28第5章相似三角形之旋轉(zhuǎn)相似

一、單選題

1.在RtAABC中，NBAC=90。，AD是△ABC的中線，ZADC=45°,把△ADC沿對(duì)折，使點(diǎn)C落在

BQ

。的位置，CD交AB于點(diǎn)Q,則—的值為（）

AQ

A.V2B.73

C'TD'T

2.如圖，在矩形ABC。中,E是AD邊的中點(diǎn),BE,AC于點(diǎn)E連接。R給出下列四個(gè)結(jié)論:①

@CF=2AF；?DF^DC-,④SAABF：S四邊影CDEF=2：5,其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

3.已知正方形。EFG的頂點(diǎn)廠在正方形A8C￡）的一邊的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG,CE交于點(diǎn)“，若AB=3,

DE=0，則CH的長(zhǎng)為.

BC

4.如圖，己知四邊形ABCD與四邊形CFGE都是矩形,點(diǎn)石在C。上，點(diǎn)X為AG的中點(diǎn)，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,則。X的長(zhǎng)為.

5.如圖，在AABC中，AB=5,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以C。為一邊作正方形CDER當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

6.已知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為12,E、R分別在邊A3、3c上，將AB歷沿"折疊，使得點(diǎn)3落在

正方形內(nèi)部（不含邊界）的點(diǎn)？處，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.若點(diǎn)3'在正方形的對(duì)稱軸上，且滿足

S/VIDG=4S正方形ABC0，則折痕EF的長(zhǎng)為---------------

三、解答題

7.如圖，在凡AABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,MN//AC,D為BC邊上一點(diǎn),連接AZ）,作

DELAD交MN于點(diǎn)、E，連接AE.猜想線段4。與。石之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BD

'N

8.已知AABC中NA3C=90。，點(diǎn)。、石分別在邊3C、邊AC上，連接尸，OE,點(diǎn)/、點(diǎn)C在

,.,.L-rABDE,

直線OE同側(cè),連接尸C,且——=-一-=k

BCDF

(1)點(diǎn)。與點(diǎn)6重合時(shí),

①如圖1,左=1時(shí)，AE和FC的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是

②如圖2,左=2時(shí)，猜想AE和FC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)BD=2CD時(shí),

③如圖3,左=1時(shí)，若AE=2,1°F=6,求/C的長(zhǎng)度；

④如圖4,左=2時(shí)，點(diǎn)M、N分別為和AC的中點(diǎn)，若AB=10,直接寫出MN的最小值.

9.如圖1,點(diǎn)。為正方形A8CO的中心，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)，△功尸的周長(zhǎng)等于BC的

長(zhǎng).

(1)求/EOF的度數(shù).

(2)連接OA,0C(如圖2).求證：zAOEsXCFO.

(3)若OE=@OF,求處的值.

2CF

E\

B

10.在必△ABC和咫△DEF中，ZABC=NEDF=30°,ABAC=ZDEC=90°,3c與。廠在同一條直

線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，AC=2,如圖為將△CEO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后的圖形，連接BD，AE,

若=求△血。和AAEC的面積.

C⑺

11.問(wèn)題背景：如圖（1）,已知求證：△ABD-AACE；

嘗試應(yīng)用：如圖（2）,在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°>AC與

OE相交于點(diǎn)歹.點(diǎn)。在3C邊上，—=A/3,求的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新：如圖（3）,。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBAD=ZCBD=30°，NBDC=90°，AB=4,AC=2?

直接寫出AD的長(zhǎng).

B，C

(2)

(1)

(3)

12.在AABC中，NACB=90°,CD是中線，AC=BC,一個(gè)以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使

角的兩邊分別與AC、8C的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)￡、F,。尸與AE交于點(diǎn)DE與BC交于點(diǎn)N.

圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF-,

(2)如圖2,在NEZ*繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明CZ>2=“.c廣恒成立;

(3)若CD=2,CF=&，求。N的長(zhǎng).

13.AABE內(nèi)接于OO,C在劣弧AB上，連CO交AB于D,連BO,ZCOB=ZE

(1)如圖1,求證：COXAB；

(2)如圖2,BO平分/ABE,求證：AB=BE；

(3)如圖3,在(2)條件下，點(diǎn)P在OC延長(zhǎng)線上，連PB,ETLAB于T,ZP=2ZAET,ET=18,OP=

25,求。。半徑的長(zhǎng).

14.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEPG都是正方形，C,F,G三點(diǎn)在一直線上，連接A尸并延長(zhǎng)交邊8

于點(diǎn)M.

(1)求證：△MFCs△MCA；

CF

(2)求J的值,

BE

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AE/G的邊長(zhǎng).

15.如圖1,若點(diǎn)P是小ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有/PBC=/PCA=/PAB,則稱點(diǎn)P是小ABC的“等角點(diǎn)

(1)如圖1,ZABC=70°,貝1|NAPB=

(2)如圖2,在△ABC中，NACB=90。，點(diǎn)P是AABC的“等角點(diǎn)”，若NBAC=45。

CP

①求---的值;

AP

②求tanZPBC的值;

16.如圖，在MAABC中，NAC8=90。，/BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上(不與點(diǎn)A、C重合)連接BD,點(diǎn)K

為線段BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E,連結(jié)CK,EK,CE,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的

角度(旋轉(zhuǎn)角小于90度)

(1)如圖1.若a=45。，則A3CK的形狀為；

(2)在(1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D,E,B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的

中點(diǎn)，如圖2所示，求證：BE—AE=2CK；

(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得D,E,B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請(qǐng)你直

接寫出BE,AE,CK三者之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的三角函數(shù)表示)

17.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為。。的直徑，過(guò)點(diǎn)A作A。平分/54C交。。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

BC的平行線分別交AC、A2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,OGLAB于點(diǎn)G,連接BZX

(1)求證：AAEDS4DGB；

(2)求證：E尸是。。的切線;

(3)若竺=正，0A=4,求劣弧5。的長(zhǎng)度(結(jié)果保留無(wú)).

DF3

18.如圖1,拋物線y=a(x+2)(x-6)(a>0)與x軸交于C,D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊)，與y軸負(fù)

半軸交于點(diǎn)A.

(1)若4ACD的面積為16.

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點(diǎn)，過(guò)S作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P,將線段SC,SP繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同

的角到SCi,SPi的位置，使點(diǎn)C,P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ci,Pi都在x軸上方，CiC與PiS交于點(diǎn)M,PiP與x軸交

于點(diǎn)N.求——的最大值;

SM

(2)如圖2,直線y=x-12a與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)M在拋物線上，且滿足/MAB=75。的點(diǎn)M有且只有兩

個(gè)，求a的取值范圍.

19.已知，如圖1,拋物線丫=。/+法+3與X軸交于點(diǎn)3、c,與y軸交于點(diǎn)A，且AO=CO,BC=4.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)p是拋物線第一象限上一點(diǎn)，連接尸3交y軸于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為線段長(zhǎng)為

d,求d與?之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)Q作直線軸，在/上取一點(diǎn)〃(點(diǎn)朋■在第二象限)，連接AM，使

AM=PQ,連接CP并延長(zhǎng)CP交y軸于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)P作尸N，/于點(diǎn)N,連接血V、CN、CM.若

NMCN+NNKQ=45。時(shí)，求t值.

20.如圖，函數(shù)y=-N+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0),B(0,n)兩點(diǎn)，m,"分別是方程N(yùn)-2x-3=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且機(jī)＜”.

(I)求機(jī)，〃的值以及函數(shù)的解析式;

(II)設(shè)拋物線y=-x2+6x+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為。，連接AB,BC,BD,CD.求

證：△BCDS^OBA；

(III)對(duì)于(I)中所求的函數(shù)y=-x2+bx+c,

(1)當(dāng)0姿3時(shí)，求函數(shù)y的最大值和最小值;

(2)設(shè)函數(shù)y在也爛r+1內(nèi)的最大值為p,最小值為q,若p-g=3,求r的值.

28第5章相似三角形之旋轉(zhuǎn)相似

一、單選題

1.在RS48C中，NBAC=90。，是△ABC的中線，ZADC=45°,把AAOC沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在

BQ

。的位置，CZ）交A8于點(diǎn)Q,則二萬(wàn)的值為（）

AQ

A.五B-6C.口.與

【答案】A

【解析】根據(jù)折疊得到對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD

=DC=BD,AC=AC,ZADC=ZADC/=45°,CD=CD,進(jìn)而求出/C、/B的度數(shù)，求出其他角的度

數(shù)，可得AQ=AC,將與烏轉(zhuǎn)化為些，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案.

AQAC

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEL8C,垂足為E,

,/ZADC=45°,

是等腰直角三角形，即A。，

2

在RtAABC中，

VZBAC=90°,AD是△ABC的中線，

：.AD=CD=BD,

由折疊得：AC=AC,ZADC=ZADC=45°,CD=C'D,

，/CDC'=450+45°=90°,

：.ZDAC=ZDCA=(180°-45°)4-2=67.5°=ZCAD,

ZB=90°-/C=/CAE=225°,N8Q￡>=90°-ZB=ZC'QA=67.5°,

：.AC'=AQ=AC,

qBQBD

由△AECs/XBOQ得：~^~二——

ACAE

.BQ__BQ_AD_V2AE_

"AQ~~AC~~^E~AE

【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí),

合理的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.如圖，在矩形ABCD中,E是邊的中點(diǎn)于點(diǎn)F連接。E給出下列四個(gè)結(jié)論:①尸/△C4B；

@CF=2AF；?DF=DC；④SAABF：S四邊彩CDEF=2：5,其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE±AC,可得/ABC=/AFB=90。，又/BAF=/CAB,于是

△AEF^ACAB,故①正確；

②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD〃:BC,得出AAEFs/XCBF,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

CF=2AF,故②正確；

③過(guò)D作DM〃:BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

2

11

④根據(jù)△AEF-ACBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值,據(jù)此求出SAAEF=-SAABF,SAABF=—S

26

矩形ABCD，可得s四邊形CDEF=SAACD-SAAEF=—■S矩形ABCD,即可得到s四邊形CDEF=—SAABF,故④正確.

122

【解答】如圖，過(guò)。作。/〃BE交AC于N,

???四邊形是矩形，

J.AD//BC,NABC=90°,AD=BC,

?.?2￡，4。于點(diǎn)尸，

/EAC=ZACB,ZABC^ZAFE=90°,

/.AAEF^/\CAB,故①正確；

'：AD//BC,

AEAF

:?△AEFs^CBF,：.——=——,

BCCF

11

9

：AE=-AD=-BCf

22

AF1

/.—=一,；.b=2AR故②正確，

CF2

'：DE//BM,BE//DM,

，四邊形BMDE是平行四邊形，

1

BM=DE=—BC,：.BM=CM,

2

CN=NF,

?.?BE_LAC于點(diǎn)RDM//BE,

：.DNLCF,：.DF=DC,故③正確；

△AEFsLCBF,

.EF_AE_1

"BF~^C~2,

._1_1

??SAAEF=—S&ABF,SAABF=—S矩形ABC￡),

26

._1

??SAAEF-S矩形ABC。,

12

▼_11_5

又?S四邊彩CDEF=SAACD-SAAEF=—S矩形ABC。-S矩形----S矩形ABC。，

21212

SAABF:S四邊形C0EF=2:5,故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

3.已知正方形DE/G的頂點(diǎn)P在正方形ABC。的一邊的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG,CE交于點(diǎn)H,若AB=3,

DE=g，則的長(zhǎng)為.

E

【答案】哈

【解析】連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,證明△ANGSADM,得到也=任，從而求出

NGAN

DM的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理算出AM的長(zhǎng)，通過(guò)證明△ADG也Z\CDE得到NDAG二NDCE,從而說(shuō)明

AnAI\4

△ADMS^CHM,得到k三，最后算出CH的長(zhǎng)

【解答】解：連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN=GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

:?△ANGSADM,

.DMAD

NG~AN9

?:DE=y[i，

.*.DF=EG=2,

.*.DN=NG=1,

VAD=AB=3,

.DM3

-3+l

3

解得：DM二一，

4

.*.MC=-,AM=7AD2+DM2=

44

ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

.\ZADG=ZEDC,

在小ADG^DACDE中，

AD=CD

<NADG=NCDE,

DG=DE

.,.△ADG^ACDE(SAS),

ZDAG=ZDCE,

ZAMD=ZCMH,

.".ZADM=ZCHM=90°,

AADM^ACHM,

.ADAM

??而一河‘

3如

即3=--,

CH9

4

解得：CH=^^.

17

E

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜

合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過(guò)其性質(zhì)計(jì)算出CH的長(zhǎng).

4.如圖，已知四邊形A8CD與四邊形CFGE都是矩形，點(diǎn)E在。上，點(diǎn)”為AG的中點(diǎn)，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,則。X的長(zhǎng)為.

【答案】巫

4

【解析】延長(zhǎng)GE交48于點(diǎn)M,作DNLAG于N.首先求出AG、AH,由AOVs△G4M,得

---=----=-----,求出D/V、AN,HN,在中利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

AGMGAM

【解答】延長(zhǎng)GE交于點(diǎn)M,作OVLAG于N.

四邊形A8CD與四邊形CFGE都是矩形,

四邊形89GM是矩形,

：.MG=BF=BC+CF=2+\=3,

:.BM=CE=FG=1.5,

：.AM=AB-BM=1.5,

：.AG=yjAM2+GM2=-V5,

2

?.?點(diǎn)〃為4G的中點(diǎn)，

:.AH=-AG^-45,

24

AD//MG,

:.ZDAN=ZAGM,-,?ZAND=ZAMG,

：.^ADNs/\GAM,

.ADAN_DN

"AG~MG~AM'

.2_ANDN

-y[53-'

22

:.AN=上百,DN=-y/5,

55

:.HN=AN=AH=-45--y/5=—45,

5420

在Rt&DHN中，DH=yjDN2+HN2=<I-+—=—

\5804

故答案為巫.

4

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

5.如圖，在△ABC中，AB=5,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CQEF,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

F

【答案】5行

【解析】如圖，構(gòu)造等腰R3CBG,ZCBG=90°,則由ACGEs^CBD,得GE=&BD,即可求得點(diǎn)E運(yùn)

動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【解答】如圖：作GBLBC于B,取GB=BC,

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)E與點(diǎn)G重合,

ZCBG=90°,

.".CG=72BC,ZGCB=45°,

,/四邊形CDEF是正方形，

；.CE=&DC,ZECD=45°,

ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=45°,

.lCGCE/-

??/BCD=NGCE,且---=----=J2,

BCDC

.,.△CGE^ACBD,

=V2,BPGE=J2BD,

BDDC、

VBD=5,

點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為GE=V2BD=5V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

6.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,E、R分別在邊AB、BC±,將ABEF沿"折疊，使得點(diǎn)3落在

正方形內(nèi)部（不含邊界）的點(diǎn)3'處，的延長(zhǎng)線交A6于點(diǎn)G.若點(diǎn)3,在正方形的對(duì)稱軸上，且滿足

SAADG=4S正方形"CO，則折痕EF的長(zhǎng)為---------------

【答案】5君或受叵

4

【解析】根據(jù)又40G=；S正方切BCD得到點(diǎn)G是A3的中點(diǎn)，再分兩種情況討論，①如答案圖1,當(dāng)點(diǎn)6'在

對(duì)角線AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)￡作于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)歹作交尸8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則四邊形

PBFO為矩形;利用相似三角形的性質(zhì)即可求出EF；②答案如圖2.當(dāng)點(diǎn)3'在的中垂線上時(shí)，B'

為。G的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3'作于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)R作歹交尸8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，得到

AP=-AG=-AB=3,B'P=6,同①即可求出EF.

24

【解答】解：：SMDC=-S正方形ABC。，

二點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，

又?..點(diǎn)3'在正方形的對(duì)稱軸上，

.?.分以下兩種情況討論:

①如答案圖1,當(dāng)點(diǎn)B'在對(duì)角線AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)R作42,8。交P8的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,則四邊形PBR9為矩形，

答案圖1

:在正方形A3CD中，AG//CD,

.AGAB,_1

?,CD—8C—2'

,/AB=12,

二AC=1272，

/.AB，」AC=4夜，

3

Z￡L4C=45°,

AAP=PB'=4,PB=QF=8,由折疊可知NEB'F=NEM=90°,

APEBSkQB'F,

.B'E_PE_B'P

??/一麗一丁一5，

設(shè)BE=B，E=m,BF=B'F=PQ=2m,則B'Q=2m—4,

PE=-(2/n-4),

*/PB=QF,

/--(2m-4)+m-8,解得m=5,

；?BF=10,

?*-EF=VBE2+BF2=545；

②如答案圖2.當(dāng)點(diǎn)3'在的中垂線上時(shí)，3'為。G的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3'作8尸，人8于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)歹

作FQ工BC交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

BNFC

答案圖2

則AP」AG」AB=3,B'P=6,

24

:.QF=BP=9,同理①可得ER=巨竺，

4

綜上所述，折痕所的長(zhǎng)為5百或身叵.

4

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱變換，相似三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想

思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題

7.如圖，在心AABC中，NE4c=90°,ZABC=30°,MN//AC,。為3c邊上一點(diǎn)，連接AD，作

DELAD交MN于點(diǎn)、E，連接AE.猜想線段與。石之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

A

【答案】DE=6AD，見(jiàn)解析

【解析】過(guò)點(diǎn)。作。G，3c交AB于點(diǎn)G,通過(guò)證明2\8￡)￡54604,可得必>=必，即在比@50

DEBD

中，—=tan30°---故空■=《!，即。E="4￡>.

BD3DE3

【解答】解：DE=6AD.

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。G,3c交A3于點(diǎn)G,

則/BDE+NGDE=90°,

■.DE±AD,

:.ZGDE+ZADG=9Q°,

:./GDA=ZBDE,

Z￡L4C=90%ZABC=30°,

:.ZC=6Q°,

;MN//AC,

:.ZEBD=180°-ZC=120°,

vZABC=3Q°,DG1BC,

..ZBGD=60°,

:.ZAGD=120°^ZEBD,

??△BDEs^GDA,

.DAGD

"~DE~~BD，

在拉ABDG中,^=tan30°=—

BD3

,即。E=6AD.

DE3

A

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，掌握相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、正切的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

8.已知AABC中NABC=90°,點(diǎn)。、E分別在邊5C、邊AC上，連接。E,。尸，。E,點(diǎn)R、點(diǎn)。在

4DDF

直線OE同側(cè)，連接尸C且一=——=k.

BCDF

（1）點(diǎn)。與點(diǎn)5重合時(shí),

①如圖1,左=1時(shí)，AE和FC的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是

C

圖1圖2

圖3

B

圖4

②如圖2,攵=2時(shí)，猜想AE和FC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）BD=2CD時(shí),

③如圖3,左=1時(shí)，若==6,求/C的長(zhǎng)度；

④如圖4,左=2時(shí)，點(diǎn)M、N分別為"和AC的中點(diǎn)，若AB=10,直接寫出MN的最小值.

【答案】（1）①AE1FC；②AE=2FC；AE1FC；理由見(jiàn)解析；⑵③PC=6；④MN的最小值為*.

3

【解析】（1）①利用SAS證出△ABE0Z\CDF,從而證出AE=FC,ZA=ZDCF,然后證出NACF=90。即可

得出結(jié)論；

AE

②根據(jù)相似三角形的判定證出△從而得出-=2,然后證出NACF=90。即可

CF

得出結(jié)論；

（2）③作GOL8C于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)G；作GHLA8于點(diǎn)H,交于點(diǎn)"；DMLAC,利用SAS證出

AEDG^AFDC,從而得出EG=FC,令DC=a,BD=2a,根據(jù)三角形的面積公式即可求出a值，從而求出

結(jié)論；

④連接MD和MC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=CM=」EE,從而得出點(diǎn)M的

2

運(yùn)動(dòng)軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H,然后證出四邊形NMHG

為平行四邊形，從而求出結(jié)論.

【解答】（1）①解：；ZABC=90。，DF±DE,

：.ZABC=ZEDF=90°,ZA+ZBCA=90°

:.ZABE+NEDONCDF+ZEDC

.?.ZABE=ZCDF

ABDE一

----=------=K=1

BCDF

???AB=CB,DE=DF

.,.△ABE^ACDF

???AE=FC,NA=NDCF

AZDCF+ZBCA=90°

???ZACF=90°

???AE_LFC

故答案為：AE=FC；AEA.FC；

②證明：AE=2FC；AELFC

?；DF上DE

：.ZEDF=ZABC=90°

：.ZABE=ZCDF-

..ABDE.

?-----二-------二2

BCDF

：.AABACDF

A石

/.ZA=ZDCF——=2

fCF

???ZA+ZACB=90°

：.ZDCF+ZACB=90°

AZACF=90°；BPFCLAE-

(2)③解：作G0L8C于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)G；作于點(diǎn)H,交于點(diǎn)H；DM±AC.

???四邊形BDGH為矩形

：.DB=HG

ABDEi

ZABC=90°,——=——=1

BCDF

：.ZA=ZHGA=ZACB=45°

：.DC=DG

9：DE±DF

：.ZEDG=ZFDC

:.LEDG當(dāng)AFDC(SAS)

：.EG=FC

?:BD=2CD

:,令DC=a,BD=2a

：?AG=2亞a

??.EG=2缶—2,MD=W(i.

S^CDF~6

SACDF=^EG-MD=^2j2a-2^^^=6

解得4=20,4=-手（舍）

：.FC=EG=6

oAB

④；—-----k=2AB=10

BCDFf

：.BC=5

?:BD=2CD

CD=—BC=—

33

由③易證/ECF=90。

在RtAEDF和RtAECF中，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，連接MD和MC

.,.DM=CM=-EF

2

???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H

.?.當(dāng)NM_LMH時(shí)，MN的最小，易知MN〃:BC,MH〃AB,CH=-CD=-

26

取BC的中點(diǎn)G,連接NG,則CG=」8C=2

22

ANG為4ABC的中位線

；.NG〃AB

；.MH〃NG

四邊形NMHG為平行四邊形

止匕時(shí)MN=GH=CG-CH=-

3

即MN的最小值為*.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換綜合題、相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，解題關(guān)鍵

是熟練掌握三角形的中位線的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì).

9.如圖1,點(diǎn)。為正方形ABC。的中心，E為AB邊上一點(diǎn)，尸為BC邊上一點(diǎn)，△仍尸的周長(zhǎng)等于BC的

長(zhǎng).

（1）求/EOE的度數(shù).

（2）連接。4、OC（如圖2）.求證：AAOEsACFO.

（3）若0E=2^0F,求處的值.

2CF

【答案】（1）45°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）-

4

【解析】（1）.在BC上取一點(diǎn)G,使得CG=BE,連接OB、OC、OG,然后證明△OBE和△OCG全等，從而

得出NBOE=NCOG,NBEO=NCGO,OE=OG,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出EF=GF,從而得出4FOE和4GOF

全等，得出/EOF的度數(shù)；（2）、連接OA,根據(jù)點(diǎn)O為正方形ABCD的中心得出/OAE=/FCO=45。，結(jié)

合/BOE=/COG得出NAEO=NCOF,從而得出三角形相似；（3）、根據(jù)相似得出線段比，根據(jù)相似比求出

AE和CO的關(guān)系，CF和A0的關(guān)系，從而得出答案.

【解答】解：（1）.如圖，在BC上取一點(diǎn)G,使得CG=BE,連接OB、OC、0G.

'??點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，

AOB=OC,ZBOC=90°,ZOBE=ZOCG=45°.

AAOBE^AOCG(SAS).

AZBOE=ZCOG,ZBEO=ZCGO,OE=OG.

???NEOG=90。，

VABEF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，

EF=GF.

AAEOF^AGOF(SSS).

???NEOF=NGOF=45。.

⑵.連接OA.???點(diǎn)。為正方形ABCD的中心，

.*.ZOAE=ZFCO=45°.

NBOE=ZCOG,NAEO=ZBOE+NOBE=NBOE+45。,

NCOF=ZCOG+NGOF=ZCOG+450.

???NAEO=NCOF,且NOAE=NFCO.

J△AOE^ACFO.

(3).VAAOE^ACFO,

,AO_OE_AE

**CF-FO-CO,

一OEOE

即AE=——xCO,CF=ACH

FOFO

J5OE

VOE=^r.OF,???-------=

2FO2

、氏2

???AE=±CO,CF=TAO.

2V5

AE5

CF4.

D

點(diǎn)睛：本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，綜合性非

常強(qiáng)，難度較大.熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.在必AABC和應(yīng)△/）防中，ZABC=ZEDF=30°,ZBAC=ZDEC=90°,3c與。廠在同一條直

線上，點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，AC=2,如圖為將△CEO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后的圖形，連接BD，AE,

若匹=^AC,求48DC和△AEC的面積.

2

【答案】ABDC和AAEC的面積分別為2和人.

2

【解析】過(guò)點(diǎn)D作DM，BC于點(diǎn)M,根據(jù)30。所對(duì)直角邊為斜邊一半，分別求出BC、DC的長(zhǎng)度，且證

△BDCSAAEC,在RtZ\DMC中，可得DM=1,即ABDC的面積可求，且§△甌

即AAEC

^ABDC

的面積可求.

【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DM^BC于點(diǎn)M,

VAC=2,EF=-AC,

2

EC=1,

XVZABC=30°,ZEDC=30°,

...在Rt^BAC和Rt^DEC中，BC=2AC=4,DC=2EC=2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，NBCD=NACE=30°,

BCCDc

-----=-----=2,

ACEF

,-----------------------"BDBC=

..ABDCs△AEC?故=2,

AEAC

在RtADMC中,ZBCD=30°,DC=2,

???DM=1，

_BCDM_4xl

,,dABDC-一―2~1/，

VABDC^AAEC,

.?.^c=f-Y=-,/.5AAEC=-X2=-,

%DCUJ442

ABDC和△AEC的面積分別為2和工.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考察了含30。角的直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于

證明ABDCSAAEC,且相似三角形的面積之比為邊長(zhǎng)之比的平方.

11.問(wèn)題背景：如圖(1),已知△ABCSAWE,求證：△ABD-AACE；

嘗試應(yīng)用：如圖(2),在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°，AC與

。石相交于點(diǎn)R.點(diǎn)。在3c邊上，-^73,求生的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新：如圖(3),。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBAD=ZCBD=30°-NBDC=90°，AB=4,AC=26,

直接寫出AD的長(zhǎng).

【答案】問(wèn)題背景：見(jiàn)詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：AD=B

4HACABAC

【解析】問(wèn)題背景：通過(guò)△ABCs△的得到7一=，，一=—匕，再找到相等的角，從而可證

ADAEADAE

△ABDSAACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,通過(guò)可以證得△ABD-AACE,得到處=42,然后去證

CEAE

△AFEs^DFC,AADFs^ECF,通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案;

拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作NDAE=/BAC,AE交BD延長(zhǎng)線于E,連接CE,通過(guò)△B4C5AEME,

△BAD^&AE,然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案.

【解答】問(wèn)題背景：?..△ABCSZSADE,

,ABAC

??NBAC=NDAE,------------,

ADAE

：.NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

???NBAD=NCAE,

**?AABD~AACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,

BC

D

?-?ABAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30°，

**?ABAC~ADAE,

.ABAD

ACAE

*：NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

AZBAD=ZCAE,

*'?AAJBD^AACE,

BDAD

CEAE

由于NADE=30°，/DAE=90°，

Ap

???加〃30。=——

AD3

即變=四=6,

CEAE

翳6

小

VZBAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30，

；?ZC=ZE=60°，

又：ZAFE=ZDFC,

Z\AFE^Z\DFC,

.AFEFAFDF

>>----=----,即an-----=----

DFCFEFCF

又：ZAFD^ZEFC

AADFS/\ECF,

.DF_AD_

??---------------J;

CFCE

拓展創(chuàng)新：AD=45

如圖，在AD的右側(cè)作NDAE二NBAC,AE交BD延長(zhǎng)線于E,連接CE,

VZADE=ZBAD+ZABD,ZABC=ZABD+ZCBD,/BADZCBD=30°，

AZADE=ZABC,

又"DAE=NBAC,

**?^BAC~ADAE,

.ABAC_BC

**AD-AE-DE?

XVZDAE=ZBAC,

AZBAD=ZCAE,

/.^BAD^^CAE,

.BDABAD_4_243

?,瓦一瓦―瓦—訪一丁’

設(shè)CD=x,在直角三角形BCD中，由于/CBD=30。，

；.BD=6X，BC=2X,

3

/.CE=—x

29

..AB_BC

?AD-?

4_2x

???而一有，

—X

?*.AD=厲

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.在AABC中，NACB=90°,C。是中線，AC=BC,一個(gè)以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使

角的兩邊分別與AC、8C的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)￡、F,。尸與AE交于點(diǎn)DE與BC交于點(diǎn)、N.

圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

如圖2,在NEA*繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明CZ>2=CE.C廣恒成立;

(3)若CD=2,CF=近,求。N的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）￡>N=2叵

3

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/BCD=NACD=45。，/BCE=NACF=90。，于是得到NDCE

=/DCF=135。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結(jié)論;

rA「7-?

(2)證得ACDFs/XCED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到J=——，即CD2=CE?CF；

CECD

(3)如圖，過(guò)D作DG_LBC于G,于是得到/DGN=/ECN=90。，CG=DG,當(dāng)CD=2,=應(yīng)時(shí),

求得CE=20，再推出ACENsAGDN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到0=C￡=￥=2,

求出GN,

GNDGV2

再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：：NACB=90°，AC^BC,。是中線,

AZBCD=ZACD=45°,ZBCE=ZACF=9Q。,

:.NDCE=ZDCF=135°.

CE=CF

在ADCE與&DCF中，<NDCE=NDCF,

CD=CD

：.ADCE學(xué)ADCF.

，DE=DF；

(2)證明：：NZ)CF=NZ)CE=135°,

；?ZCDF+ZF=180°-135°=45°

???ZCDF+ZCDE=45°,

；?/F=NCDE.

ACDF^ACED.

CDCF,

???-=—>BnnPCD2=CECF.

CECD

(3)如圖，過(guò)。作。GLBC于點(diǎn)G,

則NDG/V=N￡GV=90°,CG=DG.

當(dāng)8=2,=0時(shí),

由。02=慮?。尸，得CE=26.

在RMDCG中,

CG=DG=CD-sinNDCG=2xsin45。="

,:NECN=/DGN,ZENC=ZDNG,

△CENs^GDN.

.CNCE2V2c

?,----=-----=——2,

GNDGV2

GN=-CG=-XS/2^—.

333

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三