橢圓及其標準方程4/18/20251/324/18/20252/324/18/20253/32問題1：怎樣才能判斷圖形是橢圓？怎樣來畫橢圓？4/18/20254/32怎樣畫橢圓呢？4/18/20255/32F1F2M4/18/20256/32平面內(nèi)與兩定點距離和等于常數(shù)點軌跡叫做橢圓。這兩個定點F1F2叫做橢圓焦點兩焦點距離F1F2叫做焦距一、橢圓定義：M（大于|F1F2|）4/18/20257/32幾點說明：

1、F1、F2是兩個不一樣定點；

假如2a=2c，

假如2a<2c，

2、M是橢圓上任意一點，且MF1+MF2=常數(shù)；M則M點軌跡是線段F1F2.則M點軌跡不存在.通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c；4/18/20258/32問題2：怎樣建立橢圓方程？4/18/20259/32yxOr設圓上任意一點P(x，y)以圓心O為原點，建立直角坐標系兩邊平方，得1.建系2.設坐標3.列等式4.代坐標坐標法5.化簡方程4/18/202510/32橢圓方程建立：步驟一：建立直角坐標系步驟二：設動點坐標步驟四：代入坐標步驟五：化簡方程步驟三：列等式4/18/202511/32設橢圓兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，它們之間距離為2c，橢圓上任意一點P到F1，F(xiàn)2距離和為2a(2a>2c)．PF1F24/18/202512/32以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，則F1，F(xiàn)2坐標分別為(－c，0)，(c，0)．步驟一：建立直角坐標系xyOPF1F24/18/202513/32設橢圓上任意一點P坐標為(x，y)，步驟三：列等式依據(jù)橢圓定義知：PF1＋PF2＝2a，步驟四：代入坐標即：．步驟二：設動點坐標4/18/202514/32步驟五：化簡方程兩邊再平方得：a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．移項得：，兩邊平方得：，整理得：．4/18/202515/32步驟五：化簡方程因為a2(a2－c2)

≠0，所以兩邊同除以a2(a2－c2)得：，又因為a2－c2＞0，所以可設a2－c2＝b2(b＞0)，于是得：．4/18/202516/32XyO4/18/202517/32怎樣依據(jù)標準方程判斷焦點在哪個坐標軸上？(a>b>0)(a>b>0)4/18/202518/32橢圓標準方程再認識：（1）橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式平方和，右邊是1。（2）橢圓標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。由橢圓標準方程能夠求出三個參數(shù)a、b、c值。（3）橢圓標準方程中，x2與y2分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。4/18/202519/32例題精析例1、填空：(1)已知橢圓方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1弦，則△F2CD周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD4/18/202520/32(2)已知橢圓方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：___________焦距等于__________;曲線上一點P到F1距離為3，則點P到另一個焦點F2距離等于_________，則△F1PF2周長為___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F24/18/202521/321.求以下橢圓焦點和焦距。練焦點為：解：因為所以焦點在X軸上焦點為：焦距為：2焦距為：所以焦點在Y軸上因為4/18/202522/32例2、求滿足以下條件橢圓標準方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點在X軸上橢圓標準方程為____________（2）滿足a=4,b=，焦點在Y軸上橢圓標準方程為____________或c4/18/202523/32變式：若方程4x2+ky2=1表示曲線是焦點在y軸上橢圓，求k取值范圍。解：由4x2+ky2=1因為方程表示曲線是焦點在y軸上橢圓即：0<k<4所以k取值范圍為0<k<4。4/18/202524/32xOy例3、已知一個運油車上貯油罐橫截面外輪廓線是一個橢圓，它焦距為2.4m，外輪廓線上點到兩個焦點距離和為3m，求這個橢圓標準方程F1F2P解：以兩個焦點F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，以線段F1F2垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則這個橢圓標準方程為依據(jù)題意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，所以橢圓標準方程為4/18/202525/32例4、將圓x2+y2=4上點橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉矶种唬笏们€方程，并說明它是什么曲線.x2+（2y）2=4,所以x2+4y2=4,即這就是變換后所得曲線方程,它表示一個橢圓oxy解：設所得曲線上任一點P坐標為（x，y），圓x2+y2=4上對應點P′坐標為（x,2y),由題意可得PP′4/18/202526/32

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）點軌跡叫做橢圓。橢圓定義：橢圓定義1橢圓標準方程

橢圓標準方程

24/18/202527/32推導橢圓方程建立直角坐標系列等式設點坐標代入坐標化簡方程4/18/202528/32定義圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)

a,b,c關系{P|PF1+PF2=2a,2a