試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學二輪復習備考相似三角形綜合常見題型練1．已知：如圖，在中，和是中線．(1)求證：．(2)、的面積分別表示為、，則___________．2．【問題背景】在中，，是上一點，是延長線上一點，連接，，且．【問題探究】（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，若，求證：；【拓展遷移】（3）如圖2，延長交于點，若，直接寫出的值．3．如圖，在中，，E為上一點，作，與交于點，經過點A、E、F的與相切于點，連接．(1)求證：平分；(2)若，求及的長．4．如圖，內接于，為的直徑，延長至點D，使得．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．5．【問題】如圖①，某數(shù)學興趣小組在學習等腰三角形的相關知識時發(fā)現(xiàn)在等邊中，平分，易得．（不需要證明）．【探究】如圖②，該數(shù)學興趣小組將圖①的等邊改為任意平分，通過觀察、測量，猜想仍然成立．為了證明提出的猜想，通過交流討論，得到了如下證明方法：過點作交延長線于點，利用與相似證明結論．請你參考上面的方法，幫助該數(shù)學興趣小組完成證明．【應用】如圖③，在中，和是的角平分線，相交于點，則的值為______．6．在中，，是邊上的高，射線與相交于點E，將繞點D逆時針旋轉與相交于點F，分別過E，F(xiàn)作，，交于點P，令．(1)證明推斷：如圖1，連接，若．①推斷：四邊形的形狀是________；②求證：；(2)類比探究：如圖2，若．探究是否仍然成立，并證明你的結論；(3)拓展應用：如圖3，在（2）的條件下，連接．若，，，求線段的長．7．【問題背景】如圖，等腰中，，點為的中點，過點作，交于，將繞點順時針旋轉，連結，如圖①．【基本感受】（1）當時，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；【深入研究】（2）當時，如圖②，與滿足怎樣的數(shù)量關系？請給出證明；（3）在（2）的條件下，若，在旋轉過程中，當三點共線時，求的面積．8．如圖1，在四邊形中，，連接交于點，且滿足．(1)求證：；(2)如圖2，已知，過點作于點．①求的值；②如圖3，連接，若，求的長．9．已知：矩形的對角線與以為圓心為半徑的圓弧相交于點，過點作的垂線分別與直線、、交于點、、．(1)當點在邊延長線上時，如圖所示．①聯(lián)結，與交于點，求證：；②若，求的比值；(2)聯(lián)結，若為等腰三角形，求的值．10．如圖1所示，在正方形中，點是對角線上一點，線段繞點順時針旋轉至，連接．(1)求證：；(2)如圖2所示，連接，直線交于點，交于點，若，求證：．11．如圖，一棵樹的高度為5米，下午某一個時刻它在水平地面上形成的樹影長為3米，現(xiàn)在小明想要站這棵樹下乘涼，已知他的身高為1.5米，那么小明最多可以離開樹干多少米才可以不被陽光曬到？（不考慮其他情況）12．如圖，在中，過點作，使邊交于點．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．13．如圖，在與中，，，連接，．(1)求證：；(2)若，求與的周長比．14．【問題背景】（1）如圖①，在正方形中，點E為對角線上一點，連接并延長交于點F，在邊上取一點G，使得，連接，求證：；【思考探究】（2）如圖②，點E為正方形的邊上一點，連接，過點C作于點F，在邊上取一點G，使得，連接、，求證：；【拓展延伸】（3）如圖③，點E為菱形的邊上一點，連接，點F在線段上，連接，，在邊上取一點G，使得，連接、，若點G為的中點，的面積4，求的面積．15．如圖，在邊長為4的正方形中，為邊上一點．(1)如圖1，將射線繞點順時針旋轉后交的延長線于點，求四邊形的面積；(2)如圖2，若是的中點，是邊上一點，將線段繞點順時針旋轉后得到線段，點恰好落在射線上，求證：；(3)如圖3，若，點在正方形的對角線上，且，求的長度．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學二輪復習備考相似三角形綜合常見題型練》參考答案1．(1)見解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由等腰三角形的性質得出，由已知條件得出，證明，得出對應邊相等，即可得出結論；（2）根據(jù)三角形中位線判定與性質得出，，即可判定，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】（1）證明：，，、是中線，，，，在和中，，，；（2）解：∵和是中線，∴點E、D是、的中點，，，，．故答案為：．2．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由，可知，過點作，則，可得，則，再證，即可證得，可得結論；（2）由（1）可知，得，先證，得，結合，可證得結論；（3）過點作交延長線于，先證，得，，再證四邊形為平行四邊形，得，，結合（1）可得，再證明，得，設，則，求得，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，過點作，則，∴，則，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）由（1）可知，∴，∵，∴，∴，∵，則，∴，即；（3）過點作交延長線于，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，則，∴四邊形為平行四邊形，∴，，由（1）可知，則，∴，則，∴，則又∵，∴，∴，設，則，解得：（負值舍去），∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質等知識點，添加輔助線構造全等三角形及相似三角形是解決問題的關鍵．3．(1)見解析(2)，【分析】（1）連接，根據(jù)圓切線性質，推出，根據(jù)平行線性質，推出，根據(jù)垂徑定理得，即得；（2）連接，根據(jù)平行線性質，得到，可得，得，得到，，可得，得，得到，；．【詳解】（1）證明：連接，∵與相切于點，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：連接，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴，∴．【點睛】本題主要考查圓與三角形綜合．熟練掌握圓切線性質，垂徑定理，角平分線有關計算，平行線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定及性質，是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，等邊對等角得到，進而得到，圓周角定理，得到，進而得到，等量代換得到，即，即可得證；（2）根據(jù)，得到，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，則：，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，即：，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即：，解得：或（舍去）；∴．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．5．【探究】見解析；【應用】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，三角形角平分線，構造平行線得到相似三角形是解題的關鍵．【探究】過點作交延長線于點，利用與相似即可證明結論．【應用】應用【探究】中的結論，可求得，再利用即可求解．【探究】證明：如圖，過點作交延長線于點，則；∵平分，∴，∴，∴；∵，，∴，∴，∴；【應用】解：∵平分，∴由【探究】中的結論知：，即，解得：；∵平分，∴，即，故答案為．6．(1)①正方形；②見解析(2)仍然成立(3)【分析】（1）①證明，得出，根據(jù)，，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，證明四邊形為菱形，根據(jù)，證明四邊形為正方形；②根據(jù)正方形的性質得出，，求出，根據(jù)，得出；（2）證明，得出，證明，得出，即，求出；（3）連接交于O，交于M，連接，在中，，解直角三角形得出，，證明，得出，，求出，，證明四邊形是矩形，得出，證明，說明垂直平分，求出，，，證明，得出，求出，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵是邊上的高，∴，，，又∵，∴，∵將繞點D逆時針旋轉與相交于點F，∴，∴，∴，∴，∴．

∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形；故答案為：正方形；②證明：∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：結論：仍然成立．理由如下：∵是邊上的高，，∴，，∴．∵將繞點D逆時針旋轉與相交于點F，∴．∴，∴，∴，∴，

∵，，∴，∴，即，∴，由（1）①知，四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，；（3）解：連接交于O，交于M，連接，如圖所示：在中，，∴設，，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，解得：，∴，，根據(jù)解析（2）可知：，∴，，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∵，∴垂直平分，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質，矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質，作出輔助線．7．（1）．理由見解析；（2）；理由見解析；（3）的面積為或．【分析】（1）證明，均為等邊三角形，證明，即可得；（2）證明，均是等腰直角三角形，證明，即可得；（3）分兩種情況討論，利用等腰直角三角形的性質結合解直角三角形，求解即可．【詳解】解：（1）．理由如下：∵，∴，即，∵，∴為等邊三角形，∴；∵點為的中點，過點作，交于，∴，∴為等邊三角形，∴；∵，均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴；（2）；理由如下：作于點，∵，∴，∵，∴，設，則，，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，同理，是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，，，如圖，當三點共線時，作交的延長于點，由旋轉的性質知，在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；如圖，當三點共線時，作于點，同理，，，∴，∴；綜上，的面積為或．【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、解直角三角形、二次根式的混合運算等，熟練掌握相關性質與判定定理是解題關鍵．8．(1)見解析(2)①；②7【分析】（1）證明，即可由相似三角形的性質得出結論；（2）①先證明，得，從面可得，則，根據(jù)ABP，則，然后根據(jù)，則，即可求解；②過點作交于點，連接，證明，得，則，再證明，則，然后證明，得，則，從而得，則，求得，則，由求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即．（2）解：①∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由(1)知，∴，，∴，∴，即∵∴，∵于點，，∴，∴，∴，∵，∴；②過點作交于點，連接則，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，等腰直角三角形，平行線間的判定與性質，三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．(1)①見解析；②(2)或1或【分析】（1）證明，得出，即可證明；②根據(jù)，設，，那么，根據(jù)矩形的對邊相等，得出，證明，求出，在中，勾股定理求出，即可求出．（2）若為等腰三角形，分為當時，可證為等邊三角形，求出，即可求解；當時，可證四邊形為正方形，得出，即可求解；當時，設，，可證，得出，求出，在中，勾股定理列方程得出，即可求解．【詳解】（1）解：①四邊形為矩形，，，，在和中，，，，，在圓中，，；②，設，，那么，矩形的對邊相等，，∵，∴，，，，在中，，即，，．（2）解：若為等腰三角形，當時，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，在和，，，，又∵，，連接，由（1）①可知，，，即，在和中，，，，，，，∴為等邊三角形，，，；當時，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，則四邊形為正方形，，；當時，設，，∴,∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，在中，，，整理得：，，．綜上所述，的值為或1或．【點睛】該題考查了相似三角形的性質和判定，角的正切，勾股定理，矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，圓心角定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．10．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質．（1）根據(jù)旋轉的性質得，，根據(jù)正方形的性質得，，進而得，即可證明，得，進而得，即可得出結論；（2）先根據(jù)正方形的性質和等腰直角三角形的性質得出，再證明，得，即可得，證明得，進而可得結論．【詳解】（1）證明：∵線段繞點順時針旋轉至，∴，，∵為正方形，∴，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴；（2）證明：如圖，連接，∵為正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴．11．2.1米【分析】本題考查了平行投影，在同一時刻時，樹的高度與影長與人的高度與影長成正比列比例式，求出此時人的影長，計算出最多離樹干的長度．【詳解】解：設小明在同一時刻在水平地面上形成的影長為米，則，解得，經檢驗，是原方程的根.，，答：小明最多可以離開樹干2.1米才可以不被陽光曬到．12．(1)證明過程見詳解(2)【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握其判定方法和性質的運用是關鍵．（1）根據(jù)兩個角對應相等，兩三角形相似即可求證；（2）根據(jù)相似三角形的性質得到，即，由即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴．（2）解：∵，∴，∴，即，∴，∴．13．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．（1）首先證明，由相似三角形的性質證明，，進而可得，然后利用“兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似”證明即可；（2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，即，，，；（2）解：，，，，由（1）可知，，與的周長比為：．14．（1）見解析；（2）見解析；（3）16【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，利用“兩邊對應成比例且夾角相等，兩