第一講力的種類和受力分析

【賽點學問】

一、自然界中常見的力

我們在日常生活中會遇到各種各樣的力，如重力、繩中的張力、摩擦力、地面的支撐力和空氣的阻力等，從最根本的

層次看，上述各種力屬于四大范疇：（1）引力：（2）電磁力：（3）弱力；（4）強力。

這里我們只介紹開頭列舉的那幾種常見的力。

（-）萬有引力

宇宙間存在于任何兩個有質(zhì)量的質(zhì)點之間的互相吸引力稱萬有引力。

式中，G=6.67xlOd,Nni7kg2,為萬有引力常量；，加8為A，B兩質(zhì)點的質(zhì)量，，?表示兩質(zhì)點的間隔。

重力來源于地球?qū)ξ矬w的吸引。在地球外表旁邊，物體的重力大小G=mg,方向豎直向下。

物體的各個局部都受到重力的作用，我們把它等效地認為是作用在物體的重心上。

在一般狀況下，在地球外表旁邊的小范圍可以認為重力是不變的。

若在大范圍內(nèi)考慮，并計及地球自轉(zhuǎn)的影響，則同一物體的重力是可變的，重力將隨距地面的高度、不同的緯度而不

同，它事實上是萬有引力的一個分力。

（二）彈力

物體在受力產(chǎn)生形變時，有夏原原狀的趨勢，這種反抗外力力圖復原原狀的力就是彈力。

對于彈簧的彈力，在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和彈簧伸長（或壓縮）的長度成正比

式中，左為彈簧的勁度系數(shù)，由彈黃本身性質(zhì)所確定（如匝數(shù)、材料及彈黃的粗細等）：式為彈簧的形變量，負號表示彈力

的方向及形變x的方向相反，彈簧伸長時x取正。其它彈力的大小只能提狀態(tài)求。

彈力的方向：應為復原形變的方向，在實際問題中可理解為垂干脆觸面的方向；對繩子或松軟體，沿繩方向：對二力

桿則沿桿方向。

彈簧的連接：

（1）彈簧的串聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為占，42,攵3，?一，攵〃的幾個彈簧串聯(lián)，串聯(lián)后等效的勁度系數(shù)為島；，則

1111

----=------1------+??.4-------c

（2）彈簧的并聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為《，左2,攵3，-一，女〃的幾個彈簧并聯(lián)，在形變一樣的狀況下，并聯(lián)后等效的勁度

系數(shù)為攵并，則％事=k]+k[+…+k”。

（三）摩擦力

兩個互相接觸的物體間有相對運動或者有相對運動趨勢時，這兩個物體的接觸面上就會出現(xiàn)阻礙相對運動的進展或阻

礙相對運動發(fā)生的力，這就是摩擦力。前者是滑動摩擦力，后者是靜摩擦力。方向及相對運動或相對運動趨勢方向相反，沿

接觸面的切線方向。

靜摩擦力大?。?《/?fM

式中，fw為最大靜摩擦力，為靜摩擦系數(shù)，它由互相接觸物體的質(zhì)料和外表狀況確定，并且有

4>4動。

滑動摩擦力大?。簞覰

摩擦力的起因及微觀機理，尚有很多未知領域，有待進一步討論。但試驗指出，接觸面過于粗糙或過于光滑又清潔時,

摩擦因數(shù)都會增大。相對速度過小或過大?；瑒幽Σ烈驍?shù)也要變更，不過在通常狀況下，這種變更不明顯，可以忽視不計。

所以在一般的分析計算中，都認為摩擦因數(shù)不受接觸面積、接觸面粗糙程度和滑動速度的影響，一般給出的摩擦因數(shù)，都是

在通常條件下，有試驗測出的平均值。

滾動摩擦：滾動摩擦的產(chǎn)生是由恨I柱體和他而接觸處的形變引起的“滾動摩擦?般遠小于滑動摩擦,所以它對物體的

影響我們常不予考慮。

以上談的都是固體之間的摩擦問題，下面簡短談談流體及固體之間的摩擦。流體（氣體或液體）不會對及它相對靜止

的物體施加摩擦力，但耍對在其中運動的物體施加阻力。粗略地說，在流體的粘滯性較大，運動物體較小、較慢的狀況下，

阻力/正比于匕J6和粘滯性（匕s分別為運動速度，橫截面枳）：在相反的狀況下，阻力/正比于丫？和s,但及粘滯

性無關。通常在空氣中墜落、行駛或翱翔屬于后一種狀況。

二、受力分析

討論力學問題的第一步工作就是對討論對象進展受力分析，正確的受力分析是解力學問題的前提。

受力分析可按三種不同性質(zhì)的力依次進展，簡稱四步曲。

（D先確定討論對象，并將“對象”隔離出來，必要時“轉(zhuǎn)換”討論對象。

（2）分析“對象”受到的外力，按先重力、次彈力、再摩擦力的依次進展分析，不要邊分析邊處理力，畫出示意圖。

（3）根據(jù)詳細狀況將力的合成或分解。

（4）寫出運動條件，解方程，而后分析討論結(jié)果。

【賽題精析】

例1.勻稱長棒一端擱在地面上，另一端用細線系在天花板上，如圖所示。若細線豎直，試分析棒的受力狀況。

例2.如圖所示，木板A質(zhì)量為M,以相對地面的速度I，在程度面上向東運動，木板上放一質(zhì)量為"7的K板B,各接觸

面間滑動摩擦因數(shù)為〃，當木塊B也有相對地面對東的速度U時，試分析A、B木塊的受力狀況。

例3.如圖所示，質(zhì)量為，〃的物體恰好能在傾角為々的固定斜面上勻速下滑，如在物體L施加一個力產(chǎn)使物體沿斜

面勻速上滑，為了使力尸獲得最小值，這個力及斜面的傾斜角。為多大？這個力的最小值是多少？

【習題精選】

I.畫出圖中各種狀況下靜ll?物體A的受力示意圖（小球均光滑工

2.如圖所示的皮帶傳動裝置中，0.是主動輪，0,是從動輪，A,B分別是皮帶上及兩輪接觸的點，C,D分別是兩輪邊緣及

皮帶接觸的點（為清晰起見，圖中將兩輪及皮帶畫得略為開些，而事實上皮帶及兩輪是嚴密接觸的）。當。順時針起動時,

若皮帶及兩輪間不打滑，則A,B,C,D各點所受摩擦力的方向分別是（

A.向上、向下、向下、向上

B.向下、向上、向上、向下

C.向上、向上、向下、向下

D.向下、向下、向上、向下

3.如圖所示，兩木塊的質(zhì)量分別為〃!?和m2,兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別

為1和攵2,上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)緩慢向上提上面

的木塊，直到它剛分開上面彈簧，在這過程中下面木塊挪動的間隔為（)

A,B.一2■

rV?Uhl

4.質(zhì)量為機的小木塊，停放在程度地面上，它及地面的靜摩擦因數(shù)為4,一人想用最小的作用力尸使木塊挪動，則最

小的作用力尸=

5.如圖所示，兩根勁度系數(shù)分別為勺和22的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細繩連接，把一光滑的輕滑輪放在細繩上，求

當滑輪卜掛一重為G的物體時，滑輪卜.降的間隔多大？

6.如圖所示，質(zhì)量為〃7的木塊及程度面間無摩擦，/〃靜止時各彈簧均處于原長，在圖中兩種狀況下，求"7受一程度向

右的力尸作用平衡后，木塊機挪動的間隔.

7.如圖所示，人字形梯置于鉛垂平面內(nèi)，A,B兩處〃一樣，當人爬至D處時系統(tǒng)失去平衡，此時A,B兩處何處先滑動。

第二講有固定轉(zhuǎn)動軸的物體平衡

【賽點學問】

力可以使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，物體轉(zhuǎn)動時，它的各點都沿圓周運動，圓周的中心在同始終線上，這條直線口L轉(zhuǎn)動軸，而一

個力使物體轉(zhuǎn)動的效果取決于力矩(力X力臂)。假如有幾個力作用在物體上，則這幾個力共同對物體的轉(zhuǎn)動效果取決于它

們力矩的代數(shù)和，力矩的代數(shù)和不等于零，物體將作變速轉(zhuǎn)動；力矩的代數(shù)和等丁?零，物體將保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動。

試驗證明：有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和等于零或者說合力矩為零，即

M+M?+a+...+M”=()或2加=0

【賽題精析】

例1.由邊長/=4R的兩個正方形勻稱薄板構(gòu)成“硬封面簿”，夾在程度放置的、半徑為A的光滑圓木上。兩板用帶

有俊鞋的輕桿相連結(jié)，此系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求網(wǎng)板間的夾用為多大？

例2.離地面高〃=40cm處，程度軸P上裝有勻稱桿，桿的長度/=30cm,質(zhì)量m=0.5kg,桿偏離豎直方向夾

角。=30。，靠在位于地面上的半徑R=10cm的球面上，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求球及地面之間以及球及桿之間的

摩擦力。

例3.一支桿秤，其秤錘已喪失，僅留下桿秤及一根細線，不用其他器材，如何確定

喪失的秤錘的質(zhì)量？

例4.如圖所示，三根氏度均為/的輕桿用較鏈連接并固定在程度天花板上的A,B兩

點，A,B兩點相距為2/,今在較鏈C上懸掛一個質(zhì)量為〃7的重物，要使CD桿保持程度,

則在D點上應施的最小力為多大？

【習題精選】

I.如圖所示,重球置干?光滑木板AB和光滑豎直墻壁之間.木板AR重力不計,可繞固定光滑錢鏈A轉(zhuǎn)動,在B端施?始

終豎直向上的力尸，使B端緩慢落下，直至AB成程度位置，這個過程中，下列說法正確的是（

A.力產(chǎn)及其力矩M都變大

B.力產(chǎn)及其力矩M都變小

c.力Z7變大，力矩M變小

D.力F變小,力矩〃變大

2.一勻稱的直角三角形木板ABC,可繞通過C點的程度軸豎直于紙面轉(zhuǎn)動，如圖所示，現(xiàn)用

一始終沿直角邊AB的作用于A點的力/，使BC邊緩慢地由程度位置轉(zhuǎn)至整直位置，在此過程

中，力產(chǎn)的大小隨。角變

更的圖線是圖（）

3.如圖所示，兩根勻稱桿

AB和CD,長均為L,重均

為G.AB桿的A的端用錢鏈

固定在墻壁匕其B端及CD

桿的C端用皎鏈連接在一起，

使兩根桿均可在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，現(xiàn)于桿上某點施一豎直向上的力，使AE桿和CD桿都保持程度,則施力的倫用點到桿的A

端的間隔為多少？所施加的大小又為多少？

4.有六個完全一樣的剛性長條薄片兒修（1=1,2,…,6）.其兩端下方各有一?個小突起，薄片及突起的重力均可不計.現(xiàn)

將六個薄片架在一只程度的碗口上，使每個薄片一端的小突起"搭在碗口上，另一?端的小突起兒位于其下方薄片的正中,

由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為〃？的質(zhì)點放在薄片AB。上的一點，這一點及此薄片中點的間隔等于它及小突起

41的間隔，求薄片練中點A所受的壓力。

5.有一長為/，重為W0的勻稱桿AE,A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端及墻面間的靜摩擦系數(shù)為〃，B維用一強度足夠

且不行伸長的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點，木桿呈程度狀態(tài)，繩及桿的夾角為〃,如圖所示，求：

（1）桿能保持平衡時，〃及。應滿意的條件，

（2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在，若在A點及P點間任一點懸掛重物，則當重物的重量W足夠大時總可以使

平衡破壞，而在P點及B點之間任一點懸掛隨意重量的重物，都不能使平衡破壞，求出這一點P及A點的間隔。

6.輕質(zhì)橫桿0B,0端用錢鏈固定在墻上，B點用輕繩拉緊，使桿處于程度狀態(tài)，在B點掛重為G的物體，如圖所示，AB

和0B的夾角為。，在把重物的懸點向。端挪動的過程中，求墻對桿的作用力的最小值。

7.三個直徑和重力都一樣的圓木柱垛在一起，如圖所示。問：圓木柱之間摩擦因數(shù)〃最小為何值時，它們才不會滾散？

（設圓木在地面上不行能滑動）尸、

A

8.一根長度為/的桿AB重為G,B端壓在粗糙的地面上，A端用一根足夠牢的輕繩斜拉在（J

地上，繩及桿的夾角為。，如圖所示，在離B端山處有一程度作用力/，問：

（1）桿B端及地面之間的動摩擦因數(shù)至少為多大，才能維持桿靜止？（8丫C）

（2）假如B端及地面之間的動摩擦因數(shù)為4°,則在AB上有一點D,在AD之間不管施?〃源M蘇H〃〃/

加上多大的程度力尸，都不會破壞AB桿的平衡，求D點的位置。A

9.人對勻稱細桿的一端施加力，方向垂直于桿，要將桿從地板上漸漸地無滑動地抬到豎直位置.，試求桿及地板間的最小摩

擦系數(shù).

10.如圖所示，用一-段橡皮管將質(zhì)量為M的鋼噴管接到豎直水管的一端，試問：水的消耗量為多少才使噴管處于程度位置？

（噴管的橫截面積為S,長度為/,摩擦不計）

11.三根重為G，長為。的均質(zhì)桿對稱擱在地上，底端相距也均為。，如圖所示，求：

（1）A桿頂端所受作用力的大??？

（2）若一重為G的人坐在A桿中點，則A桿頂端所受作用力變?yōu)槎嗌伲?/p>

12.（山東省1979年夏賽題）今用一勻稱的長為4、重為G2的撬棒把一塊長為4、重

為GI的勻稱預制板支起達平衡位置，如圖所示，問垂直作用于撬棒上端點的作用力

尸是多少？（假定預制板及撬棒的接觸處是光滑的，地面是粗糙的，角。和角尸都

是已知的）

第三講一般物體的平衡

【賽點學問】

一般物體的平衡條件是指物體既滿意平動的平衡條件，又滿意轉(zhuǎn)動的平衡條件，即

其中，、［“。（/）是指全部力對任一點的力矩的代數(shù)和為零，在滿意￡死二°，2/、二°的條件下，可以證明，當

全部力對于某一點的力矩的代數(shù)和為零時，對任一點的力矩的代數(shù)和都等于零。因此，在實際應用時可以選擇適當?shù)霓D(zhuǎn)軸0,

使方程得以簡化。

上面所表示的只是平衡方程的根本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程還nJ■以表示為以卜兩種形式。

1.兩個力矩平衡方程形式，即三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程，可寫為：

其中，A，B兩點的連線AB不能及X粕垂直。

因為滿意八（/）=0時，力系不行能簡化為一個力偶，只可能簡化為通過A點的一個合力。當二用8（/）二0

也同時被滿意時，若有合力，則它必通過A,B兩點。但因為連線AB不能及X軸垂直，故當Z尸，=（）也成立時，就充分

證明了力系的合力Z尸=（）必成立。故其肯定是平衡力系，如圖所示。

2.三個力矩平衡方程形式，即三個平衡方程都是力矩方程，可寫為：

其中，A,B,C三點不能共線。這一結(jié)論讀者可自行論證。

這樣，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，每一種形式都只包含有三種

獨立方程。因此，對一個受平面一般力系作用的平衡物體，可以也只能列出三個平衡

方程，求解三個未知數(shù)。任何第四個方程都是前三個方程的線性組合，而不是獨立的。至于在實際應用中采納何種形式的平

衡方程，完全確定于計算是否簡便，要力求避開解聯(lián)立方程的費事。

【賽題精析】

例1.有兩個質(zhì)量分別為〃％,陽2的光滑小環(huán)，套在豎直放置且固定的光滑大環(huán)中，并用細繩連接。平衡時細繩及豎

八八m.+〃z,a

直線的夾角為。，如圖所示。已知細繩所對的圓心角為。，試證明：tan^=-1----^cot—。

J%-m22

例2.如圖所示，兩個質(zhì)量分別為加一加2的小環(huán)能沿著一輕繩光滑地滑動，繩的兩端固定于直桿上的A,B兩點，桿

及程度成角。，在桿上又套上1個輕小環(huán)，繩穿過輕桿，并使7%,"?2在其兩側(cè)，環(huán)及直桿間無摩擦，系統(tǒng)處于平衡時，

tan0B

0角如圖所示，求色吆的值。/

例3.如圖所示，AOB是一把等臂夾子，軸0處的摩擦可以忽視。若想在A,B

處用力夾住一圓柱形物體C,則能否夾住及哪些因素有關？假如這一裝置能夾住C，

這些因素應滿意什么條件？(不考慮C的重力)

例4.如圖所示，勻質(zhì)圓柱體夾在木扳及豎直墻之間，其質(zhì)量為〃？，半徑為R,

及墻和木板間的摩擦因數(shù)均為〃，板很輕，其質(zhì)量可忽視。板的一端0及增用光滑校鏈2

相連，另一端A掛有質(zhì)量為，“重物，0A長為/,板及豎直墻夾。角，9=53。，試問：

m'至少需要多大才能使系統(tǒng)保持平衡？并對結(jié)果進展討論。

R

例5.如圖所示，質(zhì)量為"2,自然長度為2的(。=——)，彈性系數(shù)為％的彈

性圖，程度放置于半徑為R的固定性球上，不計摩擦。

(1)設平衡時繩圈長29，b=y/2a,試求女。

(2)設&=一萼一，求繩圈的最終平衡位置及長度。

21？R

【習題精選】

1.如圖所示，程度放置的兩個固定的光滑硬桿0A和0B成6角，在兩桿上各套輕環(huán)P,Q.兩環(huán)用輕繩相連.現(xiàn)用恒力/

沿0B桿方向向右拉環(huán)Q,當兩環(huán)穩(wěn)定時繩的拉力多大？

2.跨過兩個光滑滑輪的線上，掛有三個質(zhì)量分別為〃，町和M的重物，如圖所示。

兩滑輪離懸掛點同?高度。求當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，三個重物的質(zhì)量之間的關系？

這些條件是否總是能滿意？（不計摩擦）

3.質(zhì)量分別為優(yōu)和M的兩個小球用長為/的輕質(zhì)硬桿相連，在如圖所示位置處于平衡狀態(tài)。桿及桌邊緣局部摩擦因數(shù)為

〃，桌長為球機和豎直壁間沒有摩擦。為使桿平衡，問參數(shù)"7，M,〃，I,。和。應滿意什么條件？

4.如圖所示，小圓環(huán)A吊著一個重為的祛碼套在另一個豎直放置的大圓環(huán)上，有一細線，其一端拴在小圓環(huán)A上，另

一端跨過固定在大圓環(huán)最高點B的一個小滑輪后吊著一個重為G2的球碼,假如小環(huán)、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及摩擦都

可以忽視不計，繩子又不行以伸長，求平衡時弦AB所對的圓心角

5.四個半徑一樣的均質(zhì)球在光滑程度面上堆成錐形（俯視見圖所示）,下面三球用細繩縛住。繩及三球心共面,各球重.為G,

求辨內(nèi)張力大小c

6.如圖所示，將一長為/,質(zhì)量為m且分布勻稱的鏈條套在外表光滑的圓錐上，當鏈條他

止時，其張力為7,求圓錐頂角a。

7.如圖所示，邊長為a，質(zhì)量為109的立方塊置于傾角為30。的固定斜面上，半徑為巴,

2

質(zhì)量為，〃的圓柱依次擱置成一排，物塊及圓柱、圓柱之間、圓柱及斜面均為光滑接觸,但物

塊底面粗糙，其及斜面之間的靜摩擦系數(shù)為〃=一耳一，試求保持系統(tǒng)靜止時，最

多可依次放宜多少個這種圓柱體？

8.如圖所示，AB,BC,CD和DE為質(zhì)量相等，長度為2a的四根勻稱細桿，四根桿

通過位于B,C,D的光滑較鏈而較接起來，并以端點A和E置于粗糙程度面上，形成

對稱弓形，而且在豎直平面內(nèi)保持平衡，若平面及桿間摩擦系數(shù)等于0.25,試求AE的最大間隔及C點離程度面的相應高

度”。

9.半徑為廣，質(zhì)量為"7的三個一樣的球放在程度桌面上，兩兩互相接觸，用一高為1.5,?的無底圓筒將三球剛好套于筒內(nèi),

各處保持無變形接觸.現(xiàn)取-質(zhì)量亦為〃？，半徑為R的第四球置于三球正上方，俯視如圖所示，設各處靜摩擦系數(shù)均為

~r=，試求R取何值時，用手豎直輕輕上提圓筒，能將四球一起提起來。

V15

10.把4塊完全一樣的勻稱磚塊由下而上依次疊放在桌子邊緣，如圖所示。要使最上面的磚塊

伸出桌子邊緣最多，磚應如何登放？磚塊伸出桌子邊緣的最大程度間隔是多少？（設破長為/）

11.兩個一樣長方體處于如圖所示位置，問當Q角為多少，它們才可能平衡？（長方體及

臺面間摩擦因數(shù)為〃，長方體長為力，寬為a，它們之間摩擦不計。）

12.如圖所示，在個宜于程度面上的外表光滑的半徑為A的半圓柱面上，宜有條K為

成的勻稱鏈條，能條的質(zhì)量為〃?，其兩端剛好分別及兩側(cè)的程度面相接觸。問：此徒中

張力的最大值為多少？

13.質(zhì)量為〃2,長為/的勻稱桿AR下端靠在墻上，借助繩DC保持傾斜狀態(tài)，如圖所示，繩的一頭系在墻上C點，而另一

頭系在桿上D點，AO=!A3。繩和桿分別及墻成角a和夕，試求桿及墻之間一切可能的摩擦因數(shù)值。

14.如圖所示，一光滑半球形容器，直徑為其邊緣恰好及一光滑輕直的墻壁相切，現(xiàn)有一勻稱直棒AB,其A端靠在墻

上，B端及容器底相接觸，當棒傾斜及程度成60。角時，棒恰好靜止，求棒的長度。

15.A,B為全同物塊，按如圖所示較接于M,N,P三處，M,N在同一程度而上，A,B的重量可不計。頂邊程度，且各長3m：

側(cè)邊豎直，高4m。今在B的頂上距PI.5nl處加豎直力廠=400%,求B對校鏈P的作用力。

第四講平衡的種類和液體靜平衡

【賽點學問】

一、物體平衡的種類

物體平衡的種類有：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。

它是處于重力場以及其他有勢場的物體在場作用下的三種平衡狀況，處于?勢場的物體和場一起具有勢能，而物體都有

向勢能較小位置運動的趨勢。

a.穩(wěn)定平衡

當物體梢梢偏離平衡位置時，有一個力或力矩使之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。而且因穩(wěn)定平衡是使物體

處于勢能最小位置時的平衡，所以一旦對它有微小的擾動而使它分開平衡位置，外界就必需對它做功，這樣勢能就增加。

b.不穩(wěn)定平衡

當物體稍稍偏熱平衡位置時，它所受到的力或力矩使它偏尚接著增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平。所謂的不稔定平衡也

是指物體處于勢能最大時的平衡，使它分開平衡位置，外界不必對它做功，任何微小擾動，總引起重力對它做功，勢能減小,

這樣它將接著減小勢能，再也回不到原來那個勢能最大的位置。

c.隨遇平衡

當物體稍梢偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變更，它能在新的位置上再次平衡。所謂的隨遇平衡是指處于

平衡狀態(tài)的物體，受到微小擾動后，勢能始終保持不變。因此可以在防意位置接著保持平衡。

二、物體平衡種類的判別法

（-）受力分析法

當質(zhì)點受到外界的擾動略微偏離平衡位置后，假如所受合外力指向平衡位置，則此質(zhì)點的平衡處穩(wěn)定的：假如所受的

臺外力背離平衡位置，則此質(zhì)點的平衡是不穩(wěn)定的；假如所受的合外力為軍，則此質(zhì)點處于隨遇平?衡狀態(tài)。

（二）力矩比擬法

對于有支軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏離平衡位置時，假如外力會引起一個回復力矩，此力矩有把物體拉回到

原平衡位置的傾向，則稱物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)：假如外力會引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物

體處于不程定平衡態(tài)；假如物體所受合力矩仍為零，則稱物體處于隨遇平衡態(tài)。

（三）重心升降法

對受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質(zhì)點和剛性物件），推斷其平衡種類時;常可用重心升降法。即若使物體略

微偏離平衡位置，如是重心上升，則稱穩(wěn)定平衡：若物體略微偏離平衡位置，如其市心降低，則為不穩(wěn)定平衡：而若物體偏

高平衡位置如其重心高度不變，則為隨遇平衡。

（四）支面推斷法

具有支面的物體平衡時，物體所受重力的作用線肯定在支面內(nèi)，假如偏離平衡位置后，重力作用線仍在支面內(nèi)，物體

就能回到平衡位置，屬于穩(wěn)定平衡：但假如物體傾斜較大時，重力的作用線超出支面，重力的力矩，會使物體接著遠離原來

的位置，即原來的平衡被破壞，利用這一點，常能為處理平衡種類的一些問題找到解題的打破口。

三、液體靜平衡

（-）靜止流體中的壓強

液體內(nèi)部某點處的壓強及方向無關，可用公式〃=外〃計算，式中的。是指從該點到液面的豎直間隔,而不是到液

面的間隔。對于連通管來說，但凡在相連通的同種液體的一樣高度處其壓強必相等，若不是同種液體，或者雖是同種液體,

但中間夾有其他種液體或氣體時，上述關系就不肯定能成立。對于盛有多層不同液體的容器內(nèi)的壓強應分層計算，然后桎加

起來。

（二）浮力

液體對物體的浮力表示為/=「總，式中的V為物體浸沒于液體局部的體積，夕為液體的密度。液體對浸在其中

的物體的浮力來自于液體的靜壓強，而液體的靜壓強則來自于液體的重量，當液體作加速運動時，其視重變更了，液體內(nèi)的

靜樂強以及液體對浸在其中的物體的浮力也隨之而變更。

例：木塊漂移于水面上，若把它們放于以加速度。上升的升降機中，由于液體、木塊超重的倍數(shù)一樣（液體的超重相

當于液體的密度變?yōu)樵瓉淼淖蟆叮?，因此木塊浸入水中的體積將不發(fā)生變更。

g

（三）浮體平衡的穩(wěn)定性

浮在流體外表的浮體.所受浮力及重力大小相等、方向相反,處干平衡狀態(tài),浮體平衡的穩(wěn)定性,將因所受擾動方式

的不同而異。明顯，浮體對鉛垂方向的擾動，其平衡是穩(wěn)定的，對于程度方向的擾動，其平衡是隨遇的。

浮體對于過質(zhì)心的程度對稱軸的旋轉(zhuǎn)擾動，其平衡的程定性視詳細狀況而定。以浮于水面的船體為例：當船體向右傾

斜（即船體繞過質(zhì)心的程度對稱軸轉(zhuǎn)動一小角度）時，其浮心B將向右偏離，浮力及重力W構(gòu)成一對力偶，力偶矩將

促使船體復原到原來的方向，如圖所示，可見船體對這種擾動，其平衡是穩(wěn)定的，但假如船體的重心G太高，船體傾斜所

造成的力偶矩也可能使船體傾斜加劇，這時船體的平衡就是不穩(wěn)定的，如圖所示。

【賽題精析】

例1.如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的橢圓環(huán)，其長軸沿豎直方向，有兩個完全一樣的小圓環(huán)套在橢圓環(huán)上，不計質(zhì)

量的輕線將兩個小圓環(huán)連接在一起，輕線踏過位于橢圓焦點F的程度軸，小圓環(huán)及輕線系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，不計名處的摩擦,

小圓環(huán)的大小忽視不計。試分析說明，系統(tǒng)屈于哪一種平衡狀態(tài)？

例2.如圖所示，半徑為此的均質(zhì)圓柱體置于程度位置的半徑為叫的圓柱上，母線互相垂直，設兩圓柱間靜摩擦系

數(shù)足夠大，不會發(fā)生相對滑動，試求稔定平衡時，凡和A2應滿意的關系。

例3.兒童玩具“不倒翁”高〃二21m,質(zhì)量M=300g,相對軸KD對稱分布，不倒翁的下部是半徑R=6cm的

局部球面，如圖所示。假如不倒翁放在及程度面傾斜成角a=30。的粗糙面上，當它的軸KD及豎直方向偏角尸=45",

則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖所示。為了使它在程度桌面上失去穩(wěn)定平衡，就要在頭頂K點上固定塑泥，試問最少需加多少塑

泥？

例4.一根勻稱細桿懸在水面上不動，如圖所示，桿可繞桿上端的程度軸0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿的長度為/，桿的材

料密度為「（「小于水的密度20）。當緩慢放下軸時，桿浸入水中。試求桿及豎直線的偏角及從軸到水面間隔的關系。

【習題精選】

1.在蠟燭的底部插入一個鐵釘后，直立在水中，蠟燭露出水面1cm,已知蠟燭的密度為水的密度的0.9倍，現(xiàn)將蠟燭點

燃，蠟燭燃燒多長后才可熄滅？

2.用輕繩連接的三個動滑輪組成動滑輪組，如圖所示。掛在左、右兩側(cè)滑輪上的重物的質(zhì)量均為M,為使系統(tǒng)處于平衡

狀態(tài)，求掛在中間滑輪上的重物的質(zhì)量〃?應為多大？兩側(cè)滑輪及支架之間的摩擦因數(shù)〃應為多少？這種平衡是否穩(wěn)定？

（圖中角a為已知）

3.一根質(zhì)量為〃？的勻稱桿，長為/,下端可繞固定程度軸轉(zhuǎn)動，有兩根程度彈簧，勁度系數(shù)一樣，拴在桿的上端，使其

處于豎直位置.如圖所示,問：彈簌的勁度系數(shù)為何值,才能使桿處干稔定平衡？

4.如圖所示，用勻稱材料制成的浮子，具有由兩個半徑皆為R的球冠圍成的外形（像一粒豆子），浮子的厚度h<2R,

質(zhì)量為機I，沿浮子的對稱軸向浮子插入一根細輻條，穿過整個厚度，輻條長/>〃，質(zhì)量為機”當將浮子輻條向下浸于

水中時，浮子只有少數(shù)體枳沒于水中，浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？

5.如圖所示，邊長為。的勻稱立方體，平衡地放在一個半徑為，?的圓柱面頂部，假

設靜摩擦因數(shù)很大，足以阻擋立方體下滑，試證物體的平衡條件為廠>日。

2

6.如圖所示，將一根長度為2/的硬目絲彎成等臂直角形框架，在兩臂的端點各固定

一個質(zhì)量為利的小球，在直角的頂點焊一根長為/?的支桿，支桿平分這一頂角，將桿

支在支座上。試證：當，二變/時平衡為隨遇的：當也/時，平衡成為穩(wěn)定的

22

（不計支桿、鉛絲的質(zhì)量）。

7.如圖所示，半徑為廣的球浮于密度分別為0和夕2的分層液體的界面處，該分界面正好位于球的直徑平面上，求球所

受到的浮力有多大？

8.用一根細線豎直懸掛一根長為/的勻稱細木桿，置于水桶內(nèi)水面上方，如圖所示，當水桶緩

慢上提時，細木桿漸漸浸入水中，當木桿浸入水中超過肯定深度/'時，木桿開場出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象，

求r（已知木桿密度為「，水的密度為00）。

9.有一密度為q,'匕徑為，?的半球放在盛有密度為夕？的液體的容器底部，它及容器底部親

密接觸（即半球外表及容器底面間無液體），如圖所示，若液體深度為“，問半球體時容器底部的壓力是多大？

10.在圖中有一根細而勻稱的棒長為/,一端懸以重為R的小球（球的體枳可忽視不計）。設棒的‘浮出水面，求棒的重

n

力P。

11.半徑為R的圓環(huán)繞其鉛垂直徑軸以角速度。勻速轉(zhuǎn)動，兩質(zhì)量為加的珠了用長為L=R的輕桿相連套在圓環(huán)匕可

在圓環(huán)上無摩擦地滑動，試求細桿在圓環(huán)上的平衡位置，用環(huán)心o及桿心c的連線及鉛垂軸的夾角。表示，并分析平衡的

穩(wěn)定性（如圖所示）。

12.如圖所示，大容器內(nèi)盛有密度為巧的液體，其內(nèi)放一個底面積為S的圓筒形小容曙，其底部接進一個長為七的小口管,

兩容器固定不動，往小容器內(nèi)注入密度為夕2的有色液體（夕2>PC，直到液體高度為“時為止。此時小容器的液面及

大容器液面相平。翻開小口管下端開口處，就會發(fā)覺有液體從小口管內(nèi)流入大容器，但過一會兒輕液體乂開場從小口管上升，

然后又重第這一過程，假設兩種液體不相混合，又忽視外表張力，試求中液體首次從小容器流出的質(zhì)量是多少？輕液

體每次流入小容器的質(zhì)量△加2是多少？以后每次循環(huán)從小容器流出的重液體的質(zhì)量△"〃又是多少？

第五講質(zhì)點運動的根本概念

【賽點學問】

力學中討論的運動，是指物體位置的變動，稱為機械運動。這是最簡潔、最根本的運動形式，它存在一切運動形式之

中c如何描繪運動使之可以量化處理需要一些根本的運動學概念。

一、參考系

機械運動時物體位置在空間中的變動，但是任何物體的位置及其變動只有相對于現(xiàn)實選定的物體或彼此無相對運動的

物體群才有明確的意義。這種被選作運動根據(jù)的物體或物體群成為參考物。及參考物固連的三維空間稱為參考空間。另外，

位置變動總是伴隨著時間的變動，所謂考察物體的運動，也就是考察物體的位置變動剛好間的關系。參考空同及固連的時鐘

的組合稱為參考系。?般來說，討論運動學的問題，只要描繪便利，參考系可以隨意選取。但是在考慮動力學問題時，參考

系的選擇就受到肯定限制，因為有些重要的動力學規(guī)律（如牛頓三定律）只對特定的參考系（慣性系）成立。

參考系選定后，為了定量地標定物體相對于參考系的位置，還必需在參考系上建立適當?shù)淖鴺讼?。所謂坐標系就是固

定在參考空間的一組坐標軸和用來確定物體位置的一組坐標。常用的坐標系有直角坐標系、極坐標系、球坐標系和柱坐標系。

物體的運動完全由參考系選擇確定，及坐標系的選取無關。坐標系的不同，只是描繪運動的變量不同而已，對應的物體的運

動狀態(tài)一樣。

二、質(zhì)點

實際物體都有肯定的大小、形態(tài)和內(nèi)部構(gòu)造。在考察物體運動時，我們僅考察物體的整體運動，或物體本身的大小比

所考察運動的線度小得多，就可以不計物體各同部運動狀況的差異把它抽象成一個點，稱為質(zhì)點。

質(zhì)點是一種志向模型，它突出了物體具有質(zhì)量和占有位置這兩個主耍因素，而忽視了形態(tài)、大小及內(nèi)部構(gòu)造等次要因

素1:運動學中的質(zhì)點概念使量化物體位置成為可能，而更困難的物體運動可以看成質(zhì)點的組合。

三、位移和路程

在直角坐標系中質(zhì)點的位置可以用從坐標原點o指向質(zhì)點P位置的有向線段而來表示，0P的長度給出質(zhì)點到o點

的間隔，。戶的方向可用方向余弦cosa,cos〃和cosy確定，由于

故有向線段而是由。，夕，/及麗的長度中隨意三個參量確定。有向線段而是一個特別的矢量，稱為位置矢量，

簡稱位矢，用尸表示。當質(zhì)點運動時，位矢的大小和方向都隨時間變更，表示某時刻質(zhì)點的位置，即

位矢在一段時間A/內(nèi)的變更量稱為位移，用工表示：

如圖所示，位移既有大小又有方向，是一個矢量，所以上述運算遵循矢量運算法則。

路程是物體通過的實際軌跡的長度。路程只有大小，沒有方向?？梢赃@樣認為，一段時間/內(nèi)的位移工處每瞬間△/內(nèi)

位移?的矢量和，而路程是這些瞬間位移大小的標量和，即：

要留意的是位移反映的是物體的運動，所以位移總和某段時間相對應，如圖所示中元是表示/時間內(nèi)的運動量的大小

和方向，而A元是表示瞬間的運動量的大小和方向。

四、速度

物體以恒定快慢程度在始終線上運動，稱為勻速宜線運動。勻速直線運動是最簡__

潔的一種運動。在勻速直線運動中，隨意時間內(nèi)的位移和所用時間的比值都為常量，,

可以用來描繪運動的快慢叫做勻速直線運動的速度。瓶/

非勻速直線運動或曲線運動質(zhì)點在隨意，至打+△￡的比值不再為常量，仍用某段（

時間間隔內(nèi)的位移和該段時間間隔的比值來描繪該段運動的大致快慢程度，稱為該時

間間隔中質(zhì)點的平均速度，用/表示。5

方向沿位移方向，這事實上是用一段勻速運動對原運動的等效替代。

當考察的時間間隔足夠小時，此時間內(nèi)各質(zhì)點運動的快慢和方向可能存在的差異也必定特匕2“

別小，以致可以忽視不計，于是當4—0時，上述平均速度的極限就可以準確描寫，時刻質(zhì)點運動的快慢和方向，此極

限稱為/時刻的瞬時速度，簡稱速度，用D表示：

五、加速度

一般狀況下質(zhì)點的速度往往隨時向變更，及速度的定義類似我們可以先找尋最簡潔的變速運動一一勻變速直線運動。

由于速度隨時間線性變更則平均速度為：

則其運動位移、時間、速度及加速度有如下關系：

留意卜述運算遵循矢量運算法則,由于是始終續(xù)卜的矢量,故可設定正方向后以標量的代數(shù)和形式運算.

同樣也可以得出平均加速度和瞬時加速度，分別為：

如圖所示。

六、運動圖像

圖像是描繪各種運動的另一種重要形式，勻變速直線運動的圖像如圖所示，圖像

中的斜率和面積也有重要含義，合理運用可以很直觀地反映運動。對于平面曲線運動

及空間曲線運動則需要對運動在坐標系中分解，各方向分運動分別描繪。

【賽題精析】

例1.如圖所示為從兩列蒸汽機車上冒出的兩股長幅汽霧拖尾的照片?（俯視）。兩列車沿立軌道分別以速度％=50km/h

和々=70km/h行駛，行駛方向如圖所示。求風速。

例2.一總質(zhì)量為M的卡車拖著一質(zhì)量為m的車廂在程度路面上勻速J7

行駛，已知所受阻力和車重成正比。某時刻，后面所掛車廂脫落，司機維持~二

原有牽引力不變接著行駛了L間隔后發(fā)覺車廂脫落，于是關閉發(fā)動機，問

當卡車停下時候及車廂相距多少間隔？

例3.螞蟻分開巢沿直線爬行，它的速度及到蟻巢中心間隔成反比。當螞蟻爬到離巢中心乙=1m的A點處時速度是

V,=2cm/s0試問螞蟻從A點爬到間隔巢中心乙2=2m的B點需要多少時間？

R

例4.一些很小的球從豎宜對稱軸旁邊，高度H=一處,無初速度狀況自由落下。遇到半徑為R的凹形球面上，小

球及球面的碰撞是完全彈性的，試證明在第一次碰撞后，每個小球都落在球面的最低點（小球間不發(fā)生碰撞工

例5.兩位小摯友乙和丙，他們準備玩一會旋轉(zhuǎn)木馬。乙在半徑為廠的旋轉(zhuǎn)木立刻，丙在半徑為R的旋轉(zhuǎn)木立刻。開

場時兩位小摯友的位.置如圖所示，考慮到兩個木馬互相接觸并以一樣的角速度①向同一方向旋轉(zhuǎn)。試問：從乙視察丙的運

動有什么特點？--------

【習題精選】

1.?架飛機在高度為10km卜空飛行.機卜乘客看見太陽升起.試估計在飛機F下方地面卜的視察者還要經(jīng)過多少時間可

以看見太陽。

2.身高h的人以V的速度在程度面上從路燈的正下方勻速走過，在某一時刻，人的影長為人，經(jīng)過時間/，人的影長為L2,

求路燈距地面的高度。

3.如圖所示為兩個光滑的斜面，兩斜面高度一樣，且AB+BC=AC,今讓小球分別從斜面（a）中的A點和斜面（b）中的A

點無初速釋放，若不計小球在B點損失的能量，試問哪種狀況卜，小球滑至斜面底端歷時較短？

4.將光滑細管彎成圓角的長方形，如圖所示固定在豎直平面，B角比C角低，從A角同時放進兩個小球，一個沿AB,一個

沿AC滑到D角，問哪個球先到達D角？

5.如圖所示，一輛小車在軌道MN上行駛的速度匕可以到達50km/h,在軌道外的平地

上行咬的速度乙可到達40km/h,及軌道的垂直間隔為30km/h的B處有一基地,

所示，問小車從基地B動身到離D點100km的A處的過程中最短時間需要多少？

6.快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線可認為是直線），突然系艇的繩松脫，風吹著快艇以恒定的速度匕=2.5km/h

沿及湖岸成〃二15。的角漂去。人可沿湖岸以速度匕=4km/h行走或在水中以嶺=2km/h游泳，則能否追上快艇？當快

艇速度最大為多大時人可以追上？

7.兩個物體沿直線相向運動，初速度分別是V,和也，而加速度為CI,和4,,加速度方向分別及相應的初速度方向相反,

14I

要使兩物體在運動過程中迎面相遇，試求它們間的最大起始間隔（ax。

8.如圖所示，?質(zhì)點自傾角為a的斜面上方。點，沿一光滑斜槽0A下降，如欲使此質(zhì)點到達斜面所需的時間最短，問斜

槽0A及豎直線所成之角度。應為何值？

9.如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓環(huán)，同一平面內(nèi)有一點A,由點A到圓環(huán)上

任一點M連接光滑直線。在重力作用下，一金屬小環(huán)〃7從A點由靜止動身滑到M。問M點位

于何處時，〃2滑動所用的時間最短？

10.如圖所示，A0B是一個內(nèi)外表光滑的楔形槽，固定在程度桌面（圖中紙面）上，夾角。=1。（為了能看清晰，圖中a

夸張了）.一個質(zhì)點從C處以速度y=5m/s射出.其方向及A0間的夾角。=60°,且OC=10m.設質(zhì)點及桌面間的摩擦

可以忽視不計。質(zhì)點及0B面及0A面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可以忽視不計。試求：

（1）經(jīng)過幾次碰撞后質(zhì)點乂回到C處及0A相碰（計算次數(shù)時，包括在C處的碰撞）？

（2）全過程經(jīng)驗多少時間？

（3）在此過程中，質(zhì)點到0點的最短間隔是多少？

11.設從空間一點M以同樣的速度沿著同一豎直面內(nèi)各個不同方向，同時8

拋出幾個物體。試證明，在任一時刻，這些拋出物體總是處在某一個圓周

上

12.試求在日全食期間月球的影子沿地球外表運行的速度。不考慮地球沿''\》叩4

軌道運行方向的修正值。為了簡潔起見可以認為；視察日食是在赤道上響

午時進展的，地軸垂直月球軌道平而。地球繞地軸運行的方向及月球沿軌

道繞地球運動方向一樣，如圖所示。地球及月球之間間隔為，?=3.8xl（）5km、地球半徑R地=6.4x103疝。月球上一

個月為地球上28天。計算時留意地球到太陽的間隔比地球到月球的間隔遠得多。

13.有一質(zhì)點由A向B作直線運動，A,B間的間隔為L,已知質(zhì)點在A點的速度為%,加速度為4。假如將L分成相等

La

的拉段，質(zhì)點每通過一的間隔，加速度勻稱增加一，求質(zhì)點到達B時的速度。

nn

14.湖灣成頂角為。的楔形，岸上住有一個漁人：他的房子在A點，如圖所示，從A點到他離湖最近的C點之間隔為力，

而到湖灣的一頭，即到D點之間隔為/，湖對?岸B點處有漁人好友的房子，點B位置及A點相對湖灣對稱。漁人擁有一只

V

小船，他可以以速度口沿岸步行或以速度一乘船載湖中劃行，他從自己家里動身到好友家里去，求他需要的最短時間入

2

15.如圖所示，在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC,光滑小球從

頂點A