基礎常用結論

1.立方差公式：a3-b3=(a-b\a2-ab+b2^

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab-hb2).

3V

2.任意的簡單〃面體內切球半徑為——(/是簡單〃面

S表

體的體積，S表是簡單〃面體的表面積).

3.在中，C為直角，內角4B,C所對的邊

Q+h-c

分別是①b,C,則的內切圓半徑為----------.

2

4.斜二測畫法直觀圖面積為原圖形面積的倍.

4

5.平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和.

6.函數(shù)40具有對稱軸x=a,x=b(awb),則J(x)

為周期函數(shù)且一個正周期為211.

7.導數(shù)題常用放縮e'?x+l,

XX

ex>ex(x>1).

8.點(x,y)關于直線4x+gy+C=O的對稱點坐標

、/2A(Ax+By+C)2B(Ax+By+C)}

為x------：—；,y---------3—；.

(A2+B2A2+B2J

9.已知三角形三邊x,y,z,求面積可用下述方法(一些

情況下比海倫公式更實用，如J力，而，V29)：

A+B=x2,

D、，、2eh+BV+CA

<B+C=y,S=-------------------------.

C+A=z2,

圓錐曲線相關結論

10.若圓的直徑端點B（x2,y2）,則圓的方

程為（*-占）（了-*2）+（卜％）（＞-%）=0.

X2y2

11.橢圓和+J=ig＞0力＞0）的面積S為3=加法.

aZr

12.過橢圓準線上一點作橢圓的兩條切線，兩切點連線

所在直線必經(jīng)過橢圓相應的焦點.

13.圓錐曲線的切線方程求法：隱函數(shù)求導.

推論：

①過圓（x-a）2+（y-b）2="上任意一點尸（與,外）

的切線方程為（與-q）（x-。）+（%-b\y-b）=r2；

②過橢圓]+4~=1（。＞0,6＞0）上任意一點。（/，丹）

a~b

的切線方程為華+些.=1;

ab2

X2y2

③過雙曲線F-三=1（。＞0力＞0）上任意一點尸（/J。）

ab

的切線方程為華-絲0=1.

ab2

14.任意滿足。/+如”=廣的二元方程，過曲線上一點

（七,必）的切線方程為ar/”T=L

15.切點弦方程：平面內一點引曲線的兩條切線，兩

切點所在直線的方程叫做曲線的切點弦方程.

①過圓f+V+QX+或+b=0外一點p（Xo,穌）的

切點弦方程為與工+乂））+卷三O+8產(chǎn)E+/=0；

X2y2

②過橢圓二+?=1（。＞0]＞0）外一點尸（X。，%）

ab

的切點弦方程為警+誓=1;

ab

xv

③過雙曲線F-4=l（a＞0力＞0）外一點尸（%,場）

a~b

的切點弦方程為號-黑=1：

ab

④過拋物線/=2px（p＞0）外一點P（與，J。）的切點

弦方程為%y=p（Xo+x）；

⑤二次曲線4x2+M+（y+0r+或+尸二o外一

點PC%,y0）的切點弦方程為

2+8^^+0次。竽+￡空+尸=。.

16.①橢圓與+4=1（。＞0力＞0）與直線4+削+C=0

a2b2

{A-B*0）相切的條件是A2a2+B2b*=C2；

②雙曲線=-4=l（a＞0力＞0）與直線4r+W+C=0

a2b1

（48w0）相切的條件是A2a2-B2b2=C2.

17.若A、B、C、D是圓錐曲線（二次曲線）上順次的四

點，則四點共圓（常用相交弦定理）的一個充要條件是：直

線AC.BD的斜率存在且不等于零，并有kAC+kBD=0

（kAC,即。分別表示4c和6Q的斜率）.

x~y~

18.已知橢圓方程為j+J=l（a>6>0）,兩焦點分

dTb

別為白，鳥，設焦點三角形尸6巴中NP大馬=8,則

cos>1-2/（cos%=1-2次）.

19.橢圓的焦半徑（橢圓的一個焦點到橢圓上一點橫坐

標為x0的點P的距離）公式q2=。土ex。.

20.已知左，k2,后3為過原點的直線4,,3的斜率，

其中乙是人和4的角平分線，則吊，&，%滿足下述

轉化關系：

k—2后2~~%3+k3k2

1—k；+2k2k3

用3-1±7（1-^^）2+（^+^）2

h=-------------------------------,

kx+&

k—2k2-4i+

1—k;+2k、kf

21.橢圓田+片=1（。>6>0）繞Ox坐標軸旋轉所得

/b2

4

的旋轉體的體積為P=—兀。瓦

3

22.過雙曲線二?一5=1伍>0/>0）上任意一點作

ab

兩條漸近線的平行線，與漸近線圍成的四邊形面積為

ab

2

23.過橢圓上一點做斜率互為相反數(shù)的兩條直線交橢圓

于4、B兩點,則直線48的斜率為定值.

24.過原點的直線與橢圓交于N,B兩點，橢圓上不與

左右頂點重合的任一點與點A,B構成的直線的斜率

a2

乘積為定值一層?（。＞6＞0）.

推論：橢圓上不與左右頂點重合的任一點與左右頂點構

成的直線斜率乘積為定值-*?（?＞方＞0）-

25.拋物線焦點弦的中點，在準線上的射影與焦點F的

連線垂直于該焦點弦.

26.雙曲線焦點三角形的內切圓圓心的橫坐標為定值

。（長半軸長）.

27.對任意圓錐曲線，過其上任意一點作兩直線，若兩

直線斜率之積為定值，兩直線交曲線于力,夕兩點，

則直線4A恒過定點.

x2y2

28.y=kx+m與橢圓一+=1（。>b>0）相交于兩

ab

2mb?

點,則縱坐標之和為

a2k2+b2

29.圓錐曲線的第二定義：

橢圓的第二定義：平面上到定點廠距離與到定直線間距

離之比為常數(shù)e（即橢圓的偏心率，（?=-）的點的集

a

合（定點廠不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）.

雙曲線第二定義：平面內，到給定一點及一直線的距離

之比大于1且為常數(shù)e的點的軌跡稱為雙曲線.

30.反比例函數(shù)左＞o）為雙曲線，其焦點為

X

（瘍，瘍）和（-瘍，-瘍），k＜0.

與角相關結論

31.到角公式：若把直線人依逆時針方向旋轉到與。第

k-k

2

二&重合時所轉的角是。，則tanO=?（左,k2

1+2],k-,

分別為八%的斜率）.

32.面積射影定理：如圖，設平面a外的△45C在平面

a內的射影為△/SO,分別記△48。的面積和△ABO的

面積為S和S',記△/6C所在平面和平面a所成的二

面角為0，則cos0=Sf:S.

33.角平分線定理：三角形一個角的平分線分其對邊所

成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例

角平分線定理逆定理：如果三角形一邊上的某個點分這

條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比

例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分

線.

數(shù)列相關結論

34.錯位相減公式

C/=(a?〃+b)q〃i

Sn=(An+B)qn+C

35.數(shù)列不動點：

定義：方程/(x)=x的根稱為函數(shù)/(X)的不動點.

利用遞推數(shù)列/(X)的不動點，可將某些遞推關系

an=所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通

項的數(shù)列，這種方法稱為不動點法.

定理1：若/(x)=QX+伙。工OMH1),P是/(X)的不

動點，明滿足遞推關系g,則

an-p=a(an_x-pi),即{%-p}是公比為。的等比

數(shù)列.

定理2：設/(%)=竺士二(。。0,。4-A。0),{%}

cx+a

滿足遞推關系a“=/(a?_,),w>1,初值條件

%H/(%).

(1)若/(x)有兩個相異的不動點p,q,則

一夕a"-1-qa-qc

(2)若/(x)只有唯一不動點p,則

---=——-——+k(這里k=-2＜？--).

-Pa”「pa+d

“、ax~+bx+c,八八、

定理3：設函數(shù)/(x)=--------—(aH0,e00)有兩

ex+f

個不同的不動點為/2,且由〃”+1=/(〃”)確定著數(shù)列

{%}，那么當且僅當6=0,e=2。時，

〃”+1-/=(〃"=)2

u

n+i-x2u?-x2'

三角形與三角函數(shù)相關結論

36.在銳角?:角形中，

sin4+sin8+sinC>cos/+cos8+cosC.

37.在任意△46C內，都有

tanJ+tan/?+tanC=tan/ltanBtanC.

推論：在△460內，若ianJ+tanB+ian(、<0,則

為鈍角三角形.

38.正弦平方差公式：

sin2a-sin“=sin(a—￡)sin(a+￡).

39.(1)

M啜

=4k

i

sln啜

os.上sin=44+1

sin(nJ)+sin(nB)+sin(nC)=m爭cos

n-8

244+2

嗎

co?嶗

=4Ar+3

(JIGN,)

(2)若A+D+C=71：,則：

?sin2J+sin2B+sin2C.A.B.C

CD------------------------------------=8asm—sm—sm-；

sin4+sin8+sinC222

ABC

(2)cosA+cosB+cosC=l+4sin—sin—sin—：

222

?2/.?B.,C.A.B.C

⑷sm—+sm—+sm—=f1—2sm—sm—sm—：

222222

.A.B.C...n-A.n-B.n—C

?sm—+sm—+sm—=l+4sm----sm---------sm---------；

222444

ARC

⑤sin/+sin8+sinC=4sin—sin—sin一；

222

ABCABC

(§)COt—+COt-4-COt—=COt—COt—COt—:

222222

ABBCCA,

tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1：

222222

⑧sin(5+C-/)+sin(C+A-B)+sin(>4+B-C)

=4sinJsin^sinC.

(3)在任意△4SC中，有:

c*ABC1

(Dsm—sm—sm-<-：

2228

6ABC/30

2228

?4.B.C.3

(3)sm—+sm—+sm—<—；

2222

AB

(4)COS—+COS—+COS

2222

3百

⑤sinsin8?sinCV

-8-：

⑥cosA-cosB-cosC\

8

⑦sin/!+sin8+sinCM3百

⑧cosA+cosB+cosC<-x

2

公.24.2B.2。、3

(9)sm'—+sm*—+sm'—>—；

2224

222

@tan—+tan—+tan—>1；

222

?tany+tany+tany>VJ；

ABCy/3

(12)tan—?tan—?tan—<—:

2229

(4)在任意銳角△45C中，有:

(5)tanJ-tan2/?tan('>3>/3:

百

?cotJcot^cotC<—:

9

③tan,A+tan2B+tan2C>9；

@cot2J+cot2i5+cot2C>1.

40.帕斯卡定理：如果一個六邊形內接于一條二次曲線

（橢圓、雙曲線、拋物線），那么它的三對對邊的交點在

同一條直線上.

41.三余弦定理：設4為面上一點，過4的斜線49在

面上的射影為力以力C為面上的一條直線，那么△O4C,

△BAC,△045三角的余弦關系為：

cosZOAC=cosABAC-cosNOAB（ABAC和

N048只能是銳角）.

三角形與向量

42.4、8、C三點共線u>OD=mOA+nOC,

—1----

OB=-------OD（同時除以m+〃）.

m+n

43.在△4BC中，角A,B,。所對的邊分別是mb,c,

——Q~+〃—c~

2

44.已知△/8C,O為其外心，〃為其垂心，則

OH=OA+OB+OC.

45.向量與三角形四心：

在△NBC中，角aB,C所對的邊分別是a,b,c,

(1)曰+礪+戲=6<=>0是A48C的重心；

⑵5?礪=礪?云=為A48C的垂