專題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】

【蘇科版】

【題型?多邊形及正多邊形的概念辨析】..........................................................1

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】....................................................................2

【題型3多邊形的對角線】......................................................................3

【題型4多邊形的內(nèi)角和】......................................................................4

【題型5多邊形的外角和】......................................................................5

【題型6截角問題】............................................................................6

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】........................................................7

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】......................................................8

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實際應(yīng)用】.....................................................9

【題型10多邊形內(nèi)角和和外角卻的的綜合應(yīng)用】.................................................10

”片聲*三

【知識點1多邊形的概念】

平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【知識點2正多邊形的概念】

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】

【例1】（2022?秦都區(qū)校級月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

C.5個D.6個

【變式1-1]（2022春?煙臺期中）下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊

數(shù)是不小于4的自然數(shù)；③從一個多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各

頂點，可以把這個多邊形分割成（〃-2）個三角形；④半圓是扇形，其中正確的結(jié)論有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

【變式1-2】（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形：②直角三角形：③平行四邊形：④正方形,

其中正多邊形的個數(shù)有（

A.1個B.2個C.3個D.4個

【知識點3多邊形的不穩(wěn)定性】

多邊形具有不穩(wěn)定性.

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】

【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（）

A.三角形的穩(wěn)定性B.四邊形的不穩(wěn)定性

C.兩點之間線段最短D.兩點確定一條直線

【變式2-1］（2022春?彼山區(qū)校級期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性有（）

區(qū)I

(1)(2)(3)(4)

A.2個B.3個D.5個

【變式2-2］（2022?長春月考）如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來，至少要釘上

幾根木條,造畫出相應(yīng)木條所在線段.

【變式2-3］（2022春?浦東新區(qū)校級月考）以線段〃=7,Q8,c=9,4=10為邊作四邊形，可以作（）

A.I個B.2個C.3個D.無數(shù)個

【知識點4多邊形的對角線】

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n?2）個三角形，

共有）（〃-3）條對角線.

【題型3多邊形的對角線】

【例3】（2022春?單縣期末）已知從〃邊形的一個頂點出發(fā)的對角線將該多邊形分成7個三角形，則該多

邊形對角線一共有（）

A.14條B.18條C.20條D.27條

【變式3-1］（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個四邊形框架穩(wěn)定不變形，至少需要釘—根

木條.

【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，如圖所示畫出的是四邊形、五邊形、

六邊形的所有對角線請回答下列問題：

（1）尋找規(guī)律，試用含〃的代數(shù)式表示〃邊形的所有對角線的條數(shù)；

（2）求20邊形的所有對角線的條數(shù).

【變式3-3］（2021秋?長春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學教材第135頁的部分截圖.

在多邊形中，三角形是最基本的圖形.如圖所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形.

數(shù)?數(shù)每個多邊形中三角形的個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點，所得到的線段稱為多邊形的對角線.

【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以得到的對角線的數(shù)量，并填寫表:

多邊形邊四五六…十二…〃

數(shù)

從-■個頂］條??????

點出發(fā)，得

到對角線

的數(shù)量

【變式4-2］（2022?西平縣期中）一個多邊形，除一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012。，求這個內(nèi)角

的度數(shù)及多邊形的邊數(shù).

【變式4-3］（2022春?寶應(yīng)縣校級月考）小馬虎同學在計算某人多邊形的內(nèi)角和時得到1840。，老師說他

算錯了，于是小馬虎認真地檢查了一遍

（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個直角多算了一次，求這個多邊形的邊數(shù)是多少？

（2）若他檢查發(fā)現(xiàn)漏算了一個內(nèi)角，求漏算的那個內(nèi)角是多少度？這個多邊形是幾邊形？

【知識點6多邊形的外角和】

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于

360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān).

【題型5多邊形的外角和】

【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，Zl,Z2,N3,N4是五邊形A4c的四個外角.若乙4=120°,

求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【變式5-1]（2022?路北區(qū)期末）已知，正多邊形的一個外角是30°,則這個正多邊形是（）

A.六邊形B.九邊形C.十邊形D.十二邊形

【變式5-2]（2022??？谀M）六邊形的外角和為（）

A.360°B.540°C.720°D.1080=

【變式5-3]（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)與四邊形8COE的外角和的

度數(shù)分別為a，P，則正確的是（）

A.a-p=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無法比較a與p的大小

【題型6截角問題】

[例6]（2022?驛城區(qū)校級期末）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是

（）

A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8

【變式6-1]（2022?安陸市期末）一個四邊形剪去一個角后，它不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式6-2]（2022春?雨花區(qū)校級期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18

邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【變式6?3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個正方形，把此正方形沿虛線A8剪去一個角，得到一個五邊形,

則這個五邊形的周長原來王方形的周長.（填“大于”“小于”或“等于"），理由是.

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】

【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDE”的內(nèi)角都相等.

（1）若N1=6（T，求NA/JC'的度數(shù)；

（2）A8與石。有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

【變式7-1]（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運星時將一張長方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內(nèi)部有

一個正五邊形），則N1的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

【變式7-2]（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CD中，ZA=108°,ZC=82°,N分別是

AB、BC上的點，將△BMN沿著MN翻折，得到若ME〃AD,EN〃OC,則NE的度數(shù)為（）

【變式7-3]（2022?臨清市三模）如圖，正五邊形A8C￡B點。、E分別在直線〃?、〃上.若加〃*Z1

=20",貝IJN2為()

A.52°B.60°C.58°D.56°

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】

【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形A8CI比產(chǎn)中，NA,NB,NC,NO的外角都相等，即Nl=

N2=N3=/4=62°,分別作底/和/E的的平分線交于點P,則NP的度數(shù)是（）

【變式8-1]（2022?興化市一模）如圖，在四邊形A8CO中，乙4=150°,ZC=60°,NABC與NAOC

的平分線交于點。，則NBOD的度數(shù)為（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【變式8-2]（2022春?蘇州月考）如圖，在四邊形A5co中，NA+N4=210°,作N4QC、//SCO的平

分線交于點。，再作NOQCNOC。的平分線交于點Q，則NOz的度數(shù)為.

【變式8-3]（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角/。。/，并與NE48的平分線

交于點O，則/AOG的度數(shù)為（）

B

A.144B.126°C.120°D.108°

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實際應(yīng)用】

【例9】（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點出發(fā)沿直線前進8米到達3點后向左旋轉(zhuǎn)的角度為a,

再沿直線前進8米，到達點C后，又向左旋轉(zhuǎn)a角度，照這樣走下去，第?次回到出發(fā)地點時，他共走

了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度a為（）

A.30°B.40。C.45°D.60°

【變式9-1]（2022春?昌平區(qū)校級期中）科技館為某機器人編制了一段程序，如果機器人在平地上按圖所

示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（）

A.12米B.8米C.6米D.不能確定

【變式9-2]（2022?桓臺縣期末）如圖，桐桐從A點出發(fā)，前進3m至U點B處后向右轉(zhuǎn)20°,再前進3m

到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°,…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點A時?，一共走了（）

A.100〃？B.9（）mC.54〃？D.60m

【變式9-3]（2022?株洲模擬）如圖，若干相同正五邊形排成環(huán)狀.圖中已經(jīng)排好前3個五邊形，還需一個

五邊形完成這一圓環(huán).

【題型10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】

【例10】（2022春?臨汾期末）在五邊形A8CQE中，ZA,NB,ZC,ZD,NE的度數(shù)之比為3：5：3：

4；3,則/。的外角等于（）

A.60°B.75°C.90°D.120°

【變式10-1】（2022春?定陶縣期末）請根據(jù)下面x與y的對話解答下列各小題：

X：我和），都是多邊形，我們倆的內(nèi)角和相加的結(jié)果為144（）。；

產(chǎn)上的邊數(shù)與我的邊數(shù)之比為1：3.

（1）求x與y的外角和相加的度數(shù)？

（2）分別求出“與），的邊數(shù)？

（3）試求出），共有多少條對角線？

【變式10-2】（2022?富縣月考）一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，每個內(nèi)角與相鄰外角的差為100,，求這

個多邊形內(nèi)角和的度數(shù)和邊數(shù).

【變式10-3］（2（）22?孝昌縣期中"、明計算一個多邊形的內(nèi)角和時誤把一個外角加進去了，得其和為2620°.

（1）求這個多加的外角的度數(shù);

（2）求這個多邊形的邊數(shù).

專題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】

【蘇科版】

型

題

1多邊形及正多邊形的概念辨析】..........................................................1

型

題

2多邊形的不穩(wěn)定性】....................................................................2

型

題

3多邊形的對角線】......................................................................3

型

題

4多邊形的內(nèi)角和】......................................................................4

型

題

5多邊形的外角和】......................................................................5

型

題

6截角問題】............................................................................6

型

題

7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】.........................................................7

型

題

型

題8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】.......................................................8

型

題9多邊形內(nèi)角和和外角和的實際應(yīng)用】.....................................................9

10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】.................................................10

以％聲一共三

【知識點1多邊形的概念】

平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【知識點2正多邊形的概念】

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】

[例1]（2022?秦都區(qū)校級月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

人一。。0

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)多邊形的定義；平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的

圖形叫多邊形.顯然只有第一個、第二個、第四個.

【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個.

故選：A.

【變式（2022春?煙臺期中）下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形:

②多邊形的邊數(shù)是不小于4的自然數(shù)：③從一個多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個頂點出發(fā),

分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成（〃-2）個三角形；④半圓

是扇形，其中正確的結(jié)論有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)多邊形的定義以及弧的定義即可判斷.

【解答】解：①由許多條線段首尾順次連接而成的圖形叫做多邊形，命題錯誤；

②多邊形的邊數(shù)是不小于3的自然數(shù)，命題錯誤；

③從一個多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以

把這個多邊形分割成（〃-2）個三角形，命題正確；

④半圓是弧，不是扇形，命題錯誤.

故選：A.

【變式1-2]（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊

形；④正方形，其中正多邊形的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.依據(jù)正多邊形的概念進

行判斷即可.

【解答】解：①等邊三角形是正多邊形，正確；

②直角三角形不是正多邊形，錯誤；

③平行四邊形不是正多邊形，錯誤；

④正方形是正多邊形，正確.

故選：B.

【解答】解：下列圖形是多邊形的有③④,

故答案為：③④.

【知識點3多邊形的不穩(wěn)定性】

多邊形具有不穩(wěn)定性.

【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】

【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（)

A.三角形的穩(wěn)定性B.四邊形的不穩(wěn)定性

C.兩點之間線段最短D.兩點確定一條直線

【分析】根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性，可得答案.

【解答】解：如圖的伸縮門，其原理是四邊形的不穩(wěn)定性，

故選：B.

【變式2?1】(2022春?霞山區(qū)校級期末)下列圖形中具有穩(wěn)定性有()

OZS7B區(qū)。0

(1)⑵(3)(4)(5)(6)

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性.

【解答】解.：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性.顯然

(2)、(4)、(5)三個.故選艮

【變式2-2](2022?長春月考)如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下

來，至少要釘上幾根木條，請畫出相應(yīng)木條所在線段.

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊

形的?個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘.卜.幾根木條.

【解答】解：如圖所示：

至少要定3根木條.

【變式2-3](2022春?浦東新區(qū)校級月考)以線段〃=7,b=8,。=9,d=10為邊作四邊

形，可以作()

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

【分析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性，可知四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化.

【解答】解：四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化.

故選：D.

【知識點4多邊形的對角線】

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成

（n-2）個三角形，

共有）（〃?3）條對角線.

【題型3多邊形的對角線】

【例3】（2022春?單縣期末）已知從〃邊形的一個頂點出發(fā)的對角線將該多邊形分成7個

三角形，則該多邊形對角線一共有（）

A.14條B.18條C.20條D.27條

【分析】根據(jù)對角線分多邊形成三角形的個數(shù)，得出多邊形的邊數(shù)，從而求解.

【解答】解：從〃邊形的一個頂點可引出（〃?3）條對角線，得到（?-2）個三角形，

所以2=7,

解得〃=9,

所以共有0.5X9X（9-3）=27條對角線.

故選：

【變式3-1]（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個四邊形框架穩(wěn)定不變形，

至少需要釘1根木條.

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得答案.

【解答】解：如圖所示：

要使這個木架不變形，他至少還要再釘上1個木條，

故答案為：1

【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，如圖所示畫出的是

四邊形、五邊形、六邊形的所有對角線請回答下列問題：

（1）尋找規(guī)律，試用含"的代數(shù)式表示〃邊形的所有對角線的條數(shù)；

（2）求20邊形的所有對角線的條數(shù).

【分析】（1）根據(jù)三角形以及對角線的概念，不難發(fā)現(xiàn)：從一個頂點出發(fā)的對角線除了

和2邊不能組成三角形外，其余都能組成三角形，故從一個頂點出發(fā)的對角線有3；-3）

條，所以〃邊形的所有對角線的條數(shù)為獨尸2;

（2）把〃=20代入（1）的結(jié)論即可.

【解答】解：（1）正方形的對角線的條數(shù)為：生妥=2；

五邊形的對角線的條數(shù)為：四|二1二5；

六邊形的對角線的條數(shù)為：空戶=9；

〃邊形的所有對角線的條數(shù)為：與阻；

（2）當〃=20時，20X（：。-3）=]70,

即20邊形的所有對角線的條數(shù)為170.

【變式3-3]（2021秋?長春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學教材第135頁的部分截圖.

在多邊形中，三角形是最基本的圖形.如圖所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三

角形.

數(shù)一數(shù)每個多邊形中三角形的個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點，所得到的線段稱為多邊形的對角線.

【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以得到的對角線的數(shù)量，并

填寫表：

多邊形邊四五六…十二…八

數(shù)

從一個頂1條23…9…〃-3

點出發(fā)，得

到對角線

的數(shù)量

【問題探究】〃邊形有〃個頂點，每個頂點分別連接對角線后，每條對角線重復連接了一

次，由此可推導出，〃邊形共有%（〃-3）條對角線（用含有〃的代數(shù)式表示）.

【問題拓展】

（1）已知平面上4個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接6條線段.

（2）已知平面上共有15個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接105條線

段.

（3）已知平面上共有x個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接型1）條

線段（用含有x的代數(shù)式表示，不必化簡）.

【分析】【問題思考】利用圖象法解決問題即可;

【問題探究】利用規(guī)律解決問題即可.

【問題拓展】（1）利用圖象法可得結(jié)論；

⑵過一個點可■以連接14條線段，15個點，有：X15X14=1O5條；

（3）過一個點可以連接（x-1）條線段，x個點，有夕（x-1）條.

【解答】解：【問題思考】從一個頂點出發(fā)，五邊形有2條對角線，六邊形有3條對角

線，十二邊形有9條對角線，〃邊形有（〃-3）條對角線.

故答案為：2,3,9,z!-3；

【問題探究】〃邊形有〃個頂點，每個頂點分別連接對角線后，每條對角線重復連接了一

次，由此可推導出，〃邊形共有）（〃?3）條對角線.

故答案為：）（〃?3）:

【問題拓展】（1）已知平面上4個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接：x4X

3=6條線段.

（2）已知平面上共有15個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連居X15X14=105

條線段.

（3）已知平面上共有/個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接條線段-I）.

故答案為：6,105,%（x-1）.

【知識點5多邊形的內(nèi)角和】

n邊形的內(nèi)角和為（n?2）?180°（n23）.

【題型4多邊形的內(nèi)角和】

【例4】（2022?孝感月考）如圖，將六功形紙片A8C。即沿虛線剪去一個角（N8C。）后，

得至|JN1+N2+N3+N4+N5=4OO°,求NBGO的度數(shù).

【分析】由多邊形的內(nèi)角和公式，即可求得六邊形ABCQ石產(chǎn)的內(nèi)角和，又由N1+N2+N

3+Z4+Z5=400°,即可求得NG8C+NC+NCOG的度數(shù)，繼而求得答案.

【解答】解：:六邊形A8CQE廣的內(nèi)角和為：180°X（6-2）=720°,且N1+/2+N

3+Z4+Z5=400°,

/.ZG^C+ZC+ZCDG=720°-400°=320°,

AZG=360°-（ZGBC+ZC+ZCDG）=40°.

【變式4-1]（2022?梁園區(qū)校級期中）已知〃邊形的內(nèi)角和0=（〃-2）X180°.

（I）甲同學說，。能取720。；而乙同學說，。也能取820。，甲、乙的說法對嗎？若對,

求出邊數(shù)小若不對，說明理由；

（2）若"邊形變?yōu)椋ā?x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°,用列方程的方法確定工

【分析】（I）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列出方程求得0的值，判斷是否為整數(shù)即可；

（2）根據(jù)題意，列出方程5-2）X180“+360“=（〃+x-2）X180“，求得x的值即

可.

【解答】解：（1）甲對，乙不對.

理由：???當。取720°時，720°=（〃-2）X1800,

解得0=6；

當0取820°時，820°=（〃-2）X18O0,

解得e=弓；

???〃為整數(shù)，

???0不能取820°；

（2）依題意得，

（?-2）X180°+360°=（w+x-2）X180°,

解得x=2.

【變式4-2]（2022?西平縣期中）一個多邊形，除一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012°,

求這個內(nèi)角的度數(shù)及多邊形的邊數(shù).

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（〃?2）?18（T533）且〃為整數(shù)），可得：多邊

形的內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0°,并且小于180°,用2012

除以180,根據(jù)商和余數(shù)的情況，求出這個多邊形的邊數(shù)與2的差是多少，即可求出這個

多邊形的邊數(shù)，再用這個多邊形的內(nèi)角和減去2012°,求出這個內(nèi)角的度數(shù)是多少即可.

【解答】解：???2012+180=11???32,

???這個多邊形的邊數(shù)與2的差是12,

，這個多邊形的邊數(shù)是：12+2=14,

???這個內(nèi)角的度數(shù)是：

180°X12-20120

=21600-2012°

=148°

答：這個內(nèi)角的度數(shù)為148°,多邊形的邊數(shù)為14.

【變式4-3]（2022春?寶應(yīng)縣校級月考）小馬虎同學在計算某個多邊形的內(nèi)角和時得到

1840。，老師說他算錯了，于是小馬虎認真地檢查了一遍

（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個內(nèi)角多算了一次，求這人多邊形的邊數(shù)是多少？

（2）若他檢杳發(fā)現(xiàn)漏算了一個內(nèi)角，求漏算的那個內(nèi)角是多少度？這個多邊形是幾邊

形？

【分析】（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，重復計算的內(nèi)角的度數(shù)是x,根據(jù)多邊形的內(nèi)

角和公式（〃-2）-180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是18（）。的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性

進行求解

（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是“沒有計算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和

公式（〃?2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進行

求解.

【解答】解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，重復計算的內(nèi)角的度數(shù)是X,

則（〃-2）*180°=1840°-x,

“=12~40°.

故這個多邊形的邊數(shù)是12.

（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，沒有計算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x,

則（n-2）-1800=1840°+斯

〃=12…40。.

180°-40°=140°,

故漏算的那個內(nèi)角是140度，這個多邊形是十三邊形.

【知識點6多邊形的外角和】

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的

外角和恒等于360。,它與邊數(shù)的多少無關(guān).

【題型5多邊形的外角和】

【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，Zl,Z2,N3,N4是五邊形44co七的四個外角.若

ZA=120°,求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【分析】先求出NA對應(yīng)的外角度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和等于3600求出即可.

VZA=120°,

???N5=180°-ZA=60°,

VZl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

.*.Zl+Z2+Z3+Z4=300°.

【變式5-1](2022?路北區(qū)期末)已知，正多邊形的一個外角是30°,則這個正多邊形是

()

A.六邊形B.九邊形C.十邊形D.十二邊形

【分析】多邊形的外隹和是360。，正多邊形的每個外角都相等，且一個外角的度數(shù)為

30。，由此即可求出答案.

【解答】解:因為360?30=12,

則正多邊形的邊數(shù)為12.

故選：

【變式5-2］（2022??？谀M）六邊形的外角和為（）

A.360°B.540°C.7203D.10800

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為3600直接得出答案.

【解答】解：由多邊形的外角和為360°可知，六邊形的外角和為360°,

故選：4.

【變式5-3］（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△回，與四邊形BCDE

的外角和的度數(shù)分別為a,p,則正確的是（）

A.a-0=0B.a-p<0

C.a-p>0D.無法比較a與p的大小

【分析】利用多邊形的外角和都等于360°,即可得出結(jié)論.

【解答】解：???任意多邊形的外角和為360°,

/.a=p=360°.

Aa-p=0.

故選：A.

【題型6截角問題】

［例6］（2022?驛城區(qū)校級期末）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊

形的邊數(shù)可能是（）

A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8

【分析】實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一

個角后得到.

【解答】解：如圖可知，原來多邊形的邊數(shù)可能是5,6,7.

故選：C.

【變式6-1］（2022?安陸市期末）一個四邊形剪去一個侑后，它不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【分析】根據(jù)一個四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果.

【解答】解：一個四邊形沿對角線截一刀后得到的多邊形是三角形；

?個四邊形沿平行于邊的直線截?刀后得到的多邊形是四邊形；

一個四邊形沿除上述兩種情況的位置截一刀后得到的多邊形是五邊形；

所以不可能是六邊形，

故選：D.

【變式6-2］（2022春?雨花區(qū)校級期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后,

變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【分析】一個〃邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是〃邊形或（〃+1）邊形或（n-1）

邊形.

【解答】解：當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，

則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.

故選：A.

【變式6?3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個正方形，把此正方形沿虛線A8剪去一個角，

得到一個五邊形，則這個五邊形的周長」原來正方形的周長.（填“大于”“小

于”或“等于"），理山是兩點之間線段最短.

【分析】利用兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所

有的線中，線段最短，可以得出結(jié)論.

【解答】解：將止方形沿虛線裁去一個角得到五邊形，則這個五邊形的周長小于原來止

方形的周長，

理由是兩點之間線段最短.

故答案為：小于；兩點之間線段最短.

【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和?平行線】

【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形4/3CQEF的內(nèi)角都相等.

（1）若Nl=60°,求的度數(shù);

（2）AB與有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

【分析】（1）由于六邊形的內(nèi)角和為720°,然后利用六邊形痔的內(nèi)角都相等得

到每個內(nèi)角的度數(shù)為120°,而Nl=60°,四邊形A8CZ）的內(nèi)角和為360°,由此即可

分別求出/AQC的度數(shù)：

（2）四邊形ABCO的內(nèi)角和為360°,求出NAOCE勺度數(shù)，進一步求出NED4的度數(shù),

利用平行線的判定方法即可求解.

【解答】解：（1）六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）X18O0=720°,

???六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，

???每個內(nèi)角的度數(shù)為：720°4-6=120°,

又???/1=60°,四邊形ABC。的內(nèi)角和為360°,

???NCOA=360°-ZDAB-ZB-ZC=3600?60°?120°720°=60°:

（2）AB//ED,

理由如下：

VZCDA=60°,ZEDC=\20°,

???NEQA=1200-ZCDA=120°-60°=60°,

AZ￡DA=Z1=6O°,

:.AB〃ED.

【變式7-1]（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運星時將一張長方形的紙條折成了如圖所示

的樣子（內(nèi)部有一個正五邊形），則N1的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是540°可得NR4C的度數(shù)，再利用角的和差解決此題.

【解答】解：如圖，

由題意得：多邊形A3DEC是正五邊形，

/.ZBAC=ZABD=18O°X（5-2）=108°,

5

ZABC=|x（180°-108°）=36°,

AZI=108°-36°=72°.

故選：D.

【變式7-2]（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZA=108°,NC=82°,

M、N分別是A3、8c上的點，將△8MN沿著MN翻折，得到△￡MN,ME//AD,EN

〃OC,則/E的度數(shù)為（）

c

87°C.86°D.85°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得/8ME=NA=108°,NENB=/C=82°,再利用四邊形

內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】解：

???NBME=N4=108°,

?:NE"CD,

:?NENB=NC=82°,

???將△BMN沿著MN翻折，得到

AZB=ZE,

???NE=[360°-(NEMB+NENB)]+2=(360°-190°)+2=85°,

故選：。.

【變式7-3](2022?臨清市三模)如圖，正五邊形48COE,點。、E分別在直線加、〃上.若

m//n,Zl=20°,則N2為()

A.52°B.60°C.58°D.56°

【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求得每個內(nèi)角度數(shù)，在計算NGE。的度數(shù)，根據(jù)平行線

計算接著計算NCQ”，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算得NC”。的度數(shù)，從而得N

2度數(shù).

【解答】解：如圖：

直線in交AB于G,直線n交BC于H,

???五邊形ABCDE是正五邊形，

???NC=NAEO=NCZ)E==F也=108。，

VZl=20°,

/.ZDEG=ZAED-Z1=108°-20°=88°,

■:tn//n,

AZHDE=I8O°-ZGED=I8O°-88°=92°,

AZCDH=ZCDE-ZHDE=108°-92°=16°，

在△CO”中，

ZC/7D=180°?4CDH?4C

=180°-16°-108°

=56。,

，N2=NC”D=56°,

故選：。.

【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和?角平分線】

【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形4BCDE尸中，NA,/B,NC,/￡＞的外角都

相等，即N1=N2=N3=N4=62°,分別作NOE尸和N￡用的平分線交于點P,則NP

的度數(shù)是（）

A.55°B.56°C.57°D.60°

【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理可得N5+N6+Nl+N2+N3+N4=360°,再根據(jù)鄰補

角的性質(zhì)可得N5+N6-NA/E+NQE尸=360°,可得乙4/E+NQEr=NI+N2+/3+N4,

進而求出NEPF+NEFP的度數(shù)，再求出/P的度數(shù)即可.

【解答】解：VZ5+Z6+Zl+Z2+Z3+Z4=360°,N5+N6+NAFE+NOE尸=360。,

.,MF￡+ZDEF=Z1+Z2+Z3+Z4=2480,

???分別作/。E尸和的平分線交于點P,

：?4EPFMEFP=L2QAFE+NDEF)=124°，

，/P=180°-(NEPF+NEFP)

=180°-124°

=56。,

故選：B.

【變式81]（2022?興化市一模）如圖，在四邊形人BCD中，ZA=150°,ZC=60°,Z

ABC與NA。。的平分線交于點。，則N8O。的度數(shù)為（）

A.120°B.125°C.130'D.135°

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出NAQO=：乙4QC,乙44。=：乙44。，根據(jù)/4+/43。+

ZC+ZADC=3600求出NA4C+NAQC=150°,求出N4OO+N/WO=75°,根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和定理求出答案即可.

【解答】解：:/ABC與N4DC的平分線交于點。，

/.ZADO=；LADC,ZABO=；&BC,

22

VZA+ZABC+ZC+ZADC=360°,NA=150°,ZC=60°,

AZASC+ZADC=36(f°-150°-60"=150°,

AZADO+ZABO=-x150°=75°,

2

???N8OO=36(T-ZA-(ZABO+^ADO)=360°-150°-75°=135°,

故選：D.

【變式8?2】(2022春?蘇州月考)如圖，在四邊形A8CD中，ZA+ZB=210°,作NAOC、

N8CQ的平分線交于點OI，再作NOQC、/OCO的平分線交于點Q,則NQ的度數(shù)

為142.5°.

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可得/48+/5。。=150°,再根據(jù)角平分線的

定義可得NCQO2+NQCO2=37.5°,再根據(jù)內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】解：:四邊形的內(nèi)角和是360°,NA+NB=210°,

AZACD+ZBCD=\50a,

VZADC.N8c。的平分線交于點Oi，NOiQC、NOC。的平分線交于點O2，

???ZCDO==NCQO產(chǎn)：NAOC,ZDCO=:NDCOI=:/BCD,

224224

/.ZCDO2+^DCO=-（NAOC+NBCD）=37.5°，

24

???NO2=180°-37.5°=142.5°.

故答案為：142.5°.

【變式8-3］（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形4BCQE的外角NQCA并與

NE48的平分線交于點O,則/人0G的度數(shù)為（）

A.144°B.126°C.120'D.108°

【分析】欲求NAOG,可求/AOC,則需求N3CO、ZOAB.NB.因為五邊形AOCCK

是正五邊形，所以NE4B=/E=ZBCD=108°.又因為AO平分NEAB,CG平分NDCR

所以可求得NOA3=54°,ZBCG=108°=144°.

【解答】解：???任意多邊形的外角和等于360。，

ZDCF=36（r+5=72°.

，這個正五邊形的每個內(nèi)角為180°-72°=108°.

AZB=ZEAB=ZBCD=108°.

又?.?4O平分NE4從

.?.Z^=1ZE^=AX108O=54O.

又???CG平分NOCK

.?.ZDCG=|zDCF=|x720=36o.

/.^BCO=ZBCD+ZDCG=108°+36°=144°.

???N4OC=360°-（/BAO+N8+N8CG）=360°-（54°+108°+144°）=54c.

/.ZAOG=1800-ZAOC=180°-54°=126°.

故選：B.

【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實際應(yīng)用】

【例9】（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點出發(fā)沿直線前進8米到達8點后向左旋

轉(zhuǎn)的角度為a,再沿直線前進8米，到達點。后，又向左旋轉(zhuǎn)a角度，照這樣走下去，

第一次回到出發(fā)地點時，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度a為（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【分析】根據(jù)多邊形的外角的定義解決此題.

【解答】解：???72?8=9,

A3600+9=40".

???每次旋轉(zhuǎn)的角度a=40°.

故選：B.

【變式9-1］（2022春?昌平區(qū)校級期中）科技館為某機器人編制了一段程序，如果機器人

在平地上按圖所示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（）

A.12米B.8米C.6米