第一章數(shù)與式

第04講二次根式

口題型09二次根式的混合運(yùn)算

模擬基礎(chǔ)練口題型10二次根式估值

□題型11與二次根式有關(guān)的新定義問(wèn)題

口題型01二次根式有意義的條件

口題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

口題型02與二次根式有關(guān)的開(kāi)放性試題

口題型13二次根式的應(yīng)用

□題型03二次根式的非負(fù)性

口題型04二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)重難創(chuàng)新練

口題型05二次根式與數(shù)軸

口題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

□題型07最簡(jiǎn)二次公式的判斷真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型08分母有理化

模擬基礎(chǔ)練?

□題型01二次根式有意義的條件

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在函數(shù)y=-力-后G中，自變量》的取值范圍是—

【答案】x>一1且久豐2

【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，得：％-2力0且％+1》0,

解得x>-1且x豐2,

故答案為：*》—1且％中2.

2.（2024?黑龍江綏化?模擬預(yù)測(cè)）要使代數(shù)式GI+VI=^有意義，則x的取值范圍是（）

A.%>2B.x<2C.x=2D.全體實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：要使代數(shù)式k^+&"有意義

?,?%—2>0,2—x>0

?,?%=2

故選：C

3.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）［a］表示不超過(guò)。的最大整數(shù).若實(shí)數(shù)。滿足方程a=則［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及不等式的解法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及不等式的解法是解題

的關(guān)鍵；由題意易得a20,l-l>0,a-->0,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

aa

【詳解】解：由。=I1--+可知:a>0,1-i>0,a-->0,

7a7aaa

解得：a>lf

-［a］=1；

故選A.

4.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）整數(shù)a滿足小一6<。v〃+［成立，貝必為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題中的二次根式的運(yùn)算，有理數(shù)的乘方逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握運(yùn)

算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，a2—=0,a2+1=1,

a2-Va<a<a2+1不成立，不符合題意；

B、當(dāng)a=l時(shí)，a2—=0,a2+1=2,

a2—<a<a24-1成立，符合題意；

C>當(dāng)a=-1時(shí)，歷無(wú)意義，不符合題意；

D、當(dāng)a=l時(shí)，a2—y/a=0,a2+1=2,M—正<。/十］成立，當(dāng)。=—1時(shí)，G無(wú)意義，不符合題

思；

故選：B.

□題型02與二次根式有關(guān)的開(kāi)放性試題

1.（2024松江區(qū)三模）下列機(jī)取值中，能滿足后在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于零是二次根式有意義的條

件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)不小于零，直接解答即可.

【詳解】:而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

???m>0,

則在四個(gè)選項(xiàng)中，只有巾=2024時(shí)，標(biāo)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；

故選：B.

2.（2024.河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）若凡是正整數(shù)，則。不可能的值為（）

11

A.zB,-C.2D.8

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)能開(kāi)平方的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：A、J32xj=V8=2V2,故不是正整數(shù)，符合題意；

B、,32xi=V16=4,故是正整數(shù)，不符合題意；

C、V32V2=V64=8,故是正整數(shù)，不符合題意；

D、V32x8=V256=16,故是正整數(shù)，不符合題意；

故選：A.

3.（2024?浙江.模擬預(yù)測(cè)）若式子焉在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可以是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

Vl-x

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件和分式

有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0,分式有意義的條件是分母不為0進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???式子春在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

Vl-x

???1—%>0,

解得％<1.

.?.X的值可以是0,

故答案為：0（答案不唯一）.

4.（2024?山西大同?模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與何的積是有理數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是.（寫(xiě)

出一個(gè)即可）

【答案】V3（答案不唯一）

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，二次根式的性質(zhì)，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法法

則是解本題的關(guān)鍵.

先化簡(jiǎn)歷，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算后確定這個(gè)符合條件的無(wú)理數(shù).

【詳解】??,仞=3百，3V3XV3=9,

這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是百，（答案不唯一）

故答案為：V3（答案不唯一）.

口題型03二次根式的非負(fù)性

1.（2024儀征市一模）若|2023-？n|+-2024=m,則m-2023?=.

【答案】2024

【分析】本題考查二次根式有意義，先根據(jù)Sn—2024得到m22024,再化簡(jiǎn)絕對(duì)值計(jì)算即可.

【詳解】解：Vm-2024,

??m>2024,

,?,|2023—m|+Vm-2024=m,

■'-m-2023+7m-2024=m,

-,-y/m-2024=2023,

???m-2024=20232,

■■.m-20232=2024,

故答案為：2024.

2.（2024?四川廣元?三模）先化簡(jiǎn)，再求值1一年粵工+號(hào)，其中a、6滿足（a-&『+lb+l=0.

az-aba-bv，72

【答案】烏

【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，先計(jì)算分式的除法運(yùn)算，再計(jì)算分式的減法運(yùn)算,

再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解a=&,匕=-|，再代入計(jì)算即可.

a2+4ab+4b2a+2b

【詳解】解：一

1a2-aba-b

(a+2b￥a—b

—]----------------

a(a-b)a+2b

aa+2b

aa

_2b_

-9

a

??,(a-V2)2+Jb+1=0,

??.a—V2=0,b+-=0,

2

解得：a=V2,b=—I，

原式=一竺2=七=字

v2V22

□題型04二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

1.(2024.貴州畢節(jié).模擬預(yù)測(cè))若7<t<9,則化簡(jiǎn)|5-t|+J(t-10)2的結(jié)果是()

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)7<t<9化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求出，(t—10)2

的算術(shù)平方根，然后計(jì)算求解即可.

【詳解】解:"<t<9,

=t—5+10—t

=5,

故選：A.

2.(2024?甘肅武威二模)已知一次函數(shù):y=-mx+n的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,則化簡(jiǎn)'(仁一中產(chǎn)+標(biāo)

的結(jié)果是()

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可得-爪<0,n<0,

再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?.?一次函數(shù)y=—加式+n的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，

m<0,n<0,即m>0,n<0,

—n)2+

=|m—n|+\n\

=m-n—n

=m—2n,

故選：D.

3.（2024?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的三邊分別為2,%5,化簡(jiǎn)-6%+9+氏-7|=

【答案】4

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵.

首先根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系求得％的范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【詳解】解：???2、X、5是三角形的三邊,

?，.3<%<7,

%—3>0,x—7<0,

???原式=—31+—7尸=|x-3|+|x—7|=x—3+(7—%)=4.

故答案為：4.

r

4.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/=〃+.+*++.+*+/1++,*,+/1+777777n742則不

7廿247243/y3Z4Z-M2023/2024z

超過(guò)a的最大整數(shù)為()

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)1++++=(管-^)2把原式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)化簡(jiǎn)，然后計(jì)

算求解即可.

【詳解】解：對(duì)于正整數(shù)n,有

11

14--71-21T--(-九--+--1-)-2

/1\221

=(1H—)----F7---7V7

\nJn(n+1)2

=*2二+(八

\nJn\n+1/

總〔

,1,1n+11.,11

w1+運(yùn)+?^=丁一言=1+5_;^'

,必=J1+]+\+J1+]+++J1+]+喪+,■,+J1+募+高

1+1_1+(1+*+(1+T+…+(1+募一

12.

=2四一感

不超過(guò)4的最大整數(shù)為2024.

故選：D.

口題型05二次根式與數(shù)軸

1.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則由不+l+|a-1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是

（）

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸.先根據(jù)數(shù)軸分析出a的取值范圍，再根據(jù)二次根式

的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知0<a<1,

ci-1V0,

*，?J（—a）2+1+|（1—1|=a+l+l—ci=2.

故選：A.

2.（2024?江蘇鹽城?三模）a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a-m-后的結(jié)果是（）

[■1a

b0。

A.2a-bB.bC.—bD.—2a+b

【答案】c

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)數(shù)軸得到b<0<a,

則a-6>0,據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求算術(shù)平方根即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，b<0<a,

■■.a—b>0,

—b\—=a—b—a=—b,

故選：C.

3.（2023?山東濱州?二模）若實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)后一年+J（a+6尸的

結(jié)果是?

a

__I_____i.i____?_____ibii?

-3-2-10123

【答案】-2a-2b

【分析】首先由實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可

求解.

【詳解】解：由實(shí)數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,

a+b<0,

■■■+J（a+I.

=|a|—\b\+|a+b|

=—a—b—（a+b）

——a—b—a—b

=—2a—2b

故答案為：-2a-2b.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)二次根式，去絕對(duì)值符號(hào)，整式的加減運(yùn)算，熟

練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2024.河北.二模）計(jì)算/X連的結(jié)果為,這個(gè)數(shù)落在了數(shù)軸上的段.

【答案】2百④

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算與估值，掌握運(yùn)算方法與估值技巧是解題關(guān)鍵.利用二次根式乘法計(jì)

算即可，注意結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式，再利用找相鄰兩數(shù)的平方的方法估值即可.

【詳解】解：V2xV6=V12=2A/3,

?.?9<12<16,

???3<273<4,

??.2次落在第④段，

故答案為：2V3；④.

口題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）老師在復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算時(shí)，給出了一道題：計(jì)算百x（W-魚(yú)）+&X

（V3-V2）.甲、乙分別給出了不同的解法：

甲：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=3—V6+V6—2

=1.

乙：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=(V3+V2)x(V3-V2)

=(V3)2-(V2)2

=1.

對(duì)于甲、乙的計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，下列判斷正確的是()

A.甲和乙都對(duì)B.甲對(duì)乙錯(cuò)

C.甲錯(cuò)乙對(duì)D.甲和乙都錯(cuò)

【答案】A

【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法分配律的

逆用和二次根式的混合運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則和乘法分配律的逆用即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：甲和乙都對(duì)，

故選：A.

2.(2024.天津?yàn)I海新.模擬預(yù)測(cè))計(jì)算(代一百『的結(jié)果等于.

【答案】8-2V15/-2V15+8

【分析】本題考查了二次根式的乘法.根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：(迷-百『

=5-2V15+3

=8-2同.

故答案為：8-2V15.

3.(2024.山西長(zhǎng)治.模擬預(yù)測(cè))計(jì)算(VH-同)(VH+g)的結(jié)果為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】(⑶-vi9)(vn+vi9)

=21—19

=2,

故答案為：2.

4.(2024?江蘇蘇州?三模)計(jì)算：(/一Ip。?7或+1『°23的結(jié)果是.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】本題考查了積的乘方逆用，二次根式的乘法運(yùn)算以及平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題

的關(guān)鍵.把原式變形為(a—e+1)2°23(魚(yú)—1),逆用積的乘方計(jì)算即可.

[詳解]解：(a_1)2°24*(a+1)2°23

223

=(V2-以°23X(V2+1)°X(V2-1)

=[(V2-1)X(V2+1)]2°23X(V2-1)

「712023

=[(V2)-l2]x(V2-1)

=I2023x(V2-1)

-1x(V2-1)

=V2—1,

故答案為：V2—1.

口題型07最簡(jiǎn)二次公式的判斷

1.(2024.廣東江門(mén)?模擬預(yù)測(cè))下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是()

A.V32B.VOAC.D.V15

【答案】D

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：A.V32-4V2,不是最簡(jiǎn)二次根式；

B.屈=?，不是最簡(jiǎn)二次根式；

c.11=；值,不是最簡(jiǎn)二次根式；

D.同是最簡(jiǎn)二次根式；

故選D.

2.(2024?河北.模擬預(yù)測(cè))若“的倒數(shù)是J則正的值為一.

【答案】2V2

【分析】本題考查的是倒數(shù)的含義，二次根式的化簡(jiǎn)，先求解a=8,再化簡(jiǎn)聲即可.

【詳解】解：:a的倒數(shù)是；，

8

'-a=8,

?—yj8—2V2；

故答案為：2位.

3.（2024.吉林長(zhǎng)春.二模）位與最簡(jiǎn)二次根式2,27n+1是同類二次根式,則機(jī)的值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)同類二次根式定義可知26+1=7,求出解

即可.

【詳解】:近與最簡(jiǎn)二次根式不I是同類二次根式，

--2m+1=7,

解得Hl=3.

故答案為：3.

4.（2024.江西九江.三模）在等式“（）+&=&”中，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的最簡(jiǎn)根式為.

【答案】2V3

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法和除法，根據(jù)題意，列出二次根式的乘法算式即可求解.

【詳解】解：括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)為：V2xV6=V12-2V3,

故答案為：2回

1.（2024.江蘇南京.二模）計(jì)算縹漁的結(jié)果是_.

□題型08分母有理化V8

【答案】I

【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，再根據(jù)二次根式的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=型等=金=5

故答案為：|.

2.（2024.廣東.模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：丁十7+事+2，其中尤=迎一1

xz-4x+42-xx-2

【答案】V2+1

X

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的乘法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將X的值代入化簡(jiǎn)后的

式子即可解答本題.

【詳解】解：原式=金?一+」：

（x-2）2xx-2

2x

=----------1--------

x（x—2）%（%—2）

%—2

%(%—2)

1

一%,

當(dāng)％=魚(yú)一1時(shí)，原式=蠢=語(yǔ)恭討=迎+1.

3.（2024?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)求值：7+（%-生產(chǎn)）+1,請(qǐng)你自選x,y的值，其中x為負(fù)整數(shù),

y為無(wú)理數(shù).

【答案】當(dāng)％=—Ly=時(shí)，原式=2V2—2.

【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值及分母有理化，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，然后選取適當(dāng)?shù)闹荡?，利用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算求解即可;

【詳解】解：—出土）+1

X\X/

2222

--x--—--y---：__x__—___2_x_y_+__y___

XX

(%+y)(x—y)(x—y)2

xx

_O+y)(%-y)x

x(x—y)2

_(x+y)

一(%-y)

%+yx-y

x—yx—y

%+y4-x—y

x—y

2x

x—y

當(dāng)汽=—1,y=魚(yú)時(shí)，

-2_2_2(涯_1)等=2迎-2

原式=-1-V2-V2+1-(V2-1)(V2+1)

4.（2024.黑龍江哈爾濱.二模）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式三+（a+l—六）的值，其中a=2sin60。一2tan45。.

【答案】吃，當(dāng)

a+23

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法，然后將a的值的代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可.

【詳解】解：三I（。+1一言）

a—2a2—4

CL—1CL—1

CL—2CL—1

a—1(a—2)(a+2)

1

a+2

a=2sin60°-2tan45°=2Xy-2x1=V3-2,

i_1_V3

當(dāng)a=V3—2時(shí)，原式=

V3-2+2-V3-3

□題型09二次根式的混合運(yùn)算

1.（2024.甘肅隴南.模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：V2xV3-J|xV12+V2

【答案】V2

【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再合并即可；

【詳解】解：V2xV3-J|xV12+V2

V6-V6+V2

=&

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（IT一百）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

【答案】-1

【分析】本題考查實(shí)數(shù)計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，二次根式化簡(jiǎn)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，負(fù)指數(shù)累等.根據(jù)題意先

將每項(xiàng)整理計(jì)算，再?gòu)淖蟮接乙来斡?jì)算即可.

【詳解】解：（TT一次）°+2cos3（?-V12-|V3-2|-2-1,

=1+2x——25/3-2+V3—,

22

=1+V3-2A/3-2+V3-3，

3

2,

3.（2024廣東中山?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：-------（2020+sin30°）0-V12+（-

tan60°-l\3/

【答案】9-V3

【分析】首先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)塞，二次根式分母有理化，然后計(jì)算加減.

此題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)基，二次根式分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握以

上運(yùn)算法則.

【詳解】解：—京-（2。20+sin30。）?！猤+（―曠

2

-1-2V3+9

V3-1

=V3+1-1-2V3+9

=9-V3.

4.（2024.浙江杭州?一模）以下是小濱計(jì)算值-J[的解答過(guò)程:

解：原式=2A/34-^-2A/3

=5/6—2V3.

小濱的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

【答案】有錯(cuò)誤；2V6—當(dāng)

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算.先把g和電化簡(jiǎn)，再?化為專，接著把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法

運(yùn)算，然后根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算.

【詳解】解：小濱的解答過(guò)程有錯(cuò)誤；

正確的解答過(guò)程：

口題型10二次根式估值

1.（2024.云南昆明.二模）估算g—述x]|的結(jié)果在（）

A.0和1之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的乘法和減法及無(wú)理數(shù)的估算，先根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，再估計(jì)即可.

【詳解】解：V12-V6XJ|=V12-^6x|=V12-2=2V3-2,

???V9<V12<V16,即3<V12<4,

???3<2V3<4

1<2V3—2<2,

2百一2在1和2之間,

故選：B.

2.（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）估計(jì)（2a+4）+專的值為（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、

算術(shù)平方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，計(jì)算出（2/+4）+專，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法，即可解決此題.

【詳解】解：（2夜+4）+專

rL、魚(yú)

=（2V2+4）X—

=2+2V2,

V4<8<9,

???2<2A/2=V8<3,

，4<2+2,\/2<5,

（2V2+4）+5的值在4和5之間，

故選：B.

3.（2024?江蘇南京?一模）如圖，實(shí)數(shù)機(jī)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5.下列各數(shù)中，與加最接近的

是（）

M

----??------------>

m------0

A.-4V2B.-3V2C.-2V2D.-V2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得到爪=一5=-V25,-V32<-V25<-V18<-V8<一企,繼而得到|一反+5|-

|-5+V18|<0,解答即可.

本題考查了絕對(duì)值，實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握兩點(diǎn)間距離越小，兩個(gè)數(shù)越靠近是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)題意，得到爪=-5=-V25，

因?yàn)橐?夜=一翅，-3V2=-V18,-2V2=-V8

所以一V32<—。25<—V18<-V8<—V2

所以一5在一4&,—3夜之間，

所以+5|—|—5+V18|

-V32-5-5+V18

=7V2-10

=V98-V100<0

所以數(shù)軸上表示數(shù)m與-4位的距離小于表示數(shù)m與-3企的距離，

即數(shù)機(jī)與-4&最接近，

故選A.

4.（2024.云南昆明.模擬預(yù)測(cè)）如圖，估計(jì)遍x（專-1）的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在（）

ABCD

-5-4-3-2-1012345

A.點(diǎn)4處B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處D.點(diǎn)D處

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

先利用乘法分配律化簡(jiǎn)，然后再估算無(wú)理數(shù)的大小即可.

【詳解】解：V3x（^-1）

=V3x--V3

=1-V3

???VT<V3<V4,

??-1<V3<2,

-1<1-V3<0,

???由圖象點(diǎn)的位置可得：2點(diǎn)符合.

故選：B.

□題型11與二次根式有關(guān)的新定義問(wèn)題

1.（2023?山東荷澤.三模）對(duì)于實(shí)數(shù)P,我們規(guī)定:用｛旃｝表示不小于血的最小整數(shù).例如:｛〃｝=2,｛遮｝=2,

第一次第二次第三次

現(xiàn)在對(duì)72進(jìn)行如下操作：72-｛V72｝=9;｛V9）=3｛皆｝=2,即對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后

變?yōu)?.類比上述操作：對(duì)36只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?

【答案】3

【分析】理解題中新定義運(yùn)算的規(guī)則，對(duì)36進(jìn)行運(yùn)算即可.

第一次第二次第三次

【詳解】解：由題意可得：36—{V36}=6—{V6)=3-{V3]=2

故答案為：3

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算以及掌握二次根式的性質(zhì).

2.(2024?內(nèi)蒙古烏海?一模)對(duì)于任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a,b定義新運(yùn)算“※，，規(guī)定：=華如，求

b-a

2※(、-1)中工的取值范圍是.

【答案】x>1且久H3

【分析】本題考查了定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，二次根式的意義,分式的意義,根據(jù)新定義，由2x-1)=至空三,

x—3

得到％-120且“-3力0即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:a刈=華些,

V2xVx-l_V2xVx-l

???2※（久—1）

（X—1）—2X—3

.,?%—1>0且％—3H0,

???X>1且久W3,

故答案為：%之1且%W3.

3.(2024烏海二中一模)對(duì)于任意的正數(shù)a、b,定義運(yùn)算“*”為計(jì)算a*b=+巧?匕)計(jì)算(5*2)x

IVa-y/b(a<b)

(8*20)的結(jié)果為.

【答案】-6

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

新定義把數(shù)值代入得(遙+V2)x(V8-V20),再化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=(遙+/)x(我一例)

=(V5+V2)x(2V2-2V5)

=2(V5+V2)X(V2-V5)

=2x(2-5)

=—6,

故答案為：-6.

4.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))材料一：若a是正整數(shù)，a除以3的余數(shù)為1,則稱a是“三拖一數(shù)”.例如：13

是正整數(shù)，且13+3=4…1,則13是“三拖一數(shù)”.

材料二：對(duì)于任意四位正整數(shù)0,p的千位數(shù)字為a、百位數(shù)字為b、十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)材字為d,規(guī)定:

F(P)=鬻

請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：

(1)判斷：124,1838是不是“三拖一數(shù)”？并說(shuō)明理由；

(2)若四位正整數(shù)p是“三拖一數(shù)”，p的千位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字的和等于9,百位數(shù)字與十位數(shù)字的和等

于8,J而是有理數(shù)，求所有滿足條件的p.

【答案】(1)124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”，理由見(jiàn)解析.

⑵所有滿足條件的〃的值為1717、4081、4531.

【分析】⑴根據(jù)“三拖一數(shù)”的定義即可一一判定；

(2)任意四位正整數(shù)),設(shè)p的千位數(shù)字為.、百位數(shù)字為從十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)字為乙則

p=1000a+100b+1Qc+d,根據(jù)題意可知：2a+d=9,b+c=8,化簡(jiǎn)整理可得p=4500+99b+9c-498d+6+c—d,若p

為“二拖一數(shù)”，則b+c-d必須為“二拖一數(shù)”，可設(shè)b+c-d=3k+l(k>0且4為整數(shù))，則k=~~~=

分類討論可確定4=7、。=1或d=l、a=4,再根據(jù)是師5有理數(shù)，則F(p)是有理數(shù)的完全平方數(shù)，列出情況

分類討論即可確定滿足條件的p.

【詳解】(1)解：124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”

理由如下：

1244-3=41-1

二124是“三拖一數(shù)”

???1838+3=612…2

.?.1838不是“三拖一數(shù)”

(2)解：任意四位正整數(shù)p,設(shè)°的千位數(shù)字為八百位數(shù)字為6、十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)字為d,則

p=1000〃+100。+1Oc+d,

根據(jù)題意可知：2a+d=9,b+c=8

9-d

a=—

2

???p=1000a+100/?+10c+d

=1000(—)+100b+lOc+d

2

=4500+100b+10c-499d

=4500+99b+9c—498d+b+c—d

,：p是'三拖一數(shù)”且4500+99力+9c-498d能被3整除，

???b+c-d是“三拖一數(shù)”，

設(shè)b+c—d=3k+1(々20且人為整數(shù))，

.匕+

k=---c—--d-—18—d—17—d

當(dāng)k=—=0時(shí)，d=7,a=—^―=1,

當(dāng)時(shí),d=4,a==|（舍）,

當(dāng)k=—=2時(shí)，d=La=等=4，

因?yàn)镴麗有理數(shù)，則F（p）是有理數(shù)的完全平方數(shù),

l,、a+b

Ftp）=---

wc+d

當(dāng)d=7,a=1,

b=0,c=8時(shí)，尸（p）弓（舍）；

b=l,c=7時(shí),尸⑺噌（舍）；

b=2,c=6時(shí)，F(xiàn)（p）=V（舍）；

b=3,c=5時(shí),F（p）號(hào)（舍）；

b=4,c=4時(shí)，F(xiàn)（P）4（舍）；

F（p）*（舍）；

b=5fc=3時(shí)，

b=6,c=2時(shí)，F(xiàn)（P）W（舍）；

b=7,c=1時(shí)，F(xiàn)（P）=g=l；

b=8,c=0時(shí)，尸（p）3（舍）；

當(dāng)d=l,a=4,

b=0,c=8時(shí)，F(xiàn)（P）=/

b=l,c=7時(shí)，F(xiàn)（p）］（舍）；

o

b=2,c=6時(shí)，F(xiàn)（P）4（舍）；

b=3,c=5時(shí),F（p）=”舍）；

b=4,c=4時(shí)，F(xiàn)（P）W（舍）；

F（p）=:；

b=5fc=3時(shí)，

b=6,c=2時(shí)，F(xiàn)（p）=y（舍）；

b=7,c=1時(shí),F（p）考（舍）；

b=8,c=0時(shí)，F(xiàn)（p）=12（舍）；

綜上，所有滿足條件的p的值為1717、4081、4531.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，列代數(shù)式，二次根式的求值問(wèn)題，應(yīng)用了分類討論的思想，理解題意,

逐條件分析是解決本題的關(guān)鍵.

口題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

1.(2023?貴州六盤(pán)水?二模)人們把牛=0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“0.618法”與黃金分割緊密

相關(guān),這種方法經(jīng)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的倡導(dǎo)在我國(guó)得到大規(guī)模推廣,取得了很大的成果.設(shè)。=學(xué),6=等

記￡=工+352=貯嘿把，$3=絲整，…依此規(guī)律，則S6的值為()

2233

?ab乙ab°ab0

A.5V5B.25C.6V5D.125

【答案】D

【分析】利用分式的加減法則以及二次根式的混合運(yùn)算法則求得ab、a+b,以及S6=噌，代入求解即

°a6b6

可.

V5—1jV5+1

【詳解】解:va=----，b=-------

V5-1V5+1,,V5-1.V5+1

-'-ab=---X---1,a+=-----1-----=V5

22

1.1a+b,

,-'S-+-=——=a+D=V5,

1abab

S_a2+2ab+b2

與=~-=(a+b)2=5,

S3喑=(V5)3=5V5,

==(V5)6=125.

a6b6'7

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的規(guī)律.

2.(2024?山東泰安?三模)細(xì)心觀察下面圖形，其中，5兀表示圖中第九個(gè)三角形的面積，認(rèn)真分析各式：。掰=

222222

(VT)+1=2,S】=OAI=1+(V2)=3,s2=￥，OAI=I+(V3)=4,S3=6；...若一個(gè)

三角形的面積是V7,則說(shuō)明這是第一個(gè)三角形.

【答案】28

【分析】本題主要考查了勾股定理，圖形類的規(guī)律探索，化簡(jiǎn)二次根式,.利用勾股定理求出推出0Al=

即可得到%=\0An-AnAn+1=把校代入無(wú)=當(dāng)中進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???每一個(gè)三角形都是直角三角形,

二由勾股定理可求得：CM】=1,0A2=V2,0A3=V3,0An=y/n,

2

?'-OAn=n.

0=^n^n+l=Y

???當(dāng)一個(gè)三角形的面積是舊時(shí)，則有?=夕,

??.n=28,

故答案為：28.

3.（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形力BCD邊長(zhǎng)為1,以4C為邊作第2個(gè)正方形4CEF,再以CF為邊

作第3個(gè)正方形FCG”，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

//—、2024/L、2025

C.(V2)D.(V2)

【答案】C

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，圖形的規(guī)律探究

等知識(shí).由題意知，第1個(gè)正方形4BC0的邊長(zhǎng)為1；第2個(gè)正方形4CEF的邊長(zhǎng)4C為魚(yú);第3個(gè)正方形FCGH

O2

的邊長(zhǎng)CF為（魚(yú)）；第4個(gè)正方形FGMN的邊長(zhǎng)FG為（a）；,可推導(dǎo)一般性規(guī)律為第九個(gè)正方形的邊

n-1

長(zhǎng)為（a）,然后求解作答即可.

【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1；

第2個(gè)正方形4CEF的邊長(zhǎng)4C為412+了=V2；

2

第3個(gè)正方形FCGH的邊長(zhǎng)CF為24D=2=（V2）；

第4個(gè)正方形尸GMN的邊長(zhǎng)FG為/CF=（夜），

_T）-1

???第71個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（夜），

二當(dāng)九=2024時(shí)，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)（夜）?。?".

故選：C.

4.（2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：%=~^==V2-1；

第2個(gè)等式：a2=r-=V3—V2；

第3個(gè)等式：a3==2-V3；

根據(jù)以上等式給出的規(guī)律，計(jì)算：%+的+。3+…+。19=一.

【答案】2V5-1/-1+2V5

【分析】直接仿照前面三個(gè)等式，即可寫(xiě)出第〃個(gè)等式，根據(jù)前面已知的,右，%的值和所求出的冊(cè)的值，

進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：第九個(gè)等式：a==Vn+1—Vn,

nv.——n+li+Vrn

+做+。3+…+。19

—V2—1+V3—V2+V4—V3+…+，20—V19

=-1+V20

=2V5-1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)已知等式，找出數(shù)字變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.（22-23九年級(jí)下?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí)）如圖，直線4與直線G所成的角NBi。41=30。，過(guò)點(diǎn)必作

4/11。交直線%于點(diǎn)OB】=2,以A/為邊在A。4/i外側(cè)作等邊三角形4/iG，再過(guò)點(diǎn)G作4殳1h，

分別交直線。和"于4,當(dāng)兩點(diǎn)，以必為為邊在△。為々外側(cè)作等邊三角形2c2，…按此規(guī)律進(jìn)行下去，

則第2023個(gè)等邊三角形4023B2023c2023的周長(zhǎng)為.

【分析】根據(jù)含30。的直角三角形可得冬邑=1,OA.=V3,由等邊三角形的性質(zhì)可得出的長(zhǎng)度，進(jìn)

而得出。&，42B2的長(zhǎng)度，同理可求出力nBn的長(zhǎng)度，再根據(jù)等邊三角形的周長(zhǎng)公式即可求出第w個(gè)等邊三角

形71n的周長(zhǎng)，代入化簡(jiǎn)即可求解.

，

【詳解】解：?■?zB1OX1=30°,OB1=2,1h

???在Rt△CM/i中，OAr=V3,ArBr=IOBr=1,

,??△Ci是等邊三角形，

???/送2=曰=中,

.?.在RtA。4%中，。&=百+f=手，44=等=學(xué)X專=|,

???△482c2是等邊三角形，

A.V3cV333V3

?'?242^3=-AA2B2=~X—=—,

“~C4n』C43A/3.3y[39V3Ac9V319

???在Rt△0/383中，。％3=——I—~=—^―x而=—,

?Tl-l

2023-1q2023

?=22022,

o2023

故答案為：河J

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是通過(guò)含30。的直角

三角形和等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律418n=

6.（2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：

①3-2魚(yú)=（魚(yú)-1產(chǎn)

②5-2遙=（遮-&）2；

（3）7-2V12=（V4-V3）2；

請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出第6個(gè)等式：_；第“個(gè)等式：」

(2)計(jì)算：75-2V6+77-2V12+V9-4V5+V11-2V30.

【答案】(1)13-2V42=(V7-V6)2,(2n+1)-21n(ji+1)=(VnTl-Vn)2

(2)V6-V2

【分析】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的式子總結(jié)出等式與序數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.由已知的等式，總

結(jié)規(guī)律求解即可.

(1)由已知的等式，即可歸納出規(guī)律；

(2)根據(jù)歸納的規(guī)律進(jìn)行變形計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：13-2V42-(V7-V6)2

(2n+1)-2y/n(n+1)=(Vn+1—Vn)2

(2)原式=yjs-2V6+77-2V12+-9-2聞+J11-2同

=J(V3-V2)2+J(V4-V3)2+J(V5-V4)2+J(V6-V5)2

=V3—V2+V4—V3+V5—V4+A/6—V5

=V6—V2.

口題型13二次根式的應(yīng)用

1.(2024.湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))小靜、小智、小慧是同一學(xué)習(xí)小組里的成員，小靜在計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了一步如下

的錯(cuò)誤：V2+V3=V5

小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對(duì)這一錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：

小智的思路：將魚(yú)+百，版兩個(gè)式子分別平方后再進(jìn)行比較；

小慧的思路：以魚(yú)，V3,愿為三邊構(gòu)造一個(gè)三角形，再由三角形的三邊的關(guān)系判斷e+聲與遙的大小關(guān)

系.

根據(jù)小智與小慧的思路，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴填空：

???(&+B>=,(V5)2=,

■,.(V2+V3)牛(V5),??.V2+V3豐V5.

(2)如圖，以V3,有為三邊構(gòu)造△力BC,

B

①請(qǐng)判斷△力BC是什么特殊的三角形，并說(shuō)明理由；

②根據(jù)圖形直接寫(xiě)出注+舊與逐的大小關(guān)系.

【答案】⑴5+2跖5

(2)①直角二角形，見(jiàn)解析；@V2+V3>V5

【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

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