第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版八年級期中必刷常考題之可化為一元一次方程的分式方程一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?曲阜市期末）若關(guān)于x的分式方程x-1x-2A．2 B．0 C．1 D．﹣12．（2024秋?福山區(qū)期末）關(guān)于x的分式方程mx-1A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥23．（2024秋?福山區(qū)期末）分式方程1xA．1﹣（1﹣x）＝1 B．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 C．1+（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（l﹣x）＝14．（2024秋?梁山縣期末）為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級師生前往距離學(xué)校8km的抗美援朝紀(jì)念館參觀．一部分師生騎自行車先走，過了30min后，其余師生乘坐汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時達(dá)到．假設(shè)汽車行駛速度和騎自行車速度均保持不變，汽車行駛速度是騎自行車速度的4倍，設(shè)騎自行車的速度為xkm/h，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．84x+3060C．84x=85．（2024秋?營口期末）已知分式方程5x+2+1=a+xxA．2 B．3 C．7 D．13二．填空題（共5小題）6．（2024秋?萊山區(qū)期末）已知關(guān)于x的分式方程kx-1+2=x1-x的解是非負(fù)數(shù)，則7．（2024秋?紅花崗區(qū)期末）對于兩個非零的實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算※如下：a※b=1b-1a．例如：3※4=14-13=-1128．（2024秋?涪城區(qū)期末）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程ax-3+43-x=12的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組y9．（2024秋?鄒平市期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km所用時間與最大航速逆流航行60km所用時間相等，則江水的流速為km/h．10．（2024秋?豐都縣期末）已知關(guān)于y的分式方程1y-1+ayy-1=-3有整數(shù)解，且關(guān)于x的一元一次不等式組x≤三．解答題（共5小題）11．（2024秋?舞陽縣期末）解分式方程：（1）4x（2）3-2x12．（2024秋?微山縣期末）春節(jié)來臨，某工廠計(jì)劃購買A，B兩種工藝品共200件用以獎勵優(yōu)秀員工．已知A種工藝品的單價(jià)比B種工藝品的單價(jià)高50元，用600元單獨(dú)購買A種工藝品與用450元單獨(dú)購買B種工藝品的數(shù)量相同．（1）求A，B兩種工藝品的單價(jià)各為多少元？（2）若該工廠計(jì)劃購買A，B兩種工藝品總費(fèi)用不超過30500元，且購買A種工藝品不少于5件，請你幫助工廠計(jì)算出共有幾種購買方案？13．（2024秋?臨海市期末）為了推進(jìn)五育并舉，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，各校積極建設(shè)勞動實(shí)踐基地．某校有一塊長方形勞動實(shí)踐基地，長為（2a﹣2）m，寬為am（a＞6）．（1）去年實(shí)踐基地收獲500kg蔬菜，該校安排甲乙兩組志愿者進(jìn)行采摘．已知甲組每分鐘采摘速度是乙組的2倍，而甲組單獨(dú)完成采摘任務(wù)所需要的時間比乙組單獨(dú)完成任務(wù)所需要的時間少10分鐘．求甲、乙兩組每分鐘各采摘多少千克的蔬菜？（2）今年從該基地中截取出一個邊長為am的正方形地塊，用來種植A類蔬菜，而剩余土地用來種植B類蔬菜，最終收獲A類蔬菜300kg，B類蔬菜200kg．哪類蔬菜的單位面積產(chǎn)量大？請說明理由．（3）該校打算將原勞動基地進(jìn)行擴(kuò)建，計(jì)劃將長增加14m，寬增加am，若擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的整數(shù)倍，求整數(shù)a的值．14．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）招遠(yuǎn)市某生態(tài)示范園積極響應(yīng)政府提出的“踐行生態(tài)有機(jī)理念，推動有機(jī)農(nóng)業(yè)發(fā)展”經(jīng)濟(jì)政策，培育優(yōu)良品種，種植了多種有機(jī)水果，某超市從該示范園第一次用500元購進(jìn)甲種水果，500元購進(jìn)乙種水果．乙種水果的進(jìn)價(jià)是甲種水果進(jìn)價(jià)的2.5倍，超市所進(jìn)甲種水果比所進(jìn)乙種水果多30kg．（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是每千克多少元？（2）第一次購進(jìn)的水果很快銷售完畢，為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進(jìn)甲，乙兩種有機(jī)水果共100千克，其中甲種水果的質(zhì)量不少于乙種水果質(zhì)量的3倍．若甲種水果的售價(jià)為14元/千克，乙種水果的售價(jià)為30元/千克，超市第二次購進(jìn)兩種有機(jī)水果各多少千克時獲得最大利潤，最大利潤是多少？15．（2024秋?天門期末）隨著快遞業(yè)務(wù)的不斷增加，分揀快件是一項(xiàng)重要工作，某快遞公司為了提高分揀效率，引進(jìn)智能分揀機(jī)，每臺機(jī)器每小時分揀的快件量是人工每人每小時分揀快件數(shù)量的20倍，經(jīng)過測試，由3臺機(jī)器分揀7200件快件的時間，比20個人人工分揀同樣數(shù)量的快件節(jié)省4小時．（1）求人工每人每小時分揀多少件？（2）若該快遞公司每天需要分揀8萬件快件，機(jī)器每天工作時間為16小時，則至少需要安排多少臺這樣的分揀機(jī)？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版八年級期中必刷?？碱}之可化為一元一次方程的分式方程參考答案與試題解析題號12345答案CACAC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?曲阜市期末）若關(guān)于x的分式方程x-1x-2A．2 B．0 C．1 D．﹣1【考點(diǎn)】分式方程的解．【專題】計(jì)算題；分式方程及應(yīng)用．【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x﹣1﹣2x+4＝m，由分式方程無解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝1，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程無解的條件是解本題的關(guān)鍵．2．（2024秋?福山區(qū)期末）關(guān)于x的分式方程mx-1A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥2【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先去分母把分式方程化為整式方程，解整式方程得到x＝m﹣2，再利用解為正數(shù)且x﹣1≠0得到m﹣2＞0且m﹣2≠1，然后解不等式確定m的范圍．【解答】解：去分母得m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵x＞0且x≠1，即m﹣2＞0且m﹣2≠1，∴m＞2且m≠3．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．3．（2024秋?福山區(qū)期末）分式方程1xA．1﹣（1﹣x）＝1 B．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 C．1+（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（l﹣x）＝1【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)解分式方程的方法，方程兩邊同時乘（x﹣2），即可得出答案．【解答】解：1x方程兩邊同時乘（x﹣2），得1+（1﹣x）＝x﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?梁山縣期末）為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級師生前往距離學(xué)校8km的抗美援朝紀(jì)念館參觀．一部分師生騎自行車先走，過了30min后，其余師生乘坐汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時達(dá)到．假設(shè)汽車行駛速度和騎自行車速度均保持不變，汽車行駛速度是騎自行車速度的4倍，設(shè)騎自行車的速度為xkm/h，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．84x+3060C．84x=8【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】由汽車及騎車師生速度間的關(guān)系可得出汽車的速度為4xkm/h，再利用“時間、路程、速度”的關(guān)系以及等量關(guān)系“他們同時達(dá)到”列出關(guān)于x的分式方程即可．【解答】解：設(shè)騎自行車的速度為xkm/h，根據(jù)題意，列方程為84故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，理解題意、找到等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?營口期末）已知分式方程5x+2+1=a+xxA．2 B．3 C．7 D．13【考點(diǎn)】分式方程的解．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】將x＝3代入5x【解答】解：把x＝3代入5x+2+1=解得：a＝7，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程是關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?萊山區(qū)期末）已知關(guān)于x的分式方程kx-1+2=x1-x的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是k≤【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】k≤2且k≠﹣1．【分析】將分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非負(fù)數(shù)，結(jié)合分式方程有意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：關(guān)于x的分式方程kxk+2（x﹣1）＝﹣x，解得x=由于分式方程的解為非負(fù)數(shù)，即2-k所以k≤2，當(dāng)x＝1時，k＝﹣1，因此k的取值范圍為k≤2且k≠﹣1，故答案為：k≤2且k≠﹣1．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正確解答的關(guān)鍵．7．（2024秋?紅花崗區(qū)期末）對于兩個非零的實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算※如下：a※b=1b-1a．例如：3※4=14-13=-112【考點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣2．【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)新定義可得：x※∴原式=-1故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)合新運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為分式運(yùn)算．8．（2024秋?涪城區(qū)期末）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程ax-3+43-x=12的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組y【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式組的整數(shù)解．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】21．【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)，所以2a﹣5≥0，得出a≥52，根據(jù)分式有意義的條件得出a≠4，然后解不等式組，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，得出7≥a＞2，繼而求得整數(shù)a【解答】解：分式方程可得：x＝2a﹣5，因?yàn)榉质椒匠痰慕鉃榉秦?fù)數(shù)，所以2a﹣5≥0，解得：a≥由于分式方程分母為x﹣3，所以x≠3，即2a﹣5≠3，所以a≠4，解關(guān)于y的不等式組y+7≤2(因不等式組有3個整數(shù)解，即﹣1，0，1三個整數(shù)解，故2≥解得：7≥a＞2，綜上所得：7≥a＞52且a≠4，則a的整數(shù)值為：3，5因?yàn)?+5+6+7＝21，故答案為：21．【點(diǎn)評】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等式組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是解本題關(guān)鍵．9．（2024秋?鄒平市期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km所用時間與最大航速逆流航行60km所用時間相等，則江水的流速為6km/h．【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】6．【分析】根據(jù)題意可得順?biāo)俣葹椋?0+v）km/h，逆水速度為（30﹣v）km/h，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：以最大航速沿江順流航行90km所用時間＝以最大航速逆流航行60km所用時間，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)江水的流速為vkm/h，根據(jù)題意得：9030+90（30﹣v）＝60（30+v），解得v＝6．經(jīng)檢驗(yàn)，v＝6是原方程的解．答：江水的流速為6km/h．故答案為：6．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出順?biāo)湍嫠旭偹俣?，找出題目中等量關(guān)系，然后列出方程．10．（2024秋?豐都縣期末）已知關(guān)于y的分式方程1y-1+ayy-1=-3有整數(shù)解，且關(guān)于x的一元一次不等式組x≤【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】8．【分析】先通過解該一元一次不等式組和分式方程確定出a的所有整數(shù)值，再代入求解．【解答】解：解分式方程1yy=2由題意得，a+3＝±2或a+3＝±1，解得a＝﹣1或a＝﹣2或a＝﹣4或a＝﹣5，∵y﹣1≠0，即2a+3-1解得a≠﹣1，∴a＝﹣2或a＝﹣4或a＝﹣5，解不等式組x≤x＞﹣6，∴該不等式組的解集是﹣6＜x≤a﹣1，∵該不等式組有解且最多有4個整數(shù)解，∴﹣5≤a﹣1≤﹣2，解得﹣4≤a≤﹣1，∴a＝﹣2或a＝﹣4，∴（﹣2）×（﹣4）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查了含字母參數(shù)的一元一次不等式組和分式方程問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用它們的求解方法．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?舞陽縣期末）解分式方程：（1）4x（2）3-2x【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）x＝4；（2）x＝1．【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）4x去分母得4（x+2）＝6x，去括號得4x+8＝6x，移項(xiàng)合并得﹣2x＝﹣8，解得x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝4是分式方程的解；（2）3-2x去分母得3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2），去括號得3﹣2x＝﹣x﹣2x+4，移項(xiàng)合并得x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是分式方程解．【點(diǎn)評】本題考查解分式方程；注意去分母時，單獨(dú)的一個數(shù)也要乘最簡公分母；互為相反數(shù)的兩個式子為分母，最簡公分母應(yīng)為其中的一個．12．（2024秋?微山縣期末）春節(jié)來臨，某工廠計(jì)劃購買A，B兩種工藝品共200件用以獎勵優(yōu)秀員工．已知A種工藝品的單價(jià)比B種工藝品的單價(jià)高50元，用600元單獨(dú)購買A種工藝品與用450元單獨(dú)購買B種工藝品的數(shù)量相同．（1）求A，B兩種工藝品的單價(jià)各為多少元？（2）若該工廠計(jì)劃購買A，B兩種工藝品總費(fèi)用不超過30500元，且購買A種工藝品不少于5件，請你幫助工廠計(jì)算出共有幾種購買方案？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用．【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．【答案】（1）A種工藝品的單價(jià)為200元，B種工藝品的單價(jià)為150元；（2）工廠共有6種購買方案．【分析】（1）設(shè)A種工藝品的單價(jià)為x元，則B種工藝品的單價(jià)為（x﹣50）元，根據(jù)用600元單獨(dú)購買A種工藝品與用450元單獨(dú)購買B種工藝品的數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購買A種工藝品m件，則購買B種工藝品（200﹣m）件，根據(jù)該工廠計(jì)劃購買A，B兩種工藝品總費(fèi)用不超過30500元，且購買A種工藝品不少于5件，列出一元一次不等式組，解不等式組，即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)A種工藝品的單價(jià)為x元，則B種工藝品的單價(jià)為（x﹣50）元，根據(jù)題意得：600x解得：x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)x＝200是分式方程的解，且符合題意，∴x﹣50＝150．答：A種工藝品的單價(jià)為200元，B種工藝品的單價(jià)為150元；（2）設(shè)購買A種工藝品m件，則購買B種工藝品（200﹣m）件，根據(jù)題意得：200m解得：5≤m≤10，∵m為正整數(shù)，∴m＝5，6，7，8，9，10，∴工廠共有6種購買方案．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．13．（2024秋?臨海市期末）為了推進(jìn)五育并舉，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，各校積極建設(shè)勞動實(shí)踐基地．某校有一塊長方形勞動實(shí)踐基地，長為（2a﹣2）m，寬為am（a＞6）．（1）去年實(shí)踐基地收獲500kg蔬菜，該校安排甲乙兩組志愿者進(jìn)行采摘．已知甲組每分鐘采摘速度是乙組的2倍，而甲組單獨(dú)完成采摘任務(wù)所需要的時間比乙組單獨(dú)完成任務(wù)所需要的時間少10分鐘．求甲、乙兩組每分鐘各采摘多少千克的蔬菜？（2）今年從該基地中截取出一個邊長為am的正方形地塊，用來種植A類蔬菜，而剩余土地用來種植B類蔬菜，最終收獲A類蔬菜300kg，B類蔬菜200kg．哪類蔬菜的單位面積產(chǎn)量大？請說明理由．（3）該校打算將原勞動基地進(jìn)行擴(kuò)建，計(jì)劃將長增加14m，寬增加am，若擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的整數(shù)倍，求整數(shù)a的值．【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；列代數(shù)式；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；分式的混合運(yùn)算．【專題】分式；分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（1）甲組每分鐘采摘50千克的蔬菜，乙組每分鐘采摘25千克的蔬菜；（2）A類蔬菜的單位面積產(chǎn)量大，理由見解答；（3）8或15．【分析】（1）設(shè)乙組每分鐘采摘x千克的蔬菜，則甲組每分鐘采摘2x千克的蔬菜，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合甲組單獨(dú)完成采摘任務(wù)所需要的時間比乙組單獨(dú)完成任務(wù)所需要的時間少10分鐘，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出x的值（即乙組的工作效率），再將其代入2x中，即可求出甲組的工作效率；（2）利用單位面積產(chǎn)量＝總產(chǎn)量÷種植面積，可用含a的代數(shù)式表示出A，B兩類蔬菜的單位面積產(chǎn)量，作差后，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的n倍（n為正整數(shù)），利用長方形的面積公式，結(jié)合擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的n倍，可用含a的代數(shù)式表示出n的值，再結(jié)合“a＞6，a為整數(shù)，且n為正整數(shù)”，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)乙組每分鐘采摘x千克的蔬菜，則甲組每分鐘采摘2x千克的蔬菜，根據(jù)題意得：500x-解得：x＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是所列方程的解，且符合題意，∴2x＝2×25＝50（千克）．答：甲組每分鐘采摘50千克的蔬菜，乙組每分鐘采摘25千克的蔬菜；（2）A類蔬菜的單位面積產(chǎn)量大，理由如下：A類蔬菜的單位面積產(chǎn)量為300aB類蔬菜的單位面積產(chǎn)量為200a300a∵a＞6，∴a﹣6＞0，a2＞0，a﹣2＞0，∴100(a-∴300a2∴300a∴A類蔬菜的單位面積產(chǎn)量大；（3）設(shè)擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的n倍（n為正整數(shù)），根據(jù)題意得：（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a，∴n=2a+12又∵a＞6，a為整數(shù)，且n為正整數(shù)，∴a=8n=4答：a的值為8或15．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、分式的混合運(yùn)算、列代數(shù)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含a的代數(shù)式表示出A，B兩類蔬菜的單位面積產(chǎn)量；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含a的代數(shù)式表示出n的值．14．（2024秋?招遠(yuǎn)市期末）招遠(yuǎn)市某生態(tài)示范園積極響應(yīng)政府提出的“踐行生態(tài)有機(jī)理念，推動有機(jī)農(nóng)業(yè)發(fā)展”經(jīng)濟(jì)政策，培育優(yōu)良品種，種植了多種有機(jī)水果，某超市從該示范園第一次用500元購進(jìn)甲種水果，500元購進(jìn)乙種水果．乙種水果的進(jìn)價(jià)是甲種水果進(jìn)價(jià)的2.5倍，超市所進(jìn)甲種水果比所進(jìn)乙種水果多30kg．（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是每千克多少元？（2）第一次購進(jìn)的水果很快銷售完畢，為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進(jìn)甲，乙兩種有機(jī)水果共100千克，其中甲種水果的質(zhì)量不少于乙種水果質(zhì)量的3倍．若甲種水果的售價(jià)為14元/千克，乙種水果的售價(jià)為30元/千克，超市第二次購進(jìn)兩種有機(jī)水果各多少千克時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）甲種水果的進(jìn)價(jià)是10元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)為25元/千克；（2）超市第二次購進(jìn)甲種水果75千克，乙種水果25千克時獲得最大利潤，最大利潤是425元．【分析】（1）根據(jù)題意，先設(shè)出甲、乙兩種水果的單價(jià)，然后根據(jù)超市所進(jìn)甲種水果比所進(jìn)乙種水果多30千克，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)題意，可以寫出利潤和購買甲種水果數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)甲種水果的質(zhì)量不少于乙種水果質(zhì)量的3倍，可以得到甲種水果數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到利潤的最大值．【解答】解：（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，則乙種水果的進(jìn)價(jià)為2.5x元/千克，由題意得：500x整理得，75x＝750，解得x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原分式方程的解，∴2.5x＝25，所以甲種水果的進(jìn)價(jià)是10元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)為25元/千克，答：甲種水果的進(jìn)價(jià)是10元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)為25元/千克；（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果a千克，則購進(jìn)乙種水果（100﹣a）千克，利潤為w元，由題意可得：w＝（14﹣10）a+（30﹣25）（100﹣a）＝﹣a+500，∵﹣1＜0，∴w隨a的減小而增大，∵甲種水果的質(zhì)量不少于乙種水果質(zhì)量的3倍，∴a≥3（100﹣a），解得a≥75，∴當(dāng)a＝75時，w取得最大值，此時w＝﹣a+500＝﹣75+500＝425，100﹣a＝25，答：超市第二次購進(jìn)甲種水果75千克，乙種水果25千克時獲得最大利潤，最大利潤是425元．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的分式方程．15．（2024秋?天門期末）隨著快遞業(yè)務(wù)的不斷增加，分揀快件是一項(xiàng)重要工作，某快遞公司為了提高分揀效率，引進(jìn)智能分揀機(jī)，每臺機(jī)器每小時分揀的快件量是人工每人每小時分揀快件數(shù)量的20倍，經(jīng)過測試，由3臺機(jī)器分揀7200件快件的時間，比20個人人工分揀同樣數(shù)量的快件節(jié)省4小時．（1）求人工每人每小時分揀多少件？（2）若該快遞公司每天需要分揀8萬件快件，機(jī)器每天工作時間為16小時，則至少需要安排多少臺這樣的分揀機(jī)？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）人工每人每小時分揀60件；（2）至少需要安排5臺這樣的分揀機(jī)．【分析】（1）設(shè)人工每人每小時分揀x件，則每臺機(jī)器每小時分揀20x件，根據(jù)題意思列出分式方程，解分式方程求解即可；（2）設(shè)需要安排y臺這樣的分揀機(jī)，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）設(shè)人工每人每小時分揀x件，根據(jù)題意得：720020解得x＝60，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝60時，60x≠0，∴x＝60是方程的解，且符合題意，答：人工每人每小時分揀60件．（2）設(shè)需要安排y臺這樣的分揀機(jī)，則有：16×20×60y≥80000，解得y≥∴y的最小值為5，答：至少需要安排5臺這樣的分揀機(jī)．【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，找等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．2．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．3．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；②用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時，不能漏乘；③注意確定積的符號．4．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（1）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）運(yùn)用法則時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①相乘時，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．5．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會簡化運(yùn)算過程．6．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．7．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗(yàn)．8．由實(shí)際問題抽象出分式方程由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用