不變子空間一不變子空間的概念及性質(zhì)定義7

A∈L(V),W是數(shù)域P上線性空間V的子空間，稱W是A的不變子空間，簡(jiǎn)稱為A－子空間，如果：對(duì)任意的ξ∈W，Aξ∈W.

即AWW（對(duì)線性變換A封閉）.性質(zhì)1

對(duì)任意的A∈L(V),V,{0}是A－子空間（例1）.

V

WAW性質(zhì)2

對(duì)任意的A∈L(V),A的值域AV,核A－1(0)是A－子空間(例2).證明：對(duì)η∈A

V→η∈V→A

η∈A

V,η∈A

－1(0),Aη=0∈A－1(0)，故命題成立.□性質(zhì)3

AB=BA，則BV,B－1(0)是A－子空間(例3).證明：對(duì)任意的Bξ∈B

V，A(Bξ)=B(Aξ)∈B

V→BV是A－子空間.對(duì)任意的ξ∈B

－1(0),Bξ=0,要證明

ξ∈B

－1(0)，關(guān)鍵證B(Aξ)=0.而

B(Aξ)=A(Bξ)=A(0)=0,故B－1(0)是A－子空間.□

同理：AV，A－1(0)是B－子空間.

由于Af(A)=f(A)A，故f(A)

V,f(A)－1(0)是A－子空間.性質(zhì)4

K∈L(V),則V的任一子空間是K－子空間.V的任一子空間是零變換，單位變換的不變子空間.證明：設(shè)W是V的任一子空間，對(duì)任意的α∈W,由子空間的定義可知，Kα=kα∈W,故命題成立.□性質(zhì)5

A∈L(V),W是A－子空間，f(x)∈P[x],則W是f(A)－子空間.性質(zhì)6

W1,W2是A－子空間，則W1+W2,W1∩W2仍是A－子空間.

證明：對(duì)任意的α1+α2∈W1+W2，A(α1+α2)=Aα1+Aα2∈W1+W2.對(duì)任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故Aα∈W1∩W2，所以命題成立.□

性質(zhì)7

A∈L(V),則A的屬于特征值λ的特征子空間Vλ是A－子空間.

證明：對(duì)任意的ξ∈Vλ,Aξ=λξ∈Vλ

→Vλ是A－子

空間.□

性質(zhì)8

A∈L(V),則A有一維A－子空間的充要條件是：存在λ∈P,對(duì)任意的ξ(≠0)∈W,Aξ=λξ,且W=L(ξ).

該性質(zhì)即說：W是A的一維不變子空間的充要條件是：W是A的某特征值λ的一維特征子空間Vλ.證明：必要性設(shè)W是A－子空間，dimW=1→取W的基ξ，即W=L(ξ)→Aξ∈W,即存在λ∈P,使得Aξ=λξ成立.

充分性設(shè)Aξ=λξ(ξ≠0)→L(ξ)=W顯然是V的一維子空間，對(duì)任意的α∈W，α=xξ→應(yīng)有Aα=A(xξ)=xAξ=x(λξ)=λ(xξ)=λα∈W,即W是一維A－子空間.□二線性變換在子空間上的限制（A｜W）定義

A

∈L(V),W是A－子空間，規(guī)定

A｜W：W→W，A｜W(α)=Aα(α∈W),稱A｜W為A在W上的限制.AA｜WVWVW

實(shí)例：

1.A｜A－1(0)是A－1(0)

上的零變換.

（對(duì)任意的α∈A

－1(0),A｜A－1(0)(α)=Aα=0）

2.A∈L(V),W是V的子空間，則A｜W∈L(W).

3.A｜Vλ是Vλ上的數(shù)乘變換.

（對(duì)任意的α∈Vλ，Aα=λα）

性質(zhì)10

A∈L(V),W=L(α1,···,αr)是V的A－子空間的充要條件是：Aα1,···,Aαr∈W.

證明：AW=AL(α1,···,αr)=