高考前必須復習的幾個專題（數(shù)學）

+高考數(shù)學大題練習+理科數(shù)學總復習試卷及其答案

高考前必須復習的幾個專題

專題1函數(shù)、導數(shù)

【課標要求】

1.課程目標

通過集合的教學，使學生學會使用基本的集合語言描述有關(guān)的數(shù)學對象，發(fā)展學生運用

數(shù)學語言進行交流的能力：使學生初步感受到運用集合語言描述數(shù)學對象時的簡潔性和準確

性.

通過函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1的教學，使學生理解函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重

要數(shù)學模型；使學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科

中的重要性，初步學會運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題；培養(yǎng)學生的理性思

維能力、辨證思維能力、分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新意識與探究能力、數(shù)學建模能力

以及數(shù)學交流的能力.

2.復習要求

（1）理解集合之間包含與相等的含義，理解兩個集合的并集與交集的含義；理解補集

的含義.了解集合的含義；了解全集與空集的含義；（不要求證明集合的相等關(guān)系、包含關(guān)

系）.

（2）函數(shù)的概念和圖象

理解函數(shù)的概念；理解函數(shù)的三種表示方法；理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，會判斷

一些簡單函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)最大（?。┲档母拍罴捌鋷缀我饬x；會運用函數(shù)圖象理解

和研究函數(shù)的性質(zhì).

了解構(gòu)成函數(shù)的要素（定義域、值域、對應(yīng)法則），會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;

了解映射的概念.了解簡單的分段函數(shù)，（不要求根據(jù)函數(shù)值求自變量的范圍）.

了解函數(shù)奇偶性的含義.（對復合函數(shù)的一般概念和性質(zhì)不作要求）.

（3）指數(shù)函數(shù)

理解有理數(shù)指數(shù)基的含義；理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會畫指

數(shù)函數(shù)的圖象.

了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，能進行幕的運算.

了解指數(shù)函數(shù)模型的實際案例，會用指數(shù)函數(shù)模型解決簡單的實際問題.

（4）對數(shù)函數(shù)

理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)；理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象.

了解對數(shù)換底公式，知道一般對數(shù)可以轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).

了解對數(shù)函數(shù)模型的實際案例；了解對數(shù)函數(shù)的概念；了解指數(shù)函數(shù)y=與對數(shù)函

數(shù)y=log.x互為反函數(shù)（。＞0,。工1）.

（不要求一般地討論反函數(shù)的定義，不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)）.

（5）基函數(shù)

,11

了解累函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù),二彳廳二丁4二丁A力二一廣二爐的圖象，了解幕函數(shù)

X

的圖象變化情況.

(6)函數(shù)與方程

了解二次函數(shù)的零點與相應(yīng)的一元二次方程的根的聯(lián)系.了解用二分法求方程近似解的

過程，能借助計算器求形如：x3+<zx+6=0,a*+bx+c=0,lgx+bx+c=0的方程的近

似解.

(7)函數(shù)模型及其應(yīng)用

了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型的意義，并能進行簡單應(yīng)用.

(8)導數(shù)

理解導數(shù)的定義；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；能用導數(shù)方法求解有關(guān)利潤最大、用

料最省、效率最高等最優(yōu)化問題；感受導數(shù)在解決實際問題中的作用.

了解平均變化率的概念和瞬時變化率的意義；了解導數(shù)概念的實際背景，體會導數(shù)的思

想及其內(nèi)涵.

了解基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；了解導數(shù)的四則運算法則；能利用導數(shù)公式表的導數(shù)公

式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).

3.復習建議

(1)關(guān)于函數(shù)的定義域與值域

求函數(shù)定義域、值域以“簡單函數(shù)”為主，“簡單函數(shù)”指下列函數(shù)：

y—ax+b,y-ax2+hx+c,

y=父+”,y=\lax+b,y=a\y-logn(mv+M),y=sinx,y=cosx等.

ax+b"

(2)關(guān)于分段函數(shù)

簡單(情境)的分段函數(shù)指：在定義域的子集上的函數(shù)為常數(shù)、一次、反比例、二次函

數(shù)的分段函數(shù).例如：出租車收費、郵資、個人所得稅等問題.

(3)用二分法求方程的近似解

關(guān)鍵是結(jié)合具體例子感受過程與方法.本方法限于用計算器求三類方程：

x3+ax+b=0,a'+bx+c=Q,\g,x+bx+c=0的近似解.

(4)關(guān)于導數(shù)

重視導數(shù)在研究函數(shù)與實際生活中的應(yīng)用的教學，發(fā)揮導數(shù)的工具作用.要注意運用學

生熟悉的數(shù)學問題、生產(chǎn)與生活中的實際問題，幫助學生增強數(shù)學應(yīng)用的意識，促進學生全

面認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值.

⑸關(guān)于函數(shù)綜合問題

①第一問題通常不是太難，主要是與函數(shù)有關(guān)的概念和方法，但非常重要，往往是后面

小題的知識準備或方法上的提示，所以第一小題要做好做準，再看后面問題與第一小題的聯(lián)

系，然后選擇適當?shù)耐緩浇鉀Q問題.

②通過不同途徑了解、洞察所涉及到的函數(shù)的性質(zhì)：在定義域、值域、解析式、圖象、

單調(diào)性、奇偶性、周期性等方面進行考察，在上述性質(zhì)中，知道信息越多，則解決問題越容

易.

③畫出示意圖，能對解決問題起到很大的幫助.作圖要注意圖象整體，局部細節(jié).

④通過求導來研究函數(shù)性質(zhì)是一種非常重要而有效的方法.通常的步驟：先求導，要注

意求導后定義域的情況；將導數(shù)整理變形，能看出導數(shù)的符號性質(zhì)或零點.再列表，從表中

回答所要求解答的問題.

⑤對于含有字母參數(shù)的問題，可以通過分類，延伸長度，從而降低難度.也可以通過分

離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)或不等式問題去解決.

【典型例題】

例1(填空題)

(1)已知集合4={訃》—&Wl},B=(X|X2-5X+4>0}.若AB=0,則實

數(shù)a的取值范圍是.

解析：集合A=Wl}={x|a—-5x+4>0|={x|x

a+l<4

》4或x<l}.又YAB=0,：.《，解得2<a<3,實數(shù)a的取值范圍是

a-l>l

(2,3).

說明：通過數(shù)軸進行集合包含關(guān)系的運算時，要注意端點的“開閉”.

變式：若AB#0,則實數(shù)a的取值范圍是.?

(2)已知p:不等式+的解集是R,q"(x)=-(7-3m)”是減函數(shù),

如果兩個命題中有且只有一個正確，則實數(shù)機的取值范圍為.

解析：y=|R+|x—1］的最小值1,當〃為真時，m<l,當q為真時，m<2,由題設(shè)

得1<47V2.

(3)函數(shù)y=|數(shù)g〃|的定義域婕，句,值域［0,2］,則

2

區(qū)間［。力］的長度b—Q的最小值是.

解析：結(jié)合圖象：當x=4或x=L時，y=2.所

4

13

以，當a=—,。=1時匕一a的最小值是己.

44

(4)讀下列命題，請把正確命題的序號都填在橫線上

①函數(shù)/口)=而的值域為(—1,1);

②已知函數(shù)/(x)定義在R上,且滿足“x+2)=/(x),當xe［2］時，y(x)=2—x,

則了(2007.5)=0.5；

③若函數(shù)/(幻對定義域中的x,總有/(1+幻=/(1一幻，則/(x)是奇函數(shù)；

④函數(shù)y=log2(尤2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間是(1,-HX).

解析：③不正確，對稱軸是x=l,④不正確，應(yīng)為(3,+00).正確答案是：①②.

(5)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(%,Z+l)(ZeZ),則&的值為,

解析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)丫=1眇與)/=

—x+3的圖象，它們的交點橫坐標顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由J

于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了.實際上這是要比2

較與與2的大小.當x=2時，Igx=lg2,3—x=l.由于Ig2<l,1

因此5>2,從而判定X°G(2，3)./

說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.數(shù)形結(jié)合，

要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算與的鄰近兩個函數(shù)值，通

過比較其大小進行判斷.

2

(6)設(shè)./■(幻=坨(3+。)是奇函數(shù)，則使/(處<0的工的取值范圍是.

14-r

解析：依題意，得了(0)=0,即lg(2+a)=0,所以，a=-l,/(x)=lg--,又

1r

/(x)<0,所以，0<——<1,解得：-l<x<0.

(7).已知函數(shù)/(x)=log“［(3-a)x+a+l］在［1,2］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍

是______

解析：設(shè)“(X)=(3—a)x+a+l,當0<a<l時，3—a>0>w(l)>0,M(2)>0,則

函數(shù)是［1,2］上的減函數(shù)；當a>l時，要使函數(shù)“X)是［1,2］上的減函數(shù)，則

3—6/<0,w(l)>0,?(2)>0,解得3ca<7,綜上，0<a<l或3<a<7。

本題綜合了多個知識點：(1)復合函數(shù)的單調(diào)性，(2)真數(shù)大于零.需要概念清楚，推理

正確.

(8)已知函數(shù)y=log1［a?+2x+(a—1)］的值域是R,則實數(shù)。的值是

a>0,

解析：設(shè)g(x)=ax2+2x+(a—l),由題設(shè)，得。=0,或<

A=4-4?(?-l)>0

解得OWaM上后.

2

說明：本題是一個很傳統(tǒng)的問題，也是一個易錯題，學生常將值域是R理解成定義域

(9)某商店計劃投入資金20萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，已知經(jīng)銷甲商品與乙商品所獲

得的利潤分別為P(萬元)和。(萬元)，且它們與投入資金X(萬元)的關(guān)系是：尸=土X，

Q=/(a>0),若不管資金如何投放，經(jīng)銷兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤總

不少于5萬元，則a的最小值是

解析：設(shè)投入甲商品的資金為x萬元，經(jīng)銷兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤為

y萬元，貝！1

)，=：+y20—x(04xW20),由題意得，當0WxW20時，恒有yN5,即恒有

—+—y/2,0—x>5>解得即a的最小值是

4222

(10)函數(shù)/(幻=/一以2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)。的范圍為.

解析：法1：(分離參數(shù)法)?.?函數(shù)/(x)=V—以2+1在

(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，二/'(X)=3d-2"W0在(0,2)內(nèi)恒成

33

立.即a在(0,2)內(nèi)恒成立.??F=—x在(0,2]上的最大

3

值為一x2=3,???。23.

2

法2：(數(shù)形結(jié)合法)???尸(%)二3/一2。工(為二次函數(shù))如圖3,要使3d—2方W0

―2cl

在(0,2)內(nèi)恒成立，只需對稱軸——巴21,即a23.

2x3

2X

例2已知函數(shù)/("=一晨斗.

(1)證明：函數(shù)/(X)在(-8,+0。)上是減函數(shù);

(2)若xe[l,2],求函數(shù)/(x)的值域：

⑶若g(x)、4/彳)，且當x叩,2]時、g(x"0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2412X

解析：(1)(導數(shù)法)/(x)=--=-1+-—,=57<O.

2+12+1八**)

故函數(shù),f(x)在(-oo,+co)上是減函數(shù)。

注：本題也可用定義法加以證明。

(2)由(1)得，函數(shù)/(%)在％e[l,2]上是減函數(shù)，.??/(2)“〃力"阿⑴,即

49故函數(shù)/(可的值域是一4飛"?

(3)當xe[l,2]時，g(x)e——,xe[l,2]時，g(x)20恒成立,

例3在邊長為60的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的正方形，再把它的邊沿虛線折

起(如圖)，做成一個無蓋的方底鐵皮箱.箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是

多少？

解：設(shè)小正方形的邊長為x,則圍成的長方體的體積為

V(x)=(60-2x)2x(0<x<30),V'(x)=12(/-40x+300)=0得x=10或x=30(舍

去),

當xe(0,10)時,V'(x)〉0,V(x)為增函數(shù)，當xe(10,30)時,V,(x)<0,V(x)為減函

數(shù)，

所以，當x=10時，V(x)取得極大值也是最大值^(10)=16000(cm3).

答：當箱子底邊長等于40cm時，箱子容積最大，最大值為16000cm3.

說明：此題是教材中的一道例題，求解也并不困難，如果能適當創(chuàng)設(shè)問題情景，譬如設(shè)

問：由于上述設(shè)計存在缺陷(材料有所浪費)，請你重新設(shè)計切、焊方法，使材料浪費減少,

而且所得的長方體容器的體積

方案二：將正方形作如圖切割，然后以A8CD為底面，四個角分別拼接成四個矩形側(cè)面.

進一步引導啟發(fā)可以發(fā)現(xiàn)，問題即為己知f+4孫=3600,求V=/y的最大值.

通過精講例題，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，探窕創(chuàng)新能力，歸納概括能力.

例4已知函數(shù)/(x)=ln(x+1)-x.

⑴求函數(shù)/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若%>一1,求證：1---5—Wln(x+l)〈x.

x+1

(1)解：函數(shù)/(X)的定義域為(-1,+8),f\x)=—一一1=一——,

X+lX+1

X

由廣。)<0得：,；.x>o,;./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)。

%>-1

(2)證明:由⑴得xd(—1,0)時,f'(x)>0,當xG(0,+一時,尸(x)<0,且((0)=0

-1時,/(x)W/(0),二.ln(x+1)—xWO,ln(x+l)Wx。

111v

令g(x)=ln(x+1)+——--1，則g\x)=-------------=—:—r

X+lx+](x+l)2(x+l)2

???一lVxVO時，g'(x)<0,x>0時，g'(x)>0,且g'(0)=0

?\x>—1時，g(x)2g(0),即ln(x+1)+—!----120,

x+l

ln(x+1)21------,.\x>—1時，1-------Wln(x+1)Wx.

x+lx+l

例5已知函數(shù)/。)=2,-去.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2：f(2f)+〃礦⑺20對于，￡[1,2]恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

解：(1)當x<0時，/(x)=0；當xNO時，f(x)=2x--.由條件可知12,一一!-=2,

2X2X

X

即22，一2.2'-1=(),解得2=1±V2.?/2，>0,x=log2(1+72).

(2)當y1,2]時，2(22,一表)+”(2'-/40,即加一1卜一(2"-1).

22'-l>0,Am>-(22,+1).?/re[l,2],-(1+22,)G[-17,-5],

故團的取值范圍是[-5,+00).

例6已知函數(shù)/(x)="'+lnx2]).

(I)當〃w[-2」)時，求/(x)的最大值；

4

(II)設(shè)g(x)="(x)-左是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)

a使得kv1恒成立?若存在，求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

解：(I)當一2Wa<，時，由尸(幻=0得、=1'1441+加-4〃

422

,111「1]「1](x-x,](x-xA

顯然―1WXI<一,—<X22,「.再任—,2E—,2.又f\x)=--------------

2222x

當gWxWx2時，/'(x)NO,/(x)單調(diào)遞增；當X2<x<2時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

.〃、f.2a1+y/\-4a1+y/\-4a

??/(X)mox=f(X2)=---,----------------+In----------

1+，-4a22

r.~7~.1+Jl-4a

=—-4a+In---------.

2

(H)答：存在ae(TO,13)符合條件.

因為g(x)="(x)-lnx]-x2=ar-x3,不妨設(shè)任意不同兩點P](x,,y),“2(々，為)，其

中Xi＜x2,貝ij、=」=&（石一/）+（*2f）=a_（x；+X］A：2+x；），

%一%x1-x2

,17

由左＜1知:a＜1+（x；+*X2+考）＜1+3門又故a＜［,故存在aw（f,13）

符合條件.

【新題備選】

1.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)（如［2］=2,［-］=1），對于給定的neN*,定

n(n-l)照則當I，3）時，函數(shù)C；的值域

義C；M0LM),xe

x(x-l)

是____________

白3）時,=與，當x-2時，［司=1,所以C；

解：當xe44=4；

21

2

Q7

x8x728

當［2,3）時，Cl----=28,當x.3時，[x]=2,Cg=

2x13x23

故函數(shù)小的值域是［吟16ufy.28.

3

2.方程/+岳一1=0的解可視為函數(shù)y=x+的圖像與函數(shù)y=L的圖像交點的

X

橫坐標.若方程，+如-4=0的各個實根不，必，…，4'（2W4）所對應(yīng)的點（,—）（i=

Xi

1,2L?《）均在直線y=x的同側(cè)，則實數(shù)。的取值范圍是.

解：方程的根顯然九。0,原方程等價于爐+。=4,原方程的實根是曲線y=/+。與

x

曲線y=4的交點的橫坐標；而曲線y=/+。是由曲線y=/向上或向下平移⑷個單位而

X

得到的.若交點（為2）。=12…,k）均在直線y=x的同側(cè)，因直線y=x與y=4交點為：

XiX

(-2-2),(2,2)；所以結(jié)合圖象可得:

。>0(a<0

<一+々>一2或<x3+a<2=>ae(-oo,-6)(6,+oo)；

x>-2x<2

3.已知函數(shù)/(x)=(；)x-log2x，正實數(shù)a、b、c成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿

足/(a)/S)/(c)<0,若實數(shù)d是方程/(x)=0的一個解，那么下列四個判斷：①d<a；

②d>b；③d<c；④d>c中有可能成立的是.

解：函數(shù)/(幻為(0,+8)上的減函數(shù)，且a<6<c,.?./(。)>/(0)>/(c),又

Vf(a)f(b)f(c)<0,，有的值有兩種可能,0>/(?)>f(b)>/(c)或

/(?)>/(/?)>0>/(c),故填①②③.

4.已知函數(shù)/(x)=log|(—|x|+3)定義域是口向(a,bez),值域是[—1,0],則滿足

3

條件的整數(shù)數(shù)對3,加有對.

解：顯然，函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，定義域為(-3,3),且/(0)=-1,/(±2)=0,所以,

則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(。,加有(一2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2),(0,2)5對.

5.對于函數(shù)/(幻=ig匕二，有三個數(shù)滿足且/(22)=i,

1—x1+ah

/(二)=2,那么/(片)的值是.

DC1+QC

解：/(彥)=/(a)+/S)J(")=/3)—/(c)，

\+ab\-bc

a-\-C

所以/(;-)=/(?)+/(c)=[f(a)+/⑼]一"(份—/⑹]=—1.

1+QC

6.已知函數(shù)f(x)=iwc2+(m-3)x+l的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè).

(1)求實數(shù)m的取值范圍；

(2)令1=一山+2,求[1]的值(也表示不大于t的最大整數(shù))；

t

1

t-\—

(3)對(2)中的t,求函數(shù)g(r)=——----^―-——的值域.

[d-[]+[/]+[]+1

tt

解：(1)若m=0則.f(x)=-3x+l由/'(xQO,得x=g>0.符合題意.

若mrO,①m<0時，;,vO,方程f(x)=O兩根異號，.,?必有一個負根.

m

->0,

tn

②m>0時，由〈-里->0,得加w(0,1］時，方程有兩正根.綜上得

m

(/w-3)2-4mN0,

(2),/t=—m+2,/.rG[1,+OO),,\0<-<1.當t=l時，占=1,當>1時，山=0.

ttt

(3)當七=1時，g(t)=—；當t>l時，山=0,設(shè)田=〃,且1=田+。,則〃￡ZJO?。<1.

2t

〃+QH---------]

于是gQ)=-----------吐區(qū).由函數(shù)力。)=x+工在X21時是增函數(shù)，

〃+1X

11?1?,1

〃+—n+a+------〃+1+-----〃十一1

及OWaWl,得一------叱旦<------止」.設(shè)。“=—且=1+，遞減,

〃+1九+1〃+1H+1(〃+1)~

n-2

/.a}>a2=a3<a4<???<an<???.

〃(〃+1)(〃+2)

〃+1H—

_______/+11

b.遞減,/.b、>b>-??>b>

〃+l(〃+l)22n

于是t>i時，g?)的值域為&，4)，即成，?綜上g⑺的值域為{g}?,：).

【專題訓練】

一、填空題

A/|X-2|-1

1.函數(shù)/'(x)=M——1—的定義域為________-

log2(x-l)

2.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+l)(x+a)為偶函數(shù)，則。=.

3.方程9'—6-3,-7=0的解是.

4.設(shè)。>1,函數(shù)/(x)=log〃x在區(qū)間［。,24上的最大值與最小值之差為;，則

CL—.

5.已知/(3')=4xlog23+233,則/⑵+/(4)+/(8)++/Q8)的值等

于.

6.設(shè)函數(shù),f(x)定義在實數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線x=l對稱，且當xNl時,

132

/(尤)=3'-1,則/(-),/(-),/(-)的大小關(guān)系為

7.若函數(shù)y=/(x)的圖象按向量a平移后，得到函數(shù)

y=/(x—l)—2的圖象，則向量a=

8.已知實數(shù)a,b滿足等式/。92。=/。93匕，給出下列5個關(guān)

系式：①a>b>l；

②b>a>l；③aVbVl；?b<a<l；⑤a=b.其中可能成

立的關(guān)系式是.(填序號)

4x—4,xW1

9.函數(shù)/(尤)=1,的圖象和函數(shù)

x-4x+3,x>\

g(無)=log2x的圖象有個交點.

10.對于函數(shù)①/(x)=|x+2|,②/(x)=(x—2)2,

③/(x)=cos(x—2),判斷如下兩個命題的真假：命題甲：

/(x+2)是偶函數(shù)；命題乙：，(幻在(-0。,2)上是減函數(shù)，在

(2,+8)上是增函數(shù)；能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是

11.右圖是用二分法求方程丁-16工+1=0在［-2,2］的近似解的程序框圖，要求解的

精確度為0.0001,①處填的內(nèi)容是；②處填的內(nèi)容是.

12.已知函數(shù)/x)=1。82|以一1|(。￥0)滿足了(—2+幻=/(一2—月，則實數(shù)。的值

為.

2

13.若函數(shù)f(x)=ln(x+l)--的零點在區(qū)間(k,k+1)(2GZ)上，則女的值為一.

x

14.設(shè)函數(shù)/(x)=ar'_3x+1對于工￡［一1,1］總有/(幻之。成立，則。=.

二、解答題

15.設(shè)命題p：ae{yy=\l-x2+2%+8,%eR|,命題q：關(guān)于x的方程f+x-au。

一根大于1,另一根小于1.如果命題p且q為假命題，p或q為真命題，求實數(shù)a的取值

范圍.

16.已知集合A={x|—2/?1,jB=|x|x2-2x-m<0|.

(1)當〃z=3時，求A(電8)；

(2)若A3={x[—l<x<4},求實數(shù)加的值.

4

17.若函數(shù)/(x)=a?—法+4,當x=2時，函數(shù)/(x)有極值為—

(1)求函數(shù)/(無)的解析式；

(2)若/(x)=上有3個解，求實數(shù)人的取值范圍.

18.在實數(shù)集R上定義運算?:x?y=(x+a)(l-y),若/(》)=/，g(x)=x,若

F(x)=f(x)0g(x).

(1)求一(x)的解析式;

(2)若F(x)單在7?上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

19.已知二次函數(shù)y=/(x)經(jīng)過點(0,10),導函數(shù)f'(x)=2x-5,當xe(〃，〃+1]

(〃eN*)時,f(x)是整數(shù)的個數(shù)記為%.(1)求數(shù)列{a,J的通項公式;

"4,

(2)令bn=------，求數(shù)列{a“+2,}的前〃(n>3)項和S".

44+1

20.設(shè)函數(shù)/>(>)=」一(x>0且％。1).(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

x\nx

2

(2)已知2‘>￡對任意了￡(0,1)成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

【專項訓練參考答案】

1.[3,4-00)2.—13.X=log374.45.2008

6./(1)>/(|)>/(|)7.(1,-2)8.②④⑤

9.3

10.②11./(〃)./(附<0；,一目<0.000112.13.±114.4

15.解：y=J-f+2x+8=J-(x-l)2+9，命題p：OK.令/(x)=Y+元一〃,命

題qc/(l)<o,???命題q：a>2.??,命題P且q為假命題，p或q為真命題，就是p和q

中有且僅有一個真命題.所以實數(shù)a的取值范圍是0或。>3.

16.解：A={x[—1<XW5},⑴當zn=3時，8={x|-l<x<3},則6聲={x|x?-l或13卜

A(和B)={x|34x45}；(2)A={x|-l<x<5)>A6={x[—l<x<4},.,.有

42-2X4-W=0,解得加=8,此時5={x|—2<x<4},符合題意.

17.解：/,(x)=3or2-b.

f'(2)=na-b=0_1

a3,.,.所求的/(x)=a%3-4x+4.

(1)由題意；…°c,,4，解得<

/⑵=8a-2H4=--

3、b=4

(2)由⑴可得f'(x)=A:2-4=(x-2)(x+2).令f\x)=0,得％=2或x=-2,

.?.當％<—2時，r(x)>0；當一2<x<2時，/V)<0；當%>2時，f'(x)>0.

因此，當％=—2時，/(%)有極大值128；當％=2時，/(%)有極小值-g4,

1二

...函數(shù)/(無)=§%一4%+4的圖象大致如圖.由圖可知：

18.解：(1)F(x)=(x2+?)(1-x)=-x3+X1-ax+a.

(2)F(x)=-3x2+2x-a,當xe(-8,+oo)上時，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減.

F(x)--3x2+2x-a<0,xe(-8,+oo)恒成立，.?.△=4—12aW0.解得:

1

。之一.

3

19.解：(1)設(shè)/(x)=32+版+。(。#0),由題設(shè)知：/(0)=c=10,

又/'(%)=2ar+b=2x-5,a=2,b=-5,f(x)-x2-5^+10.

當〃=1*(1,2],6),4=2,

〃=l,xe(2,3],4],a,=l,

4

n=l,xG(n,w+lj,/(x)e(/(?),f(n4-1)],an=/(〃+l)—/(〃)=2〃一4,

2(〃=1)2(〃=1)

/.=<1(n=2)o⑵=<2(n=2),

2n-4(n>3)----------(n>3)

(n-2)(n-l)

S〃=(q+A)+(%+%)+(4+03)-1---h(?！?b〃)

=(<7)+生+。3+?，，+Q")+(4+b2+2+…+匕〃)

={2+1+?[2+(2〃-4)]}+{2+2+心-工)+(:-3+…+(一=----L)}

21223n-2n-\

1

=?—3〃+10-----.

n-\

20.解：(1)f(x)=—1?。?若/(x)=0,貝I」x=-列表如下

xInxe

1

(0,-)(-,1)

Xeee

/(X)+0一—

極大值

/(X)單調(diào)增單調(diào)減單調(diào)減

/(-)

e

-1

(2)在兩邊取對數(shù)，得一ln2>alnx,由于0<xvl,

x

所以，>」一(*)。由⑴的結(jié)果可知，當xe(0,1)時，/(x)</(-)=-e,

In2x\nxe

為使(*)式對所有Xe(0,1)成立,當且僅當上->—e,即a>-eln2.

In2

專題2數(shù)列

常熟外國語學校劉虹

【課標要求】

1.課程目標

通過數(shù)列的教學，使學生認識等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，掌握它們的一些基

本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并能利用它們解決一些實際問題.通過揭示

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，加深對函數(shù)的認識.

2.復習要求

(1)數(shù)列：了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數(shù)

列是一種特殊的函數(shù).理解數(shù)列的通項公式的意義.

(2)等差數(shù)列：理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項公式、前n項和的公式，能

運用公式解決一些簡單問題.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知

識解決相應(yīng)的問題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

(3)等比數(shù)列：理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項公式、前"項和的公式，能

運用公式解決一些簡單問題.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知

識解決相應(yīng)的問題.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

3.復習建議

(1)要以等差、等比數(shù)列為主，以簡單的一般數(shù)列、遞推數(shù)列為輔，重點是等差、等

比數(shù)列的概念、性質(zhì)及應(yīng)用.

(2)處理等差、等比數(shù)列問題時，要充分利用等差、等比數(shù)列中的基本量(首項、公

差、公比等)，同時要重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用.

(3)要注重數(shù)列與函數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何等內(nèi)容的交叉綜合.其中，以函

數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體有著高等數(shù)學背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是高考命題的一

個熱點.

(4)要注重化歸思想的運用.能將一般數(shù)列、遞推數(shù)列化歸為等差、等比數(shù)列，然后

再用等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)去解題.

(5)要注重歸納和類比推理能力的培養(yǎng)，從而提高學生觀察、比較、分析、綜合、抽

象和概括的能力.

(6)要強化數(shù)列模型的應(yīng)用，注意數(shù)學語言、普通語言的理解和轉(zhuǎn)化.

【典型例題】

例1(填空題)

(1)在數(shù)列｛?”｝中，ax=-2,2an+l=2an+3)則.

337

解析：由2a“+|=2%+3得(+]-%=5,｝是等差數(shù)列，=5”-萬.

(2)在等比數(shù)列｛%｝中，若《,=-9,%=-1,則能的值為.

解析：由。5。==9，且%<0得出=.

(3)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比“Xi,且?成等差數(shù)列，則公^?的

2%+%

值為.

解析：由題設(shè)得。3=4+。2，即=4+4%.二q-4-1=。.

又q>0,所以q=匕且.故土幺=L嶼二L.

24+442

(4)一個只有有限項的等差數(shù)列｛〃“｝,它的前5項的和為34,最后5項的和為146,

所有項的和為234,則為=.

解析：設(shè)該數(shù)列的公差為"，則依題意有1%+1°”=34,得4+4=36,又

-104=146

(、_—=234,n=13.從而有q+q=36.%=色=弓=18.

(5)已知等比數(shù)列｛凡｝滿足4>0,〃=1,2,,且生,。2〃一5=22〃5之3),則當〃

時，log24+log,a3++log2=

解析：由%?%._5=22"(〃23)得片=2?”,an＞0,則凡=2",

2

故log2a,+log2%+…+log2a2n_t=1+3+…+(2〃-l)=n

(6)已知｛〃“｝的前n項之和S?=n2-4〃+1,則同+同+…|即＞|=

解析：：；；，則同+同+…|*=-2+(-1)+1+3++15=61.

(7)已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=〃2+2〃(2e7?),且q＜生＜為＜a“＜q,+|〈…，則4

的取值范圍是.

解析：-(<］，義>—3,所以實數(shù)2的取值范圍是(-3,+00).

(8)某地區(qū)有1500萬互聯(lián)網(wǎng)用戶，該地區(qū)某用戶感染了某種病毒，假設(shè)該病毒僅在被

感染的第1小時內(nèi)傳染給另外2個用戶，若不清除病毒，則在第22小時內(nèi)該地區(qū)感染此病

毒的用戶數(shù)為(223<I.5XI07<224).

解析：在第22小時內(nèi)該地區(qū)感染此病毒的用戶數(shù)為1+2+2?+2'++222=223-1.

(9)在等差數(shù)列｛七｝中，色<-1,若它的前n項和5.有最大值，則使1取得最小正

數(shù)的拉二.

解析：設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,則由題設(shè)4<0,由包<-1,可知4。>0,4<0,

。10

且為+叫>0,故、=19(4；4)=］仙>o,4=20m［％,)=20(與+陽)<0,所以“

=19.

(10)在數(shù)列｛q｝中，01=1,=Q〃+C(c為常數(shù)，ne?/0),且6，S，。5成公比不等

于1的等比數(shù)列，設(shè)包二一^,則數(shù)列也｝的前。項和S“=.

44+1

解析：VGn+i-On+c,。產(chǎn)1,c為常數(shù)，/.an=l+(n-l)c..\a2=l+cfa5=l+4c.

又。1,。2,。5成等比數(shù)列，.?.(1+c產(chǎn)=l+4c,解得c=0或c=2.

當C=0,尸為不合題意，舍去..*.C=2.

故an=2n-l.b=---=-------------=—(----------).

a凡+i(2〃-1)(2〃+1)22/2-12〃+1

???S產(chǎn)bl+/?2+…+bn=-[(1—)+(----)++(------------)]

23352n—l2n+l

n

二—1(八1----1--)、=-----.

22/1+12鹿+1

71

例2已知數(shù)列｛勺｝中,a?=2~—(〃22,〃eN*),數(shù)列｛2｝滿足

5??-1

bn=-—.(nGN")

(1)求證：數(shù)列出“｝是等差數(shù)列：

(2)求數(shù)列｛《,｝中的最大項與最小項，并說明理由.

解：(1)bn=-5—=------g-------=—，而％=---(7?>2,neN,)?

4,-12--1""-T%一1