專題二與角平分線相關(guān)的輔助線添加

類型一過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線構(gòu)造全等直角三角形

OP平分∠MON，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B.

?

PA＝PB，△POA≌△POB.

1.

如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB.

若AC＝9，BC＝6，△BCD的

面積為8，則△ACD的面積為

?.12

123

3

1233.

如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝2，連

接AE，CF平分∠DCE，交AE于點(diǎn)F，連接DF，則DF的長(zhǎng)

為

?.

123

類型二過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角一邊的平行線構(gòu)造等腰三角形

（1）OP平分∠MON，過(guò)點(diǎn)P作PA∥ON，交OM于點(diǎn)A?PA＝

OA.

（2）平行線＋角平分線?等腰三角形.1231.

如圖，在?ABCD中，CD＝4，∠D＝30°，BE平分∠ABC，交

AD于點(diǎn)E，則△ABE的面積是

?.4

1232.

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BD平分∠ABC，交

AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為

?.

123

123

類型三過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

（1）OP平分∠MON，PB⊥OP，延長(zhǎng)BP交OM于點(diǎn)A?OA＝

OB.

（2）構(gòu)造出等腰三角形后，與等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)相

聯(lián)系.1231.

如圖，△ABC的面積為4，AP與∠ABC的平分線垂直，垂足為P，

則△PBC的面積為

?.2

12342.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AN平分

∠CAB，CN⊥AN于點(diǎn)N，BM平分∠CBA，CM⊥BM于點(diǎn)M，連接

MN，則MN的長(zhǎng)為

?.2

12343.

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，AD平分

∠BAC，交BC邊于點(diǎn)D，BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BE的

長(zhǎng)為

?.

1234

8

1234

類型四通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形

如圖①，AD平分∠BAC→在AC上截取AE＝

AB→△ABD≌△AED，BD＝ED.

如圖②，AD平分∠BAC→延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使得AE＝

AC→△AED≌△ACD，ED＝CD.

12341.

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C.

求證：AC＝AB＋BD.

12證明：如圖，在AC上截取AE＝AB，連接DE.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD.

又∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝ED，∠AED＝∠B.

又∵∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C，∠B＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴EC＝ED＝BD，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD.

122.

如圖，在等邊三角形ABC中，E為邊AC上一定點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線

上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，并在其右側(cè)作等邊三角形DEF，連接CF.

請(qǐng)?zhí)骄?/p>

CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.12解：如圖，延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G，使得CG＝CD，連接DG.

∵∠DCG＝∠ACB＝60°，∴△CDG是等邊三角形，∴DG＝DC，∠GDC＝60°.又∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF，∠ED