空間直線方程空間解析幾何中的重要內(nèi)容掌握空間直線的各種表示方法課程目標掌握空間直線方程理解各種表示方法及其幾何意義學會方程轉(zhuǎn)換靈活運用不同方程形式解決問題應用到實際問題空間直線的概念定義空間中一維圖形特征無限延伸、無粗細確定條件一點和一個方向空間直線的幾何表示點-方向表示一個點加一個方向向量兩點表示通過兩個不同點確定兩平面交線兩個不平行平面的交線空間直線方程的類型一般方程兩平面交線形式對稱式方程各坐標表達式相等參數(shù)方程引入?yún)?shù)表示向量方程位置向量與方向向量兩點式方程通過兩點確定1.空間直線的一般方程兩平面相交兩個不平行平面必相交于一條直線方程組表示兩個平面方程聯(lián)立一般式{A?x+B?y+C?z+D?=0{A?x+B?y+C?z+D?=0一般方程的定義1平面方程Ax+By+Cz+D=02兩平面交線兩個不平行平面的交線是空間中的一條直線3一般方程{A?x+B?y+C?z+D?=0{A?x+B?y+C?z+D?=0一般方程的特點幾何直觀體現(xiàn)了兩平面相交的幾何事實不唯一性同一直線可有無數(shù)組平面方程判別條件兩平面法向量不平行計算復雜性某些問題求解不便一般方程的示例已知條件直線通過點(1,2,3)且垂直于平面2x-y+3z=0確定平面第一個平面：過點(1,2,3)且法向量為(2,-1,3)2(x-1)-(y-2)+3(z-3)=0第二個平面任選一個過該點且不平行于第一個平面的平面如x=1得到方程組{2x-y+3z-9=0{x=12.空間直線的對稱式方程1基于點-方向表示已知點和方向向量2各坐標等比例變化三個坐標的變化率相等3對稱式表達(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p對稱式方程的定義1方程表示(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p2已知條件點P?(x?,y?,z?)和方向向量s=(m,n,p)3幾何意義從P?點出發(fā)，三個坐標按比例m:n:p變化對稱式方程的特點方向明確直接體現(xiàn)方向向量分母不為零方向向量分量不能全為零簡潔變換容易轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程特殊情況某分量為零需特殊處理對稱式方程的示例(2,3,1)已知點P?坐標(3,1,2)方向向量s=(3,1,2)(x-2)/3對稱式(x-2)/3=(y-3)/1=(z-1)/23.空間直線的參數(shù)方程1引入?yún)?shù)t用單一參數(shù)表示點在直線上的位置2參數(shù)意義表示點沿直線運動的比例系數(shù)3方程形式x=x?+mty=y?+ntz=z?+pt參數(shù)方程的定義參數(shù)表達x=x?+mt,y=y?+nt,z=z?+pt已知條件點P?(x?,y?,z?)和方向向量s=(m,n,p)參數(shù)范圍t∈(-∞,+∞)參數(shù)方程的特點直觀性表示點隨參數(shù)變化的軌跡t=0時位于起點P?t增大時沿方向向量移動靈活性便于研究直線上的點可計算特定參數(shù)值對應點可確定特定點的參數(shù)值應用廣泛在應用領(lǐng)域優(yōu)勢明顯計算機圖形學常用物理運動學分析常用參數(shù)方程的示例已知條件直線通過點(1,-2,3)，方向向量為(2,4,-1)代入公式P?=(1,-2,3),s=(2,4,-1)寫出方程x=1+2ty=-2+4tz=3-t驗證t=0時得到P?點t=1時得到點(3,2,2)4.空間直線的向量方程向量表示用位置向量表示空間點1方程形式r=r?+ts2幾何意義從r?開始沿s方向移動3便捷性運算簡潔，形式統(tǒng)一4向量方程的定義基礎(chǔ)概念用向量形式表示空間直線方程表示r=r?+ts，其中t為參數(shù)向量含義r?是定點位置向量s是直線方向向量r是直線上任意點位置向量向量方程的特點形式簡潔一個方程表達三維信息計算便利向量運算簡化問題易于轉(zhuǎn)換與參數(shù)方程直接對應高級應用在物理和工程中廣泛使用向量方程的示例1已知條件直線通過點(2,0,3)且方向向量為(1,2,-1)2確定向量r?=(2,0,3)s=(1,2,-1)3向量方程r=(2,0,3)+t(1,2,-1)4展開形式r=(2+t,2t,3-t)5.空間直線的兩點式方程基本原理兩點確定一條直線利用兩點坐標構(gòu)建方程方程形式(x-x?)/(x?-x?)=(y-y?)/(y?-y?)=(z-z?)/(z?-z?)幾何意義經(jīng)過兩點的直線上各點坐標滿足等比關(guān)系兩點式方程的定義已知兩點P?(x?,y?,z?)和P?(x?,y?,z?)方向向量s=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)方程形式(x-x?)/(x?-x?)=(y-y?)/(y?-y?)=(z-z?)/(z?-z?)兩點式方程的特點直觀幾何意義直接體現(xiàn)兩點確定直線分母不為零要求兩點各對應坐標不相等特殊處理若某分量相等，需特殊表示轉(zhuǎn)換靈活易于轉(zhuǎn)為對稱式或參數(shù)式兩點式方程的示例已知條件直線通過點P?(1,2,3)和P?(4,0,5)計算方向向量s=(4-1,0-2,5-3)=(3,-2,2)代入公式(x-1)/3=(y-2)/(-2)=(z-3)/2化簡(x-1)/3=(y-2)/(-2)=(z-3)/2方程之間的轉(zhuǎn)換一般方程兩平面方程組對稱式方程三個分式相等參數(shù)方程三個坐標的參數(shù)表示向量方程位置向量表示兩點式方程通過兩點表示一般方程轉(zhuǎn)對稱式方程一般方程{A?x+B?y+C?z+D?=0{A?x+B?y+C?z+D?=0求方向向量s=(n?×n?)s=(|B?C?|,|C?A?|,|A?B?|)(|B?C?||C?A?||A?B?|)求直線上一點解方程組得一特解P?(x?,y?,z?)對稱式方程(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p對稱式方程轉(zhuǎn)參數(shù)方程1對稱式方程(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p=t2引入?yún)?shù)t令(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p=t3分別求解x-x?=mty-y?=ntz-z?=pt4參數(shù)方程x=x?+mty=y?+ntz=z?+pt參數(shù)方程轉(zhuǎn)向量方程1參數(shù)方程x=x?+mty=y?+ntz=z?+pt2構(gòu)造向量位置向量r?=(x?,y?,z?)方向向量s=(m,n,p)3向量方程r=r?+tsr=(x?,y?,z?)+t(m,n,p)兩點式方程轉(zhuǎn)其他形式1其他方程對稱式、參數(shù)式、向量式2方向向量s=P?-P?=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)3兩點式方程(x-x?)/(x?-x?)=(y-y?)/(y?-y?)=(z-z?)/(z?-z?)空間直線的方向向量表示方向指示直線的走向不唯一性同比例向量表示相同方向基礎(chǔ)作用構(gòu)建各種直線方程的核心要素計算應用用于求解夾角、垂直性等問題方向向量的定義基本概念平行于直線的非零向量表示形式s=(m,n,p)，其中m,n,p不全為零幾何意義指示直線的空間方向確定直線的"指向"方向向量的性質(zhì)成比例性k·s與s表示相同方向1非零性至少有一個分量不為零2平行判定方向向量平行則直線平行3垂直判定方向向量垂直則直線垂直4方向向量的計算從對稱式計算(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p方向向量s=(m,n,p)從參數(shù)方程計算x=x?+mt,y=y?+nt,z=z?+pt方向向量s=(m,n,p)從兩點式計算已知P?(x?,y?,z?)與P?(x?,y?,z?)方向向量s=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)從一般式計算兩平面法向量的叉乘s=n?×n?空間直線的方向數(shù)和方向余弦方向數(shù)方向向量的三個分量m,n,p方向余弦單位方向向量的分量cosα,cosβ,cosγ關(guān)系式cos2α+cos2β+cos2γ=1cosα=m/|s|,cosβ=n/|s|,cosγ=p/|s|方向數(shù)的定義和計算方向數(shù)定義方向向量s=(m,n,p)的三個分量計算方法從直線方程中直接提取幾何意義表示直線沿三個坐標軸的變化率方向余弦的定義和計算定義直線與坐標軸正方向的夾角余弦值cosα,cosβ,cosγ計算公式cosα=m/√(m2+n2+p2)cosβ=n/√(m2+n2+p2)cosγ=p/√(m2+n2+p2)性質(zhì)cos2α+cos2β+cos2γ=1表示單位向量的三個分量空間直線的位置關(guān)系平行直線的判定方向向量平行s?//s?數(shù)學表達s?=λs?(λ≠0)判定條件m?/m?=n?/n?=p?/p?幾何意義兩直線在空間中保持相同方向相交直線的判定基本概念兩直線有一個公共點判定方法兩直線的一般方程聯(lián)立有解向量表示r?=r??+t?s?r?=r??+t?s?存在t?,t?使r?=r?必要條件方向向量不平行兩直線在同一平面內(nèi)異面直線的判定0公共點沒有交點≠0混合積(s?×s?)·(r??-r??)≠03維度無法在同一平面內(nèi)垂直直線的判定基本條件方向向量垂直數(shù)學表達s?·s?=0分量表示m?m?+n?n?+p?p?=0幾何意義兩直線所成角度為90°空間直線的夾角定義兩直線方向向量的夾角取值范圍0°≤θ≤90°計算方法利用向量的點積公式夾角的定義幾何定義兩直線所成的最小角度數(shù)學定義兩直線方向向量間的夾角取值范圍θ∈[0°,90°]不考慮方向，取銳角或直角夾角的計算公式1夾角公式cosθ=|s?·s?|/(|s?|·|s?|)2分量表示cosθ=|m?m?+n?n?+p?p?|/√[(m?2+n?2+p?2)(m?2+n?2+p?2)]3單位向量簡化若使用單位方向向量，則cosθ=|e?·e?|夾角計算示例已知條件L?:方向向量s?=(1,2,2)L?:方向向量s?=(2,1,-1)計算點積s?·s?=1×2+2×1+2×(-1)=2+2-2=2計算模長|s?|=√(12+22+22)=√9=3|s?|=√(22+12+(-1)2)=√6代入公式cosθ=|2|/(3×√6)=2/(3×√6)≈0.272θ≈74.2°空間直線與平面的位置關(guān)系直線與平面平行的判定基本條件直線方向向量與平面法向量垂直1數(shù)學表達s·n=02分量形式mA+nB+pC=03幾何意義直線在平面內(nèi)或與平面平行4直線與平面相交的判定1基本條件直線方向向量與平面法向量不垂直2數(shù)學表達s·n≠03分量形式mA+nB+pC≠0直線與平面垂直的判定基本條件直線方向向量與平面法向量平行數(shù)學表達s=λn(λ≠0)分量形式m/A=n/B=p/C(A,B,C不全為0)幾何意義直線與平面成90°角直線與平面的夾角1夾角定義直線與其在平面上的射影的夾角的余角2計算公式sinθ=|s·n|/(|s|·|n|)3分量表示sinθ=|mA+nB+pC|/√[(m2+n2+p2)(A2+B2+C2)]點到直線的距離幾何意義點到直線的最短距離點與直線所在直線垂直向量表示d=|PQ×s|/|s|其中P為直線上一點，Q為給定點，s為方向向量距離公式的推導已知條件直線L:r=r?+ts點Q(x?,y?,z?)向量PQPQ=Q-P=(x?,y?,z?)-(x,y,z)垂直分解PQ=PQ_∥+PQ_⊥其中PQ_∥平行于s，PQ_⊥垂直于s距離公式d=|PQ_⊥|=|PQ×s|/|s|距離計算示例1已知條件直線L:(x-1)/2=(y-3)/(-1)=(z-2)/2點Q(2,1,3)