高中PAGE1試題2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線+數(shù)列+導(dǎo)數(shù)。5．難度系數(shù)：0.68。第一部分（選擇題共58分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線和直線平行，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且公差不為0，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（

）A．7 B．8 C．10 D．123．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C．或2 D．4．直線與圓交于兩點，使得恰好為正三角形，則的值為（

）A． B． C．2 D．5．已知，，若直線是函數(shù)的一條切線，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知點，點是圓上一動點，線段MP的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則的最大值為（

）.A．2 B． C． D．8．閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點，平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點且一個法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知點在左?右焦點分別為的雙曲線上，，則（

）A．漸近線方程為 B．離心率為C． D．10．如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（

）A．B．直線與直線所成角的余弦值為C．平面與平面所成角的余弦值為D．當(dāng)時，動點到平面的距離的最小值為111．已知函數(shù)，則（

）A．若，則有三個零點 B．若，則函數(shù)存在個極值點C．在單調(diào)遞減，則 D．若在恒成立，則第二部分（非選擇題共92分）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知點在圓上運(yùn)動，則的最小值是.13．已知點在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標(biāo)為1，則．14．已知橢圓和雙曲線在第一象限的交點為，橢圓的右焦點為，在方向上的投影向量為，則橢圓的離心率為；雙曲線的漸近線方程為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.16．（15分）已知數(shù)列中．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前項和；17．（15分）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的“拐點”，求a的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的“拐點”在y軸右側(cè)，討論的零點個數(shù)．18．（17分）如圖，在四棱錐，平面，，且，，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（17分）對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”．(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍．(2)是否存在首項為?2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說明理由．2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線+數(shù)列+導(dǎo)數(shù)。5．難度系數(shù)：0.68。第一部分（選擇題共58分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線和直線平行，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【答案】B【詳解】因為直線和直線平行，所以，解得，當(dāng)時，兩直線方程分別為，重合，不符合題意，舍去.故選：B2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且公差不為0，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（

）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【詳解】設(shè)公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.3．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C．或2 D．【答案】B【詳解】因為所以，因為平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，所以，化簡得，解得或1．故選：B4．直線與圓交于兩點，使得恰好為正三角形，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，若恰好為正三角形，則.故選：C.5．已知，，若直線是函數(shù)的一條切線，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)切線的切點為，則.且由，及該直線斜率為，知.所以，故，從而代入知，即.所以當(dāng)，時，有，.所以的最小值是.故選：C.6．已知點，點是圓上一動點，線段MP的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】

由題意得，圓心，半徑，因為，，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，所以動點的軌跡方程為，故選：B.7．已知函數(shù)，則的最大值為（

）.A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】，由于，則，令,即，解得，,即，解得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故選：B8．閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點，平面直角坐標(biāo)系中，方程（、不同時為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線，空間直角坐標(biāo)系中，方程（、、不同時為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點且一個法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為平面的方程為，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，所以兩平面的交線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故選：A．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知點在左?右焦點分別為的雙曲線上，，則（

）A．漸近線方程為 B．離心率為C． D．【答案】BCD【詳解】因為，所以的漸近線方程為，離心率，故A錯誤，B正確.不妨設(shè)點在的右支上，則.因為，所以.在中，，則，所以的面積，故C，D正確.故選：BCD10．如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（

）A．B．直線與直線所成角的余弦值為C．平面與平面所成角的余弦值為D．當(dāng)時，動點到平面的距離的最小值為1【答案】ACD【詳解】對A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面，由平面，可得，故A正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，，由，令，可得，，，解得，即，對B，，，故B錯誤；對C，平面的法向量，平面的法向量，則，故C正確；對D，由知，在以為球心，半徑為1的球面上，，球心到平面的距離，到平面的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)，則（

）A．若，則有三個零點 B．若，則函數(shù)存在個極值點C．在單調(diào)遞減，則 D．若在恒成立，則【答案】ABD【詳解】對于選項A：若，，，由，得：，當(dāng)x∈?1,1時，f'x<0，得：當(dāng)和1,+∞時，f'x>0，得：在和1,+所以函數(shù)有極大值，有極小值，所以三次函數(shù)有三個零點，故A選項正確；對于選項B，若，，由，得有兩個解，當(dāng)和時，f'x>0在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，f'x在上單調(diào)遞減，所以存在兩個極值點，故B選項正確；對于選項C，由題意可知：是解集的子集，當(dāng)時，顯然恒成立；當(dāng)時，，由于，可得：，即；綜上可得：，故C選項錯誤；對于選項D，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)，令，則，令（），，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；故，則；當(dāng)，令，則，令（），，當(dāng)時，?'x>0，所以，則；綜上所述：若在恒成立，則，故D選項正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知點在圓上運(yùn)動，則的最小值是.【答案】【詳解】由得，故圓的圓心為，半徑為1，當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖可知，故此時的最小值是直線斜率的最大值的倒數(shù)，令，即，則圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，故此時的最小值是，又，故的最小值為.故答案為：.13．已知點在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標(biāo)為1，則．【答案】【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點在第一象限，因為點的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，解得，即，又由，可得軸，因為，可得，所以直線的傾斜角為，因為拋物線的焦點為，則，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案為：.

14．已知橢圓和雙曲線在第一象限的交點為，橢圓的右焦點為，在方向上的投影向量為，則橢圓的離心率為；雙曲線的漸近線方程為.【答案】/【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則Fc,0，，①因為在方向上的投影向量為，點在第一象限，所以點的橫坐標(biāo)，代入橢圓的方程得，又點在雙曲線上，所以，②由①②解得，，所以橢圓的離心率為；雙曲線的漸近線方程為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.【詳解】（1）拋物線的焦點為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為5分（2）直線的斜率存在，設(shè)斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，消去得：，9分設(shè)Ax因為，即，所以，解得，11分此時滿足題意所以所求直線的方程為13分16．（15分）已知數(shù)列中．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前項和；【詳解】（1）由，得，即，2分又，有，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列6分（2）由（1）得，則有，7分，8分，10分①-②得12分，，即15分17．（15分）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的“拐點”，求a的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的“拐點”在y軸右側(cè)，討論的零點個數(shù)．【詳解】（1）由題可知，，，2分因為是函數(shù)的“拐點”，所以，解得．4分所以，．令，得或，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和7分（2）由（1）可知，函數(shù)的拐點橫坐標(biāo)為，所以，8分令，解得或；令．解得．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，10分所以的極小值為，的極大值為．12分當(dāng)，即時，有三個零點;13分當(dāng)，即時，有兩個零點;14分當(dāng)，即時，有一個零點15分18．（17分）如圖，在四棱錐，平面，，且，，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【詳解】（1）過作，垂足為，則，如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，1分則，為的中點，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得，3分，即，又平面，所以平面；5分（2）設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，解得，8分所以，10分即平面與平面所成二面角的余弦值為；11分（3）存在，且，理由如下：假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，則13分又直線與平面所成角的正弦值為，平面的一個法向量，，化簡得，即，15分，故存在，且17分19．（17分）對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”．(1)已知數(shù)列1，2m，是“K數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍．(2)是否存在首項為?2的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項和使得恒成立?若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說明理由．【詳解】（1）由題意得，且，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．3分（2）不存在．理由：假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為d，則，由得．4分由題意，得對均成立，即．5分當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立，因為，所以，與矛盾，所以這樣的等差數(shù)列不存在．8分（3）設(shè)數(shù)列的公比為q，則．因為的每一項均為正整數(shù)，且，所以在中，為最小項同理，中，為最小項10分由為“K數(shù)列”，只需，即．又因為不是“數(shù)列”，且為最小項，所以，即．由數(shù)列的每一項均為正整數(shù)，可得，所以或．12分當(dāng)時，，則．令，則，又，所以為遞增數(shù)列，即，14分因為，所以對于任意的，都有，即數(shù)列為“K數(shù)列”．15分當(dāng)時，，則．因為，所以數(shù)列不是“K數(shù)列”．綜上所述，當(dāng)時，，數(shù)列為“K數(shù)列”；當(dāng)時，，數(shù)列不是“K數(shù)列”．17分2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678BCBCCBBA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCDACDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13． 14．；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【詳解】（1）拋物線的焦點為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為5分（2）直線的斜率存在，設(shè)斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，消去得：，9分設(shè)Ax因為，即，所以，解得，11分此時滿足題意所以所求直線的方程為13分16．（15分）【詳解】（1）由，得，即，2分又，有，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列6分（2）由（1）得，則有，7分，8分，10分①-②得12分，，即15分17．（15分）【詳解】（1）由題可知，，，2分因為是函數(shù)的“拐點”，所以，解得．4分所以，．