幾何新定義型—2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考前板塊訓(xùn)練一、解答題1．垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.（1）如圖所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，AF=5,CE=2，則AE=；AB=（2）如圖2，若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，且AB=BD，猜想AF與CD的關(guān)系，并說明理由；（3）①如圖3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE⊥AC交AC于點(diǎn)E，請畫出以BC為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)A在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示：不限作圖工具)；②若△ABC關(guān)于直線AC對稱得到△AB'C，連接CB'，作射線CB'交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)P2．【概念學(xué)習(xí)】若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條公共底邊互為頂針點(diǎn)，這條公共底邊叫做這兩個(gè)互為頂針點(diǎn)的頂針線段．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于頂針線段BC互為頂針點(diǎn)．（1）【概念理解】判斷下列結(jié)論是否正確（在題后括號內(nèi)正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)①互為頂針點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)一定位于它的頂針線段的同側(cè)；（）②一條頂針線段的頂針點(diǎn)有無數(shù)多對；（）③互為頂針點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)所在直線一定是其頂針線段的垂直平分線；（）④互為頂針點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)所在直線平分對應(yīng)等腰三角形的頂角．（）（2）【實(shí)踐操作】如圖2，在長方形ABCD中，AB<AD．若在邊AD上存在點(diǎn)F，邊AB上存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于頂針線段BF互為頂針點(diǎn)．請用直尺和圓規(guī)在圖2中作出滿足條件的點(diǎn)F、E．（要求不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色墨水簽字筆描黑．)（3）【思維探究】在（2）的條件下，若AB=8，AD=10．請利用備用圖求AE的長度．3．我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形．若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“內(nèi)似線”．（1）等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為；（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且AD＝BD＝BC，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線”；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長．（松泉巫小斌供）4．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠5．定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．例如：凸四邊形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為等對角四邊形．（1）如圖1，點(diǎn)A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠BPC＝60°，延長BP到Q，使PQ＝AP，連接AQ．求證：四邊形AQBC是等對角四邊形；（2）如圖2，等對角四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，①請判斷四邊形ABCD中哪一組對角相等，并說明理由；②若圓O的半徑為5，AB＝6，求AD，BC的長；③請直接寫出AC的長．6．我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖（1），已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB＝8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為，最小值為．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求證：AB、CD互為“十字弦”；（3）【問題解決】如圖3，在⊙O中，半徑為13，弦AB與CD相交于H，AB，~CD互為＂十字弦＂且AB=CD,CHDH7．定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．初步嘗試：（1）如圖①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P為AC上一點(diǎn)，當(dāng)AP的長為時(shí)，△ABP與△CBP為偏等積三角形；理解運(yùn)用：（2）如圖②，△ABD與△ACD為偏等積三角形，若AB＝2，AC＝5，且線段AD的長度為正整數(shù)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，求AE的長；綜合應(yīng)用：（3）如圖③，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊向外作正方形ACGF和正方形ABDE，連結(jié)EF，求證：△ABC與△AEF為偏等積三角形．8．在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：若某圖形W上的所有點(diǎn)都在一個(gè)矩形的內(nèi)部或邊界上（該矩形的一條邊平行于x軸），這些矩形中面積最小的矩形叫圖形W的“美好矩形”．例如：如圖1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x軸，點(diǎn)B在DE上，點(diǎn)C在EF上，則矩形ADEF為△ABC的美好矩形．（1）如圖2，矩形ABCD是函數(shù)y=2x?1≤x≤1圖象的美好矩形，求出矩形ABCD（2）如圖3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,4，點(diǎn)B是函數(shù)y=4xx>0圖象上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m，若函數(shù)圖象在A、B（3）對于實(shí)數(shù)a，當(dāng)a≤x≤a+3時(shí)，函數(shù)y=33x29．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人早已能按照設(shè)計(jì)的指令完成各種動作．在坐標(biāo)平面上，根據(jù)指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）機(jī)器人能完成下列動作：先原地順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，再朝其對面方向沿直線行走距離s．（1）如圖，若機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且面對y軸的正方向，現(xiàn)要使其移動到點(diǎn)A（2，2），則給機(jī)器人發(fā)出的指令應(yīng)是什么；（2）機(jī)器人在完成上述指令后，發(fā)現(xiàn)在P（6，0）處有一小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動，已知小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相同，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，請你給機(jī)器人發(fā)一個(gè)指令，使它能最快截住小球．（如圖，點(diǎn)C為機(jī)器人最快截住小球的位置，角度精確到度；參考數(shù)據(jù)：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10．新定義：如果一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是另外一個(gè)矩形的周長和面積的一半，則這個(gè)矩形是另一個(gè)矩形的“減半”矩形．（1）驗(yàn)證：矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形，其中矩形ABCD的長為12、寬為2，矩形EFGH長為4、寬為3．（2）探索：一矩形的長為2、寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．11．我們定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做“神奇四邊形”．（1）在我們學(xué)過的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四邊形”的是（填序號）；（2）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，連AG、EG．①求證：四邊形ABEG是“神奇四邊形”；②如圖2，點(diǎn)M、N、P、Q分別是AB、AG、GE、EB的中點(diǎn)．試判斷四邊形MNPQ是不是“神奇四邊形”；（3）如圖3，點(diǎn)F、R分別在正方形ABCD的邊AB、CD上，把正方形沿直線FR翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AO⊥FR于點(diǎn)O，若AB'＝2，正方形的邊長為6，求線段OF的長．12．如圖①，點(diǎn)C，D在線段AB上，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，若線段AC，CD，DB滿足AC2+BD2=CD（1）如圖②，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，分別以線段AC，CD，DB為邊向AB的同側(cè)作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面積分別是3，5，則正△DBG的面積是；（2）如圖①，AB=12，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，當(dāng)AC=14AB（3）如圖③，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC=CP，連接PA，PB，若∠A=2∠B，求∠B的度數(shù)．13．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）基礎(chǔ)鞏固：若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝°；（2）嘗試應(yīng)用：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．①若AD是∠BAC的平分線，判斷△ABD是否是“準(zhǔn)互余三角形”▲（是、否）；②在邊BC上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”，求此時(shí)∠EAC的度數(shù)；（3）拓展提高：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對角線AC的長．14．定義：在四邊形中，若一條對角線能平分一個(gè)內(nèi)角，則稱這樣的四邊形為“可折四邊形”．例：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABD=∠DBC，則四邊形ABCD是“可折四邊形”．利用上述知識解答下列問題．（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四邊形”的有：__________．（2）在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC．①如圖1，若∠ABC=60°，BD=4，求AD+CD的最小值．②如圖2，連接對角線AC，若DC剛好平分∠ACE，且∠BDC=25°，求∠DAC的度數(shù)．③如圖3，若∠ABC=60°，AD=CD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，當(dāng)BC=6，且△AEB為等腰三角形時(shí)，求四邊形ABCD的面積．15．對于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動一定的距離d后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．（1）如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點(diǎn)．若AE＝4，則在圖中，線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是，d＝（寫出符合條件的一種情況即可）；（2）如圖2，等邊三角形ABC的邊長是2．用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d＝2（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以點(diǎn)G為圓心，r為半徑畫圓．若對⊙G上的任意點(diǎn)F，連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d≥3，直接寫出r的取值范圍．

答案解析部分1．【答案】（1）1；17（2）解：AF=2∵AD//BC,AD=BC,BF=CF∴設(shè)BE=a,DE=2a∵AB=BD∴AB=3a∴AE=∴AF=3∴AF=（3）解：①如圖所示

②3414或32．【答案】（1）解：①錯(cuò)誤②正確③正確④正確（2）解：如圖2所示，點(diǎn)E、F即為所求；（3）解：連接EF，如圖3所示：四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，由作圖可知，CF=CB=10，∴DF=∴AF=AD?DF=4設(shè)AE=x，則BE=8?x，∵CE是BF的垂直平分線，∴EF=BE=8?x,在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+4即AE的長為3．3．【答案】（1）3（2）證明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BD過△ABC的內(nèi)心，∴BD是△ABC的“內(nèi)似線”；（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理可得AB＝13．設(shè)D是△ABC的內(nèi)心，連接CD，則CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內(nèi)似線”，∴△CEF與△ABC相似；分兩種情況：①當(dāng)CECF過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，如圖2所示∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑，∴DN=12∵CD平分∠ACB，∴DE∵DN∥AC，∴DNCE=DFEF∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CEAC，即EF13=34512綜上，EF=4．【答案】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC=1∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝12（∠ACD﹣∠ABC）＝1∵∠A＝α，∴∠E＝12（2）解：如圖2，延長BC到點(diǎn)T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角5．【答案】（1）證明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠APQ＝60°，∵PQ＝AP，∴△APQ是等邊三角形，∴∠Q＝60°＝∠QAP，∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠QPA＝∠ACB＝60°，∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，∴∠QAC+∠QBC＝240°，∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，∴四邊形AQBC是等對角四邊形；（2）解：①如圖②，∠BAD＝∠BCD，理由：連接BD，∵AB≠AD，BC＝DC，∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，∵四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD；②∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是直徑，∴BD＝10，∴BC＝CD＝=2③726．【答案】（1）10；6（2）證明：如圖2，連接AD，∵CD為⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∵AC＝12，DH＝7，CH＝9，∴AC∴AC∵∠C＝∠C，∴△HCA∽△ACD，∴∠CHA＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互為“十字弦”；（3）67．【答案】（1）2.5；解：（2）∵△ABD與△ACD為偏等積三角形，△ABD與△ACD為等高三角形∴BD=DC，∵AB//CE，∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AD=DE，CE=AB=2∴AE=2AD，∵AC-CE<AE<AC+CE，∴3<AE<7，∴1.5<AD<3.5，∵AD的長為正整數(shù)，∴AD=2或3，∴AE=4或6；（3）過點(diǎn)E作EH⊥AF，交AF延長線于H，∴∠H=∠ACB=90°，∴∠HEA+∠EAH=90°∵四邊形ABDE為正方形，∴AB=AE，∠EAB=90°，∴∠EAH+∠HAB=90°，∴∠HAB=∠HEA，∵四邊形ACGF是正方形，∴AF=AC，AF//CG，∴∠HAB=∠ABC，∴∠HEA=∠ABC，∴△EAH≌△BAC（ASA），∴EH=BC，∵S△ABC=1∴S△ABC又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90°∴△ABC與△AEF不是全等三角形，∴△ABC與△AEF為偏等積三角形．8．【答案】（1）解：∵?1≤x≤1,∴A∴B∴AB=2,BC=4,∴（2）解：設(shè)矩形ACBD是其美好矩形，∴B∴AC=∴S∴m=4或14???????（3）解：∵美好矩形恰好是面積為3，且一邊在x軸上的正方形，∴正方形的邊長為3,二次函數(shù)y=?3當(dāng)a≤3b①頂點(diǎn)在x軸上，端點(diǎn)縱坐標(biāo)是?3?或?解得：a=?3b=0或②端點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是3,?或?3解得：a=0b=2或a=23b=2(舍去，不符合a，b大小關(guān)系)或a=?23b=?2當(dāng)對稱軸不在x的取值范圍內(nèi)時(shí)，有：?或?3解得：a=0b=0或綜上所述，b=0或2或?2．???????9．【答案】解（1）作AB⊥x軸，

∵A（2，2），

∴OA=22，

∴∠AOB=45°，

∴給機(jī)器人發(fā)的指令為：[22，45°]；（2）作AC=PC，設(shè)PC=x，則BC=4-x，在Rt△ABC中：22解得x=2.5，又∵tan∠BAC=BCAB∴∠BAC=37°，∵∠OAB=45°，∴∠OAC=37°+45°=82°，∴∠DAC=180°-82°=98°，∴輸入的指令為[2.5，98°]．10．【答案】（1）解：∵矩形EFGH的周長為：2×(4+3)=14，矩形ABCD的周長為：2×(12+2)=28，∴矩形EFGH的周長=12矩形∵矩形EFGH的面積為：4×3=12，矩形ABCD的面積為：2×12=24，∴矩形EFGH的面積=12矩形∴矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形．（2）解：該矩形不存在“減半”矩形，若矩形存在“減半”矩形，設(shè)該“減半”矩形長和寬分別為m，n，(m>n)∵原矩形的長和寬分別為2，1，∴由題可知：2由①得：m=將m=32?n32?n∵∴方程n2∴該矩形不存在“減半”矩形．11．【答案】（1）④（2）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，∠BAE=∠CBGAB=BC∴△ABE≌△BCG（ASA），∴AE＝BG，又∵BG⊥AE，∴四邊形ABEG是“神奇四邊形”；②解：四邊形MNPQ是“神奇四邊形”，理由如下：∵M(jìn)，N為AB，AG的中點(diǎn)，∴MN為△ABG的中位線，∴MN∥BG，MN＝12同理：PQ∥BG，PQ＝12BG，MQ∥AE，MQ＝12AE，NP∥AE，NP＝∴MN＝PQ，MQ＝NP，∴四邊形MNPQ為平行四邊形，∵AE＝BG，∴MN＝MQ，∴平行四邊形MNPQ為菱形，∵BG⊥AE，MQ∥AE，∴MQ⊥BG，∵M(jìn)N∥BG，∴MQ⊥MN，∴∠QMN＝90°，∴四邊形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ是“神奇四邊形”；（3）解：如圖3，延長AO交BC于S，由翻折的性質(zhì)可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為6，∴AB＝6，∠B＝90°，∴AS=∴AO=設(shè)AF＝x，則BF＝B'F＝6﹣x，在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，∴x＝103∴AF＝103∵AO⊥FR，∴∠AOF＝90°，∴OF=即線段OF的長為10312．【答案】（1）2（2）解：∵AB=12，AC=1∴AC=1∴BC=AB?AC=9，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+B解得CD=5；（3）解：連接PD，∵AC=PC，∴∠A=∠APC，∴∠PCD=2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC∴PC∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD=90°，∴PC∴PD=BD，∴∠PDC=2∠B，∵∠A=2∠B，∴∠PDC=∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC=90°，∴2∠A+∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=113．【答案】（1）15（2）解：①是②如圖①中，在Rt△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝90°，

∴∠B=90°-∠BAC=40°，∵△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，且∠AEB＞90°，∴只有2∠B+∠BAE=90°，即2×40°+∠BAE=90°，

∴∠BAE=10°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；（3）解：如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF，∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共線，∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，

又∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CFAF=BFCF

∴則有：x(x+7)=122，在Rt△ACF中，AC=AF14．【答案】（1）菱形、正方形（2）解：①當(dāng)DC⊥BC，DA⊥AB時(shí)，DC與DA最小，∴此時(shí)AD+CD最??；

∵∠ABC=60°，對角線BD平分∠ABC．

∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°

∴DC=DA=BD2=2，

∴AD+CD=2+2=4

答：AD+CD的最小值為4；

②如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC延長線于F，DP⊥AC于P，DG⊥BA交BA延長線于G，

∵∠3=∠1+∠2①

∠ACF=∠4+∠ABC

又∵DC平分∠ACF，DB平