34第7章圓之四點(diǎn)共圓

一、單選題

1.下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

2.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于）0,AB=CD,A為5。中點(diǎn)，NBDC=60°,則NADfi等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如圖，圓上有A、B、C、。四點(diǎn)，其中N&LD=80。，若弧ABC、弧ADC的長(zhǎng)度分別為7萬(wàn)、1U,

則弧5Ao的長(zhǎng)度為（）

c.io?D.15%

4.如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底邊BC上取一點(diǎn)D,連結(jié)AD,使得

ZDAC=ZACD.如圖3,將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE,得到四邊形

ABED.貝ljBE的長(zhǎng)是()

63217

A.1B.C.D.

515T

二、填空題

5.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若。。半徑為4,且/C=2/4,則BD的長(zhǎng)為_.

6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,連接BE,則NA8E的度數(shù)為度.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上且CE=

FG

1.5,連接OE,過(guò)點(diǎn)O作OFLOE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則、=

8.如圖，正方形A3CD中，A3=9,點(diǎn)E為A。上一點(diǎn)，且AE:石。=1:2,點(diǎn)P為邊A3上一動(dòng)點(diǎn)，

連接PE，過(guò)點(diǎn)E作EF工PE，交射線3c于點(diǎn)/，連接PF,點(diǎn)加■為PF中點(diǎn)，連接ZW，則Q暇的

最小值為?

三、解答題

9.如圖，等腰R3ABC中，ZACB=90°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

(1)如圖1,作BE_LAD延長(zhǎng)線于E,連接CE,求證：ZAEC=45°；

(2)如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且/BPD=45。，連接CP.

①若AP=2,求AAPC的面積；

②若AP=2BP,直接寫出sinZACP的值為.

10.在邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，

點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以lcm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、

DF交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)E.F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.回答下列問(wèn)題：

(1)如圖1,當(dāng)t為多少時(shí)，EF的長(zhǎng)等于4j?cm?

(2)如圖2,在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(。。)上；

②是否存在這樣的t值，使得問(wèn)題①中的。O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

③請(qǐng)直接寫出問(wèn)題①中，圓心O的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

11.己知AD為銳角AA3C的高，G為AC中點(diǎn)，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED至歹，使得GR=8

(1)證明：AAED?AAFC；

(2)證明：AECF2=BEAF\

(3)若A5=6,5C=7,C4=8,求四邊形ACFD的面積.

?1弋―'C

12.四邊形A3CD內(nèi)接于圓。,連接BD,ZABD=ZCBD=-ZADC.

一」2

⑴求證：ZADC=90°;

D

(2)求證：AB+BC=?BD；

D

(3)如圖2,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),連接￡3并延長(zhǎng)交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，連接CR交圓。于點(diǎn)

G,ZAEB=2/EFC,AE=2,EF=,求尸G的長(zhǎng).

D

13.已知：ABC內(nèi)接于O,過(guò)點(diǎn)3作。的切線，交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接08.

(1)如圖1,求證：NDAB=NDBC；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,連接A0,交3C于點(diǎn)N,BM=AM+AD^vE：BN=CN；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)E為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的切線交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接CE,交

A0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接PQ,PQL0Q,點(diǎn)R為AN上一點(diǎn)，連接若NDCF+NCDB=90°,

ON1「

tanZECF=2,詼=,，2°+?！?6可，求CF的長(zhǎng).

14.如圖，等腰三角形△ABC中，ZBAC=120°,AB=3.

（1）求BC的長(zhǎng).

A

(2)如圖，點(diǎn)。在CA的延長(zhǎng)線上，OELA8于E,于尸，連求EF的最小值.

15.如圖1,拋物線y=-3爐+6尤+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(o,o),A(12,0)兩點(diǎn).

8

(1)求6的值；

(2)如圖2,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線y=-且f+法+c上一點(diǎn)，連接尸o,若tanNPQ4=3,求點(diǎn)P的

-82

坐標(biāo)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P的直線y=-隨x+m與X軸交于點(diǎn)R,作C尸=。?，連接交

5

拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)3在線段O尸上，連接CP、CB、PB,PB交CF于點(diǎn)、E，若NPBA=2ZPCB,

ZBEF=2ZBCF,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

16.定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角.已知四邊形

ABCD是圓美四邊形.

AA

(1)求美角NA的度數(shù)；

(2)如圖1,若。的半徑為5,求BD的長(zhǎng)；

(3)如圖2,若C4平分N5CD,求證：BC+CD=AC.

17.(1)已知(x+y『=25,(x-y)2=9,求孫的值。

(2)如圖，一塊半徑為的圓形鋼板，從中挖去半徑分別為a與b的兩個(gè)圓。

①求剩下的鋼板的面積。

②若a=0.625cm,6=1.6cm,那么剩下的鋼板面積為多少呢？(結(jié)果用乃表示)

18.如圖所示中，ZNAM=60°,B,。分別在邊AM和AN上，且5c=2,CPLAN,成，A4垂

足分別為C,B,求外的長(zhǎng).

34第7章圓之四點(diǎn)共圓

一、單選題

1.下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

【答案】c

【分析】結(jié)合三角形滿足的三角形滿足的規(guī)律是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，依次分析各

個(gè)選項(xiàng)，選出正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)中，5+6>7可以構(gòu)成三角形；

B選項(xiàng)中，3+7>8,能夠構(gòu)成三角形；

C選項(xiàng)中4+3=7不能構(gòu)成三角形；

D選項(xiàng)中2+4>5,能夠構(gòu)成三角形.

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查三角形構(gòu)成規(guī)則，抓住三角形滿足的規(guī)律是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，難度較容易.

2.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于>9,AB=CD,A為5。中點(diǎn)，NBDC=60°,則NADS等于（）

11D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】根據(jù)A5=CD,A為8。中點(diǎn)求出NCBD=/ADB=/ABD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

【詳解】：A為8。中點(diǎn)，

,,AB=AD

AZADB=ZABD,AB=AD,

?：AB=CD,

：.ZCBD=ZADB=ZABD,

?..四邊形ABC。內(nèi)接于O,

/.ZABC+ZADC=180°,

/.3ZADB+60o=180°,

/.ZADB=40°,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等、相等的弦所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ).

3.如圖，圓上有A、B、C、。四點(diǎn)，其中N54D=80。，若弧ABC、弧A￡>C的長(zhǎng)度分別為7萬(wàn)、1U,

則弧的長(zhǎng)度為（）

C.10%D.15〃

【答案】C

【分析】先求出圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=100°,然后根據(jù)圓周角定理可得弧

所對(duì)圓心角的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)的定義即可得.

【詳解】弧A3C、弧ADC的長(zhǎng)度分別為7%、117T

「?圓的周長(zhǎng)為7"+11%=18?

ZBAD=S0°

:.ZC=100°（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）

???弧BAD所對(duì)圓心角的度數(shù)為2NC=200°

則弧B4。的長(zhǎng)度為18〃x型=10萬(wàn)

360

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓的相關(guān)定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底邊BC上取一點(diǎn)D,連結(jié)AD,使得

ZDAC=ZACD.如圖3,將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE,得到四邊形

ABED.則BE的長(zhǎng)是（）

A

S------------------飛B1?c\7b…c

圖1圖2

圖3E

63217

A.1B.-C.—D.—

5154

【答案】A

【分析】只要證明AAfiD^AMBE,得蕓=空，求出BM、即可解決問(wèn)題.

BMBE

【詳解】解：AB=AC,

.\ZABC=ZC,

ZDAC=ZACDf

,\ZDAC=ZABC,

zc=zc,

:.ACAD^ACBA,

.CA_CD

"Cfi"~CA"

?4_8

??一,

64

0

CD=-,BD=BC-CD=6--=-一,

33：

ZDAM=ZDAC=ADBA,ZADM二ZADB,

:.MDM^ABDA,

8

ADDM3DM

—=——,即HnW=-s—，

BDDA108

T3

326

:.DM=—,MB=BD-DM=—

153

ZABM=Z.C=ZMED,

A、B、E、。四點(diǎn)共圓，

ZADB=ZBEM,ZEBM=ZEAD=ZABD,

AABD^AMBEf

ABBD

血一族，

BM,BD

故選：A.

圖3)

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用

相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，本題需要三次相似解決問(wèn)題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題

5.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若。。半徑為4,且NC=2NA,則BD的長(zhǎng)為_.

【答案】4出

【分析】連接OB,0D,利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NA=60。，進(jìn)而得出/BOD=120。，利用含30。的直角

三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】連接OB,OD,過(guò)O作OELBD,

D~------

:四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，ZC=2ZA,

.\ZC+ZA=3ZA=180o,

解得：ZA=60°,

ZBOD=120°,

在RtABEO中，OB=4,

；.BE=25

；.AC=4B

故答案為：473.

【點(diǎn)睛】

此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/A=60。.

6.如圖，正五邊形ABCOE內(nèi)接于0。，連接BE,則N4BE的度數(shù)為__________度.

【答案】36

【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABE是等腰三角形，求出NA的度數(shù)即可解決問(wèn)題.

【詳解】：在正五邊形ABCDE中，ZA=1x(5-2)xl80=108°,AB=AE,

.\ZABE=ZAEB=—(180°-108°)=36°.

2

故答案為36.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)

單.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上且CE=

FG

1.5,連接OE,過(guò)點(diǎn)O作OFLOE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則84=

【答案］拽

5

【分析】作OMLCD于M,ONLBC于N,根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON,根據(jù)勾股定理求

出OE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN,得到FC的長(zhǎng)，證明AGFCS^GOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出

比例式，代入計(jì)算得到答案.

【詳解】角能作OM_LCD于M,ON_LBC于N,

???四邊形ABCD為矩形，

AZD=90°,ZABC=90°,

???OM〃AD,ON〃AB,

???點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

11

???OM=—AD=3,ON=一AB=4.5,CM=4.5,CN=3,

22

VCE=1.5,

???ME=CM+CE=6,

在R3OME中，OE=[OM2+W￡2=五+62=39,

VZMON=90°,ZEOF=90°,

JZMOE+ZNOE=ZNOF+ZNOE=90°,

AZMOE=ZNOF,又NOME=NONF=90。,

.,.△OME^AONF,

.OMME36

..----=-----,即nn----=----,

ONFN4.5FN

解得，F(xiàn)N=9,

；.FC=FN+NC=12,

ZFOE=ZFCE=90°,

；.F、0、C、E四點(diǎn)共圓，

.\ZGFC=ZGOE,又NG=/G,

.".△GFC^AGOE,

.FGFC12_4A/5

,?加—而—訪一虧‘

故答案為：逑.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性

質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，正方形ABCD中，AB=9,點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且AE:石。=1:2,點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，

連接PE,過(guò)點(diǎn)E作EFLPE，交射線3C于點(diǎn)/，連接PF,點(diǎn)M為PF中點(diǎn)，連接DM,則的

最小值為.

A____E_________D

［答案］土叵

10

【分析】由已知可得AE=3,DE=6,又AB=9,ZA=90°>由勾股定理得BE=J32+9?=3回，由

NPEF=9。，NPBF=90°，M為PF中點(diǎn)，可知M為四邊形BFEP外接圓的圓心，BE為圓M的弦，

故圓心M在線段BE的垂直平分線上，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過(guò)點(diǎn)D作

。0，6”于乂，此時(shí)的線段DM即為所求最小值，過(guò)點(diǎn)E作石NLDAl于N,則四邊形EGMN為矩形,

BEQ/1n

可得NGEN=90°，GE=MN,可證VABE:NNED,可得——=——，代入數(shù)據(jù)得：DN=H",又

DNDE5

MN=EG=M0,可得DM的長(zhǎng)度.

2

【詳解】：AE:EL>=1:2,AD=AB=9,

；.AE=3,DE=6,

又：AB=9,ZA=90°.

BE=J32+92=3^/10，

VZPEF=90°>NPBF=90°，

；.B、F、E、P四點(diǎn)共圓，且PF為直徑，

：M為PF中點(diǎn)，

M為四邊形BFEP外接圓的圓心，

：E、B為定點(diǎn)，

；.BE為圓M的弦，

圓心M在線段BE的垂直平分線上，

如下圖，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過(guò)點(diǎn)D作于M,此時(shí)的線段

DM即為所求最小值，

過(guò)點(diǎn)E作E/V_LQM于N,則四邊形EGMN為矩形,

；?NGEN=96，GE=MN,

ZAEB+ADEN=90°，

：NA=90°，

ZABE+ZAEB=90)>

/.ZDEN=ZABE,

又?:ZA=NDNE=90°，

：.\ABE:VNED,

.AEBE

"~DN~1)E，

即J_=酒，

DN6

解得:DN=3叵，

5

VBE=3V10.

._3回

??JFtSnxj------------,

2

.W3M

..MN=———,

2

DM=DN+MN=3而+^2=21河.

5210

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓的對(duì)稱性，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理及其逆定理確定

四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

9.如圖，等腰RtAABC中，ZACB=90°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

（1）如圖1,作BE_LAD延長(zhǎng)線于E,連接CE,求證：ZAEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且NBPD=45。，連接CP.

①若AP=2,求AAPC的面積;

②若AP=2BP,直接寫出sinZACP的值為.

【答案】（1）證明見解析；（2）①AAPC的面積=1；②勺叵.

17

【分析】（1）由題意可證點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得/AEC=/ABC=45。；

AP

(2)①通過(guò)證明△APBs^CEB,可求CE=75=0由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF=1,即可求解;

②過(guò)點(diǎn)B作BELAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAD于F,過(guò)點(diǎn)P作PHLAC于H,設(shè)AP

AP/?

=2a,則BP=a,可得CE=—，==J^a,CF=EF=a,BE=PE=—a,由勾股定理可求AC?,CP2,利用

v22

面積法可求PH2,即可求解.

【詳解】證明：(1):等腰RSABC中，ZACB=90°,

???AC=BC,NABC=NCAB=45。，AB=^BC,

VBEXAD,

.*.ZAEB=90°=ZACB,

?,?點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

???ZAEC=NABC=45。；

(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BELAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAD于F,

VZBPD=45°,BE±AD,

.*.ZPBE=45O=ZABC,

???NABP=NCBE,

VZAEB=90°=ZACB,

?,?點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)E,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

???NBAE=NBCE,NAEC=NABC=45。,

AAAPB^ACEB,

APL

?'?CE="^=V2，

VCFXAD,NAEC=45。,

???NFCE=NCEF=45。，

???CF=EF=W±CE=1,

2

???AAPC的面積="xAPxCF=1；

2

②如圖，過(guò)點(diǎn)B作BELAD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLAD于F,過(guò)點(diǎn)P作PHLAC于H,

設(shè)AP=2a,則BP=a,

AP

由①可知，CE—正=&a,CF=EF=a,

?「BP=a,NBPE=45°,ZBEP=90°,

五

.,.BE=PE=—a,

2

「?AF=AE-EF=2a+^^a-a=a+^^a,PF=a--^1-a,

222

CP2=CF2+PF2=a2+(a--^-a)2=—a2-亞諾,

22

AC2=AF2+CF2=a2+(a+^l-a)2=—^+d2a2,

22

,**SAACP=-xACxPH——xAPxCF,

22

J(AC*PH)2=(AP?CF)2,

8_

(sinZACP)2=^1=5+27216

PC,5_&17

2

???sinZACP

17

4A/F7

故答案為:

17

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

10.在邊長(zhǎng)為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，

點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以lcm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、

DF交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)E.F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.回答下列問(wèn)題：

(1)如圖1,當(dāng)t為多少時(shí)，EF的長(zhǎng)等于4j?cm?

(2)如圖2,在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(。。)上；

②是否存在這樣的t值，使得問(wèn)題①中的。。與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

③請(qǐng)直接寫出問(wèn)題①中，圓心o的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

【答案】（1）t=4或8；（2）①證明見解析；②存在，t=3或12；③6cm.

【分析】（1）由題意易得DE=CF=t,則有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可；

（2）①由題意易證△ADE^ADCF,貝U有NCDF=/DAE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAPF=90。，進(jìn)而可

得/B+NAPF=180。，則問(wèn)題得證；

②由題意可知當(dāng)。0與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行分類討論求解：一是當(dāng)圓與AD相

切時(shí)，一是當(dāng)圓與邊DC相切時(shí)；

③由動(dòng)點(diǎn)E、F在特殊位置時(shí)得出圓心0的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：（1）由題意易得：DE=CF=t,

四邊形ABCD是正方形,

AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,

EC=12-t,

EF的長(zhǎng)等于4指cm,

.,.在RtACEF中，EF2EC2+CF2,即(4指,=(12-〃

解得％=4,與=8；

(2)①由⑴可得AB=CD=BC=AD=12cm,NONB二NADC=NDAB=90。，DE=CF=t,

△ADE^ADCF,

NCDF二NDAE,

ZCDF+ZPDA=90°,

/.ZDAE+ZPDA=90°,

/.ZADP=ZAPF=90°,

ZAPF+ZB=180°,

由四邊形APFB內(nèi)角和為360。可得：ZPAB+ZPFB=180°,

點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓（。0）上；

②由題意易得：當(dāng)。。與正方形ABCD的一邊相切時(shí)，只有兩種情況;

a、當(dāng)。。與正方形ABCD的邊AD相切時(shí)，如圖所示：

由題意可得AB為。O的直徑,

t=12；

b、當(dāng)。。與正方形ABCD的邊DC相切于點(diǎn)G時(shí)，連接OG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作OHLBC交

BC于點(diǎn)H,連接OF,如圖所示：

/.OG±DC,GM±AB,HF=HB,

二.四邊形OMBH、GOHC是矩形，

/.OH=BM=GC,OG=HC,

AB=BC=12cm,

**.OH=6,

CF=t,BF=12-t,

HF=1^^=6--,CH=OG=OF=t+6--=6+-,

2222

在RtAFOH中，OF?=OH?+FH?,即=62+^6-1^|，

解得：t=3；

綜上所述：當(dāng)/=3或t=12時(shí)，。。與正方形ABCD的邊相切；

③由(1)(2)可得：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合及點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，圓心在正方形的中心上；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重

合及點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，圓心在AB的中點(diǎn)上，故圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段，如圖所示：

-.OP即為圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，即OP=6cm.

故答案為6cm.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的綜合，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)及切線定理解題的關(guān)鍵，注意運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題.

11.已知4。為銳角AA3C的高，G為AC中點(diǎn)，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED至R,使得GF=GD.

（1）證明：AAED-AAFC；

（2）證明：AECF2=BEAF2;

（3）若AB=6,BC=7,C4=8,求四邊形ACFD的面積.

A

\\G

E//\\\

鼠L

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）衛(wèi)巫

16

【分析】（1）通過(guò)G4=GD=GC=GF得A,D,F,C四點(diǎn)共圓，得到NAO￡=NACF,結(jié)合

ZAED=ZAFC=90°，證得AAEZ)AAFC；

(2)通過(guò)用AAEDRt^AFC,RtMEDHfADEB證得cP=座.人尸；

SA4「k,TA..o

(3)利用勾股定理求得AD,BD,CD,在RfAADB中,求出DE,AE,得出5AA小，借助不工=(二")，

^AADE

AE

2

求得^AACF'再用RtAAEFRtAADC,得到跖二^AADC'(An),最后S\ACFD=^M￡F^MCF-^^AED?

【詳解】解：(l),:GA=GD=GC=GF

A,RRC四點(diǎn)共圓

ZAFC=ZADC=90°

又：ZADE^ZACF

：.RtAAEDRtAAFC

(2)由(1)RtAAEDRtAAFC

.AFAE

"'~CF~~ED

又：MAAE。RtADEB

.AFAEDE

""CF~ED~EB

,AF.AEDEAE

??(----)=-----------=-----

CFEDEBEB

^AE-CF2=BE?AF2

AD2+BD-=36

(3),：\,

A〃+(7—B。)’=64

...AD=BD=-,CD=—

222

中'DE二處察:半，AE=AD245

AB8

_135715

崢128

而「左

同理利用RtMEF&AADC得到SWF=S,比?（坐了=羽斗譽(yù)

A.DiZo

弋_弋0_弋_77A/T^

3AAe=+?AACF-77

1O

【點(diǎn)睛】

本題考查了四點(diǎn)共圓的判斷，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的證明，不規(guī)則圖形

的面積的求法，熟練掌握其中的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵.

12.四邊形ABCD內(nèi)接于圓。，連接3D,NABD=NCBD=LNADC.

2

⑴求證：ZADC=90°;

⑵求證：AB+BC=@D；

D

（3）如圖2,點(diǎn)E是A￡）上一點(diǎn)，連接EB并延長(zhǎng)交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接W交圓。于點(diǎn)

G,ZAEB=2ZEFC,AE=2,EF=10,求歹G的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；（2）見解析；⑶FG言小

【分析】（1）根據(jù)題意可得NA5C=NADC,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得證；

（2）過(guò)點(diǎn)。作DPLOB交B4延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,易證ABDP為等腰直角三角形，通過(guò)“角邊角”證明

APDA^ABDC,則AP=5C,進(jìn)而可得證；

（3）連接E4,過(guò)點(diǎn)R作月以，區(qū)4交￡4延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM至點(diǎn)N,使AM=MV,連接

易證AZMF且ADCF,FA=FN=FC,設(shè)NEFC=。,則NAEF=，整理可得

/EFN=ZENF,=EF=10,根據(jù)題意得到相關(guān)線段的長(zhǎng)，在RtMNF中根據(jù)勾股定理可得，

4歹=4石,根據(jù)圓周角定理可得/。7。=/。。尸=45°，得到ACDGSACED,進(jìn)而求得CG的長(zhǎng)，最

后得到答案.

［詳解】解：(1)ZABD=NCBD=|ZADC,

：.ZABC=ZADC,

ZABC+ZADC=180°.

,-.ZADC=90°;

⑵過(guò)點(diǎn)。作DP，D5交R4延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

ZCDB+ZADB=90°，

ZPDA+ZADB=90)<

/CDB=ZMDA,

NQBA=45°，

:.DB=DP,PB=4iBD,

..APDA^ABDC(ASA),

：.AP=BC,

:.AB+BC=BP=6BD；

（3）連接E4,過(guò)點(diǎn)/作府J_E4交外延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)N,使=連接FN,

易證AZMF烏ADCF,

：.FA=FN=FC,

設(shè)/EFC=a,則ZAEF=2a,

ZDCF=ZDAF=360°-(180°-2a)-90°-?

=90+a，

??.ZFAM=/FNM=9?！恪猘，

ZEFN=180°-2cr-(90°-cr)=90°-a,

NEFN=ZENF,EN=EF=10,

：.AM=4,

：.FM=8=MD,

;.DC=4,

DE=2，

在RfAAA手中根據(jù)勾股定理可得，Ab=4j5,

CF=475，

ZCGD=ZCDF=45°，

:.ACDG^ACFD,

CD~=CG-CF，即42=2y/5CG，

.-.CG=1V5,

.'.FG=y^.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解此題

的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造適當(dāng)輔助線幫助解題.

13.已知：ABC內(nèi)接于「0,過(guò)點(diǎn)3作。的切線，交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接03.

久DD

:]

圖2圖3

圖1

(1)如圖1,求證：NDAB=NDBC；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)/,連接A0,交3c于點(diǎn)N,=+求證：BN=CN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)E為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的切線交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接CE,交

A0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接PQ,PQLOQ,點(diǎn)R為AN上一點(diǎn)，連接若NDCF+NCDB=90。,

ON1「

tanZECF=2,—=PQ+OQ=6yJ10,求C/的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）CF=10

【分析】（1）延長(zhǎng)BO交：。于G,連接CG,根據(jù)切線的性質(zhì)可得可證/DBC+/CBG=90。，然后根據(jù)直

徑所對(duì)的圓周角是直角可證/CBG+/G=90。，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得/DAB=/G,從而證出

結(jié)論；

（2）在MB上截取一點(diǎn)H,使AM=MH,連接DH,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DH=AD,再根據(jù)等邊對(duì)等

角可得NDHA=NDAH,然后根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)證出/ABC=/C,可得AB=AC,再根據(jù)

垂直平分線的判定可得AO垂直平分BC,從而證出結(jié)論;

（3）延長(zhǎng)CF交BD于M,延長(zhǎng)BO交CQ于G,連接OE,證出tan/BGE=tan/ECF=2,然后利用AAS

證出ACFN0ABON,可設(shè)CF=BO=r,ON=FN=a,則OE=r,根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形即可證出四

邊形OBPE為正方形，利用r和a表示出各線段，最后根據(jù)P。+。。=6后，即可分別求出a和CF.

【詳解】解：（1）延長(zhǎng)BO交。。于G,連接CG

：BD是。的切線

ZOBD=90°

.\ZDBC+ZCBG=90°

?「BG為直徑

ZBCG=90°

.,.ZCBG+ZG=90°

AZDBC=ZG

??,四邊形ABGC為.。的內(nèi)接四邊形

JNDAB二NG

???NDAB二NDBC

(2)在MB上截取一點(diǎn)H,使AM=MH,連接DH

■2

ADM垂直平分AH

???DH=AD

NDHA=NDAH

BM=AM+AD^BM=MH+BH

???AD=BH

二?DH=BH

JNHDB=NHBD

???NDHA=NHDB+NHBD=2NHBD

由(1)知NDAB=NDBC

JNDHA=NDAB二NDBC

AZDBC=2ZHBD

ZDBC=NHBD+ZABC

AZHBD=ZABC,ZDBC=2ZABC

???ZDAB=2ZABC

???NDAB二NABC+NC

:.ZABC=ZC

AAB=AC

???點(diǎn)A在BC的垂直平分線上

??,點(diǎn)O也在BC的垂直平分線上

AAO垂直平分BC

：.BN=CN

(3)延長(zhǎng)CF交BD于M,延長(zhǎng)BO交CQ于G,連接OE,

D

圖3

???ZDCF+ZCDB=90°

：.ZDMC=90°

ZOBD=90°

AZDMC=ZOBD

：.CF//OB

.*.ZBGE=ZECF,ZCFN=ZBON,

tanNBGE=tanNECF=2

由（2）知OA垂直平分BC

AZCNF=ZBNO=90°,BN=CN

AACFN^ABON

ACF=BO,ON=FN,設(shè)CF=BO=r,ON=FN=a,貝（JOE=r

..ON

.~OQ=2

AOQ=2a

VCF//OB

.,.△QGO^AQCF

.OG_Q0

'~CF~~QF

即空=2a」

r2a+a+a2

1

：.OG=-r

2

過(guò)點(diǎn)O作OE」BG,交PE于日

OEf=OGtanZBGE=r=OE

???點(diǎn)日與點(diǎn)E重合

JZEOG=90°

???ZBOE=90°

VPB和PE是圓O的切線

AZOBP=ZOEP=ZBOE=90°,OB=OE=r

J四邊形OBPE為正方形

AZBOE=90°,PE=OB=r

1

???ZBCE=-ZBOE==45°

2

???ANQC為等腰直角三角形

ANC=NQ=3a,

???BC=2NC=6a

在R3CFN中，CF=QNC2+FN2=阿

???PQ1OQ

???PQ〃BC

JZPQE=ZBCG

?「PE〃BG

JNPEQ=NBGC

.,.△PQE^ABCG

.PQ_PE

^~BC~~BG

PQ

即6a

r+—r

2

解得：PQ=4a

PQ+0Q=6y/id,

...4a+2a=6V10

解得：a=V10

.,.CF=710x710=10

【點(diǎn)睛】

此題考查的是圓的綜合大題，難度較大，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、

勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

14.如圖，等腰三角形AABC中，NA4c=120。，AB=3.

(1)求的長(zhǎng).

(2)如圖，點(diǎn)。在CA的延長(zhǎng)線上，DELABE,DFLBC^F,連EF.求EF的最小值.

BC

【答案】⑴BC=36;(2)E尸的最小值為苧

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/B=30。，BM=CM,由直角三角形的

性質(zhì)得BM=』K，進(jìn)而即可求解；

2

(2)連接BD,取BD的中點(diǎn)O,連接OE,OF,易得B,D,E,F四點(diǎn)共圓，從而得AOEF是等邊三角形,

進(jìn)而得EF='BD,由BD_LCD時(shí)，BD的值最小，進(jìn)而即可求解.

2

【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)A作AMLBC于點(diǎn)M,

;等腰三角形AABC中，ZBAC=120°,AB=3,

：.ZB=(180°-120°)4-2=30°,BM=CM,

.\BM=3^2x73=|^3)

/.BC=2BM=2x1癢33

(2)連接BD,取BD的中點(diǎn)O,連接OE,OF,

,：DELABE,Z)F_LBC于凡

-q1

在RtABDF與RtABDE中，OB=OD=OE=OF=-BD,

2

AB,D,E,F四點(diǎn)共圓，

/.ZEOF=2ZEBF=2x30°=60°,

AAOEF是等邊三角形，

1

.,.EF=OF=-BD,

2

VZC=ZEBF=30°,

]qC

.?.當(dāng)BD_LCD時(shí)，BD=-BC=^-此時(shí)，BD的值最小,

22

?出的最小值小D＜芳考

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造四邊形的外接圓，

是解題的關(guān)鍵.

15.如圖1,拋物線y=—且/+區(qū)+C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0),A(12,0)兩點(diǎn).

8

(1)求6的值；

(2)如圖2,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線+c上一點(diǎn)，連接PO,若tanNPOA=1,求點(diǎn)尸的

82

坐標(biāo)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P的直線y=-述x+7”與大軸交于點(diǎn)作CF=OF,連接0c交

5

拋物線于點(diǎn)Q,點(diǎn)3在線段OF上，連接CP、CB、PB,PB交CF于點(diǎn)、E,若NPBA=2NPCB,

ZBEF=2ZBCF,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案;

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PELQ4于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P(加,一心療+±8根)，(771>0),結(jié)合tanNPOA=@,列出關(guān)于

822

m的方程，即可求解；

(3)連接OP,易得直線解析式為：y=一座幽1,點(diǎn)歹(?，0),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與外角的

性質(zhì)，得點(diǎn)。，點(diǎn)6,點(diǎn)P,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，從而得OB=PB,進(jìn)而得點(diǎn)3(7,0),過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)3,點(diǎn)P,

點(diǎn)C四點(diǎn)的圓的圓心，竽)，設(shè)點(diǎn)C(a,b),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,列出關(guān)于a,b的方程,得b=6a