PAGE1-第三節(jié)平行關(guān)系[考綱傳真]1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點，相識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡潔命題．1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α,aα,l∥a))?l∥α性質(zhì)定理假如一條直線與一個平面平行，那么過該直線的隨意一個平面與已知平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,aβ,α∩β＝b))?a∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∥β,b∥β,a∩b＝P))?α∥β性質(zhì)定理假如兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥beq\o([常用結(jié)論])1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥ B．3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線． ()(2)假如一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． ()(3)假如兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面． ()(4)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行，則a∥α. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿意a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿意a∥b，a∥α，bα，則b∥αD[A錯誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交．]3．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線都與β平行B．直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C．α內(nèi)的任何直線都與β平行D．直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥αC[在選項A中，α內(nèi)有多數(shù)條直線都與β平行，α與β有可能相交，故選項A錯誤；在選項B中，直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則α與β相交或平行，故選項B錯誤；在選項C中，α內(nèi)的任何直線都與β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故選項C正確；在選項D中，直線a在α內(nèi)，直線b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α，則α與β相交或平行，故選項D錯誤．故選C.]4．已知直線l∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有多數(shù)條，不肯定在平面α內(nèi)D．有多數(shù)條，肯定在平面α內(nèi)B[過直線l和點P作一個平面β與α相交于m，∵l∥α，∴l(xiāng)∥m，且mα，若n也是過點P且平行于l的直線，則m∥n，這與m∩n＝P相沖突，故選B．]5．(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]與線、面平行相關(guān)命題的判定1．平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，aα，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，則a∥α，a∥β，故解除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故解除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C.故選D．]2．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()①②③④A．①③ B．②③C．①④ D．②④C[對于圖形①，易得平面MNP與AB所在的對角面平行，所以AB∥平面MNP；對于圖形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．故選C.][規(guī)律方法]與線、面平行相關(guān)命題的判定，必需熟識線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，特殊留意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形．直線與平面平行的判定與性質(zhì)?考法1直線與平面平行的判定【例1】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點．(1)證明：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF；(3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC.[證明](1)由已知四邊形ABCD為菱形，又O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點，又E為PD的中點，所以O(shè)E∥PB．又OE平面PAB，PB平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB．(2)過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O.因為EG∥FD，EG平面BDF，F(xiàn)D平面BDF，所以EG∥平面BDF，因為底面ABCD是菱形，O是AC的中點，又因為E為PD的中點，所以G為PF的中點，因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點，所以O(shè)F∥CG.因為CG平面BDF，OF平面BDF，所以CG∥平面BDF.又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF.(3)連接AM，并延長，交BC于點Q，連接PQ，因為M為△ABC的重心，所以Q為BC中點，且eq\f(AM,MQ)＝eq\f(2,1).又AF＝2，所以eq\f(AF,FP)＝eq\f(2,1).所以eq\f(AM,MQ)＝eq\f(AF,FP)，所以MF∥PQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC，所以FM∥平面PBC.?考法2線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB．求證：四邊形EFGH是矩形．[證明]∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．[規(guī)律方法]1.證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)．2．利用判定定理判定線面平行，留意三條件缺一不行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面找其交線．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點，E是PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：連接BD，設(shè)BD交AC于O，連接EO，因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點，又E為PD的中點，所以EO∥P B．又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)PC的中點G即為所求的點．證明如下：連接GE，F(xiàn)G，∵E為PD的中點，∴EG綊eq\f(1,2)CD；又F是AB的中點，∴AF綊eq\f(1,2)CD，∴AF綊EG，∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴FG∥AE，又FG平面AEC，AE平面AEC，∴FG∥平面AEC.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB．∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母題探究](1)在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.(2)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．[證明](1)如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B．又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.(2)如圖所示，連接A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D．[規(guī)律方法]證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．(4)利用“假如兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.[證明](1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點O，連接AE，則AE必過點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因為BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.因為DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因為BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因為DE∩BD＝D，BD，DE平面BDE，所以平面BDE∥