第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎(chǔ)練 2題型一：對數(shù)式的運算 2題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用 3題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題 5題型四：比較對數(shù)式的大小 6題型五：解對數(shù)方程或不等式 8題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 10題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 12題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題 15重難創(chuàng)新練 18真題實戰(zhàn)練 29題型一：對數(shù)式的運算1．若，則.【答案】1【解析】因為，所以，所以.故答案為：1.2．（2024·陜西安康·模擬預測）若，，則.【答案】1【解析】因為，，所以，，所以，，因此，.故答案為：13．求值：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）.4．（2024·河南鄭州·三模）已知，則的值為．【答案】/0.5【解析】因為，所以，可得，即，所以，即，所以.故答案為：.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用5．（2024·高三·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.故選：B6．已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，由函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，由題意知，也即,由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖像關(guān)于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,故關(guān)于對稱，故.故選：B.7．如圖所示的曲線分別是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則，，，，1，0的大小關(guān)系為（用“＞”號連接）．

【答案】【解析】由題圖可知，，，．直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標從左向右依次為，，，，故答案為：8．（2024·浙江紹興·模擬預測）若函數(shù)的圖象不過第四象限，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，其定義域為，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可得，要使函數(shù)的圖象不過第四象限，則，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.9．（2024·云南昆明·模擬預測）已知是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A．1012 B．2024 C．4048 D．8096【答案】B【解析】由得，由得，設(shè)點的坐標為，點的坐標為，又與的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象也關(guān)于直線對稱，則點，關(guān)于直線對稱，即，得，故選：B．題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題10．函數(shù)的圖像恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，令，解得，所以，即函數(shù)恒過點.故選：D11．函數(shù)恒過定點，則的值（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】由函數(shù)恒過定點，可得，所以，解得.故選：C.12．函數(shù)的圖象恒過點P，若角的終邊經(jīng)過點P，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，即，所以.故選：B.題型四：比較對數(shù)式的大小13．（2024·寧夏銀川·二模）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以.故選：A．14．（2024·山東聊城·三模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A15．（2024·安徽·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.故選：A.16．（2024·云南·模擬預測）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當時，，若，，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，所以在上單調(diào)遞增；又有為上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.由于我們有，即，故.而，，，故.故選：C.17．（2024·全國·模擬預測）已知，，，那么，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則，即，，即，，故故選：B題型五：解對數(shù)方程或不等式18．（2024·高三·上海虹口·期中）方程的解為．【答案】/【解析】由題，.故答案為：.19．關(guān)于的方程的解為．【答案】【解析】由可得，即，因為，可得，故.所以，方程關(guān)于的方程的解為.故答案為：.20．不等式的解集.【答案】【解析】，故原不等式化為，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：21．不等式的解集為.【答案】【解析】因為，則，，即，故解集為.故答案為：.22．不等式的解集為．【答案】【解析】由可得，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：23．不等式的解集為．【答案】【解析】因為，可得對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則原不等式等價于，解得，即原不等式的解集為.故答案為：.題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題24．的最小值為.【答案】1【解析】，當且僅當，即時，等號成立，所以，故的最小值為1.故答案為：1.25．已知對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則．【答案】2【解析】由已知可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案為：2.26．函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】由題意，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則當時該函數(shù)取到最大值，故答案為：27．設(shè)函數(shù)且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值與最小值之差為1，求的值．【解析】（1）由可得，解得，即，則，即，即，故不等式的解集為；（2）由于在上的最大值與最小值之差為1，故，即或，即的值為或.28．已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域及解析式；(2)若，函數(shù)的最大值比最小值大2，求的值.【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，可得：，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的定義域為，由可得：，所以，此時，是奇函數(shù)，符合題意.（2），①當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，解得.②當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，解得.綜上，或.題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題29．已知函數(shù)，若對任意，總存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】對任意，總存在，使成立,對成立當時，，在上是增函數(shù)，當時，，，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.30．已知函數(shù)且．(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且存在，使得成立，求的最小整數(shù)值．【解析】（1）由函數(shù)，設(shè)，由且，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，又由函數(shù)定義域可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）由，可得，又由，可得，所以，即，因為存在，使得成立，可得，所以實數(shù)的最小整數(shù)值是．31．已知函數(shù)，且．(1)若，求方程的解；(2)若對，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）令，則，當時，等價于，即，得，有或，則或，所以或.（2）法一：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，令，對稱軸，①當時，即，，得.所以.②當，即，，得.所以.綜上所述，的取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當時，易知在上單調(diào)遞增，且當時，，所以此時沒有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當時，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，即當時，不等式恒成立.③當時，由基本不等式得，當且僅當時取等號，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，由，得，①當時，恒成立，R；②當，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當，，所以在上恒成立，令，，則，當且僅當，即，，時等號成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.32．已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由已知函數(shù)需滿足，當時，函數(shù)的定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即在上恒成立，即，（舍），當時，，函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，此時，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，綜上所述：；（2）在和上單調(diào)遞減，證明如下：，定義域為，設(shè)，且，則因為，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，同理可證，所以在上單調(diào)遞減；（3）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當時，，當時，，時，，所以當時的值域，又，設(shè)，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即.題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題33．設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：設(shè)交于點，交于點，由于的圖象關(guān)于直線對稱，而的交點為，所以，注意到函數(shù)的對稱軸為直線，即，且二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線方程，從而.故選：B.34．（2024·高三·河北邢臺·期中）已知，且的圖象過點，又.(1)若成立，求的取值范圍；(2)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為的圖象過點，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，而在上單調(diào)遞減，由可得：所以解得，所以的取值范圍為.（2）因為，所以對于任意恒成立等價于，因為.令，則，所以，當，即，即時，，所以.35．（2024·高三·安徽·期中）已知，且是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的最大整數(shù)值．【解析】（1）函數(shù)定義域為R，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，即，則有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，則，設(shè)，依題意有，由基本不等式，，當且僅當，即時等號成立，令，則，有，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則有，得，所以實數(shù)的最大整數(shù)值為5.36．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，在中任取一個實數(shù)，都有，并且.因此，是奇函數(shù).（2）等價于即在上有解.記，因為在上為嚴格減函數(shù)，所以，，，故的值域為，因此，實數(shù)的取值范圍為.1．（2024·高三·廣西·開學考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為，所以，因為，所以，所以，故選：A.2．（2024·遼寧·三模）已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，所以，即，將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，因為所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，所以，所以，又且，解得，故選：D3．（2024·河北衡水·模擬預測）設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】的定義域為，關(guān)于原點對稱，故所以，故或（舍去），故選：D4．（2024·全國·模擬預測）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，故，，在上恒成立，等價于不等式即在上恒成立，故，（點撥：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以），故，即，又，故．故實數(shù)的取值范圍是．故選：B5．（2024·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，且，則，即.故選：C.6．（2024·福建莆田·三模）已知，點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，所以的最小值為點Р到直線距離的最小值的兩倍.設(shè)P（，），則.設(shè)，.由得.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，則的最小值是.故選:D7．已知是定義在上的函數(shù)，則給定上的函數(shù)（

）A．存在上的函數(shù)，使得B．存在上的函數(shù)，使得C．存在上的函數(shù)，使得D．存在上的函數(shù)，使得【答案】D【解析】對A，，兩邊同取反函數(shù)，則，即是的反函數(shù)，不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)，如，，故A錯誤；對B，，得，即是的反函數(shù)，故B錯誤．對C，令，則，即與有交點，這個不一定，故C錯誤．對D，只需要就可以滿足，故D正確.故選：D．8．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，對于A，易得，所以，故A成立.對于B，因為，所以，故B成立.對于C，，當且僅當時，等號成立，顯然等號不成立，所以，故C不成立.對于D，因為且，所以，故D成立.故選：C.9．（多選題）（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼腄．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【解析】由題意得，故有，左右同時取對數(shù)得，故得，故A錯誤，當時，，故B錯誤，而當時，，得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確，由題意得，化簡得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD10．（多選題）（2024·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因為，所以，對A選項，，所以，故A正確；對B選項，，所以，故B選項不正確；對C選項，因為，，所以，而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；對D選項，,故D正確.故選：AD11．（多選題）（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，則使得“”成立的一個充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對于A，因為，，故故A選項正確；對于B，取，此時滿足，但，B選項錯誤；對于C，可得：，則，因為，即所以，因為函數(shù)在不單調(diào)，所以C選項錯誤；對于D，由可知，，因為，所以，故D選項正確，故選：AD．12．（多選題）（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，在這里，所以嚴格來說有，故B正確；對于C，，在這里，所以嚴格來說有，故C正確；對于D，，而，定義，則，從而單調(diào)遞增，所以，所以，故D正確.故選：ABCD.13．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則．【答案】/0.75【解析】函數(shù)的定義域為，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得的定義域關(guān)于數(shù)對稱，則，此時必有，即，解得，此時，因此函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即滿足題意，所以.故答案為：14．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)則函數(shù)有個零點．【答案】7【解析】令，則，設(shè)，則等價于，則函數(shù)的零點個數(shù)問題即為解的個數(shù)問題．二次函數(shù)，其圖像開口向上，過點，對稱軸為，最小值為，由題意得作出函數(shù)的圖像如圖所示．由圖可知有3個根，當時，，即；當時，，即.則對于，當時，;當時，，此時共有3個解．對于，此時有1個解，，即有2個解．對于，此時有1個解，，即無解．因此，此時函數(shù)有7個零點．故答案為：7.15．已知函數(shù)，若，則的最小值為．【答案】【解析】，若，不妨設(shè)，則，所以，即，所以，當且僅當，時，等號成立．故答案為：．16．（2024·高三·青海西寧·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)，則可看作由復合而成，由于在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在區(qū)間上恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得，故a的取值范圍為，故答案為：17．（2024·陜西·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的零點．【解析】（1）依題意，所以，由得，解得，所以的定義域為.（2），則，所以的定義域為，令得，所以，，則.18．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，則，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故，當時，，符合上式，綜上，所以的解析式為.（2）當時，，因為，所以，所以，所以，由對稱性可知，當時，，當時，，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是．19．已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè)，，若對任意的，存在，使得，求的取值范圍.【解析】（1）因為是偶函數(shù)，所以，即，，，，，，，，所以，即.（2），因為對任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.1．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，，即，所以．故選：C.2．（2024年天津高考數(shù)學真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：B3．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故4．（2021年天津高考數(shù)學試題）若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】，，.故選：C.5．（2021年天津高考數(shù)學試題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，.故選：D.6．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即.故選：C.7．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.8．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，當時，，則.故選：C.9．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅲ））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.10．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以.故選：A.11．（2020年天津市高考數(shù)學試卷）設(shè)，則的大小關(guān)系