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流體流動微分方程

基本內(nèi)容：掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)※熟悉Navier-Stokes方程了解Euler方程

1第1頁控制體分析

優(yōu)點在于對定常流動，當(dāng)已知控制面上流動相關(guān)信息后，就能求出總力分量和平均速度，而無須深究控制體內(nèi)各處流動詳細(xì)情況，給一些工程問題求解帶來方便。

缺點不能得到控制體內(nèi)各處流動細(xì)節(jié)，而這對深入研究流體運動是非常主要。

這一章中我們將推導(dǎo)微分形式守恒方程。2第2頁

流體流動微分方程包含:連續(xù)性方程運動方程

連續(xù)性方程是流體質(zhì)量守恒數(shù)學(xué)描述。

運動方程是流體動量守恒數(shù)學(xué)描述。二者都是基于流場中點建立微分方程。3第3頁6.1★連續(xù)性方程zyxρvzρvyρvx

連續(xù)性方程反應(yīng)流動過程遵照質(zhì)量守恒?，F(xiàn)取微元體如圖。4第4頁輸出微元體質(zhì)量流量為：輸入微元體質(zhì)量流量：zyxρvzρvyρvx5第5頁則輸出與輸入之差為：微元體內(nèi)質(zhì)量改變率為：6第6頁依據(jù)質(zhì)量守恒原理有：或該式即為直角坐標(biāo)系下連續(xù)性方程。該方程適合用于層流和湍流、牛頓和非牛頓流體。7第7頁對不可壓縮流體，ρ=常數(shù)，有?ρ/?t=0，則連續(xù)性方程為不可壓縮流體連續(xù)性方程形式簡單，應(yīng)用廣泛。很多可壓縮流體流動也可按常密度流動處理。8第8頁在直角坐標(biāo)系中可表示為對平面流動(柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下連續(xù)性方程自學(xué)。)9第9頁例題：不可壓縮流體二維平面流動，y方向速度分量為試求x方向速度分量，假定x=0時，vx=0。10第10頁解：不可壓縮流體平面運動滿足連續(xù)性方程由已知條件得積分得vy=y2-y-x11第11頁依據(jù)邊界條件x=0時vx=0代入上式得故有所以12第12頁例題：不可壓縮流體速度分布為

u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=0若此流場滿足連續(xù)性方程和無旋條件，試求A，B，C，D所滿足條件。不計重力影響。13第13頁解：由連續(xù)方程可知則有又因為流動無旋，則有則有u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=014第14頁練習(xí)：有一個三維不可壓流場，已知其x向和y向分速度為求其z向分速度表示式。當(dāng)x=0，z=0時，vz=2y。15第15頁6.2不可壓縮粘性流體運動微分方程在運動著不可壓縮粘性流體中取微元平行六面體流體微團，作用在流體微元上各法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所表示。16第16頁zyxσxx

xy

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zxfxfzfy?

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xz+?xdx?σxxσxx+?xdx?

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zx+?zdz?σzzσzz+?zdzdzdydx?

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yz+?ydy?σyyσyy+?ydy17第17頁

對流體微團應(yīng)用牛頓第二定律，則沿x軸方向運動微分方程為18第18頁化簡后得同理得——以應(yīng)力表示運動方程19第19頁將切應(yīng)力和法向應(yīng)力關(guān)系式代入上式第一式并整理得：20第20頁同理得——不可壓縮粘性流體運動微分方程，也叫Navier-Stokes方程，簡稱N-S方程。其中21第21頁

法國工程師和物理學(xué)家。尤其對力學(xué)理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中納維爾.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯名字命名。他首次建立了能夠用于工程實際彈性理論數(shù)學(xué)表示式。1826年，他提出彈性模量概念。納維爾通常被認(rèn)為是當(dāng)代結(jié)構(gòu)分析奠基人。納維爾最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是N-S方程，流體力學(xué)基本方程?？藙诘?路易.納維爾ClaudeLouisNavier1785~183622第22頁喬治.斯托克斯GeorgeGabrielstokes1819~1903英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1845年斯托克斯在《論運動中流體內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和運動理論》中給出粘性流體運動基本方程組，后稱納維-斯托克斯方程，流體力學(xué)中最基本方程組。

斯托克斯在數(shù)學(xué)方面以場論中關(guān)于線積分和面積分之間一個轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。

納維從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運動方程推廣，1821年取得粘性流體運動方程。1845年斯托克斯從連續(xù)系統(tǒng)力學(xué)模型和牛頓關(guān)于粘性流體規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運動基本方程組，后稱納維-斯托克斯方程。

23第23頁N-S方程理想流體γ=0理想流體歐拉運動微分方程定常流動歐拉平衡微分方程24第24頁萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）

1707～1783

瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)表示式人，比如：y=F(x)(函數(shù)定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)先驅(qū)者之一。歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻(xiàn)。

25第25頁①②③④⑤①非定常項②對流項③單位質(zhì)量流體體積力④單位質(zhì)量流體壓力差⑤擴散項或粘性力項N-S方程矢量形式為各項意義為：26第26頁

因為引入了廣義牛頓剪切定律，故N-S方程只適合用于牛頓流體，處理非牛頓流體問題時可用以應(yīng)力表示運動方程。

Navier-Stokes方程是不可壓流體理論中最根本非線性偏微分方程組，是描述不可壓縮粘性流體運動最完整方程，是當(dāng)代流體力學(xué)主干方程

。27第27頁6.3基本微分方程組定解條件

N-S方程有四個未知數(shù)，vx、vy、vz和p，將N-S方程和不可壓縮流體連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可經(jīng)過積分求解，得到四個未知量。普通而言，經(jīng)過積分得到是微分方程通解，再結(jié)合基本微分方程組定解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才能得到詳細(xì)流動問題特解。28第28頁1.初始條件

對非定常流動，要求給定變量初始時刻t=t0空間分布顯然，對于定常流動，不需要初始條件。29第29頁2.邊界條件

所謂邊界條件，是包圍流場每一條邊界上流場數(shù)值。不一樣種類流動，邊界條件也不相同。流體流動分析中最常碰到三類邊界條件以下：（1）固體壁面粘性流體與一不滲透，無滑移固體壁面相接觸，在貼壁處，流體速度若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫度連續(xù)30第30頁（2）進(jìn)口與出口

流動進(jìn)口與出口截面上速度與壓強分布通常也是需要知道，如管流。（3）液體-氣體交界面

液體-氣體交界面邊界條件主要有兩個：

運動學(xué)條件，即經(jīng)過交界面法向速度應(yīng)相等。

壓強平衡條件，即液體壓強必須與大氣壓和表面張力相平衡。31第31頁

依據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到符合實際流動求解結(jié)果。但實際上，只有極少數(shù)問題可求出理論解，通常采取數(shù)值解法。32第32頁例題：不可壓縮粘性流體在距離為b兩個大水平板間作定常層流流動，假定流體沿流動方向壓強降已知，求:（1）兩板固定不動;（2）下板固定上板以等速U沿流動方向運動；兩板間流體運動速度分布。流向yxb33第33頁解：因為流體水平運動，則有因為流動是一維，有vy=vz=0；因為流動是定常，有34第34頁水平流動、一維、穩(wěn)態(tài)流動35第35頁所以N-S方程可簡化為由連續(xù)方程可得36第36頁將式(3)代入式(1)得思索題：為何上式右端