-3)B.

C.（-00,-1）D.（-00,1）

19.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)〃x）=八2）,若〃%）>2,則%的取

x^,x>0

值范圍是（）

A.（田,一l）U（4,+oo）B.（-oo,-l）

C.（4,+oo）D.（-1,4）

20.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=；<則〃2021）=（）

logs（—XJ+，,X<U

A.1B.2C.log36D.3

二、多選題

21.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合”={-M,2,4},N={1,2,4,16）,請(qǐng)根據(jù)函數(shù)定義，

下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=|x|C.y=x+2D.y=x2

22.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）若函數(shù)y=在區(qū)間［-2,-1］上有意義，則實(shí)數(shù)。

可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

23.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）是一次函數(shù)，滿(mǎn)足/（/（力）=9尤+8,則/（尤）

的解析式可能為（）

A./（x）=3x+2B./（x）=3x-2

C./（x）=-3x+4D./（x）=-3x-4

三、雙空題

~4兀2%<0i

24.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（》）=2_'n，若〃。）=一7,則。=，

九人,人Ur

若方程/（同-b=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

［1%>1

25.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（幻=尤‘一’若/?。?—1,貝拉。=；

x3,x<l

若關(guān)于X的方程/（X）=上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

四、填空題

26.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)g（?+l）=2x+3,貝ijg（3）=.

27.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)“X）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)X,>滿(mǎn)足

/（x+y）=/（x）-/（y）,且/（x）恒大于o,若刖=3,則〃一1）=—.

28.（2022?上海?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）,g（x）分別由下表給出

X123

/（X）131

X123

g(x)321

則/［g（D］的值為;滿(mǎn)足/出（?］>g"（x）］的x的值是.

29.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=log2（x2+a）,若“3）=1,貝!）”=.

30.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/Qi）的定義域是［0,1］,則函數(shù)y=/（3r-l）的

定義域是.

31.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知“X）是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3〃x+l）-2〃x-l）=2x+17,

求/(x)=

）

32.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（五+2=》+44+5,則的解析式為

2020

33.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)加）對(duì);#0的一切實(shí)數(shù)都有於）+賀——）=3尤，貝U

x

34.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知f（x）+3/（—x）=2x+l,則/⑴的解析式是.

35.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)“X）是定義在R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意等式

/（2y—x）=-2/（x）+