高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：B．2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B.10 C.19 D.38【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以．故選：C．3.下列求導(dǎo)的運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：C4.已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，則（）A. B. C.512 D.1024【答案】A【解析】在等比數(shù)列中，，所以，又，解得，設(shè)的公比為q，則，解得，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以．故選：A5.已知點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)F作，交直線m于點(diǎn)E，由拋物線的定義可知，，所以當(dāng)P在線段上時(shí)，取得最小值，．故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)P到直線的最大距離，所以面積的最大值為．故選：C.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因，所以不等式可變?yōu)?，即，所以，即，所以不等式的解集為．故選：D．8.鄭國渠是秦王贏政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的堤壩．如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為l，點(diǎn)A，B分別在堤壩斜面與地面上,過點(diǎn)A，B分別作直線l的垂線,垂足分別為C，D,若，二面角的大小為，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】因，所以，所以．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C表示橢圓B.當(dāng)時(shí)，曲線C表示雙曲線C.曲線C可能表示兩條直線D.曲線C不可能表示拋物線【答案】BD【解析】若曲線C表示橢圓，則，解得，故A錯(cuò)誤；若曲線C表示雙曲線，則，解得，故B正確；曲線C不可能表示兩條直線，故C錯(cuò)誤；無論m取何值，曲線C都不可能表示拋物線，故D正確．故選：BD．10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值【答案】AD【解析】由圖可知，所以函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值，故D正確．故選：AD.11.將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如：………該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，記這個(gè)數(shù)的和為，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，解得（舍去），故A正確；，，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的圖象在處的切線方程是____________．【答案】【解析】由已知，得，所以，所以所求切線方程為，即.故答案為：.13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則____________．【答案】2500【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是常數(shù)列，因?yàn)椋?，所?故答案為：2500.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支和左支分別交于點(diǎn)A，B，若的面積為，且的面積是面積的2倍，則雙曲線C的離心率為____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，即，設(shè)，由的面積是面積的2倍，得，則，在中，，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，得，即，所以雙曲線C的離心率為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知與只有一條公切線l，且公切點(diǎn)為M，點(diǎn)P是l上異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作的另一條切線，切點(diǎn)為N．（1）求a的值及直線l的方程；（2）若是等腰直角三角形，求直線的方程．解：（1）可化為，圓心，半徑，可化為，圓心，半徑．因?yàn)榕c只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，，即，解得．兩圓相減，得公切線l的方程為，即．（2）由題意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，由（1）可知直線的斜率，所以直線的斜率．設(shè)直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，解得或．所以直線的方程為或．16.已知數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）因?yàn)?，所以．其中．令，，兩式相減，得．所以，所以．17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)且，都有．解：（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）不妨設(shè)，則，要證對(duì)，都有，只需證，即需證．構(gòu)造函數(shù)，則要證，需證函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在上為增函數(shù)成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)且，都有．18.已知橢圓C中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸與y軸,且C經(jīng)過點(diǎn)．（1）求C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若F是C的右焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)．求四邊形面積的取值范圍．解：（1）設(shè)C的方程為，將點(diǎn)代入，得解得所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，，當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)，，所以四邊形的面積．當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由題意得．所以，同理，四邊形的面積．令，則，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以．綜上所述，四邊形面積的取值范圍．19.在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用（其中）表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點(diǎn)在直線l上，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn)滿足，化簡得直線l的方程為.而在空間直角坐標(biāo)系中.任何一個(gè)平面的方程都可以表示成（其中，且），類似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量也可以確定一個(gè)平面．（1）若點(diǎn)，求平面的方程；（2）求證：是平面的一個(gè)法向量；（3）已知某平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過點(diǎn),平面的方程為,求平面與平面夾角的余弦值．解：（1），設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則令，得，所以．設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由，得，所以平面的方程為．（2）記平面的方程為，在平面上任取一條直線，直線上任取兩點(diǎn)，則有因?yàn)?，所?/p>