第五章定積分【定積分定義與性質(zhì)】假如函數(shù)在區(qū)間上持續(xù)，用分點(diǎn)等提成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)（i=1，2，...，n），作和式當(dāng)時(shí)，上述和式無(wú)限靠近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分（definite

integral），記作，即這裏，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，叫做被積式．從幾何上看，假如在區(qū)間上函數(shù)持續(xù)且恒有，那么定積分

表達(dá)由直線x=a，，y=0和曲線所圍成的曲邊梯形（如下圖）的面積．這就是定積分的幾何意義．定積分的性質(zhì)1．規(guī)定：，。2．線形：（、為常數(shù)）。3．可加性：。4．。5．廣義保號(hào)性：。6．不等式：。7．絕對(duì)值不等式：。8．估值不等式：，其中，。9．定積分中值定理：設(shè)，，使。函數(shù)可積的條件必要條件設(shè)在上可積一定是上的有界函數(shù)反之不一定。例：在上不可積。充足條件1．若，則在上可積。2．若在上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。3．上的單調(diào)有界函數(shù)，在上可積。形如上式的積分，叫做變限積分。三、微積分基本公式定理1、變上限函數(shù)：推論1推論2推論3<變上限積分變化上下限，變號(hào)。><上限是復(fù)合函數(shù)的狀況求導(dǎo)。><上下限都是變的時(shí)候，用上限的減去下限的。>2．（原函數(shù)存在定理）設(shè)，則就是上的一種原函數(shù)。3．牛頓萊布尼茲公式（微積分基本公式）：設(shè)是在上的一種原函數(shù)，即，則它給出了持續(xù)函數(shù)求定積分的一般措施，把求定積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題四、積分措施：換元法設(shè)，滿足①，②在或上有持續(xù)導(dǎo)數(shù)，其值域不超過(guò)，則分部積分法設(shè)、在上有持續(xù)導(dǎo)數(shù)，則推論1．，則2．，認(rèn)為周期，則五、無(wú)窮限的廣義積分定義注1．設(shè)被積函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上持續(xù)，其中2．若各式右邊的極限存在，則稱左邊的廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。3．，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。六、無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義注；1．設(shè)被積函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上持續(xù)，且依次在點(diǎn)的右鄰域、的左鄰域、或的鄰域內(nèi)無(wú)界，且。2．若各式右邊的極限存在，則稱左邊的廣