四月數(shù)學每周好題精選（第二周）1.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設集合，，則()A. B. C. D.3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據的第75百分位數(shù)是()A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.24.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為()A. B. C. D.5.已知，函數(shù)的最小正周期為T，若，且的圖象關于直線對稱，則()A. B. C. D.6.已知雙曲線，過E的右焦點F作其漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則E的離心率為()A. B. C.2 D.7.設符號函數(shù)，已知函數(shù)，則()A.為的最小正周期B.圖象的對稱軸方程為C.在上單調遞增D.函數(shù)在上有4個零點8.已知數(shù)列滿足，.記數(shù)列的前n項和為.若對任意的，都有，則實數(shù)k的取值范圍為()A. B. C. D.9.（多選）若關于的不等式的解集是，則()A. B. C. D.10.（多選）已知函數(shù)，則()A.有兩個零點 B.在上是增函數(shù)C.有極小值 D.若，11.（多選）一半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則()A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉動155秒時，點P距離水面2米C.當水輪轉動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米D.點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為12.（多選）在棱長為2的正方體中，P為面內以為直徑的半圓上的動點，則()A.的最大值為B.與平面所成角的最大值的正弦值為C.的最小值為-2D.二面角的最小值的正切值為13.如圖，直線經過拋物線的焦點F，點A（位于第一象限）在C上，點B（位于第四象限）在C的準線上，且，則直線的斜率為________.14.甲、乙、丙三人進行扳手腕比賽，累計負兩場者淘汰，甲、乙兩人先進行比賽，丙輪空，每次比賽的勝者與輪空者進行比賽，負者輪空，直到有1人被淘汰，剩余兩人繼續(xù)比賽，直到其中1人淘汰，另1人最終獲勝，比賽結束.假設每場比賽沒有平局，甲、乙比賽，甲獲勝的概率為，甲、丙比賽，甲獲勝的概率為，乙、丙比賽，乙獲勝的概率為，則甲與乙比賽負1場且最終甲獲勝的概率為________.15.若對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________.16.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.(1)求證：；(2)若是銳角三角形，且角A的平分線交邊于D，且，求邊b的取值范圍.17.為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學生良好的科學素養(yǎng)，某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學生答題若干次.答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分；從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結果互不影響.(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)記甲第i次答題所得分數(shù)的數(shù)學期望為.①寫出與滿足的等量關系式（直接寫出結果，不必證明）：②若，求i的最小值.18.如圖，四邊形為矩形，，且二面角為直二面角.(1)求證：平面平面；(2)設F是的中點，，，二面角的平面角的大小為，當時，求的取值范圍

答案以及解析1.答案：C解析：由，則，所以復數(shù)z在復平面內所對應的點為位于第三象限.故選：C2.答案：A解析：由，所以；由，所以.所以.故選：A3.答案：D解析：將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據的第75百分位數(shù)是第9位數(shù)和第10位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.答案：A解析：設與的夾角為，在上的投影向量為，所以，所以，，所以為鈍角，且.故選：A5.答案：A解析：由，得，解得，因為的圖象關于直線對稱，所以，即，所以，則，故選：A.6.答案：C解析：雙曲線的漸近線方程為，過E的右焦點F作其漸近線的垂線，垂足為P，則，所以在中，，，，所以，則，即，所以，即，所以，故，故選：C.7.答案：D解析：由題意，畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：根據圖象可知為的最小正周期，故A錯誤；由圖象知圖象的對稱軸方程為，故B錯誤；在上先單調遞增，再單調遞減，故C錯誤；函數(shù)在上的零點個數(shù)，轉化為方程在上的解的個數(shù)，轉化為函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖知，函數(shù)與有6個交點，所以，函數(shù)在上有4個零點，故D正確；故選：D8.答案：A解析：由，，，可得，即數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，可得，即；所以，因此，且當x趨近于時，趨近于，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：A.9.答案：ABD解析：由題意可知，，得，，因為，所以，故A正確；，即，，故B正確，，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD10.答案：BCD解析：令，即，，只有一個解，即函數(shù)有一個零點，A選項錯誤；，令，，，，在上是增函數(shù)，B選項正確；在上單調減，在上單調遞增，函數(shù)有極小值，C選項正確；令，，，令，則，，，當時，，即在單調遞增，，即，在單調遞增，，即，D選項正確.故選：BCD.11.答案：ABC解析：設點P距離水面的高度h（米）和時間t（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得：.故D錯誤；令，即，解得：，故A對；令，代入，解得：，故B對；令，代入，解得：，故C對.故選：ABC.12.答案：ACD解析：如圖，以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，設，.對于A，，則，所以的最大值為，故A正確；對于B，因為z軸垂直平面，則平面的法向量可取，所以，當且僅當，即時取等號，所以與平面所成角的最大值的正弦值為，故B錯誤；對于C，，，則，所以的最小值為-2，故C正確；對于D，因為z軸垂直平面，則平面的法向量可取，，設平面的法向量為，則有，令，則，，所以，設二面角為，由圖可知為銳角，則，所以，則，當，即時，取得最小值，所以二面角的最小值的正切值為，故D正確.故選：ACD.13.答案：解析：過點A作準線的垂線，垂足為H.根據拋物線的定義可知.設，則，，故，故答案為：14.答案：解析：設甲乙比賽中甲勝乙負為事件A，甲負乙勝為事件；甲丙比賽中甲勝丙負為事件B，甲負丙勝為事件；乙丙比賽中乙勝丙負為事件C，乙負丙勝為事件.設甲與乙比賽負1場且最終甲獲勝為事件M，則故答案為：15.答案：解析：因為，且，可得，整理可得，構建，又因為，在R內單調遞增，可得在R內單調遞增，可得，且，整理可得，令，可得，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，則內單調遞減，則，可得，即，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.16.答案：(1)證明見解析(2)解析：（1）因為，由正弦定理有：，所以，，，，因為、，所以，又因為，所以，所以，因為，所以有，，或，（舍），所以得證.（2）因為是銳角三角形，，所以，所以，解得，因為為的平分線，且，所以，所以，在中，，，由正弦定理有：，即，所以，因為，所以，令，則，，令，，根據函數(shù)解析式，在上單調遞減，因為，，所以，所以.17.答案：(1)(2)①，，②6解析：(1)甲前3次答題得分之和為40分的事件A：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，當，時，，所以，，且，②由①知，當，時，，而，因此數(shù)列以為首項，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，因為，則有正整數(shù)，所以i的最小值是6.18.答案：(1)證明見解析(2)解析：(1)由四邊形為矩形，得，二面角為直二面角，即平面平