第一章習(xí)題1.1何謂布喇菲格子？試畫出NaCl晶體的結(jié)點所構(gòu)成的布喇菲格子。答：所謂布喇菲格子是指晶體由完全相同的原子組成，原子與晶格的格點相重合，而且每個格點周圍的情況都一樣。（Bravais格子）氯化鈉結(jié)構(gòu)：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的布氏格子套構(gòu)而成的復(fù)式格子。1.2為何金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？答：金剛石晶胞中由于位于四面體中心的原子和頂角原子價鍵的取向各不相同（即中心原子和頂角原子周圍的情況不同），所以是復(fù)式格子，這種復(fù)式格子是兩個面心立方格子套構(gòu)而成的。1.3對于六角密堆積結(jié)構(gòu)，試證明：。如果明顯大于此值，則可認(rèn)為是由原子密排面所組成，但這些平面之間是疏松堆積的。解：如圖：底面原子及與體心原子之間均緊密接觸，有：c/2a2r，由此可得，c/2a2r若，則可把晶體視為由原子密集平面組成，這些面是疏松堆積的。1.4金屬Na在273K因馬氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏逊e結(jié)構(gòu)，假定相變時金屬的密度維持不變，已知立方相的晶格常數(shù)a=0.423nm，設(shè)六角密堆積結(jié)構(gòu)相的c/a維持理想值，試求其晶格常數(shù)。解：體心立方每個晶胞包含2個原子，一個原子所占的體積為，單位體積內(nèi)的格點數(shù)為六角密堆積每個晶胞包含6個原子，一個原子所占的體積為因為密度不變，所以，即：1.5如將等體積的剛球分別排成簡立方、體心立方、面心立方和六角密積的結(jié)構(gòu)，設(shè)表示剛球體積與總體積之比，試針對不同的結(jié)構(gòu)求。解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題中的設(shè)為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度為（1）對簡立方，任意一個原子球有6個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則有，晶胞內(nèi)包含一個原子，所以有：（2）對體心立方，任意一個原子球有8個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則體心原子與處在8個頂角位置處的原子球相切，因此，對角線長度為，晶胞體積為，晶胞內(nèi)包含兩個原子，所以有：（3）對面心立方，任意一個原子球有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面角處4個原子球相切，因此，面對角線長度為，晶胞體積為，晶胞內(nèi)包含四個原子，所以有：（4）對六角密積，任意一個原子球有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面上其它6個原子球相切，因此有，由第3題知，，晶胞體積為，晶胞內(nèi)包含兩個原子，所以有：1.6若某晶體的基矢為，試問該晶體為何種結(jié)構(gòu)？解：方法1由原胞體積可推斷出該晶體具有體心立方結(jié)構(gòu)方法2通過坐標(biāo)變換，由已知的三個基矢構(gòu)成三個新的基矢，即由此可推斷出該晶體具有體心立方結(jié)構(gòu)1.7畫出體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬在（100），（110）和（111）面上的原子排列。答案見課件對下圖所示的二維布喇菲格子，求（1）和（2）所代表的兩晶列的晶向指數(shù)。解：取格點O為原點，和為原胞的基矢，則（1）所代表的晶列上離原點最近的格點位矢，故該晶列的晶向指數(shù)為（2）所代表的晶列上離原點最近的格點位矢，故該晶列的晶向指數(shù)為對下圖所示的三維布喇菲格子，求OA晶列的晶向指數(shù)。解：取格點O為原點，和和為原胞的基矢，則OA晶列上離原點最近的格點的位矢為，故該晶列的晶向指數(shù)為1.10對下圖所示的布喇菲格子，求：ABC晶面的面指數(shù)；DEFG晶面的面指數(shù)。解：在圖所示的三個基矢為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系的前提下從圖中明顯看出，ABC晶面在三個基矢方向上的截距分別為、和，以天然長度為單位，則這三個截距的倒數(shù)分別為，由此得到表示晶面ABC取向的面指數(shù)為。對于晶面DEFG，明顯看到該晶面在三個基矢方向上的截距分別為、和，以天然長度為單位，則這三個截距的倒數(shù)分別為，由此得到表示晶面DEFG取向的面指數(shù)為。1.11已知三斜晶系的晶體中，三個基矢為，和,現(xiàn)測知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為α，β和γ。試求該晶面的面指數(shù)。解：晶面指數(shù)為其中是保證為互質(zhì)數(shù)的因子稱為互質(zhì)因子.1.12試證明晶體中由于晶格的周期性，只可有1、2、3、4和6度轉(zhuǎn)軸，而不可能存在5度或6度以上的轉(zhuǎn)軸。1.13試論證晶體的微觀對稱性中只有八種基本的對稱操作，即。第二章習(xí)題2.1證明簡單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡單六角布喇菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。解：在直角坐標(biāo)系中，簡單六角布喇菲格子的基矢為：相應(yīng)的倒格子基矢為：容易看出此倒格子為簡單六角布喇菲格子晶格常數(shù)為：2.2對正交簡單晶格，假設(shè)沿三個基矢方向的周期分別為a、b和c的，當(dāng)入射X射線方向沿[100]方向（其重復(fù)周期為a）時，試確定在哪些方向上會出現(xiàn)衍射極大？什么樣的X射線波長才能觀察到極大？解：綜上，方向沿會出現(xiàn)衍射極大值。X射線的波長才能觀察到極大值。2.3試證明體心立方晶格的倒格子是面心立方，而面心立方晶格的倒格子是體心立方。證明：體心立方晶格原胞的基矢為和正格子對應(yīng)的倒格子原胞的基矢為：代入有： 可見體心立方晶格的倒格子是面心立方。面心立方晶格原胞的基矢為，代入有：可見面心立方晶格的倒格子是體心立方。2.4試證明倒格子原胞體積反比于正格子原胞體積。正格子原胞的體積為。而倒格子原胞的體積，即一個倒格點在倒易空間所占的體積，為：利用，可以得到， 即倒格子原胞體積反比于正格子原胞體積。2.5試證明正格子空間中一族晶面和倒格矢正交。證明：考慮一個三維布喇菲格子，原點和基矢、和的選擇如圖所示。假設(shè)ABC為晶面指數(shù)為的晶面族中最靠近原點的晶面，則ABC晶面在基矢、和上的截距分別為、和。如果能證明該晶面上任意兩個非平行的格矢和倒格矢點乘后為零，則表明必與晶面族正交?，F(xiàn)在我們考慮晶面上的兩個格矢和，由圖可知，這兩個格矢可分別表示為：和。利用正、倒格子基矢間的關(guān)系，我們有：和 由此可見，倒格矢確實與晶面上的兩個格矢和正交，因此，與晶面族正交。2.6試導(dǎo)出倒格矢的長度與晶面族面間距間的關(guān)系解：在上圖中，既然ABC是晶面指數(shù)為的晶面族中最靠近原點的晶面，則這族晶面的面間距，用表示，就等于原點到ABC晶面的距離。上面已證明，倒格矢的方向沿晶面族的法線方向，因此，該晶面法線方向的單位矢量可表示為，其中是晶面族法線方向倒格矢的長度。由此得到晶面族的面間距為 ，式中用到了的關(guān)系?？梢?，倒格矢的長度正比于晶面族面間距的倒數(shù)。2.7如果基矢構(gòu)成簡單正交系，試證明晶面族的面間距為：并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理。證明：依題意，簡單正交系的基矢為，利用，可以得到，而倒格矢為利用上題的結(jié)論：則有:面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大,晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理.2.8試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第二布里淵區(qū)。2.9試畫出邊長為的二維正方格子的第一和第二布里淵區(qū)。2.10假設(shè)具有立方對稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在對其進(jìn)行x射線分析時，在衍射譜圖中只觀察到、、或等衍射峰，但沒有觀察到、、或等衍射峰，試通過分析說明該晶體具有何種類型的晶體結(jié)構(gòu)。解：對立方對稱晶體，有簡單立方、體心立方和面心立方三種典型的晶體結(jié)構(gòu)。對簡單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于（110）衍射峰的出現(xiàn)，可判斷該晶體并非簡單立方結(jié)構(gòu)。對由同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全為偶數(shù)或全為奇數(shù)時，衍射強(qiáng)度最強(qiáng)，而衍射指數(shù)中部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)的衍射峰消失，由于、或衍射峰的出現(xiàn)，這些衍射峰的衍射指數(shù)全為偶數(shù)，故可判斷該晶體并非面心立方結(jié)構(gòu)。對由同種原子組成的體心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶胞中包含2個原子，其中一個在立方體頂角，另一個在立方體體心，它們的坐標(biāo)分別為和。代人到式（2.42）得到衍射強(qiáng)度為可見，當(dāng)衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時，，反射消失，而對于衍射指數(shù)之和為偶數(shù)時，，因此，根據(jù)觀察到的衍射峰特征可判斷該晶體具有體心立方結(jié)構(gòu)。2.11對面心立方的KBr晶體，其中K和Br離子各自組成一套面心格子，試通過分析論證該晶體的衍射譜圖有和特征？解：對面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶胞中共包含4個原子，其中一個在立方體頂角，另三個在立方體面心，它們的坐標(biāo)分別為、、和。代人到式（2.42）得到衍射強(qiáng)度為可見，對于衍射指數(shù)中部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時，，此時衍射強(qiáng)度最小，而對于衍射指數(shù)全為偶數(shù)或全為奇數(shù)時，則，此時衍射強(qiáng)度最強(qiáng)。2.12從形式上看，KCl非常相似KBr，但對KCl進(jìn)行衍射分析時，實驗上觀察到和KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，為什么？答：實驗上觀察到和KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，說明KCl晶體具有和KBr相似的面心立方結(jié)構(gòu)，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，說明兩者又不完全相同。這是因為KCl中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎相同，因此，對X-射線來說，就好似一個晶格常數(shù)為a/2的單原子簡單立方晶格，對簡單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。2.13對由同種原子（碳）構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射強(qiáng)度不為零的條件。對于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，則每個晶胞中共有8個原子，一個在立方體頂角上，坐標(biāo)為，三個在立方體的面心位置，坐標(biāo)分別為、和，另外四個在立方體對角線的1/4位置處，坐標(biāo)分別為、、和。將這些原子坐標(biāo)代入式（2.42）中得到衍射強(qiáng)度為由上式很容易求出衍射強(qiáng)度不為零的條件是：衍射面指數(shù)、和均為奇數(shù)；衍射面指數(shù)、和均為偶數(shù)且也為偶數(shù)。如果衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，則衍射消失。第三章習(xí)題3.1證明兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為考慮如圖所示的正、負(fù)離子交替的一維無限長的離子鏈。將式改寫為如下形式 ,其中，為相鄰離子間的距離，若以其中某一個負(fù)離子為參考離子，則式中的分別取“+”（正離子）和“-”（負(fù)離子），這樣一來有 式中2源于參考離子左右各有對稱的離子分布，由此得到，利用，我們得到一維離子鏈的馬德隆常數(shù)，即。3.2若一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為：，試計算：1)平衡間距2)結(jié)合能W（單個原子的）3)體彈性模量4)若取，則和值是多少？解：1）內(nèi)能，平衡時2）單個原子的結(jié)合能，將代入有3）體彈性模量，晶體體積，因此，體彈性模量可表示為，所以利用，則有，而，故有4）由和可得到3.3設(shè)若一晶體平衡時體積為，原子間總的相互作用能為，如果原子間相互作用能由式所表述，試證明壓縮系數(shù)為。證明：體彈性模量，晶體體積，因此，體彈性模量可表示為，所以利用，則有，而，故有3.4已知由N個離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為，現(xiàn)以來代替排斥項，且當(dāng)晶體處于平衡時，這兩者對互作用勢能的貢獻(xiàn)相同，試求n和r的關(guān)系。解：將結(jié)合能在平衡位置處展開，即以來代替排斥項，結(jié)合能變成，將這一結(jié)合能在平衡位置處展開有，按照題意應(yīng)當(dāng)有以及由得到，由得到，兩式相比則得到，再由得到n和r的關(guān)系為3.5對面心立方晶格，分別針對（1）只計及最近鄰和（2）計及次近鄰，試計算A6和A12。解：由定義和，其中，R為最近鄰距離，對面心立方，若選擇頂角原子為原點，則頂角原子周圍有8個立方體晶胞，該原子共有12個最近鄰，分別位于8個晶胞靠原點的8個面心處，因此以最近鄰距離度量，則有，只計及最近鄰則有頂角原子的次近鄰共有6個，分別位于8個晶胞靠原點的立方體頂角處，以最近鄰距離度量，則有，因此，若計及次近鄰則有第四章習(xí)題4.1對一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為和，晶格常數(shù)為，求原子的運動方程以及色散關(guān)系。解：123n-1nn+1n+2n+3N-1NN+1 第n-1與第n+1個原子屬于同一種原子，第n與第n+2個原子屬于同一種原子于是：第n個原子受的力為：第n+1個原子受的力為：對每種原子，可寫出其運動方程將方程的解寫成角頻率為w的簡諧振動的形式，即將上述解的形式帶入原子運動方程得：其中A、B非0解的條件是系數(shù)行列式必須為0，即由此可得到：4.2問長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？解：長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，包含了晶格振動頻率最高的振動模式；長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體振動，振動頻率較低，包含了晶格振動頻率最低的振動模式；任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格晶體不存在光學(xué)支格波。4.3按德拜模型試計算晶體中的聲子數(shù)目，并對高溫和很低溫度兩種情況分別進(jìn)行討論。解：頻率為w的格波的聲子數(shù)對德拜模型，模式密度或頻率分布函數(shù)為則總的聲子數(shù):高溫情況下：高溫時的聲子數(shù)在低溫時：做變量變換其中4.4設(shè)一長度為的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為，原子間距為，原子間的相互作用勢可表示成，試由簡諧近似求：（1）色散關(guān)系；（2）模式密度；（3）晶格比熱。解：（1）色散關(guān)系恢復(fù)力常數(shù)代入得色散關(guān)系：（2）模式密度D（w）設(shè)單原子鏈長度波矢取值每個波矢的寬度為狀態(tài)密度為dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為對應(yīng)±q，w取值相同，dw間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為一維單原子鏈色散關(guān)系令兩邊微分得到代入一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)(3)晶格比熱頻率為w的格波的熱振動能為整個晶格的熱振動能為晶格比熱4.5設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為，試用德拜模型求晶體的零點振動能。解:根據(jù)量子力學(xué)零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能就是各振動模零點能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見零點振動能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬．4.6如果原子離開平衡位置位移后的勢能為，如用經(jīng)典理論，試證明比熱為：。證：一維振子總能處理小振動當(dāng)c、g、f為正常數(shù)第二個積分中的小很多，積分主要貢獻(xiàn)來自于。略去高于X6之上的項；X3等奇次指數(shù)的項定積分為零也不寫出積分公式4.7假設(shè)晶體總的自由能可表示為，其中表示晶格振動對系統(tǒng)自由能的貢獻(xiàn)，是絕對零度時系統(tǒng)的內(nèi)能，若可表示為，其中是德拜溫度，試證明：（1）壓力，式中為格林愛森常數(shù)；（2）線膨脹系數(shù)。eq\o\ac(eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D（2）即相當(dāng)證已知所以相當(dāng)于證明即：所以又相當(dāng)證明：要證明上式關(guān)系式方法有二由（二）用熱力學(xué)霍姻霍茲關(guān)系式證為此利用本題第一式：eq\o\ac(○,H)eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D如能證則問題就可解決由霍姻霍茲關(guān)系式eq\o\ac(○eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D第五章習(xí)題5.1思考題：絕對零度時價電子與晶格是否交換能量？解：晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量，實際上是價電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價電子與格波交換能量可看成是價電子與聲子交換能量。頻率為w的格波的聲子數(shù)絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全部消失，因此，絕對零度時價電子與晶格不再交換能量。5.2思考題：晶體膨脹時費米能級如何變化？解：費米能級晶體膨脹時，體積變大，但電子數(shù)目不變，故n變小，因此，費米能級降低。5.3思考題：為什么價電子的濃度越高，電導(dǎo)率越高？解：電導(dǎo)率公式從公式看，電導(dǎo)率正比于價電子的濃度，因此，價電子濃度越高，電導(dǎo)率就越高然而，并非所有價電子都參與導(dǎo)電，僅僅費米面附近的電子才參與對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)，因此，費米球越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，而費米球的半徑，可見，電子濃度越高，費米球就越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子什么也就越多，因此，電導(dǎo)率就越高5.4假設(shè)二維電子氣的能態(tài)密度，試證明費米能為，其中n為單位面積的電子數(shù)。解：單位面積金屬的電子總數(shù)從而得到：5.5試求一維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。解：設(shè)一維金屬中有N個導(dǎo)電電子，晶格常數(shù)為a，則狀態(tài)密度為則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為再由得到在E---E+dE內(nèi)電子數(shù)為能態(tài)密度絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有從而得到平均一個電子所具有的能量平均一個電子對比熱的貢獻(xiàn)為5.6試求二維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。解：設(shè)二維金屬的面積為S，則狀態(tài)密度為則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為再由得到在E—E+dE內(nèi)電子數(shù)為能態(tài)密度絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有從而得到平均一個電子所具有的能量平均一個電子對比熱的貢獻(xiàn)為5.7證明，當(dāng)時，電子數(shù)目每增加一個，則費米能變化為，其中為費米能級處的能態(tài)密度。解：其中電子數(shù)目每增加一個，費米能的變化5.8每個原子占據(jù)的體積為a3，絕對零度時價電子的費米半徑為，試計算每個原子的價電子數(shù)目。解：根據(jù)自由電子氣模型，絕對零度時費米半徑為而已知金屬絕對零度時費米半徑為兩者比較可知電子密度為因此該金屬的原子具有兩個價電子5.9若將銀看成具有球形費米面的單價金屬，試計算以下各量1)費密能量和費密溫度2)費密球半徑3)費密速度4)在室溫以及低溫時電子的平均自由程。（銀的原子量107.87，質(zhì)量密度，電阻率）解：（1）費米能量費密溫度(2)

費密球半徑由可得（3）費密速度=（4)

在室溫以及低溫時電子的平均自由程電導(dǎo)率從而馳豫時間由平均自由程得0K到室溫之間的費密半徑變化很小將代入中得：第六章習(xí)題6.1電子在周期場中的勢能函數(shù) 且，w是常數(shù)。1)試畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；2)用近自由電子模型計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度。解：（1）勢能曲線為：V(x)V(x)b(n-1)a-b(n-1)a-b(n-1)a(n-1)a+b-b0b(n+1)a-b-b0b(n+1)a-b(n+1)a(n+1)a+bna-bnana+b2a-b2a2a+b勢能的平均值令則所以勢能的平均值（2）禁帶寬帶近自由電子近似中，勢能函數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)第一帶隙寬度第二帶隙寬度6.2對于一維周期勢場中運動的電子，試求電子處在下列態(tài)中的的波矢，，，，，其中是晶格常數(shù)。解：根據(jù)布洛赫定理一維情形布洛赫定理1)電子的波函數(shù)電子的波矢2)電子的波函數(shù)電子的波矢3)電子的波函數(shù)電子的波矢4)電子的波函數(shù)電子的波矢(n+1)a(n+1)a+b(n+1)a-b6.3假設(shè)二維正方格子的周期勢場可表示為，式中為晶格常數(shù)，試由近自由電子近似計算布里淵區(qū)邊界處的能隙。(n+1)a(n+1)a+b(n+1)a-b解：能隙布里淵頂角(p/a,p/a)處的能隙布里淵頂角