數學文化

解析幾何的思想方法與意義

17世紀前半葉，在數學中產生了一個全新的分支——解析幾何。它的創(chuàng)始人是法國業(yè)余數學家費馬與笛卡爾。費馬(Fermat，1601—1665)笛卡爾(Descartes,1596—1650)雖然歐氏幾何提供了一種理性的思維方式，給出了一種數學模式，但它也有一定的局限性：過于抽象，過多地依賴于圖形；同樣，當時的代數過多地受法則與公式的約束，比較抽象，不利于思維的發(fā)展。笛卡爾與費馬都認識到，如果把代數與幾何中一切精華的東西結合起來，幾何學就可以為代數提供直觀的圖形，而代數學又能用來對抽象的未知量進行推理，互相取長補短。由此，一門新的學科解析幾何誕生了。

章節(jié)目錄5.1解析幾何產生的背景5.2

解析幾何的建立5.3

解析幾何的基本思想

16世紀以后，文藝復興后的歐洲進入了一個生產迅速發(fā)展、思想普遍活躍的時代。機械的廣泛使用，促使人們對機械性能開始研究，而這需要運動學知識和相應的數學理論；建筑的興盛、河道與堤壩的修建又提出了有關固體力學和流體力學的問題，而這些問題的解決需要正確的數學計算；航海事業(yè)的發(fā)展，向天文學實際上也是向數學提出了如何精確測定經、緯度，計算各種不同形狀物體的面積、體積以及確定重心的方法；望遠鏡與顯微鏡的發(fā)明，提出了研究凹凸鏡的曲面形狀問題。5.1解析幾何產生的背景德國天文學家開普勒發(fā)現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處于這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現投擲物體是做拋物線運動的。要解決這些比較復雜的曲線和解決在天文、力學、建筑、河道、航海等方面的數學問題，顯然已有的初等幾何和初等代數這種常數范圍內的數學是無能為力、難以解決的。于是人們試圖創(chuàng)設變量數學，這就導致了解析幾何的產生。從數學本身的發(fā)展看，笛卡爾和費馬都認為歐幾里德的《幾何原本》雖然建立起了幾何學的完整體系，但這樣的幾何過于抽象，過多地依賴圖形。而另一位古希臘數學家阿波羅尼奧斯所寫的另一著作《圓錐曲線論》，雖然將圓錐曲線的性質幾乎網羅殆盡，但阿波羅尼奧斯的幾何卻是一種靜態(tài)的幾何，它既不把曲線看做是一種動點的軌跡，更沒有給它以一般處理方法。

17世紀的生產和科技的發(fā)展，都向幾何學提出了用運動的觀點來認識和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題，即必須創(chuàng)立一種建立在運動觀點上的幾何學。雖然當時的代數過于受法則和公式的約束，缺乏直觀，但代數符號化的建立恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件。代數學是一門潛在的方法科學，因此把幾何學和代數學中的精華部分結合起來取長補短，就創(chuàng)造出一門新的學科，解析幾何誕生了！費馬(Fermat，1601—1665)是十七世紀偉大的數學家之一。他出身于商人家庭，在都魯斯學過法律，并以當律師謀生。作為業(yè)余愛好，他對數學作出了巨大的貢獻。

費馬關于曲線的研究是從阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》開始的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》，書中說他找到了一個研究曲線問題的普遍方法。

5.2

解析幾何的建立5.2.1費馬的工作

費馬的坐標能把阿波羅尼奧斯的結果直接翻譯成代數形式。他所建立的坐標是我們現在的斜坐標。費馬把他的一般原理敘述為：“只要在最后的議程里出現兩個未知量，我們就可以得到一個軌跡，用這兩個量可描繪出一條直線或者曲線。”并且由給出的方程便可知道其所代表的是直線還是曲線。如：代表一條直線；也代表一條直線；代表一個圓；代表一條拋物線。費馬還領悟到坐標軸可以平移和旋轉，因而可以把一個復雜的二次方程，簡化到簡單的形式。笛卡爾1596年3月31日生于土倫的拉哈耶，父親是個相當富有的律師。笛卡爾20歲畢業(yè)于普瓦界大學，去巴黎當了律師。在巴黎他認識了米道奇(Mydorge，1585—1647)和梅森(MarinMersenne，1588—1648)，花了一年時間和他們一起研究數學。當時有一種風氣，即有志之士不是致力于宗教就是獻身于軍事。因此，笛卡爾趕了時髦，應征入伍，遍歷歐洲。5.2.2笛卡爾的工作

笛卡爾獻身數學，完全出于一個偶然的機會。1617年服役期間，在荷蘭布萊達遇到一張數學難題招貼，他看不懂上面的佛來米語，一位中年人熱心地給他作了翻譯，第二天他把解答交給那個中年人。中年人對笛卡爾的解答非常吃驚，巧妙的解題方法，準確無誤的計算，說明了這位年輕士兵的數學造詣不淺。原來這位中年人就是當時有名的荷蘭數學家別克曼(IsaacBeeckeman，1588—1637)教授。這使他自信有數學才能，從此開始在別克曼教授指導下認真地鉆研數學。笛卡爾在進行數學研究時，對當時的幾何、代數感到不甚滿意，他意識到代數具有作為一門普遍的科學方法的潛力。他憑借對方法的普遍興趣和對代數這門知識的掌握，形成了用代數方法來研究幾何的思想，并進行了探討，于是他的著作《幾何學》便應運而生?！稁缀螌W》是他的一本文學和哲學著作《方法論》之后的三個附錄之一。

《幾何學》共分三卷。在第一卷中，笛卡爾對代數式的幾何意義作出了解釋，并且比希臘人前進了一步。希臘人將一個變量表示成某個線段的長度，則表示一個矩形的面積，表示表示某個長方體的體積，而面對3個以上的乘積，希臘人就沒法處理了。笛卡爾認為，與其把看做面積，不如把它看做比例式中的第四項。這樣，只要給出一個單位線段，我們就能用給出線段的長度來表示一個變量的任何次冪或多個變量的乘積，在這一部分中，笛卡爾把幾何算術化了。在第二卷中，笛卡爾根據代數方程的次數對曲線分了類：含x和y的一次和二次曲線是第一類；三次和四次方程對應的曲線是第二類；五次和六次方程對應的曲線是第三類；等等。

在第三卷中又回到了作圖問題上，并且涉及了高于二次方程的解法。

盡管在《幾何學》一書中，笛卡爾表達了方程與曲線相結合這一顯著思想，但他只是把它作為解決作圖問題的一個手段。笛卡爾對作圖的過分強調，反而掩蓋了曲線和方程的主要思想。不過瑕不掩瑜，笛卡爾的《幾何學》一書仍被后世人認為是解析幾何的一部經典之作。（1）通過計算來解決作圖問題；（2）求具有某種幾何性質的曲線方程；（3）用代數方法證明新的幾何定理；（4）用幾何方法解代數方程。

5.3

解析幾何的基本思想5.3.1解析幾何要解決的問題

在解析幾何中，首先是建立坐標系。如圖所示，取兩條相互垂直且有一定方向和度量單位的直線，叫做平面直角坐標系Oxy。利用坐標系可以把平面內的任一點P和一對有序實數（a,b）建立起一一對應的關系，（a,b）稱為點P的坐標。5.3.2解析幾何思想方法舉例

除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等。坐標系將幾何對象和數、幾何關系和方程之間建立了密切的聯系：把含有兩個未知數的任意代數方程看成是平面上的一條曲線（或直線），即把方程F(x,y)=0看成是一條平面曲線（或直線），這樣就可以吧對平面圖形的研究歸結為比較成熟且容易駕馭的數量關系的研究。例平面的點法式方程若一非零向量垂直于一平面，則稱此向量是該平面的法向量。顯然平面上的任一向量均與平面的法向量垂直。由于過空間一點可以作而且只能作一個平面垂直于一已知直線。因此，當平面

上一點和它的一個法向量

給定之后，平面的位置就確定下來了。下面我們來建立這種平面方程。設平面

過定點M0(x0,

y0,z0),且有法向量

yxzM0MnO而M0M=(x

x0,y

y0,z

z0),得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0對于平面上任一點M(x,

y,z),向量M0M與

垂直.

M0M=0

用代數的方法研究幾何問題的思想是解析幾何的基本思想。

坐標法是解析幾何的基本方法。以坐標法為基礎，把數看成是點，反之也能把點看成是數的數與點相對應的觀念是解析幾何的第一個基本觀念。以坐標法為基礎，把方程與曲線統(tǒng)一起來，把方程看成是曲線，曲線也可以看成是方程的曲線與方程相對應的觀念是解析幾何的第二個基本觀念。5.3.3解析幾何的思想、方法與基本觀念（1）方法的革新（2）變量數學的誕生（