第一章數(shù)與式

第03講分式

（思維導(dǎo)圖+2考點+2命題點8種題型（含4種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航??題型02分式值為0的條件

02知識導(dǎo)圖?思維引航命題點二分式的運算

03考點突破?考法探究??題型01分式的運算

考點一分式及其性質(zhì)＞題型02判斷分式運算的錯誤步驟

考點二分式的運算＞題型03分式的化簡求值

04題型精研?考向洞悉??題型04分式運算的應(yīng)用

命題點一分式及其性質(zhì)??題型05分式的規(guī)律探究

A題型01分式有、無意義的條件＞題型06與分式運算有關(guān)的新定義問題

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點考有頻率新課標(biāo)要求

分式的相關(guān)概念★了解分式和最簡分式的概念.

分式的基本性質(zhì)★★能利用分式的基本性質(zhì)進行約分與通分.

分式的化簡及求值★★★能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.

【考情分析】本考點主要考查分式的化簡和求值，考查形式多樣，其中分式的考查以解答題為主，難度一

般.解分式化簡、求值問題時，一要注意整體思想的應(yīng)用，二要注意解題技巧（分母為多項式時，先分解因

式，進行約分，再計算），三要注意代入的值要使分式有意義.

知識導(dǎo)圖?思維引航

分式的值不變/一--------\[分子、分母的符號

一^（改變其中任何兩個）\----------------1?符號法則

K------------------'[分式本身的符號卜=--------

除法與乘法是同級運算，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法

它們的混合運算不滿足結(jié)合律，要按從左到右的順序進行

定義整式A和B

或犯e除法轉(zhuǎn)化為乘法后懿合?運算B中有字母且不等于0

相關(guān)概念最簡分式分子與分母沒有公因式

例:4+/。=4電"="6工47+（J9）

各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)

最簡公分母I----------------------

—七’-----所有字母因式的最高次幕的積

1_11

M（n+l）-n-n+l曲裂項

同時|~~

學(xué)

知「基本性質(zhì)分子^5?母I—L

法

識"相同非。整式

指

梳

導(dǎo)

找出分子和分母的公因式約分的關(guān)鍵理同分母分式分母不變分子相加減

-------------------------------------1約分與通分

確定幾個分式的最簡公分母通分的關(guān)鍵----------------------1異加分式先通分

、分子相乘作積的分子（（'

運用分式的基本性質(zhì)時，要注意同乘（或除以）一個不等于0的整式

——?分母相乘彳傍的分母化為毒簡分式,

不能區(qū)分分式何時有意義,無型尊值為q

約分孰底，使?jié)遂泄蚴椒质降倪\算運算

除法顛倒除式的分子、分母與被除式相乘

確定幾個分式的最簡公分母時，不要遺漏只在一個分式的分母中出現(xiàn)的

字母及其指教乘方分子、分母分別乘方

先乘方，再球，最后加減

★混合運算有括號時，先進行括號內(nèi)的運算

同級運算，按照從左到右的“腑進行

考點突破?考法探究

考點一分式及其性質(zhì)

1.分式及其性質(zhì)

A

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子片叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.

2.分式有意義、無意義或值為0的條件

對于分式A/B來說條件

分式有意義分母不等于零，即BW0

分式無意義分母等于零，即B=0

分式值為0A=0且BW0

注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.

3.分式的基本性質(zhì)

分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

AAA—c

字母表示：2=2士或2=9,其中A,B,C是整式且B?CWO.

BB?CBB+C

分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變.

【補充】改變其中一個或三個，分式變?yōu)樵质降南喾磾?shù).

【易錯易混】運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；

②隱含條件：分式的分母不等于0.

4.分式的約分

分式的約分:根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式

的約分.

最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

【補充說明】約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式,約分要徹

底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.

5.分式的通分

分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一

過程叫做分式的通分.

最簡公分母：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次累的積作為公分母，這樣的分母叫

做最簡公分母.在確定幾個分式的最簡公分母時，不要遺漏只在一個分式的分母中出現(xiàn)的字母及其指數(shù).

確定最簡公分母的方法：

1）分母為單項式:①取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；

②取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).

2）分母為多項式:①對每個分母進行因式分解；

②找出每個出現(xiàn)的因式的最高次基,它們的積為最簡公分母；

③若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).

針對訓(xùn)練

1.（2022.湖南懷化.中考真題）代數(shù)式》，工，義，x2-1，歿中，屬于分式的有（）

5nxz+43xx+2

A.2個B.3個C.4個D.5個

a2-5a/、

2.（2023?甘肅蘭州?中考真題）計算:

Q—5

A.a—5B.a+5C.5D.a

3.（2024?四川雅安?中考真題）已知？+《=l（a+b40）.則弋=（）

aba+b

1

A.-B.1C.2D.3

2

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)、=高+圭中，自變量工的取值范圍是.

5.（2023?四川南充?中考真題）若分式二的值為0,貝卜=

x-2

考點二分式的運算

1.分式的加減法

hch+c

1）同分母分式相加減：分母不變，把分子相加減；符號表示為：一±—二=^

aaa

2）異分母分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減；符號表示為：b±c=bd±ac

adad

2.分式的乘除法

1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即？h?上c二上be.

adad

2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即2+￡=2?°=也.

adacac

3）分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，即［色］=—（n為正整數(shù)，bWO）

IbJb"

3.分式的混合運算

運算順序：分式的混合運算順序與實數(shù)類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號內(nèi)的

運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.

針對訓(xùn)練

1.（2024.四川雅安.中考真題）計算（1—3）。的結(jié)果是（）

A.-2B.0C.1D.4

2.（2024?河北?中考真題）已知A為整式，若計算;——的結(jié)果為貝田=（）

%y+yxz+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x—y

3.（2024.黑龍江大慶.中考真題）已知a+二=逐，則（^+與的值是

4.（2024.北京?中考真題）已知。-6-1=0,求代數(shù)式的值.

az-2ab+bz

5.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：（1+。）——三，其中x=-2.

\x-37xz-6x+9

題型精研?考向洞悉I

命題點一分式及其性質(zhì)

A題型01分式有、無意義的條件

方法技巧

對于分式A/B來說條件

分式有意義分母不等于零，即BW0

分式無意義分母等于零，即B=0

1.（2023?湖北黃石?中考真題）函數(shù)y=與的自變量x的取值范圍是（）

A.%>0B.%W1C.%N0且%H1D.x>l

2.（2024.安徽.中考真題）若代數(shù)式二有意義，則實數(shù)久的取值范圍是.

3.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）在函數(shù)y=鬃中，自變量x的取值范圍是.

4.（21-22八年級下?廣東佛山?階段練習(xí)）當(dāng)x=1時，分式等無意義；當(dāng)％=4時分式的值為0,貝卜6+n）2012

的值是.

＞題型02分式值為0的條件

方法技巧

對于分式A/B來說條件

分式值為0A=0且B#0

注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.

2

1.（2023?四川涼山?中考真題）分式一的值為0,貝k的值是（）

X-1

A.0B.-1C.1D?0或1

2.（2021.四川雅安.中考真題）若分式中的值等于0,則x的值為（）

X-1

A.-1B.0C.1D.±1

3.（2021.江蘇揚州.中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

A.x+1B./—1C.—D.(%+1)2

x+l'/

4.(2024.山東濟南.中考真題)若分式?的值為0,貝k的值是

2x

命題點二分式的運算

A題型01分式的運算

:方法技巧

相關(guān)公式：1）匕￡=巫bebd±acc、bcbe

2)一±—=-------3)一?一二—

aaaadadadad

.bcbdbd5)(31=—(n為正整數(shù)，bWO)

）；二一?一二—

4————n

adacacIbJb

混合運算順序：分式的混合運算順序與實數(shù)類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號

內(nèi)的運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.

1.（2024?河北?中考真題）已知A為整式，若計算;—-的結(jié)果為七匕貝"=（）

%y+yx^+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

2.（2024?江蘇揚州?中考真題）（1）計算：|7r-3|+2sin30°-（V5-2）0；

（2）化簡：-2）.

3.（2024.四川瀘州?中考真題）化簡：停+X-2y）+《

4.（2024.廣東廣州.中考真題）關(guān)于久的方程/一2久+4-6=0有兩個不等的實數(shù)根.

（1）求TH的取值范圍;

1-m2m-1m-3

（2）化簡:

\m-3\2m+1

5.（2023?江西?中考真題）化簡（喜+￡）?寧.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程:

解：原式=1x(x-l)+x(x+l)

(x+l)(x-l)(x-l)(x+l).X

甲同學(xué)

解：原式=三?三1+三?日二

x+1Xx-1X9

乙同學(xué)

（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是,乙同學(xué)解法的依據(jù)是；（填序號）

①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

＞題型02判斷分式運算的錯誤步驟

方法技巧）

常見錯誤類型:

hhhbb

1）錯在顛倒運算順序，例如：一+-一）=—+Q-—+—,錯誤原因：運算順序錯誤，應(yīng)先算括號里的,

aaaaa

再算括號外的.

加2

2）錯在去分母，例如：m-1----（--7-7--z--l）（/?+l）-m2=-l,錯誤原因：上述解法把分式通分與解方

m+1

程混淆，要注意分式計算式等式代換，不能去分母.

3）錯在符號變化，例如：+2==加+2）

W4-1W+lW+1W+1n?+lWJ+1

,錯誤原因：去括號時沒有注意前面的符號.

1.（2024?四川樂山?中考真題）先化簡,再求值：目-￡,其中尤=3.小樂同學(xué)的計算過程如下:

解.2x1=2%1①

用牛：7,

x2-4x-2(x+2)(x-2)xW

_2x%+2⑨

/、/....

~(x+2)(x-2)(%+2)(%-2)

_2x-x+2

..③

(x+2)(x—2)

_x+2..④

(%+2)(%—2)

=—...?

x-2

當(dāng)久=3時，原式=1.

（1）小樂同學(xué)的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤;

⑵請幫助小樂同學(xué)寫出正確的解答過程.

2.（2024?江蘇連云港.中考真題）下面是某同學(xué)計算看一高的解題過程:

解：土2m+12

m2-l(7n+l)(7n-l)(m+l)(m-l)

=(m+1)-2②

=m-1③

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出完整的正確解題過程.

3.12。23?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）以下是某同學(xué)化簡分式一+1一中）的部分運算過程:

解：原式=T+a—二+些土.......第一步

CLCLCL

a-b1a-ba第二步

aaa2ab-b2

a-ba-b第三步

a22ab-b2

（1）上面的運算過程中第步開始出現(xiàn)了錯誤；

（2）請你寫出完整的解答過程.

4.（2023?山東臨沂?中考真題）（1）解不等式5-2尤＜言，并在數(shù)軸上表示解集.

（2）下面是某同學(xué)計算仁-a-1的解題過程：

a-1

解：--a-1

CL—1

Cl—1Q—1

=小一（即1）2②

CL—1

a2-a2+a-l否

a-1

a-1

1④

a-1

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程.

＞題型03分式的化簡求值

方法技巧

1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式=

2）若題干中明確給出字母的數(shù)值，通常選用直接代入法.

3）若題干中未明確給出字母的數(shù)值，可考慮使用整體代入法.

1.（2024?江蘇蘇州?中考真題）先化簡，再求值：（若暮.其中尤=—3.

2.（2024.湖南.中考真題）先化簡，再求值：^-―+-,其中x=3.

*x+2x

3.（2024?四川廣安?中考真題）先化簡（a+1—三）+2空，再從-2,0,1,2中選取一個適合的數(shù)代入

求值.

4.（2024?山東淄博.中考真題）化簡分式：事市+胃,并求值（請從小宇和小麗的對話中確定a，b的

b是大于1且小

于石的整數(shù)。

小麗

5.（2024?山東煙臺?中考真題）利用課本上的計算器進行計算,按鍵順序如下:

若zn是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡：（」）+誓9）+匕警，再求值.

\rn-39-m2/m+3

6.（2023?山東濱州?中考真題）先化簡，再求值:史等---三一），其中a滿足a?—仁尸.a+6cos600=

a\a2-2aa2-4a+4/\4/

0.

＞題型04分式運算的應(yīng)用

1.（2024濠江區(qū)一模）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還

可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：/+y3=（X+y）（%2—+y2）.

立方差公式：%3—y3=（%—y）（x2++y2）.

根據(jù)材料和已學(xué)知識解決下列問題

(1)因式分解：a3-8；

3xX2+2X+4'

(2)先化簡，再求值:島，其中久=3.

.X2-2XX3-8

2.(2022?湖北鄂州?一模)若三個實數(shù)x,y,z滿足孫z豐0,且x+y+z=0,則有：J妥+京+*=|1+^+||

(結(jié)論不需要證明)

19

例如:++專=聆+專+旨=ll+l+^y

30

根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題:

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

(1)求+q+q的值；

【能力提升】

(2)設(shè)S=J1+1+1+J1+J+1+…+小+短+高'求$的整數(shù)部分?

【拓展升華】

當(dāng)生+/+/+F—工―工|取得最小值時，

(3)已知％+y+z=0(xyzH0,x>0),其中，且y+z=3yz.zzz

AIxyzlxyz\

求X的取值范圍.

3.(2023?江蘇鹽城?中考真題)課堂上，老師提出了下面的問題:

已知3a>b>0,M=-,N=—,試比較M與N的大小.

bb+3

小華：整式的大小比較可采用“作差法”.

老師：比較/+1與2x-1的大小.

小華：(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2%+1=(%—I)2+1>0,

.".%2+1>2%—1.

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

(1)請用“作差法”完成老師提出的問題.

(2)比較大小：-(填“>”"=”或“<”)

6865

4.(2024.內(nèi)蒙古?中考真題)某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進

行研究，兩塊試驗田共產(chǎn)糧1000kg,種植“豐收1號”小麥的試驗田產(chǎn)糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田

產(chǎn)糧量的1.2倍少100kg,其中“豐收1號”小麥種植在邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方

形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為(a-l)m的正方形試驗田中.

(a-l)m

(1)請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產(chǎn)糧量；

(2)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍?

＞題型05分式的規(guī)律探究

1

1.(2023?湖北恩施?一模)對于正數(shù)X,規(guī)定/(X)=捻,例如:/⑵=*=|,-3)=總=|,/(￡)=W=±

十2

1

/(1)=於=[…利用以上的規(guī)律計算：f(急)+/(急)+/(嘉)+…+/G)+/⑴+/⑵+■?-+

3

/(2021)+/(2022)+/(2023)=.

2.(2022.浙江舟山.中考真題)觀察下面的等式：|=1+；=；；=；+去，……

23634124520

(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論(用含”的等式表示，”為正整數(shù))

(2)請運用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

3.(2021.安徽合肥?一模)觀察以下等式：

第1個等式：乙―^=工第2個等式：三―^=工

31X2X3282X3X43

第3個等式:411第4個等式：11

153X4X54244X5X65

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含”的等式表示)，并證明.

4.(2020?安徽?中考真題)觀察以下等式：

第1個等式：|x(l+g=2-1

第2個等式：|x(1+|)=2-1

第3個等式：jx(l+|)=2-|

第4個等式：：義(1+：)=2-：

6\4/4

第5個等式：^x(l+|)=2-|

按照以上規(guī)律.解決下列問題：

（1）寫出第6個等式；

（2）寫出你猜想的第九個等式：_（用含n的等式表示），并證明.

5.（2023?山東青島?模擬預(yù)測）閱讀下列相關(guān)的兩段材料，根據(jù)材料反映的規(guī)律完成后面的填空題.

設(shè)力是正整數(shù)，

材料1：

=1

_1_2_1

&=T+2=273=3

_1_2_1

%=1+2+3=3x4=6

121

%=1+2+3+4=4x5=10

問題：（1）用含九的代數(shù)式表示即=（寫最簡結(jié)果）

材料2：Si=的=1

211111114

$2=1+7；-----=2(------+-----)=2(-77+二—二)=2(1—―■)=~■

2122x311x22x3，,1223，,373

22111

So=%+劭+=1+------+------=2(-----—+-----