可逆矩陣的判定及其求法

.引理1[7]（Cayley-Hamilton定理）矩陣是其特征多項(xiàng)式的矩陣零點(diǎn).記階矩陣的特征多項(xiàng)式：（10）定理7[7]設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，的特征多項(xiàng)式，若可逆，則的逆矩陣（11）分析由（9）可知，階矩陣的特征多項(xiàng)式為.又由引理1，得.于是有.故.例21已知矩陣，求該矩陣的逆.解的特征多項(xiàng)式為，由Hamilton-Cayley定理知，即，則.例22已知矩陣，求矩陣的逆.解的特征多項(xiàng)式為.由Hamilton-Cayley定理可知.將除以，得.于是，故.（七）利用逆矩陣的性質(zhì)求逆推論1[2]如果矩陣，可逆，那么也可逆，且.分析因?yàn)?，是可逆矩陣，所?于是，因此矩陣是可逆的，并且，所以.例23如果和都是可逆矩陣，，那么矩陣是否可逆，如果可逆求出其逆矩陣.解對(duì)單位矩陣進(jìn)行變形，得.于是有.又因?yàn)楹投际强赡婢仃嚕赏普?可知，矩陣可逆，且.（八）三角矩陣求逆的方法定理8[7]如果階矩陣可逆，那么它的逆矩陣是.其中，.通過定理7我們可以求出其它三角矩陣的逆.如果上（下）三角矩陣是可逆的，那么它們的逆矩陣也是上（下）三角矩陣，并且其逆矩陣上主對(duì)角線上的元素分別是原來矩陣對(duì)應(yīng)元素的倒數(shù).例24已知上三角形矩陣，求該矩陣的逆.解法一這是三角矩陣求逆的問題，根據(jù)定理7可求得于是.解法二是三角矩陣，所以的逆矩陣主對(duì)角線上的元素是中對(duì)應(yīng)元素的倒數(shù)，因此可以設(shè).又由，得于是有，解得.故.推廣如果矩陣均為可逆矩陣，那么分塊上三角矩陣是可逆的，且其逆矩陣為.即分塊三角矩陣的逆矩陣主對(duì)角線上的元素是原來矩陣對(duì)應(yīng)位置矩陣的逆.注一般在遇見三角矩陣求逆的問題時(shí)不會(huì)采用這種方法，因?yàn)楣奖容^復(fù)雜，代入容易出錯(cuò).通常情況下會(huì)根據(jù)三角矩陣的逆矩陣的特點(diǎn)求出主對(duì)角線上的元素，然后再設(shè)出逆矩陣的未知元素，利用解線性方程組的方法求解未知元素，從而得到矩陣的逆.（九）分解矩陣求逆法定理9[8]設(shè)為階可逆矩陣，且，其中已知，是可逆陣，.又設(shè)是可逆陣，則.特別地，當(dāng)是矩陣，是矩陣，并且時(shí)，定理中的公式可變?yōu)?例25已知矩陣，求該矩陣的逆.解設(shè)，，于是.，，.所以.通過上面的歸納整理可以看出，求逆矩陣的方法有很多，運(yùn)用不同的方法也能對(duì)同一問題作出解答.因此在解題過程中必須熟練掌握并運(yùn)用逆矩陣的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論，融會(huì)貫通，學(xué)會(huì)從已知條件中尋找有效信息從而選擇最適合的解題方法，使計(jì)算更加簡便.參考文獻(xiàn)[1]肖瀅.逆矩陣的判定及計(jì)算方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2016,19(4):72-76.[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.[3]馬巧云.談初等變換法求逆原理的應(yīng)用[J].克拉瑪依學(xué)刊，2001(3)：54-55.[4]林大華，戴立輝.矩陣特征值在矩陣中的作用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2017， 33(19)：8-9.[5]俞美華.求逆矩陣的幾種方法[J].科技視界,2015(31):177-178.[6]魯翠仙.逆矩陣的一些常見求法[J].臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2012(1)：116-125.[7]李晨晨，鄧偉娜.利用特征多項(xiàng)式判別矩陣可逆