大題04三角形的證明與計(jì)算問題

考情分析?直擊中考

在中考中，涉及三角形壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，且三角形結(jié)合其它幾何圖

形、函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，其中一線三等角與手拉手模型較為常見，屬于

是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).

琢題突破?保分必拿

三角形角度計(jì)算的?？寄Ｐ?/p>

全等三角形的常考模型

相似三角形的?？寄Ｐ?/p>

利用勾股定理解決三角形折疊問題

全等三角形與相似三角形綜合（幾何模型）

題型一：三角形角度計(jì)算的常考模型

1.（2021.吉林?中考真題）如圖①，在RtAABC中，乙4cB=90。，乙4=60。，CD是斜邊力B上的中線，點(diǎn)

E為射線BC上一點(diǎn)，將ABDE沿DE折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.

（2）若DF1BC,垂足為G,點(diǎn)F與點(diǎn)。在直線CE的異側(cè)，連接CF,如圖②，判斷四邊形4DFC的形狀,

并說明理由；

(3)若0F14B,直接寫出NBDE的度數(shù).

1.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)貝貝在學(xué)習(xí)三角形章節(jié)內(nèi)容時(shí)，對于三角形中的角度計(jì)算問題進(jìn)行了如下

探究:

在△ABC中，已知N4BC=18°,乙C＞乙B.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若。為BC上一點(diǎn).連接力D,將AABD沿著4D進(jìn)行翻折后得至lUABiD,若乙4DC=47。，求

NBDBi的大??；

⑵如圖2,將ABEF沿EF翻折得到ABiEF,探究N1,42之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

⑶如圖3,若D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接4D,將AABO沿力D進(jìn)行翻折后得到△力Bi。，連接若小

BO2中存在50。的內(nèi)角，貝叱B/W的度數(shù)為.

2.(2023內(nèi)江六中二模)如圖①，在△ABC中，Z&BC與乙4cB的平分線相交于點(diǎn)P.

圖②圖③

⑴如果乙4=80°,求N8PC的度數(shù)；

(2)如圖②，作AABC外角NMBC,NNC8的角平分線交于點(diǎn)0,試探索NQ、乙4之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點(diǎn)E,ABQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求的度數(shù).

3.(2023?山西太原?二模)如圖，在凹四邊形A8CD中，乙4=55。，ZB=30°,ZD=20°,求N8CD的度

數(shù).

下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問題的三種方法:

方法一：作射線AC；

方法二：延長8C交AD于點(diǎn)E；

方法三：連接80.

請選擇上述一種方法，求NBCD的度數(shù).

題型二：全等三角形的?？寄Ｐ?/p>

1.（2023?貴州?中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在

等腰直角三角形中，CA=CB,^C=90°,過點(diǎn)B作射線BD14B,垂足為B,點(diǎn)P在CB上.

圖②圖③

如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫出射線P4并將射線P力繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與8D交于點(diǎn)E,根據(jù)題意在

圖中畫出圖形，圖中NPBE的度數(shù)為度;

（2）【問題探究】

根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段P4與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）【拓展延伸】

如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點(diǎn)E,探究線段B4BP,BE之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.（2023?黑龍江,中考真題）如圖①，AABC和AADE是等邊三角形，連接DC,點(diǎn)尸，G,H分別是D&DC

和BC的中點(diǎn)，連接易證：FH=V3FG.

若△48C和△2DE都是等腰直角三角形，S.Z.BAC=Z.DAE=90°,如圖②：若△A8C和△4DE都是等腰三

角形，且NB4C=NZME=120°,如圖③：其他條件不變，判斷和7G之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想,

并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

如圖1,在AABC

中，AB=6,AC=4,求BC邊上的中線力D的取值范圍.

A

【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

①延長4。到E,使得DE=AD-,

②連接BE,通過三角形全等把AB、AC,24。轉(zhuǎn)化在△ABE中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得ZE的取值范圍為ZB-BE<AE<AB+BE,從而得到4D的取值范圍是

方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)"中點(diǎn)"、"中線"字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問題解決】

(2)如圖2,4D是AaBC的中線，AE是△4DC的中線，且AC=DC,/.CAD=^CDA,下歹U四個(gè)選項(xiàng)中：

直接寫出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是.

①“4E=/.DAE@AB=2AE(3)^DAE=/.DAB@AE=AD

【問題拓展】

(3)如圖3,OA=OB,OC=OD,乙4。8與NC。?；パa(bǔ)，連接AC、BD,E是AC的中點(diǎn)，求證：OE=

-BD.

2

(4)如圖4,在(3)的條件下，若乙4。8=90。，延長E。交BD于點(diǎn)EOF=2,0E=4,則AAOC的面

積是

解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”;

②連接對應(yīng)端點(diǎn)；

③SAS證明全等.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

如圖，直線AB的同一側(cè)作△1)AABM絲AACN2)BM=CN

M

ABC和AAMN都為等邊三角形3)ZMEN=Z2=60°(拉手線的夾角等于頂

（A、B、N三點(diǎn)共線），連接角)

BM、CN,兩者相交于點(diǎn)E

4)AANF^AAMD5)AAFC^AADB

n??96)連接DF,DFIIBN7)連接AE,AE平

BAN

分NBEN8)存在3組四點(diǎn)共圓

9)EN=EM-EA,EB=EC-EA,EA=ED+EF

如圖，AABC和AAMN都為等邊1)AABMaAACN2)BM=CN

三角形（AxB、N三點(diǎn)不共3)ZM0N=60°(拉手線的夾角等于頂角)

線），連接BM、CN,兩者相交

于點(diǎn)04)連接AO,A0平分NBON

[5)存在2組四點(diǎn)共圓

,JN6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

如圖，四邊形ABCD和四邊rf

1)AAGD^AAEB2)GD=EB

形AEFG為正方形，連接EB

1

和GD,兩者交于點(diǎn)O3)GD1EB4)AO平分ZEOD

GQ：N

49

eE

【倍長中線模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中一

1)連接EC,則AABD2ECD,AB//CE

點(diǎn)，延長線段AD到點(diǎn)E使

AD=DE

2)連接BE,貝ijAADC^AEDB,ACHBE

E

已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中點(diǎn)，△BDF^ACDE

延長線段DF到點(diǎn)E使DF=DE,

連接EC/

V

【平行線中點(diǎn)模型與雨傘模型】

已知圖示結(jié)論(性質(zhì))

已知AB"CD,點(diǎn)E,F分別

PEAPOE空AQOF

在直線AB、CD上，點(diǎn)O為Aay-----/

線段EF的中點(diǎn)，延長PO交

CD于點(diǎn)Q

X--------D

FQ

如圖AP平分NBAC,BD1AP,t

AABD要AACD,AB=AC,BD=CD

垂足為點(diǎn)D,延長BD交AC于

點(diǎn)C

p

1.(2024?廣東汕頭?一模)綜合運(yùn)用

(1)如圖1,^ACE=90°,頂點(diǎn)C在直線BD上，過點(diǎn)2作481BD于點(diǎn)8,過點(diǎn)E作ED1于點(diǎn)。，當(dāng)=

DE時(shí)，判斷線段AC與CE的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果,不要求寫解答過程)

(2)如圖2,直線4：y=(x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4B,將直線匕繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至直線5求直線"的

函數(shù)解析式；

(3)如圖3,四邊形力BC。為長方形，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,-6),點(diǎn)人在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C

在x軸的正半軸上，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，。是直線y:=—2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限.若△4PD是以。為

直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.(2023,遼寧大連?模擬預(yù)測)如圖1,在△ABC中，.點(diǎn)D,E分另1」在BC,AC上，AB=BD,點(diǎn)F在BE

上，AF=EF,/.ABD=^.AFE.

4A

B----+~XCB~XC

圖1圖2

⑴在圖1中找出與ADBF相等的角并證明;

（2）求證：Z.BFD=/.AFB；

⑶如圖2,連接FD,點(diǎn)/W在EF上，AF=kDF,AEDF+AMDF=180°,求生.（用含k的代數(shù)式表示）

MF

3.（2023?河南商丘?模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐

【操作發(fā)現(xiàn)】

甲、乙兩位同學(xué)對"三角形中的中點(diǎn)問題”進(jìn)行了討論，過程如下：

如圖1,在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊力B上一點(diǎn)，連接ED.

甲同學(xué)；延長ED至點(diǎn)F,使DF=DE,連接CF,如圖2所示.

???D是BC的中點(diǎn)，BD=CD.

又?：DE=DF,^BDE=Z.CDF,.--ABDE=△CDF.（依據(jù)1：.）

乙同學(xué)；過點(diǎn)C作4B的平行線交ED的延長線于點(diǎn)F,如圖3所示.

CFWAB,:.乙B=LDCF.

又?：BD=CD,乙BDE=ACDF,.-.ABDE=ACDF.（依據(jù)2：_）

AA

圖1圖2圖3

（1）上述過程中的依據(jù)1是，依據(jù)2是「（填"SAS""ASA"或"AAS"）

【類比遷移】

（2）如圖4,在四邊形ZBCD中，ADWBC,E是DC的中點(diǎn)，連接ZE,BE,4E平分乙BAD,請根據(jù)（1）中

的方法，判斷線段AD,AB,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖4

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖5,在Rt△力CB中，AACB=90°,AB=5,BC=3,以A為頂點(diǎn)作Rt△4DE,使A4DE=

90°,Z.EAD=^CAB,AD=2,連接BE,F為線段BE的中點(diǎn).將△2DE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，^DE\\BC

時(shí)，請直接寫出線段CF的長.

題型三：相似三角形的?？寄Ｐ?/p>

1.(2023?吉林長春?中考真題)如圖①.在矩形2BCD.AB=3,4D=5,點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EB-BA-AD以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，作NPEQ=90。，EQ交邊力?；蜻?/p>

DC于點(diǎn)Q,連續(xù)PQ.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(t>0)

圖①圖②

⑴當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線段PQ的長為；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)。重合時(shí)，求tan/PQE；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸在邊4D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APQE的形狀始終是等腰直角三角形.如圖②.請說明理由；

⑷作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)尸，連接PF、QF,當(dāng)四邊形EPFQ和矩形2BCD重疊部分圖形為軸對稱四邊

形時(shí)，直接寫出t的取值范圍.

2.(2023?湖北荊州?中考真題)如圖1,點(diǎn)P是線段4B上與點(diǎn)力，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別

以4,P,B為頂點(diǎn)作41=42=N3,其中N1與N3的一邊分別是射線A8和射線B442的兩邊不在直線4B

上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段4B為等聯(lián)線.

圖1

(1)如圖2,在5x3個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1,4B為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段.請

用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段48為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留

作圖痕跡;

（2）如圖3,在RtAAPC中，乙4=90。，AC>AP,延長力P至點(diǎn)B,使ZB=AC,作的等聯(lián)角NCPD和

乙PBD.將AAPC沿PC折疊，使點(diǎn)4落在點(diǎn)M處，得到AMPC,再延長PM交BD的延長線于E,連接CE并延

長交PD的延長線于F,連接BF.

①確定APCF的形狀，并說明理由；

②若4P:PB=1:2,BF—V2k,求等聯(lián)線A8和線段PE的長（用含k的式子表示）.

3.（2023?四川?中考真題）如圖1,已知線段ZB,AC,線段AC繞點(diǎn)4在直線A8上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以BC

為邊在BC上方作RtABDC,且NDBC=30°.

D

圖1圖2圖3

⑴若NBDC=90。，以AB為邊在2B上方作RtABAE,且乙4EB=90。，NEBA=30。，連接DE,用等式表示

線段4C與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,在⑴的條件下，若DE14B,AB=4,AC=2,求BC的長；

⑶如圖3,若48CD=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)力。的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

4.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，點(diǎn)D,E在以4C為直徑的。。上，N4DC的平分線交。。于點(diǎn)B,連

接B力，EC,EA,過點(diǎn)E作EH14C,垂足為H,交4D于點(diǎn)F.

⑴求證：AE2=AF-AD；

(2)若sin乙4BD=—,AB=5,求2。的長.

【A字模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若DEIIBC

①AADE'AABC

②任=AE=DE

ABACBC

BAC

若N1=N2或N3=N4反齡誕

A①AADE'AABC

TADAE

或一=一

ABAC

②AC^AB+AD

BAC

若N1=N2

①AADE'AABC

②AC^ABM

［補(bǔ)充］該模型也被稱為子母模型,即子母模型可

以看作一組公共邊的反A模型

BJ（

［雙反A字模型］

①AAEB、ADEA、ADAC

若N1=N2=N3

②AB?AC=BE?CD

③（竺）

BDECADCD

【8字模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若AB"CDAB

X①AAOB~ACOD

②竺_BO_AB

CODOCD

DC

若N1=N2或/3=/4

反8字模型B①AAOB'ACOD

T或A防O=而BO

D

【射影定理】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若NABC=/

A①AABC~AADB"ABDC

ADB=90°

222

②AB=AC*AD,BD=AD*CDBC=AC'CD

（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）

B

③AB?BC=BD?AC（面積法）

【一線三等角】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)〉

若NB=/D=N

①AABC'ACDE

ACE=9O°

②色=言=合或BOCD=AB.

DE（可看作底*底=腰*腰）

BLedDBUcD

③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，

AABC'ACDE'AACE

若NB=/D=/ACE=

①AABC~ACDE

a

②竺?=空=竺

CDDECE

BCDBCD

③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，

5S1：zB=zD=zACE=a

AABC'ACDE~AACE

【線束模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若DE//BC

①巴=吧（左圖）

EFCC

朵②DF:FG：EG=BH：HI：CI（右圖）

B2GCBHIC

【靛】麗】

若ABIICD

AEBAEFB①竺=絲（左圖）

BECF

XX②AE：EF：BF=DH：HG:CG（右圖）

CFDCGHD

【基因【進(jìn)階】

【三角形內(nèi)接矩形模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若四邊形DEFG為矩

A①AABC?AADG

形，ANXBC

e_AG_DG_AM

^AB~AC~BC~AN

D,G

/\③若四邊形DEFG為正方形

即稱=普若假設(shè)DG=x

BCAN

則三=竺三若已知BC、AN長，即可求出x的

BENF0BCAN

值

【三平行模型】

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）

若AB〃EF〃CDD①三+2=三

ABCDEF

②+^—=

SAABCSABCDSABEC

.1FC

【手拉手模型-進(jìn)階】

【擴(kuò)展一】如圖，直線AB的同一側(cè)作AABC和AAMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線），連接BM、

CN,兩者相交于點(diǎn)E,則存在多組相似三角形.

1.（2023,浙江湖州?模擬預(yù)測）如圖a,在△ABC和A/WE中，zBXC=^DAE=90°,^ABC=^ADE=

30°,AC與。E相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。在BC邊上，連接CE.

圖Q圖6

⑴求證：LABD-^ACE；

(2)若絲=百，求sin/CDE的值；

BD

⑶將AADE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度到△力力E，(如圖b),若乙4E，B=30。，AE'=事,,CE'=6,求

BE'的長.

2.(2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)【問題探究】

(1)如圖1,BD、2C相交于點(diǎn)P,連接8C、AD,且41=乙2,若PB=6,PC=3,PD=4,貝l|P4的長

為;

(2)如圖2,/.MON=120°,點(diǎn)P是乙MON平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)力、B分別在射線OM、ON上，且

4APB=60°,求證：四邊形O4PB的面積是定值；

【拓展運(yùn)用】

(3)如圖3,某創(chuàng)業(yè)青年小李租用一塊形如四邊形2BCD的田地養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，其中40IBC,ZB=

90°,4B=120米，4。=60米，BC=110米，點(diǎn)E為入口，點(diǎn)E在上，=AD,小李計(jì)劃過點(diǎn)E修

一條垂直于CD的筆直小路EF,將田地分為兩部分，四邊形AEFD區(qū)域?yàn)榉涑矃^(qū)，四邊形BCFE區(qū)域?yàn)榉湓?/p>

植物生長區(qū)，在點(diǎn)F處設(shè)立售蜜點(diǎn)，為了方便取蜜，計(jì)劃再沿4F修一條筆直的小路4F,直接寫出小路4尸

的長(小路的寬度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào))

3.(2023?吉林長春?模擬預(yù)測)【知識(shí)點(diǎn)】三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心.

【解決問題】如圖①，在△ABC中，D、E分別是邊BC、4B的中點(diǎn)，求證：器=^=g

【歸納】用文字語言敘述【解決問題】反映的關(guān)于三角形重心的性質(zhì)；

【應(yīng)用】如圖②，在AABC中，。是邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交邊力B、4C于點(diǎn)E、F,若力B=

5,AC=3,BE=2,貝UCF=_.

在△ABC中，AB=AC,過點(diǎn)。作DF1AC,垂足于點(diǎn)F.

⑴求證：直線。F是。。的切線；

(2)若。。半徑為4,ZCDF=15°,求陰影部分的面積;

(3)求證：BC2=4CF-AC.

題型四：利用勾股定理解決三角形折疊問題

1.(2022?新疆?中考真題)如圖，在AA8C巾，乙48c=30。，48=AC,點(diǎn)。為2C的中點(diǎn)，點(diǎn)Z)是線段

0c上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)。，C重合)，將△4CD沿4。折疊得至必4ED,連接BE.

(1)當(dāng)月E18c時(shí)，/LAEB=°；

(2)探究〃EB與NC4D之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

⑶設(shè)力C=4,△ACD的面積為x,以為邊長的正方形的面積為y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式.

已知在RtZ\ABC中，ZABC=90°，AB=3,BC=4,AC=5

1.（2023?貴州貴陽?模擬預(yù)測）（1）【閱讀理解】

如圖①，在RtAdBC中，ZXCB=90°,CD是斜邊力B上的中線.試判斷CD與4B的數(shù)量關(guān)系.

解決此問題可以用如下方法:

延長CD至點(diǎn)E,使=連接4E,BE.易證四邊形4CBE是矩形，得到AB=EC,即可作出判斷.則

圖③

（2）【問題探究】

如圖②，直角三角形紙片力BC中，乙4cB=90。，點(diǎn)。是48邊的中點(diǎn)，連接CD,將△4CD沿CD折疊，點(diǎn)

A落在點(diǎn)￡處，此時(shí)恰好有CE1AB.若BC=2,求CE的長度.

（3）【拓展延伸】

如圖③，在等腰直角三角形4BC中，4C=BC=4,NC=90。，。是邊4B的中點(diǎn)，E,尸分別是邊AC,BC

上的動(dòng)點(diǎn)，且DE1DF,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，EF的中點(diǎn)/所經(jīng)過的路徑長是多少？

2.（2023?廣西南寧?二模）如圖1,在直角三角形紙片ABC中，^BAC=90°,AB=6,AC=8.

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】

將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片2BC使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，然后展開鋪平，得到

折痕DE；第二步：然后將ADEC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到AIIFG,點(diǎn)E,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)RG,

直線GF與邊4C交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊AB交于點(diǎn)N.

【數(shù)學(xué)思考】

（1）折痕DE的長為；

（2）在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系；并證明你的結(jié)論；

【數(shù)學(xué)探究】

（3）在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，探究下列問題：

①如圖2,當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，AM的長為；

②如圖3,當(dāng)直線GF||BC時(shí)，求AM的長；

【問題延伸】

（4）在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，連接4尸，貝必尸的最小值為.

3.（2023?江蘇泰州?二模）如圖1,將Rt△48c（乙4=90。）紙片按照下列圖示方式折疊：①將△4BD沿8。

折疊，使得點(diǎn)4落在8C邊上的點(diǎn)M處，折痕為BD；②將ABEF沿EF折疊，使得點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，折痕為

EF；③將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，展開后如圖2,BD、PF、DF、DP為圖1折疊過程中產(chǎn)生的

折痕.

圖1

圖2備用圖

⑴求證：DPWBC；

（2）若DE'落在DM的右側(cè)，求NC的范圍；

⑶是否存在NC使得DE與NMDC的角平分線重合，如存在，請求NC的大??；若不存在，請說明理由.

題型五：全等三角形與相似三角形綜合（幾何模型）

1.（2023?江蘇宿遷?中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即NCEF=

乙4EF）.小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)。處

恰好通過鏡子看到建筑物的頂端4.經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD=1.7m,BE=20m,DE=

【活動(dòng)探究】

觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)。處不動(dòng)，將鏡子

移動(dòng)至Ei處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G,測出D%=2m；再將鏡子移動(dòng)至段處，恰好通過鏡子

看到廣告牌的底端A，測出DE2=3.4m.經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離CD=1.7m,BD=10m,求這

個(gè)廣告牌AG的高度.

小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號(hào)塔A8的高度.他們給出了如下測量步驟（如

圖）：①讓小軍站在斜坡的底端。處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離CD=1.7m）,小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平

放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂&②測出DE=2.8m；③測出坡長2。=17m；④測

出坡比為8:15（即tan/NDG=,）.通過他們給出的方案，請你算出信號(hào)塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

15

B

EC

~GD

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,Z.BAC=AEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點(diǎn)D.貝UBE與CF的數(shù)量關(guān)系：,乙BDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,^BAC=^EAF=120°,連接BE,

CF,延長BE,FC交于點(diǎn)D.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及NBDC的度數(shù)，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,ANBC和均為等腰直角三角形，ABAC=LEAF=90°,連接BE,CF,且點(diǎn)

B,E,F在一條直線上，過點(diǎn)4作垂足為點(diǎn)M.貝歷尸，CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

⑷實(shí)踐應(yīng)用：正方形48CD中，AB=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)P滿足ABPD=90。，PD=1,則

S&4BP=-

3.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)【發(fā)現(xiàn)】如圖1,有一張三角形紙片2BC,小宏做如下操作：

BMN

(1)取48,AC的中點(diǎn)。，E,在邊BC上作MN=OE；

(2)連接EM,分別過點(diǎn)N作DG1EM,NH1EM,垂足為G,H-,

(3)將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CE”N剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)

180。至四邊形ZEST的位置;

(4)延長PQ,ST交于點(diǎn)、F.

小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的:

①點(diǎn)。，A,T在一條直線上；

②四邊形FPGS是矩形；

FQT=AHMN；

④四邊形廢65與4ABC的面積相等.

【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進(jìn)行證明.

【任務(wù)2］如圖2,在四邊形2BCD中，ADWBC,P,Q分別是AB,CD的中點(diǎn)，連接PQ.求證：PQ=

|(71￡)+5C).

【任務(wù)3］如圖3,有一張四邊形紙力BCD,ADWBC,AD=2,BC=8,CD=9,sinzDCfi=支小麗分別

取AB,CD的中點(diǎn)P,Q,在邊BC上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼

成了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長.

1.(2023?河南信陽?模擬預(yù)測)閱讀理解：如圖1,在四邊形4BCD中，4B||DC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若4E

是乙84。的平分線，試判斷A8,AD,DC之間的等量關(guān)系.

⑴解決此問題可以用如下方法：延長4E交DC的延長線于點(diǎn)F,MffiA/lFSHAFEC,得到力B=FC,從而

把48,AD,DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，即可判斷.AB,AD,DC之間的等量關(guān)系為；

(2)問題探究：如圖2,在四邊形ABCD中，AB||DC,”與DC的延長線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若4E

是NB4F的平分線，試探究力B,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶問題解決：如圖3,AB||CF,2E與BC交于點(diǎn)E,BE：EC=2：3,點(diǎn)。在線段4E上，B.AEDF=

^BAE,試判斷力B,DF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論.

2.(2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測)(1)問題呈現(xiàn)：

如圖1,△ABC和AADE都是等邊三角形，連接BO,CE.易知嬰=_.

A

A

-------------0c

圖1

(2)類比探究

如圖2,△48。和44。￡1都是口1:/\,N4BC==^ADE=90°,且變=絲=三.連接BD,CE,求處的值；

BCDE4CE

A

BC

圖2

(3)拓展提升：

如圖3,AABC是等腰直角三角形，^ACB=90°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ADE,連接BD,

EC,延長EC父BD于點(diǎn)F,設(shè)=6,求EF的長.

A

;

BFD

圖3

3.(2023?江蘇蘇州?一模)如圖①，矩形ABC。，E是8c上的一點(diǎn),連接4E,過E作2E的垂線交矩形外角

DCF的平分線于點(diǎn)G,黑=匕

BE

:工

BECFBECF

圖①圖②

⑴若E是BC邊中點(diǎn).

①求槳的值(用含左的代數(shù)式表示).

②連接4G交CD于點(diǎn)”，連接EH,若N4HE=90。，求上的值.

(2)若瑞=如請直接寫出黑的值(用含底機(jī)的代數(shù)式表示).

ECEG

(3)如圖②，尸為邊CD上一點(diǎn)，連接AP,PG,^PAE=45°,若BE=1,EC=2,S.PG1EG,求PG的

長.

蘢變》0,模擬.

1.(2023?貴州銅仁?模擬預(yù)測)如圖1,矩形ABC。的一條邊4D=8,將矩形2BCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在

CD邊上的P點(diǎn)處，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連接2P、OP、0A.

⑴求證：△0CPfPDA

⑵如圖2,擦去折痕2。、線段。P,連接BP.動(dòng)點(diǎn)”在線段力P上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、4不重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段

4B的延長線上，且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作“后1182于點(diǎn)石.探究：當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,

線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

2.(2024?廣東?一模)在AABC中，CA=CB,AACB=a.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4C重合的任意一點(diǎn).連

接AP,將線段力P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到線段DP,連接力D,BD,CP.

⑴觀察證明如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)

①猜想BD與CP的數(shù)量關(guān)系為,并說明理由.

②直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是.

(2)類比猜想

如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，請直接寫出詈的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)

(3)解決問題

當(dāng)a=90。時(shí)，若點(diǎn)E,F分別是C4C8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C,P,。在同一直線上時(shí)

書的值.

3.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測）如圖，AaBC中，CDlAB^D.AC=10cm,AD=8cm,點(diǎn)E在4c上，且

CE=CD,連接DE,點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，以2cm/s的速度沿AC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過F作FG14B于G,FH1CD

于H,得至U矩形FGD”,DE與矩形FGDH的邊交于點(diǎn)M,連接DF,當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)力、E、C重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)F的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）,AFOM的面積為S（cm2）.

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍.

4.（2023?吉林四平?模擬預(yù)測）【解決問題】如圖①，在四邊形ABCD中，Z.DAB=AABC=90°,點(diǎn)E是邊

4B的中點(diǎn)，^DEC=90°,求證：DE平分N4DC.（提示：延長OE交射線CB于點(diǎn)F）

【應(yīng)用】如圖②，在矩形A8CD中，點(diǎn)F是邊8c上的一點(diǎn)，將A4B尸沿直線2尸折疊，若點(diǎn)B落在邊DC的

中點(diǎn)E處，貝l|sinNB2F=

【拓展】在矩形4BCD中，AD>AB,點(diǎn)E為邊4。的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，得到△FBE,延長BF

交直線CD于點(diǎn)G,直線EF交邊于點(diǎn)H.若CG=1,DG=2,直接寫出HF的長.

5.（2023?海南?？?模擬預(yù)測）如圖1,在