第4章根軌跡法4.1

引言4.2繪制根軌跡的依據(jù)（根軌跡方程）4.3常規(guī)根軌跡的繪制及系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的確定4.4廣義根軌跡的繪制4.5利用根軌跡分析系統(tǒng)性能4.1引言根軌跡法是基于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)之間存在的關(guān)系而建立的一種求閉環(huán)極點(diǎn)的圖解方法。本章將介紹根軌跡的基本概念，導(dǎo)出根軌跡方程。據(jù)此，得到閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪圖規(guī)則。有了根軌跡，就可以分析系統(tǒng)的性能。根軌跡法是分析和設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的重要方法，在工程中得到廣泛應(yīng)用。

根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)（例如開(kāi)環(huán)增益K）由零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡。例4-1

設(shè)控制系統(tǒng)如圖示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)變化的軌跡，并分析系統(tǒng)性能。解：

開(kāi)環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程解出閉環(huán)特征根（也是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）

討論當(dāng)時(shí)，閉環(huán)特征根變化的情況：性能分析：（1）穩(wěn)定性時(shí)，根軌跡全部分布在s左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。

（2）瞬態(tài)性能特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，過(guò)阻尼狀態(tài)；特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，臨界阻尼狀態(tài)；特征根為一對(duì)共軛復(fù)根，欠阻尼狀態(tài)；（3）穩(wěn)態(tài)性能有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在原點(diǎn)，系統(tǒng)為Ⅰ型。階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為0；斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為常值，靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K。4.2繪制根軌跡的依據(jù)4.2.1.

閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系(1)閉環(huán)根軌跡增益等于前向通路根軌跡增益；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)根軌跡增益等于開(kāi)環(huán)根軌跡增益。(2）閉環(huán)零點(diǎn)由前向通路零點(diǎn)和反饋通路極點(diǎn)組成；單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)等于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。(3）閉環(huán)極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)以及根軌跡增益均有關(guān)。開(kāi)環(huán)、閉環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系：4.2.2根軌跡方程閉環(huán)特征方程稱為根軌跡方程將根軌跡方程寫成：或?qū)懗?根軌跡上的點(diǎn)必然滿足根軌跡方程。由于s是復(fù)變量，根軌跡方程等價(jià)表示為：相角方程模值方程（2）由模值條件決定根軌跡上各點(diǎn)相應(yīng)的值。結(jié)論相角條件模值條件可得到更具體的模值條件和相角條件：（1）相角條件是決定閉環(huán)根軌跡的充要條件；例單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡方程繪制閉環(huán)根軌跡。解：無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為：根據(jù)相角方程，應(yīng)有根軌跡增益用試探法尋找滿足相角方程的點(diǎn)：滿足相角方程，該區(qū)段在根軌跡上。（1）在負(fù)實(shí)軸的（-0.5，0）區(qū)段上任取一點(diǎn)s1，代入相角條件驗(yàn)證：整個(gè)垂直平分線都在根軌跡上。逐點(diǎn)試探可繪制出全部根軌跡。（2）在p1p2線