平面向量應(yīng)用舉例1.向量在幾何中的應(yīng)用2.向量在物理中的應(yīng)用解決的問題：比如：距離、平行、三點(diǎn)共線、垂直、夾角等幾何問題解決的問題：比如：力、速度等物理問題22.5.1平面幾何的向量方法3例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABDCABCD特殊化探索：中，該關(guān)系是否依然成立？一般化4例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè)其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示?！?例2如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC6解：設(shè)則由于與共線，故設(shè)又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗訟BCDEFRT7大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)8線，故AT=RT=TCABCDEFRT9（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形10練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，得∠ACB=90°思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？112.5.2向量在物理中的應(yīng)用12例1：同一平面內(nèi)，互成120?

的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力為零。BO120oabcDCA證：如圖，用a，b，c表示這3個(gè)共點(diǎn)力，且a，b，c互成120°，模相等，按照向量的加法運(yùn)算法則，有：

a+b+c=a+（b+c）=a+OD

又由三角形的知識(shí)知：三角形OBD為等邊三角形，故a與OD共線且模相等所以：OD

=-a，即有：

a+b+c=0

13例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？分析：上述的問題跟如圖所示的是同個(gè)問題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：

F2θF1FG用向量F1，F(xiàn)2，表示兩個(gè)提力，它們的合向量為F，物體的重力用向量G來表示，F(xiàn)1，F(xiàn)2的夾角為θ，如右圖所示，只要分清F，G和θ三者的關(guān)系，就得到了問題得數(shù)學(xué)解釋！14θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ為何值時(shí)，最小，最小值是多少？F1（2）能等于嗎？為什么？F1GF1解：不妨設(shè)=，由向量的

平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道：

=（*）

通過上面的式子，有：當(dāng)θ由0o到180o逐漸變大時(shí)，由0o到90o逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此：由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！

F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，當(dāng)θ=0o時(shí)，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，當(dāng)=

即θ=120o時(shí)，=

cos2θ12F1GF215小結(jié)：（1）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問