8.4.1平面第八章立體幾何初步教學目標

借助實物了解平面的概念，理解平面的特點和基本性質(zhì)（重點）01

了解3個基本事實和3個推論;（重點）02能

運會用符號表示圖形中點、直線、平面之間的位置關系;（重點）03

能運用平面基本性質(zhì)證明與判斷共線、共面、共點問題.（重點、難點）04學科素養(yǎng)

了解平面的概念，理解平面的特點和基本性質(zhì)數(shù)學抽象

了解3個基本事實和3個推論直觀想象

能運用平面基本性質(zhì)證明與判斷共線、共面、共點問題

邏輯推理數(shù)學運算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學建模

前面我們學習了基本幾何體，學習了它們的結構特征、表面積和體積的計算．在學習棱柱、棱錐、棱臺等多面體的過程中，我們知道頂點、棱、平面多邊形等是構成這些多面體的基本元素，這些元素之間的相互關系，反映了這些多面體的結構特征．實際上，立體圖形都是由點、直線、平面等基本元素組成的，要研究立體圖形的結構特征，就要研究這些基本元素之間的位置關系，我們先從認識點、直線、平面這些基本元素開始．知識回顧

在初中，我們已經(jīng)對點和直線有了一定的認識，知道它們都是由現(xiàn)實事物抽象得到的.生活中也有一些物體給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.黑板面課桌面平靜的水面平面的描述與特征知識精講立體幾何中的平面的特征:1.平的不是凹凸不平2.四周無限延展沒有邊界3.不計大小無所謂面積4.不計厚薄沒有體積平面的畫法

與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面．我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．（1）水平放置的平面（2）垂直放置的平面

在畫平行四邊形表示平面時，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的兩倍.圖形語言：β

當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向。（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。平面的表示

如：平面α、平面β②表示平面的平行四邊形的四個頂點字母如：平面ABCD③表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點字母表示如：平面AC、平面BD【練習】判斷下列各題的說法正確與否1.一個平面長4米，寬2米；

()2.平面上一條直線可以把這個平面分成兩部分；()3.10個平面疊在一起要比一個平面厚；

()4.菱形的面積可以等于4cm2；

()5.一個平面可以把空間分成兩部分.()√××√√文字語言符號語言圖形語言

點、直線、平面之間的位置關系

直線上有無數(shù)個點，平面內(nèi)有無數(shù)個點，直線、平面都可以看出是點的集合．接下來我們通過元素與集合、集合與集合之間的關系，分別用文字語言、符號語音、圖形語言來描述，點A，直線l，m、平面α的位置關系．文字語言符號語言圖形語言

點、直線、平面之間的位置關系

如圖，用符號表示以下各概念：②直線a在平面

內(nèi)

；點C在平面

內(nèi)

；③點D不在平面

內(nèi)

；直線b不在平面

內(nèi)

．①點A、B在直線a上

；練習平面的的基本性質(zhì)思考：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面？

在生活中，我們常常可以看到這樣的現(xiàn)象：自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以"站穩(wěn)"，三腳架的三腳著地就可以支撐照相機.由這些事實和類似經(jīng)驗，可以得到下面的基本事實：文字語言：圖形語言：符號語言：過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.αACB定理的用途：（1）確定平面的主要依據(jù)（2）證明點線共面的方法A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實1思考：如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個公共點呢？

如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，那么直尺的整個邊緣就落在了桌面上.上述經(jīng)驗和類似的事實可以歸納為以下基本事實：ABα如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（即這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)）.αlAB文字語言：圖形語言：符號語言：定理的用途：判定點或直線是否在平面內(nèi)．基本事實2

如圖，由基本事實1，給定不共線三點A，B，C，它們可以確定一個平面ABC；連接AB，BC，CA，由基本事實2，這三條直線都在平面ABC內(nèi)，進而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面ABC內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC．組成這個“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”．思考：把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？

B

想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去穿越課桌面．可以想象，兩個平面相交于一條直線．教室里相鄰的墻面處有一個公共點，這兩個墻面相交于過這個點的一條直線，由此我們得到又一個基本事實：文字語言：圖形語言：符號語言：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面有且只有一條過該點的公共直線.Plαβ定理的用途①判斷兩個平面相交的依據(jù)．②判斷多點共線的依據(jù).基本事實3說明：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線．兩個平面相交成一條直線的事實，可以讓我們進一步認識了平面的“平”和“無限延展”．

如無特殊說明，本章中的兩個平面均指兩個不重合的平面.基本事實3推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.αaAααbabaP推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

上述三個關于平面的基本事實是人們經(jīng)過長期觀察與實踐總結出來的，是幾何推理的基本依據(jù)，也是我們進一步研究立體圖形的基礎.

利用基本事實1和基礎事實2，再結合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：作用：確定一個平面．追問

如你能用基本事實證明這三個推論嗎？推論1

經(jīng)過一條直線和直線外一點，

有且只有一個平面．a(chǎn)證明：如圖，設點A是直線a外一點，在直線a上任取兩點B、C，

由基本事實1，經(jīng)過A、B、C三點確定一個平面α．

由基本事實2，直線a也在平面α內(nèi)，

∴平面α經(jīng)過直線a和點A．

即一條直線和這條直線外一點確定一個平面．推論2

經(jīng)過兩條相交直線，

有且只有一個平面．證明：如圖，設點A、B分別是直線a、b上異于P的點，

由基本事實1，經(jīng)過A、B、P三點確定一個平面α．

由基本事實2，直線a和直線b也在平面α內(nèi)，

∴平面α經(jīng)過直線a和直線b．即兩條相交直線確定一個平面．推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．證明：∵當兩條直線在同一個平面內(nèi)，且不相交時叫做平行線，

∴兩條平行直線a和b必在某個平面α內(nèi)，

就是說過兩條平行直線有一個平面α.

如果過a和b還有一個平面β，那么在a上的任意一點A一定在β內(nèi)，

這樣過點A和直線b有兩個平面α和β，這和推論1矛盾，

∴過平行直線a和b的平面只有一個．即兩平行線確定一個平面．練習.下列命題正確的是（）Ａ.經(jīng)過三點確定一個平面；Ｂ.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面；Ｃ.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面；Ｄ.四邊形確定一個平面．【解析】A，當三點共線時不能確定一個平面，故A錯誤；B，點在直線上時不能確定一個平面，故B錯誤；C，由右圖可知，C正確：）D，空間四邊形不能確定一個平面，故D錯誤；

綜上知選C練習.證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．

已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求證：直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．證明：因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因為l2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．（推論1）（點在線上，線在面內(nèi)，則點在面內(nèi)）（基本事實1）練習.已知直線a∥b，且直線l與a，b都相交，求證：直線a，b，l共面．∵b∥c，∴b，c確定平面α，設a∩b＝A，a∩c＝B，∵A∈b，b?α，∴A∈α，同理B∈α，由A∈a，B∈a，即a?α，∴直線a,b,c線共面．證明：(1)兩個平面的公共點的個數(shù)可能有()(2)三個平面兩兩相交,則它們交線的條數(shù)()A.0B.1C.2D.０或無數(shù)A.最多4條最少3條B.最多3條最少1條C.最多3條最少2條D.最多2條最少1條

（3）已知空間四點中，無三點共線，則可確定A．一個平面B．四個平面C．一個或四個平面D．無法確定平面的個數(shù)補充練習：

12、四條直線過同一點，過每兩條直線作一個平面，則可以作______個不同的平面.1或4或6例1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點．

（1）求證：C，E，D1，F(xiàn)四點共面；

（2）求證：CE，D1F，DA三線交于一點；

（3）求證：點D，A，M三點共線.P∴EF∥D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點共面．（1）連接EF，D1C，A1B，∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，∴EF∥A1B.

（2）設D1F∩CE＝P，D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，證明：∴點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點．[點共面問題][線共點問題][點共線問題]∴點D，A，M三點共線．例1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點．

（1）求證：C，E，D1，F(xiàn)四點共面；

（2）求證：CE，D1F，DA三線交于一點；

（3）求證：點D，A，M三點共線.P(3)∵D1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，∴M∈平面A1D1DA.同理M∈平面BCDA，從而M在兩個平面的交線上，∵平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，∴M∈AD成立．證明：[點共面問題][線共點問題][點共線問題]P132T8.

如圖,△ABC在平面a

外,AB∩a=

P,BC∩a=

Q,AC∩a=

R,求證:P,Q,R

三點共線.aABCPQR要證明多點共線，只要證明他們是兩個平面的公共點.即證明這些點分別在兩個相交平面內(nèi)變式.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.

求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點．1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.(1)書桌面是平面．(

)(2)平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點．(

)(3)如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合．(

)√××變式：判斷正誤.(1)平面是處處平的面．(

)(2)平面是無限延展的．(

)(3)平面的形狀是平行四邊形．(

)(4)一個平面的厚度可以是0.001cm.(

)√√××課堂練習2.下列命題正確的是().(A)三點確定一個平面．(