專(zhuān)題04易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題

寧忖【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】..................................................................................1

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】.......................1

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.......................4

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】..............................8

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線(xiàn)及其他線(xiàn)結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】..................12

學(xué)優(yōu)

【典型例題】

【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2022春?浙江?八年級(jí)期末）己知:等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和4,則此等腰三角形的周長(zhǎng)是.

【答案】16或14##14或16

【分析】分6是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關(guān)系判斷，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)

算即可得解.

【詳解】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、4,能組成三角形，

周長(zhǎng)是6+6+4=16,

②6是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、4、4,能組成三角形，

周長(zhǎng)是6+4+4=14,

綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為16或14.

故答案為：16或14.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足|尤-5|+。-10）2=0,則以無(wú)，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不對(duì)

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分5是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解即可.

【詳解】

解：?.?|x-5|+(y-10)2=0,|x-5|>0,(y-10)2>0

?*.x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y=10,

當(dāng)5是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為5、5、10,

回5+5=10,

團(tuán)不能組成三角形；

當(dāng)5是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為5、10、10,

能組成三角形，周長(zhǎng)=5+10+10=25,

所以，三角形的周長(zhǎng)為25,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)

的和等于0,則每一個(gè)算式都等于0,求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形

的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.

2.(北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,

則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為cm.

【答案】17

【分析】由等腰三角形兩腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，分7為腰長(zhǎng)或3為腰長(zhǎng)兩種情況，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求

解.

【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，7、7、3能組成三角形，周長(zhǎng)為：7+7+3=17(cm)；

當(dāng)腰長(zhǎng)為3cm時(shí)，3+3<7,7、3、3不能構(gòu)成三角形，

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握"三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊

3.(2022春?江蘇蘇州?八年級(jí)?？计谥?已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm,5cm,則該等腰三角形

的周長(zhǎng)為cm.

【答案】23或19

【分析】分9a找是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系討論求解.

【詳解】解：①若9。根是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9c"z、9cm、5cm,

5+9>9,能組成三角形，

周長(zhǎng)=9+9+5=23(cm),

②若9c:w是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9c加、9cm、5cm,

5+5>9,能組成三角形，

周長(zhǎng)=9+5+5=19(cm).

綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為23或19cm.

故答案為：23或19.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形三邊關(guān)系

判斷是否能組成三角形.

4.（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若AABC的三邊長(zhǎng)分別為10-a,7,6,當(dāng)AABC為等腰三角形時(shí)，

則a的值為.

【答案】3或4##4或3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)10-。=6時(shí)，當(dāng)10-a=7時(shí)，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)

即可.

【詳解】解：回AABC為等腰三角形，

回當(dāng)10-a=6時(shí)，

解得a=4,

團(tuán)三邊長(zhǎng)為6,6,7

06+6>7,

回符合三角形三邊的條件，

當(dāng)10-。=7時(shí)，

解得a=3,

團(tuán)三邊長(zhǎng)為7,7,6

06+7>7,

回符合三角形三邊的條件，

回a的值為4和3.

故答案為：4和3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解

是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2022春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長(zhǎng)為28cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角

形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的L5倍，則它的底邊長(zhǎng)為cm.

【答案】12或7

【分析】可設(shè)一邊為'em,則另一邊為L(zhǎng)5xcm,然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長(zhǎng)，解出x,再利用

三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】解：設(shè)一邊為xcm,則另一邊為1.5xcm,

①當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為xcm、xcm、1.5xcm,

由題意可列方程：x+x+1.5x=28,

解得x=8,

此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：8cm、8cm和12cm,滿(mǎn)足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；

②當(dāng)長(zhǎng)為xcm的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：xcm、L5xcm、1.5xcm,

由題意可歹!I方程：x+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：7cm、10.5cm、10.5cm,滿(mǎn)足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；

團(tuán)這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為12cm或7cm.

故答案為：12或7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵.

【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2022春?浙江?八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70。，則這個(gè)等腰三角形的頂角為

【答案】70°或40°##70°或40°

【分析】首先要進(jìn)行分析題意，”等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角"沒(méi)明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討

論.

【詳解】本題分兩種情況，

①當(dāng)70。角為頂角時(shí)，頂角的度數(shù)為70。，

②當(dāng)70。角為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為180。-2乂70。=40。；

回這個(gè)等腰三角形的頂角為40?；?0。.

故答案為：70?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)

要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?上海閔行,七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為80。，那么其余的兩個(gè)角

的度數(shù)是.

【答案】50°,50?；?0。,80°

【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類(lèi)討論即可得到答案.

【詳解】解：①當(dāng)80。時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：（180。-80。）+2=50。；

②當(dāng)80。時(shí)底角時(shí)，則有：頂角180°-80°x2=20°；

故答案為：50°,50°或20。，80°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類(lèi)討論的思想.

2.（2022春?黑龍江黑河?八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角

形的頂角度數(shù)是.

【答案】44?；?0。或140。

【分析】設(shè)另一個(gè)角是x,表示出一個(gè)角是2x-20。，然后分①%是頂角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是頂角，③x與2x-20。都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是X,表示出一個(gè)角是2x-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時(shí)，x+2（2x—20°）=180°,

解得x=44。，

所以，頂角是44。；

②x是底角，2x—20。是頂角時(shí)，2x+（2x—20°）=180°,

解得x=50。，

所以，頂角是2x50。-20。=80。；

③x與2尤-20°都是底角時(shí)，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，頂角是180°-20°x2=140。；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是44。或80?；?40。.

故答案為：44?；?0?；?40。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是

這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò).

3.（2022春?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，ZAOB=40°,OC平分/A0B,

如果射線(xiàn)Q4上的點(diǎn)E滿(mǎn)足是等腰三角形，NOEC的度數(shù)為.

【答案】20?；?0?；?40°##20°或140°或80°##80°或20°或140。##80°或140°或20°##140°或20°或80°##

140?；?0?；?0。

【分析】求出—AOC,根據(jù)等腰得出三種情況，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【詳解】回OC平分/AO3,

團(tuán)ZAOC」ZAO3=20。，

2

分三種情況：①當(dāng)oc=o?時(shí)，如圖，

^OC=OE,

團(tuán)NQEC=NOCE,

0ZOEC=1(18O0-ZAOC)=8O°

②當(dāng)OC=CE時(shí)，如圖,

0ZOEC=ZAOC=20°:

③當(dāng)OE=CE時(shí)，如圖,

團(tuán)OE—CE,

團(tuán)NQCE=NAOC=20。，

團(tuán)ZOEC=180°-ZOCE-ZAOC=140°,

綜上，NOEC的度數(shù)為：20?；?0?；?40。，

故答案為：20?；?0?；?40。

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類(lèi)討論思想.

4.（2022春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┰贏(yíng)ABC中，AB=AC,ZBAC=im°,點(diǎn)、D

在邊3c上（不與8、C重合），連接A。，若AABD是等腰三角形，則—ADC的度數(shù)為.

【答案】80?；?10。

【分析】在A(yíng)ASC中，根據(jù)鉆=AC,Zfi4C=100°,得至!!/3=^^=（180。-100。）+2=40°,再根據(jù)AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分類(lèi)討論即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，

在A(yíng)ABC中，

0AB=AC,ZBAC=100°,

團(tuán)N5=NC=(180°—100°)+2=40°,

若是等腰三角形，

①當(dāng)ND=AZ）時(shí)，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ZBAD=80°,

②當(dāng)班=BD時(shí)，

NBAD=NBDA,

ZBAD=（180°-40°）2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

綜上所述80?；?10。.

【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出右4犯的腰.

5.（2022春?江西贛州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在A(yíng)ABC中，ZB=20°,NA=105。，點(diǎn)P在A(yíng)ABC的三邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AR4c為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是.

【答案】105?；?5?；?0°

【分析】作出圖形，然后分點(diǎn)P在A(yíng)8上與BC上兩種情況討論求解.

【詳解】解：①如圖1,

圖1

點(diǎn)P在A(yíng)3上時(shí)，AP=AC,頂角為NA=105。,

②回/5=20。，ZA=105。，

EZC=180°-20°-105。=55°,

如圖2,點(diǎn)尸在BC上時(shí)，若AC=PC,

頂角為NC=55。，

如圖3,若AC=AP,

則頂角為/675=180°-2"=18?！阋?*55°=70°，

綜上所述，頂角為105?；?5?；?0。.

故答案為：105。或55?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解.

6.（2022春?上海虹口?八年級(jí)校考期中）如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為

"倍角三角形”，例如，在A(yíng)ABC中，如果44=50。,/3=100。，那么AABC就是一個(gè)“倍角三角形如果一

個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是.

【答案】90°或36°##36°或90°

【分析】分兩種情況：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)和當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列出

方程，計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，

設(shè)頂角為了，則底角為gx,

團(tuán)XH---XH---X=180°,

22

解得：尤=90。，

當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，

設(shè)頂角為x,則底角為2x,

Elx+2尤+2x=180°,

解得：尤=36°,

綜上所述，它的頂角的度數(shù)是90。或36。.

故答案為：90?；?6°

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的定義、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在分情況

討論思想的應(yīng)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2022春?河南平頂山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線(xiàn)上，BC=CD,AB=AC=5,

AOIBC^-O,AO=3,P為線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)。向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不包括。、B）,當(dāng)△ACP

為等腰三角形時(shí)，。尸的長(zhǎng)為.

【答案】3或入或13

O

【分析】根據(jù)勾股定理求出。8,進(jìn)而求出2C和的長(zhǎng)，分CP=AC、P"A=P"C.CP'"=C4三種情況,

根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【詳解】解:SAB=AC,AOLBC,

SBO=OC,

在及AAOB中，OB=^AB2-AO2=V52-32=4>

團(tuán)BC=2OB=8,

國(guó)BC=CD,

當(dāng)CP=AC=5時(shí)，0P=8—5=3,

當(dāng)尸"A=P〃C時(shí)，O尸〃=4—P"C,

在Rt^AOP"中，OA2+OP"2=AP"2,即32+（4-CP"）2=CP"2,

25

/r

解得，CP=-f

o

則￡>P'=至+8=雙，

88

當(dāng)CP"'=C4=5時(shí)，DP〃'=8+5=13,

25

綜上所述，尸是等腰三角形時(shí)，線(xiàn)段0P的長(zhǎng)度為3或■^或13.

O

故答案為：3或925或13.

O

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊

長(zhǎng)為C,那么4+62=02.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是C。上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作￡F，BE,

交AD于點(diǎn)尸，作點(diǎn)。關(guān)于環(huán)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,依次連接BG、EG、FG.已知AB=16,BC=12,且當(dāng)

是以防為腰的等腰三角形時(shí)，則CE的值為.

【答案】彳或干

23

【分析】①當(dāng)3E=GE時(shí)，A3EG是以BE為腰的等腰三角形，設(shè)DE=x，則OE=GE=3E=x,CE=16-x,

在RtA^CE中，根據(jù)勾股定理，可列出方程求出x的值，進(jìn)而可得CE的值；

②當(dāng)3E=3G時(shí)，△班G是以BE為腰的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)2作證明ACEB絲AEHB,CE=HE,

再列方程求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)鹿=GE時(shí)，A3￡G是以防為腰的等腰三角形，

在長(zhǎng)方形ABCD中，

回。關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,

0DE=GE,

0ABEG是以BE為腰的等腰三角形，

團(tuán)GE=BE,

團(tuán)DE=GE=BE,

設(shè)。石=%，貝ij5E=Z)E=x,CE=16—%,

222

在RtABCE中BC+CE=BE,

25

即：122+(16-X)92=X2,解得：X=E，

257

CE=16-x=16——=—,

22

7

團(tuán)CE的值為,；

②當(dāng)BE=8G時(shí)，ABEG是以防為腰的等腰三角形，

如下圖1,過(guò)點(diǎn)B做BH_LGE,

AB

圖1

團(tuán)四邊形ABC。是長(zhǎng)方形，

團(tuán)NECB=90。，AB=CD=16,

團(tuán)NCEB+NCB石=90。，

0EF1BE,

團(tuán)NDEF+NCEB=90。，

國(guó)NDEF=NCBE,

團(tuán)點(diǎn)。關(guān)于斯的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,

SAEDF=^EGF,

國(guó)DE=EG,ZDEF=ZGEF,

國(guó)EFLBE,HBLGE,

國(guó)NGEF+NHEB=90Q,/HBE+ZHEB=9U。,

田NGEF=NHBE,

?NDEF=NCEB,ZGEF=ZHBEfZDEF=ZGEF,

⑦NCBE=NHBE,

團(tuán)/石CB=90。，HBYGE,

⑦NECB=NEHB=90°,

NCBE=ZHBE

在A(yíng)CEB和LEHB中<EB=EB

ZECB=ZEHB

國(guó)ACEB、EHB(AS?,

國(guó)HB=BC=12,HE=EC,

設(shè)CE=x,貝ijD￡=CD-CE=16—%,

國(guó)DE=GE,BE=BG,HBLGE,

SHE=-GE=-DE^-(16-x),

222V7

國(guó)HE=CE,

0—(16—x)=x,解得：x=—,

0C￡=—；

3

綜上所述，當(dāng)ABEG是以BE為腰的等腰三角形時(shí)，則CE的值為:或

【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形、等腰三角形、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理巧妙設(shè)方程求解是解本題的關(guān)鍵，

綜合性較強(qiáng)，難度較大.

2.(2022春?陜西西安?八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO

的四個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A。,2）,5（10,2）,C（10,0）,0（0,0）,點(diǎn)。是線(xiàn)段0c的中點(diǎn)，點(diǎn)P在"邊上，若40如

是腰為5的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

二I-U

ODCX

【答案】（5+在',2）或（后1,2）

【分析】先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,0）,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（。,2）,分兩種情況：OD=DP=5或OD=OP=5,

求出。的值，即可得出答案.

【詳解】解：回點(diǎn)c（io,o）,0（0,0）,點(diǎn)。是線(xiàn)段OC的中點(diǎn)，

回點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,0）,OD=5,

回點(diǎn)4（1,2）,5（10,2）,

ElA5〃x軸，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（a,2）,

當(dāng)OD=Z）尸=5時(shí)，（a-5『+2?=5?,

解得：a=5+A/21或a=5'—V2T，

0a=5-V21<l>

0a=5-5/21舍去，

回此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（5+01,2）；

當(dāng)OD=O尸=5時(shí)，（a-0）2+22=52,

解得：a=V21-A/21（舍去），

回此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（J五,2）；

綜上分析可知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（5+01,2）或（直,2）.

故答案為：（5+方',2）或（庖,2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出

點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程，注意進(jìn)行分類(lèi)討論.

【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線(xiàn)及其他線(xiàn)結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2022春?福建龍巖?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為4。。，則頂角

的度數(shù)是.

【答案】50?；?30。

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，一種情況是等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為50。；另

一種情況是等腰三角形為鈍角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為130。；

【詳解】如圖1,等腰三角形為銳角三角形，

圖1

0BD1AC,ZABD=40°,

0ZA=5O°；

如圖2,等腰三角形為鈍角三角形,

01AC,ZABD=40°,

0ZS4D=5O°,

0ZBAC=130°.

故答案為：50°或130。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用數(shù)形結(jié)

合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?北京西城?八年級(jí)校考期中）在A(yíng)ABC中，AB=AC,。是AB邊上的高，ZACD=40°,則

的度數(shù)為.

【答案】65?；?5。

【分析】分兩種情況：當(dāng)。在線(xiàn)段A3上時(shí)，根據(jù)題意，得出/ADC=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，

得出NA=50。，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出=再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，計(jì)算即可得出Z8的

度數(shù);當(dāng)。在線(xiàn)段A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)題意，得出NADC=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出

NA=50。，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出=再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，計(jì)算即可得出-3的度數(shù)，

綜合即可得出答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)D在線(xiàn)段A3上時(shí)，

A

團(tuán)CO是A5邊上的高，

0ZAZ)C=9O°,

又團(tuán)NACD=40。，

0ZA=180°-90°-40°=50°,

0AB=AC,

國(guó)NB=NACB,

團(tuán)2ZB=180。一ZA=180。一50°=130°,

0ZB=65°；

如圖，當(dāng)O在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),

團(tuán)CO是A5邊上的高，

0ZAZ）C=9O°,

又回NACD=40。，

BZDAC=180°-90°-40°=50°,

BAB=AC,

團(tuán)NB=NACB,

又回ZDAC=/B+ZACB=2ZB,

回2/5=50。，

0ZB=25°,

綜上所述，25的度數(shù)為65?；?5。.

故答案為：65?；?5。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握

相關(guān)的性質(zhì)定理，分類(lèi)討論.

2.（2022春?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC,AC上的中線(xiàn)50把三角形的周長(zhǎng)分

成24和30兩部分，則底邊BC的長(zhǎng)為.

【答案】22或14

【分析】分兩種情況：AB+AD=24；AB+AD^30,可得AB的長(zhǎng)，再由另一部周長(zhǎng)即可求得底邊BC的

長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得：AD=CD

：.AB=AC^2AD,

當(dāng)AB+AD=24時(shí)，

即2AD+4)=24,

/.AD=8,

?/BC+CD=30,

30=30—8=30—8=22；

當(dāng)AB+AZ)=30時(shí)，

即2AZ)+AD=30,

:.AD=\Q,

?/BC+CD=24,

5C=24—8=24—10=14；

綜上，底邊的長(zhǎng)為22或14；

故答案為：22或14.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線(xiàn)的含義，涉及分類(lèi)討論.

3.(2022春?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí))一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為36,其中一條

邊的長(zhǎng)度為10,則底邊上高的長(zhǎng)度為.

【答案】6或12##12或6

【分析】分兩種情況：①當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是腰時(shí)，②當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是底時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)

論.

【詳解】解回①當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是腰時(shí)，則底為36-10-10=16,

???底邊上高的長(zhǎng)度為7102-82=6；

②當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是底時(shí)，則腰為;(36-10)=13,

???底邊上高的長(zhǎng)度為＞/132-52=12，

綜上所述，底邊上