專題十九幾何最值問題

類型一垂線段最短與最值問題

結(jié)合圖形將“折線段和”轉(zhuǎn)化成“定點(diǎn)到定直線的距離”.利用

“垂線段最短”解決最值問題.（1）如圖①，“一平＋兩動(dòng)”模型→A，B分別為一組平行線上

的動(dòng)點(diǎn)→AB的最小值為BH.

（2）如圖②，“一定＋一動(dòng)”模型→P為直線外一定點(diǎn)，A為直

線上一動(dòng)點(diǎn)→PA的最小值為PH.

（3）如圖③，“一定＋兩動(dòng)”模型→P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，

A，B分別為角兩邊上的動(dòng)點(diǎn)→作點(diǎn)P關(guān)于ON的對稱點(diǎn)P'，則AB＋

PA的最小值為P'H.

（4）如圖④，“兩定＋一動(dòng)”模型→P為直線外一定點(diǎn)，A為直

線上一定點(diǎn)，B為直線上一動(dòng)點(diǎn)→構(gòu)造Rt△ABC（sin∠BAC＝k）

→BC＝kAB→kAB＋PB＝PB＋BC的最小值為PH.

模型一：“一平＋兩動(dòng)”1.

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，P為BC邊

上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接

PQ，則PQ長度的最小值為

?.

2.

如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6.折疊該圖形，使點(diǎn)A

落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則DF的

最大值為

?.

模型二：“一定＋一動(dòng)”3.

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D是斜邊

BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，

連接MN，則線段MN長度的最小值為

?.

4.

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，E為CD邊上一動(dòng)

點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)，G分別是AB，BE的中點(diǎn)，連接FG，則FG的最小

值為

?.

模型三：“一定＋兩動(dòng)”5.

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，P，Q分別是BC，

BD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ＋PQ的最小值為

?.

6.

如圖，在矩形ABCD中，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是對角線BD上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，EF.

若AB＝5，AD＝10，則BE＋EF的最小值

為

?.

7.

如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE

平分∠DAC，CF＝DE，連接DF分別交AE，AC于點(diǎn)G，M.

P是AG

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N，連接PM，則PM＋PN的最

小值為

?.

類型二軸對稱與最值問題

結(jié)合圖形將“折線段和”轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離”.利用

“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決最值問題.（1）如圖，“兩定＋一動(dòng)”模型→作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A'，

連接A'B交直線于點(diǎn)P→PA＋PB的最小值為A'B的長.

（2）如圖，“一定＋兩動(dòng)”模型→分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對

稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2分別交OA，OB于點(diǎn)N，M→PN＋MN＋PM

的最小值為P1P2的長.（3）如圖，“兩定＋兩動(dòng)”模型→作AA1平行于直線，且AA1＝

MN；作A1關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A2，連接A2B交直線于點(diǎn)N→AM＋NM

＋BN的最小值為MN＋A2B的長.

3.

如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，P為

x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

時(shí)，PA＋PB取得最小

值，最小值為

?.

模型二：“一定＋兩動(dòng)”4.

如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，P是AC上一定點(diǎn)，BP＝6，

D，E分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，EP，DE，則△PDE周長

的最小值為

?.

5.

如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝1，

ON＝3，點(diǎn)P，Q分別在邊OB，OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值

是

?.

6.

如圖，一次函數(shù)y＝x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

C為OA的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為直線AB和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CEF

周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

，點(diǎn)F的坐標(biāo)為

??.

模型三：“兩定＋兩動(dòng)”7.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段

EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE＋CF的最小值為

?.

8.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E，F(xiàn)分別是AD，BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在EF上，且PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值

為

?.12

（4，1）

類型三線段差的最大值問題

1.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，O是AC的中

點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，且MD＝1，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM－PO的最

大值為

?.

2.

如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），點(diǎn)B為對稱軸上

一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，8），P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)

為

時(shí)，PA－PB的值最大，其最大值為

?.（－2，12）

3.

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E為射線AD上

一動(dòng)點(diǎn)，∠BAD＝15°，連接BE，CE，則CE－BE的最大值

為

?.

4.

如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的

中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6，P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM－

PN的最大值為

?.2

類型四隱形圓與最值問題

（1）如圖①，“定點(diǎn)定長隱形圓”模型（2）如圖②，“定弦定角隱形圓”模型→模型一：“定點(diǎn)定長隱形圓”1.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A'MN，連接

A'C，則A'C的最小值為

?.

2.

如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接CP，點(diǎn)A關(guān)于直

線CP的對稱點(diǎn)為A'，連接A'C，A'P.

在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A'到直線AB

距離的最大值是

，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A'P掃過的面積

為

?.

3.

如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，M是邊CD的中點(diǎn)，P是正方形

內(nèi)一點(diǎn)，且MP＝1，將線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段

BQ，連接MQ，則MQ的最小值為

?.

模型二：“定弦定角隱形圓”4.

如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，P是CD

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，則線段PE＋PM的最小值

是

?.

5.

如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上

一點(diǎn)，連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG.

若AE＝B